Tutti i triangoli sono isosceli
Dialogino
far vedere com'� facile cadere in inganno usando implicitamente fatti non
dimostrati. Ma io non ho saputo trovare la falla... qualcuno mi aiuta? Se
serve posto la dimostrazione.
fm2766
Posta!
Enrico Gregorio
<http://lmgtfy.com/?q=tutti+i+triangoli+sono+isosceli>
Ciao
Enrico
fm2766
http://www.sigonio.it/store/albricci/isosceli.pdf
Siamo sicuri che O sia interno al triangolo? A me non pare proprio, ma
non ho la concentrazione per dimostrarlo.
Radicale
> Ho letto che questa è una nota asserzione (ovviamente falsa) che serve a
> far vedere com'è facile cadere in inganno usando implicitamente fatti non
> dimostrati. Ma io non ho saputo trovare la falla... qualcuno mi aiuta? Se
> serve posto la dimostrazione.
CE = CF, questo si, ma col cavolo che questo comporta che AE = BF
:-)
?manu*
Dimostriamo per induzione che ogni insieme formato da N triangoli
comprende triangoli o tutti isosceli o tutti scaleni.
Per N=1 la cosa � ovvia perch� un triangolo o � isoscele oppure � scaleno.
Supponiamo che l'affermazione sia dimostrata per N e dimostriamola per
N+1. Prendi dunque N+1 triangoli qualsiasi. Ne togli 1 e ti rimangono N
triangoli che per ipotesi induttiva sono tutti isosceli o tutti scaleni.
Rimetti quello che hai tolto e ne togli un altro. Ti rimangono ancora N
triangoli che di nuovo sono tutti isosceli o tutti scaleni. Dunque anche
quello che avevi tolto � dello stesso tipo degli altri N. Conludi quindi
che tutti gli N+1 triangoli sono o tutti isosceli o tutti scaleni.
Sapendo che esiste almeno un triangolo isoscele hai quindi dimostrato
che tutti i triangoli sono isosceli.
E.
Radicale
> Dimostriamo per induzione che ogni insieme formato da N triangoli
> comprende triangoli o tutti isosceli o tutti scaleni.
> Per N=1 la cosa è ovvia perché un triangolo o è isoscele oppure è scaleno.
> Supponiamo che l'affermazione sia dimostrata per N e dimostriamola per
> N+1. Prendi dunque N+1 triangoli qualsiasi. Ne togli 1 e ti rimangono N
> triangoli che per ipotesi induttiva sono tutti isosceli o tutti scaleni.
> Rimetti quello che hai tolto e ne togli un altro. Ti rimangono ancora N
> triangoli che di nuovo sono tutti isosceli o tutti scaleni. Dunque anche
> quello che avevi tolto è dello stesso tipo degli altri N. Conludi quindi
> che tutti gli N+1 triangoli sono o tutti isosceli o tutti scaleni.
> Sapendo che esiste almeno un triangolo isoscele hai quindi dimostrato
> che tutti i triangoli sono isosceli.
Il ragionamento mi pare corretto in ogni particolare.
Perfetto, proprio.
Solo che :
"N triangoli sono tutti isosceli oppure tutti non-isosceli"
e' falsa.
Percio' questo ragionamento ha la stessa consistenza di
quest' altro :
se 1 + 1 = 3, allora 2 + 2 = 4.
Juan Carlos Torres
> Dimostriamo per induzione che ogni insieme formato da N triangoli
> comprende triangoli o tutti isosceli o tutti scaleni.
>
> Per N=1 la cosa � ovvia perch� un triangolo o � isoscele oppure � scaleno.
>
> Supponiamo che l'affermazione sia dimostrata per N e dimostriamola per
> N+1. Prendi dunque N+1 triangoli qualsiasi. Ne togli 1 e ti rimangono N
> triangoli che per ipotesi induttiva sono tutti isosceli o tutti scaleni.
> Rimetti quello che hai tolto e ne togli un altro. Ti rimangono ancora N
> triangoli che di nuovo sono tutti isosceli o tutti scaleni. Dunque anche
> quello che avevi tolto � dello stesso tipo degli altri N. Conludi quindi
> che tutti gli N+1 triangoli sono o tutti isosceli o tutti scaleni.
>
> Sapendo che esiste almeno un triangolo isoscele hai quindi dimostrato
> che tutti i triangoli sono isosceli.
