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Matrici contemporaneamente unitarie ed hermitiane
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SweetDreamz
Jan 26, 2013, 12:42:43 PM1/26/13
to
Un esercizio del mio libro di algebra chiede quante sono tutte le [vedi titolo] di ordine n.
Ho trovato la matrice nulla e l'identità e risolvendo gli esercizi precedenti dovrebbero essere anche le matrici del tipo
I - 2P con P hermitiana e PP = P.
Mi viene il dubbio che solo la matrice nulla e quella identità soddisfano le due condizioni (P hermitiana e PP = P).
Grazie :)
--
Vedi su Narkive:
http://narkive.com/ROa4qpXQ
Ho trovato la matrice nulla e l'identità e risolvendo gli esercizi precedenti dovrebbero essere anche le matrici del tipo
I - 2P con P hermitiana e PP = P.
Mi viene il dubbio che solo la matrice nulla e quella identità soddisfano le due condizioni (P hermitiana e PP = P).
Grazie :)
--
Vedi su Narkive:
http://narkive.com/ROa4qpXQ
Giorgio Bibbiani
Jan 26, 2013, 1:21:54 PM1/26/13
to
SweetDreamz ha scritto:
Le matrici hermitiane di ordine n si possono diagonalizzare
con una trasformazione unitaria e i loro autovalori sono
reali, inoltre essendo queste matrici unitarie il determinante (cioe'
la traccia della matrice diagonalizzata) vale +/- 1, quindi l'insieme
delle matrici in questione ha la potenza di R^(n-1) (n elementi
diagonali con il vincolo che il loro prodotto sia +/- 1), ad es.
se n = 1 si trovano solo 2 matrici, se n = 2 se ne trovano R^1
ecc. ecc..
Ciao
--
Giorgio Bibbiani
> Un esercizio del mio libro di algebra chiede quante sono tutte le
> [vedi titolo] di ordine n.
>
> Ho trovato la matrice nulla e l'identità e risolvendo gli esercizi
> precedenti dovrebbero essere anche le matrici del tipo
La matrice nulla non e' unitaria.
> [vedi titolo] di ordine n.
>
> Ho trovato la matrice nulla e l'identità e risolvendo gli esercizi
> precedenti dovrebbero essere anche le matrici del tipo
Le matrici hermitiane di ordine n si possono diagonalizzare
con una trasformazione unitaria e i loro autovalori sono
reali, inoltre essendo queste matrici unitarie il determinante (cioe'
la traccia della matrice diagonalizzata) vale +/- 1, quindi l'insieme
delle matrici in questione ha la potenza di R^(n-1) (n elementi
diagonali con il vincolo che il loro prodotto sia +/- 1), ad es.
se n = 1 si trovano solo 2 matrici, se n = 2 se ne trovano R^1
ecc. ecc..
Ciao
--
Giorgio Bibbiani
Giorgio Bibbiani
Jan 26, 2013, 1:34:08 PM1/26/13
to
Giorgio Bibbiani ha scritto:
Una volta diagonalizzata la matrice, il fatto che questa
sia unitaria implica che il quadrato di ciascuno degli
elementi diagonali sia 1 (perche' il quadrato della matrice
e' l'identita') cioe' che ciascuno degli elementi diagonali
sia +/-1, allora il numero di queste matrici sara' 2^n.
Ciao
--
Giorgio Bibbiani
> Le matrici hermitiane di ordine n si possono diagonalizzare
> con una trasformazione unitaria e i loro autovalori sono
> reali, inoltre essendo queste matrici unitarie il determinante (cioe'
> la traccia della matrice diagonalizzata) vale +/- 1, quindi l'insieme
> delle matrici in questione ha la potenza di R^(n-1)
Macche'... :-(
> con una trasformazione unitaria e i loro autovalori sono
> reali, inoltre essendo queste matrici unitarie il determinante (cioe'
> la traccia della matrice diagonalizzata) vale +/- 1, quindi l'insieme
> delle matrici in questione ha la potenza di R^(n-1)
Una volta diagonalizzata la matrice, il fatto che questa
sia unitaria implica che il quadrato di ciascuno degli
elementi diagonali sia 1 (perche' il quadrato della matrice
e' l'identita') cioe' che ciascuno degli elementi diagonali
sia +/-1, allora il numero di queste matrici sara' 2^n.
