Terzo principio di Newton, deduzione dal principio di relatività galileiano?

[Piero Vico]

Premetto che se qualcuno ha letto l'Arnold "metodi matematici etc..",
la mia domanda è in quest'ambito, precisamente i primi 3 capitoli, non
ancora il 4 dove ci sara il T. di Noether.

Per dimostrare la conservazione della quantità di moto, a p.48 usa il
fatto sperimentale del 3° principio. Ma non è ridondante? C'è già la
relatività di Galileo, enunciata sin dalle prime pagine, che determina
per un sistema meccanico potenziale una dipendenza dalle coordinate
dei punti del tipo U(|Xi-Xj|), quindi dalla divergenza segue che
Fij=Fji. Ho però anche un altro dubbio: la U si ricava dall'integrale
di un campo di forze centrale che è per sua natura conservativo. Si
assume però che Uij(|Xi-Xj|)=Uji(|Xi-Xj|) dal fatto che i punti sono
identici. In un esempio fisico come il campo gravitazionale invece è
funzione della massa. Se la Fij fosse funzione non del prodotto delle
due masse, ma di una sola, in presenza di due punti di massa diversa
di avrebbe Fij diverso da Fji, e di conseguenza anche U. Quindi mi
pare che qui entri in gioco il fatto sperimentale del 3° principio.
Quindi riassumendo per determinare la U di un sistema meccanico
potenziale, bisogna fare necessariamente uso del 3° principio? Oppure
è possibile dimostrarlo in qualche modo tramite la relativtà
galileiana? (sempre facendo uso delle nozioni dei primi tre capitoli).

[Marco]

Piero Vico wrote:

> Premetto che se qualcuno ha letto l'Arnold "metodi matematici etc..", la
> mia domanda è in quest'ambito, precisamente i primi 3 capitoli, non
> ancora il 4 dove ci sara il T. di Noether.
>
> Per dimostrare la conservazione della quantità di moto, a p.48 usa il
> fatto sperimentale del 3° principio. Ma non è ridondante? C'è già la
> relatività di Galileo, enunciata sin dalle prime pagine, che determina
> per un sistema meccanico potenziale una dipendenza dalle coordinate dei
> punti del tipo U(|Xi-Xj|), quindi dalla divergenza segue che Fij=Fji.

E se il sistema non e' meccanico, ovvero non ammette potenziale, il terzo
principio vale ancora oppure no?

[Piero Vico]

Non mi interessa se valga o no il terzo principio, e non divaghiamo
oltre i sistemi potenziali.

[Yoda]

Addi' 24 apr 2012, Piero Vico scrive:

> Ho però anche un altro dubbio: la U si ricava dall'integrale
> di un campo di forze centrale che è per sua natura conservativo.

Un campo di forze centrali non sempre e' conservativo, hai letto male,
l'Arnold non puo' certamente dirlo.

--
Tanti saluti

[Giorgio Bibbiani]

Yoda ha scritto:

> Un campo di forze centrali non sempre e' conservativo,

Non ho capito cosa intendi, puoi spiegare con un esempio?
Grazie.

Ciao
--
Giorgio Bibbiani

[superpollo]

Giorgio Bibbiani ha scritto:

> Yoda ha scritto:
>> Un campo di forze centrali non sempre e' conservativo,
>
> Non ho capito cosa intendi, puoi spiegare con un esempio?

...

anche secondo me ha detto una minchiata: un campo di f. centrali e'
NECESSARIAMENTE conservativo.

bye

--
>> Non vedi che si puo' dimostrare che 0/0=1.
>> Cosa vuoi che ti faccio se non vedi ??
> Che me lo dimostri.
Non si puo', se non vedi non vedi e basta.

[Yoda]

Addi' 24 apr 2012, Giorgio Bibbiani scrive:

> Yoda ha scritto:

>> Un campo di forze centrali non sempre e' conservativo,

> Non ho capito cosa intendi, puoi spiegare con un esempio?

Se la forza, oltre che centrale cioe' solo posizionale, deriva da un
potenziale, allora il campo e' conservativo e in aggiunta alla costanza
delle aree, caratteristica delle ff. centrali, si ha anche l'integrale
dell'energia: 1/2 mv^2 - U = E.

--
Tanti saluti

[Marco]

Yoda wrote:

> Addi' 24 apr 2012, Piero Vico scrive:
>
>> Ho però anche un altro dubbio: la U si ricava dall'integrale di un
>> campo di forze centrale che è per sua natura conservativo.
>
> Un campo di forze centrali non sempre e' conservativo

Cazzata.
Facile dimostrazione.

[Marco]

Piero Vico wrote:

>> E se il sistema non e' meccanico, ovvero non ammette potenziale, il
>> terzo principio vale ancora oppure no?
>
> Non mi interessa se valga o no il terzo principio, e non divaghiamo
> oltre i sistemi potenziali.

E ti avevo pure indirizzato sulla risposta, eh.

Invece ti deve interessare.
Vale eccome. Ecco perche' non puoi ricavarlo a quel modo dal secondo.

[Giorgio Bibbiani]

Yoda ha scritto:

> Se la forza, oltre che centrale cioe' solo posizionale, deriva da un
> potenziale, allora il campo e' conservativo e in aggiunta alla
> costanza delle aree, caratteristica delle ff. centrali, si ha anche
> l'integrale dell'energia: 1/2 mv^2 - U = E.

Se la forza e' centrale allora deriva da un potenziale (ovviamente
si ipotizza che il campo di forza sia continuo sul dominio di
definizione).