Posso provare a trovare l'errore? Immagino che l'ipotesi induttiva consenta
di dire che, avendo un insieme di N triangoli, si sa che sono tutti dello
stesso tipo, non che, preso un insieme di N+1 triangoli, posso toglierne
uno a caso e trovare N triangoli dello stesso tipo. Assumere questo,
significa IMHO assumere che l'induzione sia stata gi� provata in
precedenza.
E' cos�?
Enrico Gregorio
No.
Ciao
Enrico
Radicale
>
> > Ho letto che questa è una nota asserzione (ovviamente falsa) che serve a
> > far vedere com'è facile cadere in inganno usando implicitamente fatti non
> > dimostrati. Ma io non ho saputo trovare la falla... qualcuno mi aiuta? Se
> > serve posto la dimostrazione.
>
> Dimostriamo per induzione che ogni insieme formato da N triangoli
> comprende triangoli o tutti isosceli o tutti scaleni.
>
>
> Supponiamo che l'affermazione sia dimostrata per N e dimostriamola per
> N+1. Prendi dunque N+1 triangoli qualsiasi. Ne togli 1 e ti rimangono N
> triangoli che per ipotesi induttiva sono tutti isosceli o tutti scaleni.
> Rimetti quello che hai tolto e ne togli un altro. Ti rimangono ancora N
> triangoli che di nuovo sono tutti isosceli o tutti scaleni. Dunque anche
> che tutti gli N+1 triangoli sono o tutti isosceli o tutti scaleni.
>
> Sapendo che esiste almeno un triangolo isoscele hai quindi dimostrato
> che tutti i triangoli sono isosceli.
>
> E.
Allora, ho sbagliato o no ?
Giorgio Bibbiani
> Dimostriamo per induzione che ogni insieme formato da N triangoli
> comprende triangoli o tutti isosceli o tutti scaleni.
> Per N=1 la cosa � ovvia perch� un triangolo o � isoscele oppure �
> scaleno. Supponiamo che l'affermazione sia dimostrata per N e
> dimostriamola per
> N+1. Prendi dunque N+1 triangoli qualsiasi. Ne togli 1 e ti rimangono
> N triangoli che per ipotesi induttiva sono tutti isosceli o tutti
> scaleni. Rimetti quello che hai tolto e ne togli un altro. Ti
> rimangono ancora N triangoli che di nuovo sono tutti isosceli o tutti
> scaleni. Dunque anche quello che avevi tolto � dello stesso tipo
> degli altri N.
"Dimostrazione" divertente!
L'ultima affermazione e' falsa, come si vede immediatamente
nel caso N + 1 = 2, chiamiamo A e B i due triangoli, se si toglie
ad es. A allora il triangolo rimanente B e' o isoscele o scaleno,
se si toglie B allora il triangolo rimanente A e' o isoscele
o scaleno, ma cio' non implica che A e B siano dello stesso tipo.
>Conludi quindi che tutti gli N+1 triangoli sono o
> tutti isosceli o tutti scaleni. Sapendo che esiste almeno un triangolo
> isoscele hai quindi dimostrato
> che tutti i triangoli sono isosceli.
Ciao
--
Giorgio Bibbiani
Juan Carlos Torres
>> E' cos�?
>
> No.
Ok, incasso e porto a casa... ora ci rimugino un altro po' e poi ne
riparliamo. Grazie :-)
Juan Carlos Torres
> Dunque anche quello che avevi tolto � dello stesso tipo
>> degli altri N.
>
> "Dimostrazione" divertente!
> L'ultima affermazione e' falsa, come si vede immediatamente
> nel caso N + 1 = 2, chiamiamo A e B i due triangoli, se si toglie
> ad es. A allora il triangolo rimanente B e' o isoscele o scaleno,
> se si toglie B allora il triangolo rimanente A e' o isoscele
> o scaleno, ma cio' non implica che A e B siano dello stesso tipo.
LOL! Geniale e semplice. :-)
Radicale
<giorgio_bibbianiTO...@virgilio.it.invalid> wrote:
> "Dimostrazione" divertente!
> L'ultima affermazione e' falsa, come si vede immediatamente
> nel caso N + 1 = 2, chiamiamo A e B i due triangoli, se si toglie
> ad es. A allora il triangolo rimanente B e' o isoscele o scaleno,
> se si toglie B allora il triangolo rimanente A e' o isoscele
> o scaleno, ma cio' non implica che A e B siano dello stesso tipo.
