Derivata velocità angolare
nanotech
T ( energia cinetica, chￜ ￜ quella appartenete al sistema dato) = 3/4
*massa* Raggio ^2 * velocitￜ angolare ^2
Poi nel testo viene derivata l'energia cinetica nel tempo e viene un
risultato che non mi spiego:
dT/dt = 3/4 * massa *Raggio^2 * velocitￜ angolare * accelerazione angolare
Dato che la velocitￜ angolare era al quadrato non doveva spuntare fuori
un 2 a moltiplicare il 3/4 ?
Giorgio Bibbiani
> In un testo di Meccanica Razionale ho trovato la seguente scrittura:
> *massa* Raggio ^2 * velocit� angolare ^2
E' l'energia cinetica di un disco pieno omogeneo che rotola senza
strisciare?
> Poi nel testo viene derivata l'energia cinetica nel tempo e viene un
> risultato che non mi spiego:
> dT/dt = 3/4 * massa *Raggio^2 * velocit� angolare * accelerazione
> angolare Dato che la velocit� angolare era al quadrato non doveva spuntare
> fuori un 2 a moltiplicare il 3/4 ?
Direi di si', magari se scrivi il testo completo ti si potra' dire
qualcosa di piu'.
Ciao
--
Giorgio Bibbiani
nanotech
> nanotech ha scritto:
>> In un testo di Meccanica Razionale ho trovato la seguente scrittura:
>> *massa* Raggio ^2 * velocitￜ angolare ^2
>
> E' l'energia cinetica di un disco pieno omogeneo che rotola senza
> strisciare?
>
>> Poi nel testo viene derivata l'energia cinetica nel tempo e viene un
>> risultato che non mi spiego:
>> angolare Dato che la velocitￜ angolare era al quadrato non doveva spuntare
>> fuori un 2 a moltiplicare il 3/4 ?
>
> Direi di si', magari se scrivi il testo completo ti si potra' dire
> qualcosa di piu'.
>
> Ciao
Si ￜ come dici tu. E' proprio l'energia cinetica di un disco pieno
omogeneo che rotola senza strisciare.
Ecco il testo:
http://img30.imageshack.us/img30/9435/testomecc.jpg
Le guide sono lisce.
Utilizzando le Eq cardinali:
1) determinare il momento della coppia M in modo che il disco abbia
velocitￜ angolare costante.
2) Determinare le reazioni vincolari in corrispondenza della cerniera B
e del punto di appoggio del disco.
3)Ripetere il calcolo utilizzando l'eq dell'energia cinetica per
l'intero sistema.
La risoluzione comincia scrivendo le equazioni delle velocitￜ nei punti
C e B.
Giorgio Bibbiani
> Si � come dici tu. E' proprio l'energia cinetica di un disco pieno
> omogeneo che rotola senza strisciare.
Non mi sembra cosi', ora ti dico come ho interpretato
il disegno (che non e' chiarissimo) e che soluzione ho trovato.
Il sistema e' formato da un'asta di massa m e lunghezza 2R
incernierata al disco pieno omogeneo, l'asta e' vincolata a
muoversi mantenendo costante l'orientazione orizzontale,
e il disco e' vincolato all'asta tramite la cerniera ed e' vincolato
alla guida orizzontale in basso, inoltre si trascurano tutti gli attriti
quindi il disco rotola _strisciando_.
> Ecco il testo:
> http://img30.imageshack.us/img30/9435/testomecc.jpg
> Le guide sono lisce.
> Utilizzando le Eq cardinali:
> 1) determinare il momento della coppia M in modo che il disco abbia
> velocit� angolare costante.
> 2) Determinare le reazioni vincolari in corrispondenza della cerniera
> B e del punto di appoggio del disco.
> 3)Ripetere il calcolo utilizzando l'eq dell'energia cinetica per
> l'intero sistema.
> La risoluzione comincia scrivendo le equazioni delle velocit� nei
> punti C e B.
Risolvo il punto 3).
Per prima cosa calcoliamo l'energia cinetica del sistema.
Sia y la coordinata della proiezione dell'asta sull'asse y
(corrispondente alla lunghezza del segmento NH),
sia x la coordinata della proiezione del centro del
disco sull'asse x (cioe' la coordinata x del punto N),
dalla geometria si ricava:
y = R * (1 + cos(teta))
x = R * (2 - sin(teta)),
l'energia cinetica dell'asta e' (' = derivata temporale):
Ta = 1/2 * m * y'^2 = 1/2 * m * R^2 * sin(teta)^2 * teta'^2,
l'energia cinetica di traslazione del disco e':
Tdt = 1/2 * m * x'^2 = 1/2 * m * R^2 * cos(teta)^2 * teta'^2,
il momento di inerzia del disco rispetto all'asse passante per
il centro e perpendicolare al disco e' I = 1/2 * m * R^2 e
l'energia cinetica di rotazione del disco e':
Tdr = 1/2 * I * teta'^2 = 1/4 * m * R^2 * teta'^2,
l'energia totale del sistema e' allora:
T = Ta + Tdt + Tdr = 3/4 * m * R^2 * teta'^2.
Adesso utilizziamo il teorema dell'energia cinetica, per
cui il lavoro di tutte le forze che agiscono sul sistema
(per ipotesi il lavoro totale delle forze vincolari e' nullo)
eguaglia la variazione della sua energia cinetica,
quindi la potenza P di tutte le forze eguaglia la derivata
temporale dell'energia cinetica:
P = M * teta'
T' = 3/2 * m * R^2 * teta' * teta'',
eguagliando P e T si ha:
M = 3/2 * m * R^2 * teta'',
perche' il disco abbia velocita' angolare costante
(teta'' = 0) deve essere M = 0.
Calcoliamo ora le reazioni vincolari in N e in B.
La legge oraria dell'angolo teta e':
teta(t) = teta(0) + teta' * t,
l'accelerazione dell'asta e':
y'' = -R * cos(teta) * teta'^2,
la componente y della forza agente sull'asta e' quindi:
Fy = - m * R * cos(teta) * teta'^2,
la componente y della forza vincolare agente sul disco in B e' -Fy,
la componente y della forza vincolare agente sul disco in N e' Fy,
la componente x della forza vincolare agente sul disco in N e' nulla.
L'accelerazione del centro del disco e':
x'' = R * sin(teta) * teta'^2,
quindi la componente x della forza agente sul disco e':
Fx = m * R * sin(teta) * teta'^2,
e la componente x della forza vincolare agente sul disco in B e' Fx.
PS: ormai ti ho risposto qui, se vuoi replicare fallo magari su
f.i.s.f, che e' un gruppo appropriato per questo argomento.
Ciao
--
Giorgio Bibbiani