Ciao
--
Giorgio Bibbiani

[superpollo]

Yoda ha scritto:

> Addi' 24 apr 2012, Giorgio Bibbiani scrive:
>> Yoda ha scritto:
>
>>> Un campo di forze centrali non sempre e' conservativo,
>
>> Non ho capito cosa intendi, puoi spiegare con un esempio?
>
> Se la forza, oltre che centrale cioe' solo posizionale, deriva da un
> potenziale, allora il campo e' conservativo

fai per favore un esempio di forza centrale NON conservativa?

[Giorgio Bibbiani]

Giorgio Bibbiani ha scritto:

> (ovviamente
> si ipotizza che il campo di forza sia continuo sul dominio di
> definizione).

O comunque integrabile, anche se non necessariamente continuo.

Ciao
--
Giorgio Bibbiani

[Piero Vico]

Avevo premesso che uso come riferimento l'Arnold, cioè limito il
discorso ai sistemi potenziali, e non so come ricavarlo. Quello che ho
scritto è inconsistente, non mi pare di aver ricavato un bel niente
neanche per i sistemi potenziali.

[Yoda]

Addi' 24 apr 2012, Giorgio Bibbiani scrive:

Allora dipende dalla definizione di forza centrale, in effeti ora
ricordo che alcuni definiscono centrale una forza la quale, oltre a
essere diretta sempre verso il centro, ha anche modulo dipendente solo
dalla disanza dal centro. In questo caso ovviamente da f = f(r) si
ottiene sempre U = U(r) = Int[ f(r) dr ].
Io mi riferivo a questa: OP vettore f = 0, come caratteristica dei moti
centrali.

--
Tanti saluti

[El Filibustero]

On Tue, 24 Apr 2012 15:56:43 +0000 (UTC), Yoda wrote:

>>> Un campo di forze centrali non sempre e' conservativo,
>
>> Non ho capito cosa intendi, puoi spiegare con un esempio?
>
>Se la forza, oltre che centrale cioe' solo posizionale,

Campo di forza centrale significa (comunemente):

1) la forza e' diretta sempre verso un punto fisso C detto centro
2) il modulo della forza sui punti di una sfera di centro C e' costante, o,
in altri termini, il modulo di F dipende solo dalla distanza r da C e non
dalla posizione rispetto a C.

>deriva da un potenziale,

deriva sempre dal potenziale V:

V(r2)-V(r1) = integrale{dr=r1..r2} F(r) dr

a meno che tu non definisca "forza centrale" senza la condizione 2), nel
qual caso si puo' avere un campo di forze dirette verso un centro ma non
conservativo. Ciao

[superpollo]

Yoda ha scritto:

> Addi' 24 apr 2012, Giorgio Bibbiani scrive:
>> Yoda ha scritto:
>
>>> Se la forza, oltre che centrale cioe' solo posizionale, deriva da un
>>> potenziale, allora il campo e' conservativo e in aggiunta alla
>>> costanza delle aree, caratteristica delle ff. centrali, si ha anche
>>> l'integrale dell'energia: 1/2 mv^2 - U = E.
>
>> Se la forza e' centrale allora deriva da un potenziale (ovviamente
>> si ipotizza che il campo di forza sia continuo sul dominio di
>> definizione).
>
> Allora dipende dalla definizione di forza centrale, in effeti ora
> ricordo che alcuni definiscono centrale una forza la quale, oltre a
> essere diretta sempre verso il centro, ha anche modulo dipendente solo
> dalla disanza dal centro.

alcuni?

c'e' qualcheduno che NON usa questa come definizione di f.c.?

[Giorgio Bibbiani]

Giorgio Bibbiani ha scritto:
>> (ovviamente
>> si ipotizza che il campo di forza sia continuo sul dominio di
>> definizione).
> O comunque integrabile, anche se non necessariamente continuo.

Avevo in mente il caso fisico della discontinuita' del campo
elettrostatico sulla superficie di un conduttore ideale, campo per
cui si definisce ovunque un potenziale, in effetti in questo caso pero'
il gradiente del potenziale non risulterebbe definito in corrispondenza
della discontinuita' del campo, e sarebbe anche difficile dare un
significato fisico al campo ove questo risultasse discontinuo, quindi
e' meglio limitarsi a considerare il dominio aperto in cui il campo
centrale e' anche continuo, per quanto riguarda la conservativita'
(nel caso visto sopra la superficie del conduttore non farebbe
parte del dominio del campo).
In termini fisici accade che in prossimita' della superficie del
conduttore il campo macroscopico varia molto rapidamente
ma sempre in modo continuo.

Ciao
--
Giorgio Bibbiani

[Marco]

Mi sa che parliamo lingue diverse. Il terzo principio non si ricava dai
primi due, altrimenti che principio sarebbe? Certamente Arnold non dice
questo.

[Tetis]

Stai confondendo centrali con radiali? Un campo centrale è invariante
per rotazioni, la conservatività si riduce all'osservazione che in una
dimensione ogni campo è conservativo.

[Piero Vico]

Sì, ho frainteso "non puoi ricavarlo a quel modo dal secondo". Per
"secondo" pensavo ti riferissi al principio di galileo. Ricapitolando,
la questione riguarda i sistemi potenziali, e come usare il principio
di galileo al posto del terzo di Newton per arrivare a dimostrare la
conservazione dell'impulso in un sistema di punti materiali chiuso, in
cui sul punto i agisce una forza Fij dovuta al punto j. Newton direbbe
che, per il suo principio, la forza Fij è necessariamente uguale ed
opposta a Fji, in base a fatti sperimentali. E' possibile dedurre ciò
partendo dal principio di Galileo?

[Piero Vico]

E' banale, il lavoro dipende solo dalla distanza dal centro. Stiamo
parlando di punti materiali. Il sistema è invariante rispetto al
gruppo delle rotazioni dello spazio (trasformata galileiana), quindi
la F non può che essere diretta al centro.
Ti indico la pagina: p.35

[Yoda]

Addi' 24 apr 2012, Giorgio Bibbiani scrive:

Si', e sempre continuando ad ampliare il discorso, al contrario anche
la forza magnetica, generata da un filo rettilineo percorso da corrente
di intensita' costante, e' posizionale, deriva da un potenziale, ma non
e' certo conservativa.