Ciao
--
Giorgio Bibbiani
Giorgio Bibbiani
Jan 26, 2013, 2:01:27 PM1/26/13
to
Giorgio Bibbiani ha scritto:
In questo modo trovo solo il numero di matrici nella
base in cui sono diagonali, ma tu chiedevi il numero
totale di matrici che soddisfano alle condizioni date,
quindi non tenere conto di quanto ho scritto...:-(
Ciao
--
Giorgio Bibbiani
> Macche'... :-(
>
> Una volta diagonalizzata la matrice, il fatto che questa
> sia unitaria implica che il quadrato di ciascuno degli
> elementi diagonali sia 1 (perche' il quadrato della matrice
> e' l'identita') cioe' che ciascuno degli elementi diagonali
> sia +/-1, allora il numero di queste matrici sara' 2^n.
Ri_macche'...
>
> Una volta diagonalizzata la matrice, il fatto che questa
> sia unitaria implica che il quadrato di ciascuno degli
> elementi diagonali sia 1 (perche' il quadrato della matrice
> e' l'identita') cioe' che ciascuno degli elementi diagonali
> sia +/-1, allora il numero di queste matrici sara' 2^n.
In questo modo trovo solo il numero di matrici nella
base in cui sono diagonali, ma tu chiedevi il numero
totale di matrici che soddisfano alle condizioni date,
quindi non tenere conto di quanto ho scritto...:-(
Ciao
--
Giorgio Bibbiani
Tetis
Jan 26, 2013, 2:23:27 PM1/26/13
to
SweetDreamz ha usato la sua tastiera per scrivere :
autovalori reali, ed in generale l'ermiticità si preserva per
similitudine. L'unitarietà anche si preserva per similitudine, quindi
devi cercare tutte le matrici diagonali unitarie ed hermitiane. Sono le
matrici ad autovalori unitari reali. Quindi le matrici che cerchi sono
unione delle classi di similitudine delle matrici che hanno sulla
diagonale solo 1 o -1.
Quante sono? Poiché a meno di unitarietà puoi mettere tutti gli
autovalori in ordine decrescente per fase, se da una parte metti le
matrici unitarie e dall'altra le matrici che sono anche hermitiane vedi
che per ogni U(1)^n matrici unitarie hai solo n matrici anche
hermitiane.
Ora se le matrici unitarie formano un gruppo generato dalle matrici
antihermitiane, che sono parametrizzate da n(n-1)/2 numeri complessi ed
n numeri reali, e quindi descrivono una varietà di dimensione n^2. Le
matrici hermitiane unitarie, tuttavia non formano un gruppo.
A prima vista si potrebbe pensare che formassero delle sottovarietà
regolari di U(n) ed in tal caso dovrebbero avere dimensione n^2-n.
Tuttavia il gioco non è così semplice, infatti il problema è che
solamente la fase commuta con tutte le matrici unitarie, di conseguenza
nei pressi del punti singolare rappresentato per esempio da L:
1,0
0,-1
le matrici simili con similitudine SDS^(-1) (dove D è unitaria
diagonale) formano una varietà con la stessa dimensione di del gruppo
unitario a meno che S non si riduca all'identità.
Quindi direi che siano: Z^n R^(n^2-1).
> Un esercizio del mio libro di algebra chiede quante sono tutte le [vedi
> titolo] di ordine n.
>
> Ho trovato la matrice nulla e l'identità e risolvendo gli esercizi precedenti
> dovrebbero essere anche le matrici del tipo
>
> I - 2P con P hermitiana e PP = P.
>
> Mi viene il dubbio che solo la matrice nulla e quella identità soddisfano le
> due condizioni (P hermitiana e PP = P).
>
> Grazie :)
Le matrici hermitiane sono unitariamente diagonalizzabili, ad
> titolo] di ordine n.
>
> Ho trovato la matrice nulla e l'identità e risolvendo gli esercizi precedenti
> dovrebbero essere anche le matrici del tipo
>
> I - 2P con P hermitiana e PP = P.
>
> Mi viene il dubbio che solo la matrice nulla e quella identità soddisfano le
> due condizioni (P hermitiana e PP = P).
>
> Grazie :)
autovalori reali, ed in generale l'ermiticità si preserva per
similitudine. L'unitarietà anche si preserva per similitudine, quindi
devi cercare tutte le matrici diagonali unitarie ed hermitiane. Sono le
matrici ad autovalori unitari reali. Quindi le matrici che cerchi sono
unione delle classi di similitudine delle matrici che hanno sulla
diagonale solo 1 o -1.