Secondo me invece non e' questo il punto.
A e B dello stesso tipo e' l' assunto.
Secondo me il bug e' quello che ho detto io.
Pero' Manu non risponde.
Credo si stia divertendo un mondo !
:-))
Enrico Gregorio
> ?manu* ha scritto:
> > Dimostriamo per induzione che ogni insieme formato da N triangoli
> > comprende triangoli o tutti isosceli o tutti scaleni.
> > Per N=1 la cosa � ovvia perch� un triangolo o � isoscele oppure �
> > scaleno. Supponiamo che l'affermazione sia dimostrata per N e
> > dimostriamola per
> > N+1. Prendi dunque N+1 triangoli qualsiasi. Ne togli 1 e ti rimangono
> > N triangoli che per ipotesi induttiva sono tutti isosceli o tutti
> > scaleni. Rimetti quello che hai tolto e ne togli un altro. Ti
> > rimangono ancora N triangoli che di nuovo sono tutti isosceli o tutti
> > scaleni. Dunque anche quello che avevi tolto � dello stesso tipo
> > degli altri N.
>
> "Dimostrazione" divertente!
> L'ultima affermazione e' falsa, come si vede immediatamente
> nel caso N + 1 = 2, chiamiamo A e B i due triangoli, se si toglie
> ad es. A allora il triangolo rimanente B e' o isoscele o scaleno,
> se si toglie B allora il triangolo rimanente A e' o isoscele
> o scaleno, ma cio' non implica che A e B siano dello stesso tipo.
Risposta corretta.
Di solito la presento come "tutti i treni arrivano in orario", ma
il metodo � sempre lo stesso. L'enunciato di tipo induttivo da
dimostrare �
"per ogni n, A(n) -> A(n+1)"
dove A(n) � "ogni insieme di n treni � composto da treni in orario"
(o qualsiasi variazione sul tema).
Il passo base non ha problemi: nessun treno che appartenga all'insieme
vuoto pu� essere in ritardo.
La tecnica esposta da ?manu* funziona benissimo per dimostrare
"per ogni n, (n>1 e A(n)) -> A(n+1)"
ma questo ovviamente non basta a far funzionare l'induzione. Infatti,
come tutti sanno, parecchi insiemi formati da un treno hanno come
elemento un treno che /non/ arriva in orario. :-< (espressione affranta
del pendolare)
Ciao
Enrico
fm2766
Supponiamo che EBC sia isoscele, con EC=BC. Allora M=O (in un triangolo
isoscele, l'asse relativo alla base coincide con la bisettrice
dell'angolo che gli si oppone);
Ma se su EC prendiamo un punto A, abbiamo il triangolo nella figura
citata. Supponiamo, per assurdo che anche questo sia isoscele (anche se
sarebbe banale dimostrare che cos� non � se E non coincide con A).
Se disegnate la figura, osserverete che la bisettrice non si sposta, ma
il punto medio si sposta verso B (anche con un compasso, e tenendo
presente che finch� l'angolo alla base di A non diventa retto, il
segmento AB � pi� corto di EB...), ergo: O � esterno ad ABC.
Giano
> CE = CF, questo si, ma col cavolo che questo comporta che AE = BF :-)
Questo non è propriamente corretto. Se O fosse davvero lì, i conti
tornerebbero perché due triangoli rettangoli con ipotenusa e cateto
congruenti sono congruenti (lo dico solo perché ci sono cascato, senza
pensare alla correttezza del disegno). Come ha già detto qualcuno, il
problema vero è il punto O e nel disegno *altamente* fuorviante.
?manu*
> Di solito la presento come "tutti i treni arrivano in orario",
Io invece di solito dimostro che tutti i gatti sono neri.
> Il passo base non ha problemi: nessun treno che appartenga all'insieme
> vuoto pu� essere in ritardo.
S�. Curiosamente quando chiedo qual � l'errore della dimostrazione quasi
tutti dicono che � sbagliato il passo base.
In effetti il caso N=1 � banale, mentre il caso N=2 � l'unico
interessante. Se tutti gli insiemi con due triangoli hanno triangoli
dello stesso tipo, questo gi� di per s� dice che tutti i triangoli sono
dello stesso tipo... non servirebbe usare l'induzione.
E.