--
Tanti saluti

[Piero Vico]

On Apr 24, 6:27 pm, Yoda <y...@pippo.invalid> wrote:
>
> Allora dipende dalla definizione di forza centrale, in effeti ora
> ricordo che alcuni definiscono centrale una forza la quale, oltre a
> essere diretta sempre verso il centro, ha anche modulo dipendente solo
> dalla disanza dal centro.

No, questo si dimostra dalla definizione di campo centrale, che è
un'altra:
campo vettoriale nello spazio euclideo E^n con centro O, invariante
rispetto al gruppo dei movimenti dello spazio che lasciano fisso il
punto O.

[Giorgio Bibbiani]

Yoda ha scritto:

FOLLOW-UP: free.it.scienza.fisica

> Si', e sempre continuando ad ampliare il discorso, al contrario anche
> la forza magnetica, generata da un filo rettilineo percorso da
> corrente di intensita' costante, e' posizionale, deriva da un
> potenziale, ma non e' certo conservativa.

La "forza magnetica" che agisce su una carica puntiforme non
e' posizionale e non deriva da un potenziale...
Se intendevi invece "campo magnetico", allora questo risultera'
conservativo, in quanto irrotazionale, in domini che siano
semplicemente connessi, quindi che non "circondino" la
corrente rettilinea.

Ciao
--
Giorgio Bibbiani

[Marco]

Attenzione. Se il sistema e' invariante per traslazioni spaziali, allora
l'impulso si conserva. Ma se c'e' un potenziale o in generale una forza
che agisce allora il sistema *non e'* invariante per traslazioni.
Considera la Terra sola nell'universo: la sposti dove vuoi, il suo impulso
non cambia. Ma se ci aggiungi la Luna non puoi muoverla dove vuoi e
sperare che l'impulso resti invariato: c'e' la forza di gravita' fra le
due. Infatti dp/dt = F = -Gmm'/r^2 + l^2/(2mr), non e' zero.

In breve: ci sono i 3 principi di Newton, validi in un sistema inerziale.
Poi ci sono (se ci sono) le invarianze che portano a quantita' conservate
(teorema di Noether).
Invarianza per traslazioni spaziali -> conservo l'impulso
Invarianza per rotazioni -> conservo il momento angolare
Invarianza per traslazioni temporali -> conservo l'energia.

[Piero Vico]

Attenzione, se permetti, lo dico io :P
1) Ho specificato sistema di punti materiali CHIUSO, cioè no forze
esterne.
2) Ho premesso di non usare Noether nel mio primo post.
Il sistema è invariante per traslazioni spaziali, quindi conserva
l'impulso, e cercavo una DIMOSTRAZIONE semplice, se esiste, senza
l'uso del 3* principio.

Nota:
I 3 principi Newton se li utilizza nel SUO spazio, che è assoluto, non
inerziale, altrimenti avrebbe dovuto usare anche il principio di
relatività galileiano...troppi principi :P

[Yoda]

Addi' 24 apr 2012, Giorgio Bibbiani scrive:

> Yoda ha scritto:

> FOLLOW-UP: free.it.scienza.fisica

Scusa ma l'ho evitato, non si capisce piu' nulla, altrimenti, e poi
tanto non ho piu' tempo, ora concludo.

>> Si', e sempre continuando ad ampliare il discorso, al contrario anche
>> la forza magnetica, generata da un filo rettilineo percorso da
>> corrente di intensita' costante, e' posizionale, deriva da un
>> potenziale, ma non e' certo conservativa.

> La "forza magnetica" che agisce su una carica puntiforme non
> e' posizionale e non deriva da un potenziale...
> Se intendevi invece "campo magnetico", allora questo risultera'
> conservativo, in quanto irrotazionale, in domini che siano
> semplicemente connessi, quindi che non "circondino" la
> corrente rettilinea.

Saro' telegrafico tanto sei bravissimo e mi segui di certo.

Questa e' la forza: f=f(P) = k (i u x OP)/r^2, essa diveta conservativa
se priviamo lo spazio d'un semipiano per l'asse del filo, cioe' la
retta del versore u.

--
Tanti saluti

[Yoda]

Addi' 24 apr 2012, El Filibustero scrive:

Si' grazie ma l'avevo gia' chiarito a Giorgio che ci son definizioni
non sempre uguali, personalmente preferisco questa: F vettore OP = 0,
e ad esempio ho visto adesso che anche nell'Halliday-Resnick adottano
questa stessa.

--
Tanti saluti

[Giorgio Bibbiani]

Yoda ha scritto:
>> FOLLOW-UP: free.it.scienza.fisica
> Scusa ma l'ho evitato, non si capisce piu' nulla, altrimenti, e poi
> tanto non ho piu' tempo, ora concludo.

OK, concludo l'OT anch'io con questo ultimo messaggio.

> Questa e' la forza: f=f(P) = k (i u x OP)/r^2, essa diveta
> conservativa

La formula appare sbagliata, se OP e' il raggio vettore e u
la velocita' della particella e x il prodotto vettore, in ogni
caso la forza non risulta conservativa in quanto viene a
dipendere dalla velocita' della particella, quindi non
costituisce un _campo di forza_, che dovrebbe essere
per definizione solo funzione del punto.

Ciao
--
Giorgio Bibbiani

[Tommaso Russo, Trieste]

Il 24/04/2012 18:29, superpollo ha scritto:
> Yoda ha scritto:

>> Allora dipende dalla definizione di forza centrale, in effeti ora
>> ricordo che alcuni definiscono centrale una forza la quale, oltre a
>> essere diretta sempre verso il centro, ha anche modulo dipendente solo
>> dalla disanza dal centro.
>
> alcuni?
> c'e' qualcheduno che NON usa questa come definizione di f.c.?