Quante sono? Poiché a meno di unitarietà puoi mettere tutti gli
autovalori in ordine decrescente per fase, se da una parte metti le
matrici unitarie e dall'altra le matrici che sono anche hermitiane vedi
che per ogni U(1)^n matrici unitarie hai solo n matrici anche
hermitiane.
Ora se le matrici unitarie formano un gruppo generato dalle matrici
antihermitiane, che sono parametrizzate da n(n-1)/2 numeri complessi ed
n numeri reali, e quindi descrivono una varietà di dimensione n^2. Le
matrici hermitiane unitarie, tuttavia non formano un gruppo.
A prima vista si potrebbe pensare che formassero delle sottovarietà
regolari di U(n) ed in tal caso dovrebbero avere dimensione n^2-n.
Tuttavia il gioco non è così semplice, infatti il problema è che
solamente la fase commuta con tutte le matrici unitarie, di conseguenza
nei pressi del punti singolare rappresentato per esempio da L:
1,0
0,-1
le matrici simili con similitudine SDS^(-1) (dove D è unitaria
diagonale) formano una varietà con la stessa dimensione di del gruppo
unitario a meno che S non si riduca all'identità.
Quindi direi che siano: Z^n R^(n^2-1).
SweetDreamz
Jan 26, 2013, 2:35:16 PM1/26/13
to
Scusate, non so perché ho scritto che la matrice nulla era una soluzione. :)
Comunque questo esercizio viene presentato molto prima della teoria sui determinanti e sugli autovalori, quindi preferirei ottenere una soluzione che non ne faccia uso. ;)
Adesso riprovo a fare l'esercizio, se riesco a trovare una soluzione la condivido!
Comunque questo esercizio viene presentato molto prima della teoria sui determinanti e sugli autovalori, quindi preferirei ottenere una soluzione che non ne faccia uso. ;)
Adesso riprovo a fare l'esercizio, se riesco a trovare una soluzione la condivido!
El Filibustero
Jan 26, 2013, 3:18:16 PM1/26/13
to
On Sat, 26 Jan 2013 17:42:43 +0000, SweetDreamz wrote:
>Un esercizio del mio libro di algebra chiede quante sono tutte le [vedi titolo] di ordine n.
matrici su che anello? se l'anello e' il campo dei numeri complessi, mi
>Un esercizio del mio libro di algebra chiede quante sono tutte le [vedi titolo] di ordine n.
sembra che la domanda non abbia tanto senso, in quanto gia' per n=2 abbiamo
infinite matrici del genere:
0 exp(it)
exp(-it) 0
per ogni t reale. Non e' che le matrici sono sull'anello degli interi di
Gauss? Ciao
SweetDreamz
Jan 26, 2013, 3:31:59 PM1/26/13
to
Ok, credo di esserci quasi riuscito:
Dopo aver dimostrato che
(1) se la matrice U è unitaria ed hermitiana la matrice P = 1/2 (I - U) soddisfa P = P(h - trasposta) e P = PP;
(2) se la matrice P è hermitiana e P = PP la matrice U = I - 2P è unitaria ed hermitiana.
ho cercato tutte le matrici P tali che P è hermitiana e P = PP.
Se n = 1,
ci si riduce ai reali e gli unici numeri che coincidono con il loro quadrato sono 0 e 1.
Di conseguenza le matrici 1x1 unitarie ed hermitiane sono U_1 = 1 - 0 e U_2 = 1 - 2;
Se n = 2,
si ottiene che
|a b| * |a b|
|-b c| |-b c|
deve essere uguale a |a b|
|-b c|
costruendo il sistema e sviluppando si ottiene che b = 0, a = 0, a = 1, d = 0, d = 1
in questo caso le matrici P_1, P_2, P_3, P_4 sono rispettivamente
0 0
0 0
1 0
0 0
0 0
0 1
1 0
0 1
da cui si ricavano le matrici U_1, U_2, U_3 e U_4 hermitiane ed unitarie.
Quindi il numero sembrerebbe essere n*2.
Sto provando a fare induzione sull'ordine della matrice ma con scarsi risultati. :-(
Spero di potere avere conferma di quanto scritto e se potete darmi una mano a proseguire l'induzione che mi risulta ostica.