Enrico Gregorio
> In effetti il caso N=1 � banale, mentre il caso N=2 � l'unico
> interessante. Se tutti gli insiemi con due triangoli hanno triangoli
> dello stesso tipo, questo gi� di per s� dice che tutti i triangoli sono
> dello stesso tipo... non servirebbe usare l'induzione.
Eh, gi�. Ma allora come la mettiamo con il "teorema di Fish"?
Un collega, facendo lezione di geometria un primo aprile a una classe
di futuri ingegneri, annunci� che recentemente era stato dimostrato
il cosiddetto "teorema di Fish": tutti i punti del piano sono allineati.
Conseguenza banale � che tutte le coniche sono degeneri. :)
La cosa carina � che uno studente and� a protestare perch� in un
esame (fallito) gli era stato segnato come errore proprio che tutte
le coniche sono degeneri. Il collega dovette spiegare alla classe il
collegamento fra Fish e il giorno in cui era stato "dimostrato" il
teorema (la tecnica era la solita dei gatti neri o dei treni in orario).
Del resto erano futuri ingegneri, no? ;-)
Ciao
Enrico
fm2766
> ... Il collega dovette spiegare alla classe il collegamento fra Fish e il giorno in cui era stato "dimostrato" il teorema ...
ROTFL :-D
mind
> ?manu* <paolNO...@math.SPAMunifi.it> scrive:
>
> > In effetti il caso N=1 è banale, mentre il caso N=2 è l'unico
> > interessante. Se tutti gli insiemi con due triangoli hanno triangoli
> > dello stesso tipo... non servirebbe usare l'induzione.
>
>
> Un collega, facendo lezione di geometria un primo aprile a una classe
> il cosiddetto "teorema di Fish": tutti i punti del piano sono allineati.
>
> La cosa carina è che uno studente andò a protestare perché in un
> esame (fallito) gli era stato segnato come errore proprio che tutte
> le coniche sono degeneri. Il collega dovette spiegare alla classe il
> collegamento fra Fish e il giorno in cui era stato "dimostrato" il
> teorema (la tecnica era la solita dei gatti neri o dei treni in orario).
> Del resto erano futuri ingegneri, no? ;-)
>
> Ciao
> Enrico
Chissà quanto pagherei per vedere la scena:
Studente: "Scusi professore, ma non abbiamo mostrato che tutti i punti
del piano sono allineati?"
Professore: "No guardi, il teorema di Fish vale solo di giovedì..."
Tommaso Russo, Trieste
> On 9 Mag, 22:17, Enrico Gregorio <grego...@math.unipd.it> wrote:
>> Il collega dovette spiegare alla classe il
>> collegamento fra Fish e il giorno in cui era stato "dimostrato" il
>> teorema (la tecnica era la solita dei gatti neri o dei treni in orario).
>> Del resto erano futuri ingegneri, no? ;-)
Cattivella... :-)
> Chissￜ quanto pagherei per vedere la scena:
> Studente: "Scusi professore, ma non abbiamo mostrato che tutti i punti
> del piano sono allineati?"
> Professore: "No guardi, il teorema di Fish vale solo di giovedￜ..."
Hai appena dimostrato che il giorno dopo il 31 marzo cade sempre di giovedi'? :-)
--
TRu-TS
Enrico Gregorio
> mind ha scritto:
> > On 9 Mag, 22:17, Enrico Gregorio <grego...@math.unipd.it> wrote:
> >> Il collega dovette spiegare alla classe il
> >> collegamento fra Fish e il giorno in cui era stato "dimostrato" il
> >> teorema (la tecnica era la solita dei gatti neri o dei treni in orario).
> >> Del resto erano futuri ingegneri, no? ;-)
>
> Cattivella... :-)
Gli ingegneri sono sempre nel mirino dei matematici, � noto. :)
> > Chiss� quanto pagherei per vedere la scena:
> > Studente: "Scusi professore, ma non abbiamo mostrato che tutti i punti
> > del piano sono allineati?"
> > Professore: "No guardi, il teorema di Fish vale solo di gioved�..."
>
> Hai appena dimostrato che il giorno dopo il 31 marzo cade sempre di giovedi'? :-)
Facile: dimostriamo per induzione che ogni insieme finito di giorni
"1 aprile" � costituito da "gioved�" ...