Parecchi. Ho incontrato piu' volte la distinzione fra "forza centrale" e
"forza centrale che dipende solo dal modulo del raggio".


Per esempio, qui la distinzione e' rimarcata:
http://www-3.unipv.it/fis/fisica1A_ca/appunti/cap5.pdf

"le forze centrali conservano il momento angolare.
Inoltre, una forza centrale che dipende solo dalla distanza r dal centro
O (come quelle elettriche e gravitazionale) è anche conservativa."


Se cercate via Google, i primi risultati sono una "best answer" di yahoo:

“Forze centrali”, sono definite quelle forze che agiscono su un corpo in
modo che la loro retta d’azione sia sempre diretta verso un punto ben
definito dello spazio detto “centro” della forza.

e Wikipedia:

Una forza è detta centrale di centro O se è sempre diretta come la
congiungente tra un punto materiale P, che si muove nello spazio sotto
l'azione della forza, e il centro fisso O.

(peccato che poi Wikipedia proceda affermando che "una forza centrale
può essere rappresentata da una funzione della distanza r dal centro".
Serebbe il caso di risistemare la voce per renderla coerente, in un modo
o nell'altro, o magari riportando entrambe le definizioni)

La pagina inglese di Wikipedia riporta invece la definizione con la
dipendenza funzionale dal solo raggio:

In classical mechanics, a central force is a force whose magnitude only
depends on the distance r of the object from the origin and is directed
along the line joining them.


Si dimostra una volta di piu' che *nessuna* definizione puo' essere
considerata universalmente accettata e condivisa, e che andrebbe sempre
richiamata, sopratutto quando se ne deducono proprieta' che dalla
definizione dipendono.


--
TRu-TS
Buon vento e cieli sereni

[Yoda]

Addi' 24 apr 2012, Giorgio Bibbiani scrive:
> Yoda ha scritto:

>> Questa e' la forza: f=f(P) = k (i u x OP)/r^2, essa diveta
>> conservativa

> La formula appare sbagliata, se OP e' il raggio vettore e u
> la velocita' della particella e x il prodotto vettore, in ogni

No, u e' il versore del filo, Biot-Savart.

--
Tanti saluti

[Giorgio Bibbiani]

Yoda ha scritto:
>>> Questa e' la forza: f=f(P) = k (i u x OP)/r^2, essa diveta
>>> conservativa
>> La formula appare sbagliata, se OP e' il raggio vettore e u
>> la velocita' della particella e x il prodotto vettore, in ogni
> No, u e' il versore del filo, Biot-Savart.

Allora non e' la *forza* magnetica che agirebbe su una
particella carica, ma il *campo magnetico*!

Ciao
--
Giorgio Bibbiani

[Tetis]

On 24/04/2012 15:35, Piero Vico wrote:
> Premetto che se qualcuno ha letto l'Arnold "metodi matematici etc..",
> la mia domanda è in quest'ambito, precisamente i primi 3 capitoli, non
> ancora il 4 dove ci sara il T. di Noether.
>
> Per dimostrare la conservazione della quantità di moto, a p.48 usa il
> fatto sperimentale del 3° principio. Ma non è ridondante? C'è già la
> relatività di Galileo, enunciata sin dalle prime pagine, che determina
> per un sistema meccanico potenziale una dipendenza dalle coordinate
> dei punti del tipo U(|Xi-Xj|), quindi dalla divergenza segue che
> Fij=Fji.

come c'entra la divergenza?

Ho però anche un altro dubbio: la U si ricava dall'integrale
> di un campo di forze centrale che è per sua natura conservativo.

Le forze di interazione che dipendono solo dalla distanza relativa non
costituiscono propriamente un campo di forze centrale, Un campo di forze
è una funzione vettoriale della posizione che rappresenta la forza che
agisce su un punto materiale ivi collocato, diversamente in un sistema
di punti interagenti se è vero che un punto materiale collocato in un
punto genera un campo centrale di forze non è vero che nel complesso il
sistema di punti genera un campo di forze centrale.


>Si assume però che Uij(|Xi-Xj|)=Uji(|Xi-Xj|) dal fatto che i punti sono
> identici.

no si è autorizzati a definire una funzione dotata di questa proprietà,
questa funzione è definita come l'integrale radiale della forza di
interazione fra due punti, dal fatto che le forze obbediscono il terzo
principio, discende la simmetria della funzione, dal fatto che il
gradiente parziale della somma di questi contributi descrive la forza si
deduce che un sistema di punti interagenti tramite forze simmetriche,
radiali e che dipendono solo dalla distanza è un sistema potenziale. E'
un modo di esplicitare il principio di sovrapposizione lineare degli
effetti.


> In un esempio fisico come il campo gravitazionale invece è
> funzione della massa. Se la Fij fosse funzione non del prodotto delle
> due masse, ma di una sola, in presenza di due punti di massa diversa
> di avrebbe Fij diverso da Fji,

esatto

> e di conseguenza anche U.

no: e di conseguenza la funzione Uij definita come suddetto non sarebbe
simmetrica e non definirebbe la funzione potenziale delle forze di
interazione.


> Quindi mi pare che qui entri in gioco il fatto sperimentale del 3° principio.

Esattamente: il sistema newtoniano:

R1''=F1(R1-R2)
R2''=F2(R2-R1)

è invariante per trasformazioni galileiane, ma non sempre verifica il 3°
principio.

> Quindi riassumendo per determinare la U di un sistema meccanico
> potenziale, bisogna fare necessariamente uso del 3° principio?