Grazie. :)
Dopo aver dimostrato che
(1) se la matrice U è unitaria ed hermitiana la matrice P = 1/2 (I - U) soddisfa P = P(h - trasposta) e P = PP;
(2) se la matrice P è hermitiana e P = PP la matrice U = I - 2P è unitaria ed hermitiana.
ho cercato tutte le matrici P tali che P è hermitiana e P = PP.
Se n = 1,
ci si riduce ai reali e gli unici numeri che coincidono con il loro quadrato sono 0 e 1.
Di conseguenza le matrici 1x1 unitarie ed hermitiane sono U_1 = 1 - 0 e U_2 = 1 - 2;
Se n = 2,
si ottiene che
|a b| * |a b|
|-b c| |-b c|
deve essere uguale a |a b|
|-b c|
costruendo il sistema e sviluppando si ottiene che b = 0, a = 0, a = 1, d = 0, d = 1
in questo caso le matrici P_1, P_2, P_3, P_4 sono rispettivamente
0 0
0 0
1 0
0 0
0 0
0 1
1 0
0 1
da cui si ricavano le matrici U_1, U_2, U_3 e U_4 hermitiane ed unitarie.
Quindi il numero sembrerebbe essere n*2.
Sto provando a fare induzione sull'ordine della matrice ma con scarsi risultati. :-(
Spero di potere avere conferma di quanto scritto e se potete darmi una mano a proseguire l'induzione che mi risulta ostica.
Grazie. :)
Tetis
Jan 26, 2013, 3:44:04 PM1/26/13
to
SweetDreamz ci ha detto :
> (2) se la matrice P è hermitiana e P = PP la matrice U = I - 2P è unitaria ed
> hermitiana.
In generale no. P = I/2 è hermitiana ma I-2P non lo è. In realtà molto
più semplicemente puoi notare che una matrice hermitiana H è unitaria
se H^2 = 1. Imponi le equazioni e vedi che in dimensione 1 hai 2 sole
matrici 1 e -1. In 2 dimensioni invece ne hai una varietà
bidimensionale
in 3 dimensioni dovrebbero essere 2 varietà di dimensione 6. Ed in
generale n-1 varietà di dimensione n(n-1). Quindi in generale sono
infinite.
Da che libro hai tratto l'esercizio?
> Ok, credo di esserci quasi riuscito:
>
> Dopo aver dimostrato che
>
> (1) se la matrice U è unitaria ed hermitiana la matrice P = 1/2 (I - U)
> soddisfa P = P(h - trasposta) e P = PP;
Ok
>
> Dopo aver dimostrato che
>
> (1) se la matrice U è unitaria ed hermitiana la matrice P = 1/2 (I - U)
> soddisfa P = P(h - trasposta) e P = PP;
> (2) se la matrice P è hermitiana e P = PP la matrice U = I - 2P è unitaria ed
> hermitiana.
più semplicemente puoi notare che una matrice hermitiana H è unitaria
se H^2 = 1. Imponi le equazioni e vedi che in dimensione 1 hai 2 sole
matrici 1 e -1. In 2 dimensioni invece ne hai una varietà
bidimensionale
in 3 dimensioni dovrebbero essere 2 varietà di dimensione 6. Ed in
generale n-1 varietà di dimensione n(n-1). Quindi in generale sono
infinite.
Da che libro hai tratto l'esercizio?
El Filibustero
Jan 26, 2013, 3:45:32 PM1/26/13
to
On Sat, 26 Jan 2013 20:31:59 +0000, SweetDreamz wrote:
>costruendo il sistema e sviluppando si ottiene che b = 0, a = 0, a = 1, d = 0, d = 1
>in questo caso le matrici P_1, P_2, P_3, P_4 sono rispettivamente
>
>0 0
>0 0
>
>1 0
>0 0
>
>0 0
>0 1
>
>1 0
>0 1
>
>da cui si ricavano le matrici U_1, U_2, U_3 e U_4 hermitiane ed unitarie.
>
>Quindi il numero sembrerebbe essere n*2.
>Sto provando a fare induzione sull'ordine della matrice ma con scarsi risultati. :-(
Pare che ti interessino solo le matrici reali *diagonali*, che sono per
>costruendo il sistema e sviluppando si ottiene che b = 0, a = 0, a = 1, d = 0, d = 1
>in questo caso le matrici P_1, P_2, P_3, P_4 sono rispettivamente
>
>0 0
>0 0
>
>1 0
>0 0
>
>0 0
>0 1
>
>1 0
>0 1
>
>da cui si ricavano le matrici U_1, U_2, U_3 e U_4 hermitiane ed unitarie.