Ciao
Enrico
Giovanni
<giorgio_bibbianiTO...@virgilio.it.invalid> wrote:
>
> > Dimostriamo per induzione che ogni insieme formato da N triangoli
> > comprende triangoli o tutti isosceli o tutti scaleni.
> > dimostriamola per
> > N+1. Prendi dunque N+1 triangoli qualsiasi. Ne togli 1 e ti rimangono
> > N triangoli che per ipotesi induttiva sono tutti isosceli o tutti
> > scaleni. Rimetti quello che hai tolto e ne togli un altro. Ti
> > rimangono ancora N triangoli che di nuovo sono tutti isosceli o tutti
> > degli altri N.
> "Dimostrazione" divertente!
> L'ultima affermazione e' falsa, come si vede immediatamente
> nel caso N + 1 = 2, chiamiamo A e B i due triangoli, se si toglie
> ad es. A allora il triangolo rimanente B e' o isoscele o scaleno,
> se si toglie B allora il triangolo rimanente A e' o isoscele
> o scaleno, ma cio' non implica che A e B siano dello stesso tipo.
Giusto.
L'argomento di manu e' pero' molto convincente poiche' e' valido per
tutti i casi in cui n>2 :-)
(Ovviamente basta anche un solo caso contrario per invalidarlo)
.
Giovanni
Radicale
>Questo non è propriamente corretto. Se O fosse davvero >lì, i conti
>tornerebbero perché due triangoli rettangoli con >ipotenusa e cateto
>congruenti sono congruenti (lo dico solo perché ci sono >cascato, senza
>pensare alla correttezza del disegno). Come ha già detto >qualcuno, il
>problema vero è il punto O e nel disegno *altamente* >fuorviante.
:-)
La dimostrazione dice :
consideriamo i due triangoli AOE e BOF
hanno ipot. uguale (AO = OB) e sono rettangoli.
E questo ok.
Ma da per scontato che, poiche' CE = CF,
allora AE = BF.
Ovvero postula che il triangolo sia isoscele.
:-))
La figura non c'entra un tubo.
Questo problema e' piu' cretino di quanto sembri.
Ciao.
fm2766
>> tornerebbero perch� due triangoli rettangoli con >ipotenusa e cateto
>> congruenti sono congruenti (lo dico solo perch� ci sono >cascato, senza
>> pensare alla correttezza del disegno). Come ha gi� detto >qualcuno, il
>> problema vero � il punto O e nel disegno *altamente* >fuorviante.
>
> :-)
>
> La dimostrazione dice :
> consideriamo i due triangoli AOE e BOF
> hanno ipot. uguale (AO = OB) e sono rettangoli.
> E questo ok.
>
> Ma da per scontato che, poiche' CE = CF,
> allora AE = BF.
Non � la dimostrazione che ho trovato io (che non ha questa patologia).
Tu dove l'hai presa?
Gennaro
>> Questo non � propriamente corretto. Se O fosse davvero
>> l�, i conti tornerebbero perch� due triangoli rettangoli con
>> ipotenusa e cateto congruenti sono congruenti (lo dico
>> solo perch� ci sono cascato, senza pensare alla correttezza
>> del disegno). Come ha gi� detto qualcuno, il problema vero �
>> il punto O e nel disegno *altamente* >fuorviante.
>
> :-)
>
> La dimostrazione dice :
> consideriamo i due triangoli AOE e BOF
> hanno ipot. uguale (AO = OB) e sono rettangoli.
> E questo ok.
>
> Ma da per scontato che, poiche' CE = CF,
> allora AE = BF.
> Ovvero postula che il triangolo sia isoscele.
> :-))
Sei stai guardando
http://www.sigonio.it/store/albricci/isosceli.pdf
Il tizio che l'ha scritta si e' confuso.
Infatti i due triangoli AOE e BOF sarebbero uguali perche'
(a) rettangoli, (b) AO=OB, (c) OE=OF.
> L a figura non c'entra un tubo.
> Questo problema e' piu' cretino di quanto sembri.
mah...
> Ciao.
radic...@gmail.com
>Sei stai guardando
>http://www.sigonio.it/store/albricci/isosceli.pdf
>Il tizio che l'ha scritta si e' confuso.
>Infatti i due triangoli AOE e BOF sarebbero uguali perche'
>(a) rettangoli, (b) AO=OB, (c) OE=OF.
Si, ma io riferivo al testo che m' e' stato dato.
In effetti e' corretto come dici tu.