Un sistema meccanico potenziale simmetrico per trasformazioni galileiane
verifica anche il 3° principio. Viceversa un sistema di equazioni
dinamiche galileiano non verifica necessariamente il 3° principio.
Occorrono delle ipotesi in più, per esempio occorre postulare il
principio d'inerzia per sistemi di punti, anziché per singoli punti
materiali, in altre parole si può partire dalla "evidenza empirica"
della conservazione della quantità di moto e del momento della quantità
di moto e dell'energia per provare a dedurre il 3° principio. Nei
principia Newton discute, fra altro, alcune premesse fenomenologiche
basate sull'evidenza di alcune regolarità negli urti per indurre il 3°
principio da cui poi deduce i principi di conservazione, ma si può
vedere se si può giungere ad una evidenza empirica delle leggi di
conservazione e su queste fondare la meccanica, penso sia stato uno dei
problemi della meccanica razionale.

> Oppure
> è possibile dimostrarlo in qualche modo tramite la relativtà
> galileiana? (sempre facendo uso delle nozioni dei primi tre capitoli).

[Tetis]

On 24/04/2012 19:18, Marco wrote:

> Attenzione. Se il sistema e' invariante per traslazioni spaziali, allora
> l'impulso si conserva.

Questo è Noether, ma per Noether non bastano le equazioni di Newton
occorre il principio lagrangiano o qualcosa di sufficientemente forte,
come un principio di corrispondenza simplettica che ti permetta di
definire una mappa dei momenti indipendente dal tempo.

controesempio su una retta:

mx'' = k(x-y)
my'' = 2k(y-x)

è un sistema invariante per traslazioni, e per boost di velocità, ma non
conserva l'impulso. Cioè il sistema non è potenziale. Se lo fosse allora
questo genere di forze sarebbe escluso, ti avvarresti di Noether ed
avresti la costante del moto "quantità di moto" associata alla simmetria
di Noether.

[Tetis]

On 24/04/2012 19:33, Piero Vico wrote:

> Nota:

> I 3 principi Newton se li utilizza nel SUO spazio, che � assoluto, non
> inerziale,

che vuol dire? Newton presuppone Galileo ed in fisica newtoniana vale
eccome il principio di equivalenza galileiano fra sistemi inerziali.

> altrimenti avrebbe dovuto usare anche il principio di

> relativit� galileiano...troppi principi :P
>

[Marco]

Piero Vico wrote:

> On Apr 24, 7:18 pm, Marco <inva...@invalid.invalid> wrote:
>> Piero Vico wrote:
>> Attenzione. Se il sistema e' invariante per traslazioni spaziali,
>> allora l'impulso si conserva. Ma se c'e' un potenziale o in generale
>> una forza che agisce allora il sistema *non e'* invariante per
>> traslazioni. Considera la Terra sola nell'universo: la sposti dove
>> vuoi, il suo impulso non cambia. Ma se ci aggiungi la Luna non puoi
>> muoverla dove vuoi e sperare che l'impulso resti invariato: c'e' la
>> forza di gravita' fra le due. Infatti dp/dt = F = -Gmm'/r^2 +
>> l^2/(2mr), non e' zero.
>>
>> In breve: ci sono i 3 principi di Newton, validi in un sistema
>> inerziale. Poi ci sono (se ci sono) le invarianze che portano a
>> quantita' conservate (teorema di Noether).
>> Invarianza per traslazioni spaziali -> conservo l'impulso Invarianza
>> per rotazioni -> conservo il momento angolare Invarianza per
>> traslazioni temporali -> conservo l'energia.
>
> Attenzione, se permetti, lo dico io :P 1) Ho specificato sistema di
> punti materiali CHIUSO, cioè no forze esterne.

E allora? Conservi solo l'impulso *totale*. So what?

> 2) Ho premesso di non usare Noether nel mio primo post. Il sistema è
> invariante per traslazioni spaziali, quindi conserva l'impulso, e
> cercavo una DIMOSTRAZIONE semplice, se esiste, senza l'uso del 3*
> principio.
>

DIMOSTRAZIONE DEL TERZO PRINCIPIO??????????
E perche' non del secondo, o dell'esistenza dei sistemi inerziali?

> Nota:
> I 3 principi Newton se li utilizza nel SUO spazio, che è assoluto, non
> inerziale, altrimenti avrebbe dovuto usare anche il principio di
> relatività galileiano...troppi principi :P

Questa cosa non ha senso.

[Marco]

Tetis wrote:


>> Attenzione. Se il sistema e' invariante per traslazioni spaziali,
>> allora l'impulso si conserva.
>
> Questo è Noether, ma per Noether non bastano le equazioni di Newton
> occorre il principio lagrangiano o qualcosa di sufficientemente forte

C'e' una richiesta piu' debole dell'esistenza del potenziale?

[Tommaso Russo, Trieste]

Il 24/04/2012 19:38, Yoda ha scritto:
> Addi' 24 apr 2012, Giorgio Bibbiani scrive:

>> FOLLOW-UP: free.it.scienza.fisica
>
> Scusa ma l'ho evitato, non si capisce piu' nulla, altrimenti, e poi
> tanto non ho piu' tempo, ora concludo.

Hai fatto bene.

Giorgio, scusa, ma un follow-up ad altro gruppo ha senso solo se
accompagnato da un x-post riuassuntivo del thread. Altrimenti su fisf
comparirebbe una risposta ad un messaggio mai visto, e quindi
incomprensibile.

[Giorgio Bibbiani]

Tommaso Russo, Trieste ha scritto:

> Giorgio, scusa, ma un follow-up ad altro gruppo ha senso solo se
> accompagnato da un x-post riuassuntivo del thread. Altrimenti su fisf
> comparirebbe una risposta ad un messaggio mai visto, e quindi
> incomprensibile.