>
>Quindi il numero sembrerebbe essere n*2.
>Sto provando a fare induzione sull'ordine della matrice ma con scarsi risultati. :-(
forza hermitiane. Allora in questo caso le unitarie sono ovviamente 2^n,
una diagonale di 1 o -1 con segno scelto arbitrariamente posto per posto:
+-1 0 0 .... 0
0 +-1 0 .... 0
0 0 +-1 .....0
....
0...............+-1
Ciao
SweetDreamz
Jan 26, 2013, 3:56:39 PM1/26/13
to
Il libro si chiama "Algebra Lineare" di E. Gregorio - L. Salce.
Perché no? :)
Io sono riuscito a dimostrarlo e penso sia corretto:
Se P = Ph (per Ph intendo l'h-trasposta di P) e P = PP devo dimostrare che
(I - 2P)h * (I - 2P) = I = (I - 2P) * (I - 2P)h
sviluppando ottengo:
(I - 2P) ^ 2 = I = (I - 2P) ^ 2 (in quanto P = Ph)
(I - 2P)^2 = I*I - 2*I*2P + 4P*P = -4P + 4P + I = I (in quanto P = PP)
e ho dimostrato che U = (I - 2P) è unitaria. Per quanto riguarda che U sia hermitiana
(I - 2P)h = I - 2Ph = I - 2P (in quanto P = Ph)
mi sembra sia corretto. ;)
Perché no? :)
Io sono riuscito a dimostrarlo e penso sia corretto:
Se P = Ph (per Ph intendo l'h-trasposta di P) e P = PP devo dimostrare che
(I - 2P)h * (I - 2P) = I = (I - 2P) * (I - 2P)h
sviluppando ottengo:
(I - 2P) ^ 2 = I = (I - 2P) ^ 2 (in quanto P = Ph)
(I - 2P)^2 = I*I - 2*I*2P + 4P*P = -4P + 4P + I = I (in quanto P = PP)
e ho dimostrato che U = (I - 2P) è unitaria. Per quanto riguarda che U sia hermitiana
(I - 2P)h = I - 2Ph = I - 2P (in quanto P = Ph)
mi sembra sia corretto. ;)
Enrico Gregorio
Jan 26, 2013, 4:40:22 PM1/26/13
to
SweetDreamz <ubk27vu2d9vvdgpk...@user.narkive.com> scrive:
> Un esercizio del mio libro di algebra chiede quante sono tutte le [vedi
> titolo] di ordine n.
>
> Ho trovato la matrice nulla e l'identit� e risolvendo gli esercizi precedenti
hermitiana significa dire che A = A^H.
Dunque le tue matrici sono matrici hermitiane che, elevate al
quadrato danno l'identit�. Siccome una matrice unitaria
(o hermitiana) � sempre unitariamente diagonalizzabile, avrai
una D diagonale e una U unitaria tali che
A = U D U^H
A^H = U D^H U^H
Dunque D = D^H e D^2 = I, quindi i coefficienti diagonali
di D sono solo 1 e -1.
Viceversa, data una matrice diagonale D tale che tutti
i coefficienti sulla diagonale siano 1 o -1, per ogni
matrice unitaria U, A = UDU^H soddisfa la condizione.
Ciao
Enrico
> Un esercizio del mio libro di algebra chiede quante sono tutte le [vedi
> titolo] di ordine n.
>
> dovrebbero essere anche le matrici del tipo
>
> I - 2P con P hermitiana e PP = P.
>
> Mi viene il dubbio che solo la matrice nulla e quella identit� soddisfano le
>
> I - 2P con P hermitiana e PP = P.
>
> due condizioni (P hermitiana e PP = P).
Dire che A � unitaria significa dire che AA^H = I; dire che �
hermitiana significa dire che A = A^H.
Dunque le tue matrici sono matrici hermitiane che, elevate al
quadrato danno l'identit�. Siccome una matrice unitaria
(o hermitiana) � sempre unitariamente diagonalizzabile, avrai
una D diagonale e una U unitaria tali che
A = U D U^H
A^H = U D^H U^H
Dunque D = D^H e D^2 = I, quindi i coefficienti diagonali
di D sono solo 1 e -1.
Viceversa, data una matrice diagonale D tale che tutti
i coefficienti sulla diagonale siano 1 o -1, per ogni
matrice unitaria U, A = UDU^H soddisfa la condizione.
