La retta proiettiva è una circonferenza di raggio infinito con un punto improprio

[Arcobaleno]

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Consiglio il libro di Giovanni Martini che ho qui sottomano per capire
a fondo la faccenda.

[Persio]

Ho letto la pagina e mi sono informato sulla geometria proiettiva, grazie.
In effetti è una strana coincidenza che una geometria fondata per
fornire supporto ai problemi posti da un fenomeno fisico dia luogo ad
una retta chiusa, come quella che ho ipotizzato in relazione al mondo
fisico. Ma probabilmente si tratta solo di una coincidenza.

Riguardo al problema che ho posto, e grazie alle indicazioni che mi hai
fornito, oggi ho cercato di capire meglio quali possibilità ho di
trovare delle risposte. Francamente le mie ginocchia hanno tremato, e
capisco meglio chi ha risposto con qualche fastidio: è una sfida che
solo un tenace genio della matematica potrebbe voler affrontare, senza
alcuna garanzia di successo, peraltro.

Infatti, a cosa può portare definire una retta come il luogo continuo
dello spazio equidistante da un punto, detto centro, di estensione finita?

E definire un punto come un luogo dello spazio di dimensioni
piccolissime ma finite?

E una linea come il luogo *continuo* dello spazio di estensione finita
che può essere percorso da un punto da un estremo all'altro?

Ipotizzare un mondo di dimensioni finite ma incommensurabili, privo di
discontinuità, porterebbe a definire gli enti geometrici che ho
accennato sopra, ma poi?

In realtà è possibile attribuire alla retta definita sopra una
estensione talmente grande da essere vicina ad un teorico infinito, e
questo la renderebbe assimilabile alla retta euclidea. Come è possibile
attribuire al punto una estensione talmente piccola da essere vicina
allo zero teorico.

In tal caso la geometria euclidea continuerebbe ad essere coerente ad un
grado accettabile col mondo fisico, e lo sarebbe tanto più quanto più
grande è posta l'estensione della retta e tanto più piccola è posta
l'estensione del punto.
Tuttavia non si potrebbe sostenere che per due punti passi una e una
sola retta, ad esempio, salvo che non si attribuisca un valore massimo
identico all'estensione di tutte le rette.

Certo, una delle conseguenze più affascinati di una geometria fondata
sugli assiomi descritti sarebbe che pi greco non avrebbe più senso.

Ma è tutto troppo complicato da formalizzare.

Grazie comunque dell'attenzione.

--
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[Arcobaleno]

Persio <persio...@gmail.com> ha scritto:

>
>
> Ma è tutto troppo complicato da formalizzare.
>
> Grazie comunque dell'attenzione.
>

Euclide negli Elementi invece ha formalizzato bene cosa
dobbiamo intendere per piano bidimensionale per es....che nel nostro
mondo reale non esiste...così come non esiste la linea retta.

Allo stesso modo i geometri dell'Ottocento hanno formalizzato i concetti
della geometria proiettiva.

Ti consiglio quindi di studiare la geometria euclidea tenendo presente
che si tratta di IDEALIZZAZIONE di nostre percezioni.

Inoltre di studiare la geometria proiettiva usando
Giovanni Martini, Fondamenti di geometria descrittiva e applicazioni...

Con SOTTOTITOLO : elementi di geometria euclidea e proiettiva.

Ciao:)
A.

p.s. in tutto quello che hai detto non ho trovato nulla che non sia stato
già abbondantemente formalizzato in matematica. Forse quello che potrebbe
aiutarti è capire che noi abbiamo LE GEOMETRIE e non UNA geometria.
Prova a studiare il programma di Erlangen e chiedi pure agli amici del ng
che sicuramente sapranno aiutarti come meriti. Io purtroppo non ho più il
tempo che avevo anni fa quando dedicavo intere giornate a questo ng.

[Persio]

Il 20/12/2011 18:59, Arcobaleno ha scritto:
> Persio<persio...@gmail.com> ha scritto:
>
>> Ma è tutto troppo complicato da formalizzare.
>>
>> Grazie comunque dell'attenzione.
>>
> Euclide negli Elementi invece ha formalizzato bene cosa
> dobbiamo intendere per piano bidimensionale per es....che nel nostro
> mondo reale non esiste...così come non esiste la linea retta.

Certo: nella realtà non esiste nulla che abbia una sola dimensione e che
sia estendibile indefinitamente, come non esiste nulla che sia
adimensionale.

Ed è per questo che mi ponevo il problema di come dovrebbe essere
concepita una geometria che sia più vicina al mondo reale.

Naturalmente ogni formalizzazione del mondo reale sarà sempre "altro"
rispetto a ciò che descrive, e rispetto a questo avrà sempre un certo
grado di approssimazione che viene alla luce nel momento in cui si pone
in rapporto l'uno con l'altra.
Quello che mi chiedevo era appunto se non convenga immettere nella
formalizzazione anche l'inevitabile approssimazione, in modo da
avvicinare a piacere la formalizzazione al suo oggetto.

La geometria euclidea, ad esempio, è un sistema formale nel quale se il
segmento AB è posto uguale al segmento BC vuol dire che i due segmenti
sono esattamente della stessa misura. Nel mondo reale, invece, ogni
misura è approssimata e nessun oggetto può essere esattamente uguale ad
un altro oggetto, in nessuna delle sue dimensioni.

La geometria euclidea è un sistema formale che racchiude e confina la
sua distanza dal mondo reale nei suoi postulati fondamentali, per questo
gli enti che vi sono compresi sono perfetti.

Altro esempio: se voglio descrivere il moto rettilineo uniforme la retta
euclidea va bene, ma solo se la distanza dal punto iniziale a quello
finale è molto limitata. Se volessi sperimentare il moto rettilineo
uniforme su distanze interstellari troverei che la linea descritta dal
moto è curva. Aver postulato l'estensibilità infinita della retta rende
perfetto l'ente geometrico ma inadeguata alla realtà la geometria euclidea.

Altro esempio: la serie dei numeri naturali. Indrodurre nella
formalizzazione che li descrive il concetto di vuoto, nulla, zero,
consente di concepire una serie estensibile indefinitamente di enti
discreti. Ma se questi concetti nel mondo reale non avessero valore,
allora la serie dei numeri reali potrebbe essere la successione dei
picchi di un'onda nel continuum spaziale, che procede secondo una
traiettoria chiusa e finita.

Oppure, sempre a proposito dei numeri naturali, si potrebbero
considerare le proprietà dell'artefice di ogni sistema formale: la
mente, che per discernere ha bisogno di dividere.
Se il mondo fisico fosse privo di discontinuità assolute la mente non
potrebbe concepirlo, neanche esisterebbe una mente. Dunque i numeri
naturali sarebbero il risultato della suddivisione mentale dell'UNO in
due parti e della successiva addizione di 1/2 al primo della serie.

Si, lo so che esistono formalizzazioni teoriche che con il procedere
delle conoscenze in campo fisico si sono adeguate per poter meglio
descrivere la realtà: qualcosa ho letto. Tuttavia non ho mai incontrato
una geometria che postuli la retta come linea chiusa e finita. Salvo la
geometria proiettiva, nella quale però la retta chiusa ha una parte
finita e una infinita.

Bene, se ti ho annoiato ti chiedo perdono.