Non ci avevo proprio pensato, e faro' tesoro del
consiglio per il futuro.
Ti ringrazio molto. :-)

Ciao
--
Giorgio Bibbiani

[Tetis]

pensiamoci :-) comunque direi di si: per Noether basta l'esistenza di un
potenziale generalizzato, sebbene in quel caso le traslazioni non siano
una simmetria ammissibile.

[Piero Vico]

On Apr 24, 8:18 pm, Tetis <lje...@yahoo.it> wrote:
> On 24/04/2012 15:35, Piero Vico wrote:
>
> > Premetto che se qualcuno ha letto l'Arnold "metodi matematici etc..",
> > la mia domanda è in quest'ambito, precisamente i primi 3 capitoli, non
> > ancora il 4 dove ci sara il T. di Noether.
>
> > Per dimostrare la conservazione della quantità di moto, a p.48 usa il
> > fatto sperimentale del 3° principio. Ma non è ridondante? C'è già la
> > relatività di Galileo, enunciata sin dalle prime pagine, che determina
> > per un sistema meccanico potenziale una dipendenza dalle coordinate
> > dei punti del tipo U(|Xi-Xj|), quindi dalla divergenza segue che
> > Fij=Fji.
>
> come c'entra la divergenza?

intendevo gradiente, una svista.

>   Ho però anche un altro dubbio: la U si ricava dall'integrale
>
> > di un campo di forze centrale che è per sua natura conservativo.
>
> Le forze di interazione che dipendono solo dalla distanza relativa non
> costituiscono propriamente un campo di forze centrale, Un campo di forze
> è una funzione vettoriale della posizione che rappresenta la forza che
> agisce su un punto materiale ivi collocato, diversamente in un sistema
> di punti interagenti se è vero che un punto materiale collocato in un
> punto genera un campo centrale di forze non è vero che nel complesso il
> sistema di punti genera un campo di forze centrale.

Ci siamo male intesi. Intendevo U come somma di tutte le Uij, ognuna
delle quali è un integrale radiale del campo centrale Fij prodotto da
j agente su i, ovvero la forza di interazione.

> >Si assume però che Uij(|Xi-Xj|)=Uji(|Xi-Xj|) dal fatto che i punti sono
> > identici.
>
> no si è autorizzati a definire una funzione dotata di questa proprietà,
> questa funzione è definita come l'integrale radiale della forza di
> interazione fra due punti,  dal fatto che le forze obbediscono il terzo
> principio, discende la simmetria della funzione, dal fatto che il
> gradiente parziale della somma di questi contributi descrive la forza si
> deduce che un sistema di punti interagenti tramite forze simmetriche,
> radiali e che dipendono solo dalla distanza è un sistema potenziale. E'
> un modo di esplicitare il principio di sovrapposizione lineare degli
> effetti.

Siamo d'accordo. Ho detto "si assume" ma avrei dovuto dire "si
deduce".
I punti in realtà hanno massa diversa, non sono identici.
L'impossibilità della Fij di dipendere per esempio solo dalla massa di
j deriva dal terzo principio. Mi chiedo se si possa far discendere
questa simmetria di F dal principio di galileo.

> > In un esempio fisico come il campo gravitazionale invece è
> > funzione della massa. Se la Fij fosse funzione non del prodotto delle
> > due masse, ma di una sola, in presenza di due punti di massa diversa
> > di avrebbe Fij diverso da Fji,
>
> esatto
>
> > e di conseguenza anche U.
>
> no: e di conseguenza la funzione Uij definita come suddetto non sarebbe
> simmetrica e non definirebbe la funzione potenziale delle forze di
> interazione.

Ho chiarito prima, U è la somma delle Uij che in questo caso risultano
diverse da Uji. Per due punti interagenti si avrebbero due energie
potenziali diverse, quindi è impossibile definire una funzione
potenziale U del sistema.

> > Quindi mi pare che qui entri in gioco il fatto sperimentale del 3° principio.
>
> Esattamente: il sistema newtoniano:
>
> R1''=F1(R1-R2)
> R2''=F2(R2-R1)
>
> è invariante per trasformazioni galileiane, ma non sempre verifica il 3°
> principio.

Infatti Arnold specifica che in un sistema di due punti si verifica
"spesso" il terzo principio, quindi non sempre. Ma tu cosa hai
scritto? Suppongo che tu intenda che F dipende dal modulo di R1-R2. Ma
questo non è semplicemente un campo di forze radiale di cui stiamo
parlando? (es. forza gravitazionale).

> > Quindi riassumendo per determinare la U di un sistema meccanico
> > potenziale,  bisogna fare necessariamente uso del 3° principio?
>
> Un sistema meccanico potenziale simmetrico per trasformazioni galileiane
> verifica anche il 3° principio.

Se io ho una U che definisce il sistema, ovvio che facendo le derivate
parziali di due particelle ottengo due forze uguali ed opposte,
dipendendo solo dalla distanza che le congiunge, quindi ho dedotto il
terzo principio senza postularlo. Il problema è come arrivare alla U.
Come detto prima, bisogna postulare la simmetria della Fij.

> Occorrono delle ipotesi in più, per esempio occorre postulare il
> principio d'inerzia per sistemi di punti, anziché per singoli punti
> materiali, in altre parole si può partire dalla "evidenza empirica"
> della conservazione della quantità di moto e del momento della quantità
> di moto e dell'energia per provare a dedurre il 3° principio.

Solo dal principio di relatività di galileo, dal secondo di Newton, e
dalla definizione di lavoro, non si può?

> principia Newton discute, fra altro, alcune premesse fenomenologiche
> basate sull'evidenza di alcune regolarità negli urti per indurre il 3°
> principio da cui poi deduce i principi di conservazione, ma si può
> vedere se si può giungere ad una evidenza empirica delle leggi di
> conservazione e su queste fondare la meccanica, penso sia stato uno dei
> problemi della meccanica razionale.