Ciao
Enrico
Tetis
Jan 26, 2013, 4:47:14 PM1/26/13
to
SweetDreamz ha usato la sua tastiera per scrivere :
proiettore. Il sistema che caratterizza le matrici simmetriche P tali
che P^2 = P è, per P = {{a,b},{b*,c}}
a^2 + |b|^2 = a
|b|^2 + c^2 = c
(a+c)b=b
dalla terza, se b è non nullo: risulta a = 1-c quindi la prima
equazione diventa:
(1-c)^2 + |b|^2 = 1-c
da cui:
c^2 + |b|^2 = c
che equivale alla seconda, cioè abbiamo due sole equazioni indipendenti
ed in definitiva le matrici non diagonali cercate le troviamo
imponendo:
|b|^2 = a - a^2
c = - a
ne risulta una famiglia a due parametri di matrici idempotenti
hermitiane in cui c = -a mentre b = sqrt(a-a^2) e^(iz).
E quindi una famiglia a due parametri di matrici unitarie simmetriche,
Torniamo ora ai casi diagonali. Se b = 0 risulta a \in {0,1} e b \in
{0,1} e quindi le quattro matrici che hai scritto anche tu a cui
corrispondono come matrici unitarie simmetriche:
-1 0
0 -1
1 0
0 1
1 0
0 -1
-1 0
0 1
in particolare a parte le due matrici isolate (l'identità e l'opposta)
le altre due sono in realtà due punti particolari ottenuti per a = 1 ed
a = 0 della varietà bidimensionale di matrici che ho descritto pocanzi.
In generale hai sempre due matrici isolate e poi n-1 distinte superfici
di dimensione n(n-1).
Tetis
Jan 26, 2013, 5:06:08 PM1/26/13
to
Tetis ha usato la sua tastiera per scrivere :
> altre due sono in realtￜ due punti particolari ottenuti per a = 1 ed a = 0
> della varietￜ bidimensionale di matrici che ho descritto pocanzi.
U(n) che si ottengono imponendo il vincolo di hermiticitￜ siano
regolari? Puￜ darsi sia vero. Questo significherebbe che per ogni H
connessa ad una matrice diagonale D involutiva (D^2=I) dovrebbe
esistere una varietￜ n dimensionale di matrici unitarie S per cui
risulta SDS^(-1) = H, come dimostrarlo?
> SweetDreamz ha usato la sua tastiera per scrivere :
> Hai ragione, non avevo notato che imponevi la condizione che P ￜ un
> proiettore. Il sistema che caratterizza le matrici simmetriche P tali che
> P^2 = P ￜ, per P = {{a,b},{b*,c}}
>
> a^2 + |b|^2 = a
> |b|^2 + c^2 = c
> (a+c)b=b
>
> dalla terza, se b ￜ non nullo: risulta a = 1-c quindi la prima equazione
> a^2 + |b|^2 = a
> |b|^2 + c^2 = c
> (a+c)b=b
>
> diventa:
>
> (1-c)^2 + |b|^2 = 1-c
>
> da cui:
>
> c^2 + |b|^2 = c
>
> che equivale alla seconda, cioￜ abbiamo due sole equazioni indipendenti ed
>
> (1-c)^2 + |b|^2 = 1-c
>
> da cui:
>
> c^2 + |b|^2 = c
>
> in definitiva le matrici non diagonali cercate le troviamo imponendo:
>
> |b|^2 = a - a^2
> c = - a
>
> ne risulta una famiglia a due parametri di matrici idempotenti hermitiane
> in cui c = -a mentre b = sqrt(a-a^2) e^(iz).
>
> E quindi una famiglia a due parametri di matrici unitarie simmetriche,
>
>
> Torniamo ora ai casi diagonali. Se b = 0 risulta a \in {0,1} e b \in {0,1}
> e quindi le quattro matrici che hai scritto anche tu a cui corrispondono
> come matrici unitarie simmetriche:
>
>
> -1 0
> 0 -1
>
> 1 0
> 0 1
>
> 1 0
> 0 -1
>
> -1 0
> 0 1
>
> in particolare a parte le due matrici isolate (l'identitￜ e l'opposta) le
>
> |b|^2 = a - a^2
> c = - a
>
> ne risulta una famiglia a due parametri di matrici idempotenti hermitiane
> in cui c = -a mentre b = sqrt(a-a^2) e^(iz).