La legge di conservazione dell'impulso è più "fondamentale" del terzo
principio, e la si può dedurre dalla relatività galileiana tramite
Noether. Quindi ci sarà pure un modo diretto per arrivarci, nel nostro
semplice caso di sistema di punti chiuso, senza tirare in ballo il
terzo p.

[Marco]

Occhio. Ci sono molte versioni del teorema di Noether.
Quella piu' comune e' forse ove si richiede che la simmetria sia un gruppo
di Lie ad un parametro differenziabile, e la Lagrangiana dipenda anche da
piu' derivate.

Originariamente il teorema riguardava i campi.
http://cwp.library.ucla.edu/articles/noether.asg/noether.html
Sono convinto che possa valere anche senza principio variazionale, ma
anche solo per una ode con determinate simmetrie, ovvero proprio

mx" = F(x,x').

Sebbene non riesca a trovare una dimostrazione senza usare L.

[Tetis]

O..ps, anzi, al contrario. Le traslazioni sono una simmetria
perfettamente ammissibile, ad esempio per la lagrangiana di Darwin:

T+ q1q2/|r1-r2| [v1 . v2 - [v1.(r2-r1)][v2.(r1-r2)]/|r1-r2|^2]

E' interessante invece che le simmetrie di boost in quel caso non
lasciano il potenziale generalizzato invariante (e la differenza non è
una derivata totale), le correzioni riflettono il fatto che la
lagrangiana di Darwin si ottiene come primo ordine di approssimazione di
una teoria di campo lorentz-einsteniana e non di una teoria di punti
materiali galileiani, e ne risulta una teoria di punti materiali non
galileiani, sicché il discorso si fa piuttosto lontano dal contesto di
partenza della discussione.

Nulla vieta comunque di considerare esempi "galileiani" a prescindere
dal significato fisico:

T + k v1 v2

in una dimensione implica le equazioni del moto:

m1 X1''+k X2''=0
m2 X2''+k X1''=0

la lagrangiana è invariante di Noether per boost nel senso che la
lagrangiana trasformata differisce per una derivata totale dalla
lagrangiana iniziale (come T: l'energia cinetica), la quantità di moto e
l'energia cinetica sono conservate, tuttavia per il caso m1=m2=k la
lagrangiana si riduce semplicemente a (x1'+x2')^2 cioè predice le
equazioni del moto del centro di massa, che è invariato, ed è implicato
correttamente il 3° principio (X1''=-X2'') ma non la conservazione
dell'energia cinetica (per esempio ammette la soluzione: X1 = at^2,
X2=-at^2).

[Piero Vico]

On Apr 24, 8:31 pm, Tetis <lje...@yahoo.it> wrote:
> On 24/04/2012 19:33, Piero Vico wrote:
>
> > Nota:
> > I 3 principi Newton se li utilizza nel SUO spazio, che assoluto, non
> > inerziale,
>
> che vuol dire? Newton presuppone Galileo ed in fisica newtoniana vale
> eccome il principio di equivalenza galileiano fra sistemi inerziali.

Era una considerazione storica. Non è che io abbia letto i lavori di
Newton, non ancora, ma riferisco quanto letto per via indiretta:
inizialmente, nella formulazione delle leggi del moto, Newton
prevedeva 5 o 6 leggi, una di queste era il principio galileiano.
Successivamente adottò la nozione di spazio assoluto, semplificando il
suo modello a sole 3 leggi indipendenti.
Riferito questo, ne deduco che nella sua versione finale Newton non
presuppone l'invarianza dei suoi 3 principi rispetto a sistemi
inerziali, ma la deriva, partendo da uno spazio assoluto, diverso
dallo spazio galileiano, introdotto da Arnold sin dalle prime pagine.

Principia, Corollary 5. When bodies are enclosed in a given space,
their motions in relation to one another are the same whether the
space is at rest or whether it is moving uniformly straight forward
without circular motion.

[Piero Vico]

Non ho detto "dimostrazione del terzo", ma "senza l'uso del terzo",
dimostrare la conservazione dell'impulso partendo dal principio di
relatività. Feynman promette di farlo (10-2 del primo libro) ma non si
arriva ad una conclusione matematica.

[Tetis]

On 24/04/2012 23:42, Marco wrote:

>>> C'e' una richiesta piu' debole dell'esistenza del potenziale?
>>
>> pensiamoci :-) comunque direi di si: per Noether basta l'esistenza di un
>> potenziale generalizzato, sebbene in quel caso le traslazioni non siano
>> una simmetria ammissibile.
>
> Occhio. Ci sono molte versioni del teorema di Noether.

Chiaro, Arnold addirittura usa inizialmente la versione con lagrangiana
ma a pagina 90 la enuncia in modo che la lagrangiana del punto materiale
non ammette la simmetria galileiana di cambiamento di riferimento
inerziale. Poi a pagina 205 da una dimostrazione della conservazione
dell'energia intrinsenca alla definizione di flusso hamiltoniano.Poi a
pagina 212 enuncia la generalizzazione del toerema di Noether in forma
di condizione di commutazione fra flussi hamiltoniani.

> Quella piu' comune e' forse ove si richiede che la simmetria sia un gruppo
> di Lie ad un parametro differenziabile, e la Lagrangiana dipenda anche da
> piu' derivate.

Direi che ci sono delle estensioni valide per i flussi hamiltoniani.

> Originariamente il teorema riguardava i campi.
> http://cwp.library.ucla.edu/articles/noether.asg/noether.html
> Sono convinto che possa valere anche senza principio variazionale, ma
> anche solo per una ode con determinate simmetrie, ovvero proprio
>
> mx" = F(x,x').
>
> Sebbene non riesca a trovare una dimostrazione senza usare L.