>
> E quindi una famiglia a due parametri di matrici unitarie simmetriche,
>
>
> Torniamo ora ai casi diagonali. Se b = 0 risulta a \in {0,1} e b \in {0,1}
> e quindi le quattro matrici che hai scritto anche tu a cui corrispondono
> come matrici unitarie simmetriche:
>
>
> -1 0
> 0 -1
>
> 1 0
> 0 1
>
> 1 0
> 0 -1
>
> -1 0
> 0 1
>
> altre due sono in realtￜ due punti particolari ottenuti per a = 1 ed a = 0
> della varietￜ bidimensionale di matrici che ho descritto pocanzi.
>
> In generale hai sempre due matrici isolate e poi n-1 distinte superfici di
> dimensione n(n-1).
Cioￜ stai dicendo che hai cambiato idea e pensi che le sottovarietￜ di
> In generale hai sempre due matrici isolate e poi n-1 distinte superfici di
> dimensione n(n-1).
U(n) che si ottengono imponendo il vincolo di hermiticitￜ siano
regolari? Puￜ darsi sia vero. Questo significherebbe che per ogni H
connessa ad una matrice diagonale D involutiva (D^2=I) dovrebbe
esistere una varietￜ n dimensionale di matrici unitarie S per cui
risulta SDS^(-1) = H, come dimostrarlo?
Enrico Gregorio
Jan 26, 2013, 5:30:56 PM1/26/13
to
SweetDreamz <5yu4rjvvecovnlwv...@user.narkive.com> wrote:
> Il libro si chiama "Algebra Lineare" di E. Gregorio - L. Salce.
Uh. :)
> Il libro si chiama "Algebra Lineare" di E. Gregorio - L. Salce.
Ciao
Enrico
it.scienza.matematica
Jan 27, 2013, 5:44:28 PM1/27/13
to
Che dire, la soluzione dell'autore non me l'aspettavo. :)
Nella prossima stampa del libro potrebbe scriverlo che � compreso il
supporto online. ;)
Quindi il numero delle matrici � 2^n e non n*2 come pensavo. E adesso ha
anche pi� senso il perch� di quella strana formula U = 1/2 (I - 2P)
Grazie.
"Enrico Gregorio" ha scritto nel messaggio
news:260120132240224532%Facile.d...@in.rete.it...
Dire che A � unitaria significa dire che AA^H = I; dire che �
hermitiana significa dire che A = A^H.
Dunque le tue matrici sono matrici hermitiane che, elevate al
quadrato danno l'identit�. Siccome una matrice unitaria
(o hermitiana) � sempre unitariamente diagonalizzabile, avrai
una D diagonale e una U unitaria tali che
A = U D U^H
A^H = U D^H U^H
Dunque D = D^H e D^2 = I, quindi i coefficienti diagonali
di D sono solo 1 e -1.
Viceversa, data una matrice diagonale D tale che tutti
i coefficienti sulla diagonale siano 1 o -1, per ogni
matrice unitaria U, A = UDU^H soddisfa la condizione.
Ciao
Enrico
"Enrico Gregorio" ha scritto nel messaggio
news:260120132330566537%Facile.d...@in.rete.it...
Uh. :)
Ciao
Enrico
Nella prossima stampa del libro potrebbe scriverlo che � compreso il
supporto online. ;)
Quindi il numero delle matrici � 2^n e non n*2 come pensavo. E adesso ha
anche pi� senso il perch� di quella strana formula U = 1/2 (I - 2P)
Grazie.
"Enrico Gregorio" ha scritto nel messaggio
news:260120132240224532%Facile.d...@in.rete.it...
Dire che A � unitaria significa dire che AA^H = I; dire che �
hermitiana significa dire che A = A^H.
Dunque le tue matrici sono matrici hermitiane che, elevate al
quadrato danno l'identit�. Siccome una matrice unitaria
(o hermitiana) � sempre unitariamente diagonalizzabile, avrai
una D diagonale e una U unitaria tali che
A = U D U^H
A^H = U D^H U^H
Dunque D = D^H e D^2 = I, quindi i coefficienti diagonali
di D sono solo 1 e -1.
Viceversa, data una matrice diagonale D tale che tutti
i coefficienti sulla diagonale siano 1 o -1, per ogni
matrice unitaria U, A = UDU^H soddisfa la condizione.
Ciao
Enrico
news:260120132330566537%Facile.d...@in.rete.it...
Uh. :)
Ciao
Enrico
SweetDreamz
Jan 27, 2013, 5:49:07 PM1/27/13
to
Scusate la confusione, ho fatto un po' di caos con i newsreader. ;)
Già
Jan 27, 2013, 5:53:45 PM1/27/13
to
it.scienza.matematica ha detto questo domenica :
> online. ;)
>
>
> Quindi il numero delle matrici ￜ 2^n e non n*2 come pensavo.
E da quale passo del prof. Enrico Gregorio si puￜ desumere questa tua
conclusione?
> Dunque D = D^H e D^2 = I, quindi i coefficienti diagonali
> di D sono solo 1 e -1.
Qual'era la domanda del testo per l'esattezza?
> Che dire, la soluzione dell'autore non me l'aspettavo. :)
>
> Nella prossima stampa del libro potrebbe scriverlo che ￜ compreso il supporto
>
> online. ;)
>
>
> Quindi il numero delle matrici ￜ 2^n e non n*2 come pensavo.
E da quale passo del prof. Enrico Gregorio si puￜ desumere questa tua
conclusione?
> Dunque D = D^H e D^2 = I, quindi i coefficienti diagonali
> di D sono solo 1 e -1.
Già
Jan 27, 2013, 5:56:06 PM1/27/13
to
SweetDreamz ha usato la sua tastiera per scrivere :
Il libro si chiama "Algebra Lineare" di E. Gregorio - L. Salce.
Perchￜ no? :)
Il libro si chiama "Algebra Lineare" di E. Gregorio - L. Salce.
Io sono riuscito a dimostrarlo e penso sia corretto:
Se P = Ph (per Ph intendo l'h-trasposta di P) e P = PP devo dimostrare
che
(I - 2P)h * (I - 2P) = I = (I - 2P) * (I - 2P)h
sviluppando ottengo:
(I - 2P) ^ 2 = I = (I - 2P) ^ 2 (in quanto P = Ph)
(I - 2P)^2 = I*I - 2*I*2P + 4P*P = -4P + 4P + I = I (in quanto P = PP)
sia hermitiana
(I - 2P)h = I - 2Ph = I - 2P (in quanto P = Ph)
mi sembra sia corretto. ;)
Tetis answered:
(I - 2P)h = I - 2Ph = I - 2P (in quanto P = Ph)
mi sembra sia corretto. ;)
Hai ragione, non avevo notato che imponevi la condizione che P ￜ un
proiettore. Il sistema che caratterizza le matrici simmetriche P tali
che P^2 = P ￜ, per P = {{a,b},{b*,c}}
a^2 + |b|^2 = a
b|^2 + c^2 = c
(a+c)b=b
equazione diventa:
(1-c)^2 + |b|^2 = 1-c
da cui:
c^2 + |b|^2 = c
che equivale alla seconda, cioￜ abbiamo due sole equazioni indipendenti
(1-c)^2 + |b|^2 = 1-c
da cui:
c^2 + |b|^2 = c
ed in definitiva le matrici non diagonali cercate le troviamo
imponendo:
b|^2 = a - a^2
c = - a
ne risulta una famiglia a due parametri di matrici idempotenti
hermitiane in cui c = -a mentre b = sqrt(a-a^2) e^(iz).
E quindi una famiglia a due parametri di matrici unitarie simmetriche,
Torniamo ora ai casi diagonali. Se b = 0 risulta a \in {0,1} e b \in
{0,1} e quindi le quattro matrici che hai scritto anche tu a cui
corrispondono come matrici unitarie simmetriche:
-1 0
0 -1
1 0
0 1
1 0
0 -1
-1 0
0 1
in particolare a parte le due matrici isolate (l'identitￜ e l'opposta)
imponendo:
b|^2 = a - a^2
c = - a
ne risulta una famiglia a due parametri di matrici idempotenti
hermitiane in cui c = -a mentre b = sqrt(a-a^2) e^(iz).
E quindi una famiglia a due parametri di matrici unitarie simmetriche,
Torniamo ora ai casi diagonali. Se b = 0 risulta a \in {0,1} e b \in
{0,1} e quindi le quattro matrici che hai scritto anche tu a cui
corrispondono come matrici unitarie simmetriche:
-1 0
0 -1
1 0
0 1
1 0
0 -1
-1 0
0 1
le altre due sono in realtￜ due punti particolari ottenuti per a = 1 ed
a = 0 della varietￜ bidimensionale di matrici che ho descritto pocanzi.
In generale hai sempre due matrici isolate e poi n-1 distinte superfici
di dimensione n(n-1).
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