Vediamo:

m1 x1'' = -k(x1-x2)
m2 x2'' = -2k(x2-x1)

è un sistema invariante per traslazioni ma il terzo principio non
verifica e non è conservata la quantità di moto. Non puoi formularlo in
termini di flusso hamiltoniano fino a quando utilizzi l'ordinaria mappa
dei momenti.

Rispetto all'ordinaria mappa dei momenti è semplicemente un sistema non
conservativo cioè non è un campo di rotore rispetto all'ordinaria
struttura simplettica della meccanica classica. Ovvero il flusso di fase
non conserva l'ordinaria struttura simplettica, che tradotto in termini
volgari si traduce: l'ordinaria quantità di moto non è conservata.

E' conservata naturalmente la quantità:

m1 x1' + m2/2 x2'.

e rispetto a questa nuova mappa dei momenti: p1 = m1 x1', p2 = m2/2 x2'
hai una struttura hamiltoniana delle equazioni, fino a questo punto hai
ancora una struttura hamiltonian, ma suppongo che basti sommare
equazioni differenziali lineari relative a differenti mappe dei momenti
per avere dei guai, dal punto di vista fisico è come dire che esistono
diversi valori di massa secondo della qualità del punto a cui la forza
è applicata e secondo il tipo di forza applicata, dal punto di vista
matematico si tratta di un difetto di integrabilità del sistema di
equazioni.

[Tetis]

On 24/04/2012 23:12, Piero Vico wrote:

> detto prima, bisogna postulare la simmetria della Fij.

Ok, hai chiarito ed hai chiaro il procedimento.

>> Occorrono delle ipotesi in più, per esempio occorre postulare il
>> principio d'inerzia per sistemi di punti, anziché per singoli punti
>> materiali, in altre parole si può partire dalla "evidenza empirica"
>> della conservazione della quantità di moto e del momento della quantità
>> di moto e dell'energia per provare a dedurre il 3° principio.
>
> Solo dal principio di relatività di galileo, dal secondo di Newton, e
> dalla definizione di lavoro, non si può?

No. Occorre quantomeno che il secondo di Newton valga per il centro di
massa, come dire che un sistema di corpi materiali chiuso non può
decidere di accelerare in blocco in una direzione e con un verso che
dipende dalla geometria interna delle masse del sistema (l'asse fra la
massa più grande e la massa più piccola ad esempio) e non son sicuro che
basti.

>> principia Newton discute, fra altro, alcune premesse fenomenologiche
>> basate sull'evidenza di alcune regolarità negli urti per indurre il 3°
>> principio da cui poi deduce i principi di conservazione, ma si può
>> vedere se si può giungere ad una evidenza empirica delle leggi di
>> conservazione e su queste fondare la meccanica, penso sia stato uno dei
>> problemi della meccanica razionale.
>
> La legge di conservazione dell'impulso è più "fondamentale" del terzo
> principio,

E' più fondamentale in una prospettiva di teoria dei campi. Ma dal terzo
principio ad una teoria dei campi passano due secoli.

> e la si può dedurre dalla relatività galileiana tramite
> Noether.

Ammettendo implicitamente l'esistenza di un potenziale o una condizione
equivalente.

> Quindi ci sarà pure un modo diretto per arrivarci, nel nostro
> semplice caso di sistema di punti chiuso, senza tirare in ballo il
> terzo p.

Può darsi di si, ma secondo me puoi farlo solo postulando in un modo o
in un altro delle proprietà di universalità che non sono contenute
esplicitamente nel principio di equivalenza galileiano.

[Tetis]

On 24/04/2012 23:12, Piero Vico wrote:

> On Apr 24, 8:18 pm, Tetis<lje...@yahoo.it> wrote:
>> On 24/04/2012 15:35, Piero Vico wrote:

> I punti in realtà hanno massa diversa, non sono identici.
> L'impossibilità della Fij di dipendere per esempio solo dalla massa di
> j deriva dal terzo principio. Mi chiedo se si possa far discendere
> questa simmetria di F dal principio di galileo.

Ribadisco quello che ho scritto nel post precedente: secondo me non se
si assume il principio di Galileo come invarianza delle equazioni
rispetto al gruppo di Galileo.

>>> Quindi mi pare che qui entri in gioco il fatto sperimentale del 3° principio.
>>
>> Esattamente: il sistema newtoniano:
>>
>> R1''=F1(R1-R2)
>> R2''=F2(R2-R1)
>>
>> è invariante per trasformazioni galileiane, ma non sempre verifica il 3°
>> principio.
>
> Infatti Arnold specifica che in un sistema di due punti si verifica
> "spesso" il terzo principio, quindi non sempre. Ma tu cosa hai
> scritto? Suppongo che tu intenda che F dipende dal modulo di R1-R2.

no ho scritto quello che scrive Arnold a pagina 18: che è tutto quanto
si può dedurre dall'invarianza galileiana. Cioè meno della "natura
potenziale" delle forze fondamentali. Il principio di conservazione
dell'energia e la formulazione hamiltoniana si sono affermate di pari
passo alla presa di coscienza della universalità e fondamentalità del
principio di conservazione dell'energia. Newton non aveva elementi
sufficienti per sbilanciarsi tanto.

[Tetis]

On 25/04/2012 00:21, Piero Vico wrote:
> On Apr 24, 8:31 pm, Tetis<lje...@yahoo.it> wrote:
>> On 24/04/2012 19:33, Piero Vico wrote:
>>
>>> Nota:
>>> I 3 principi Newton se li utilizza nel SUO spazio, che assoluto, non
>>> inerziale,
>>
>> che vuol dire? Newton presuppone Galileo ed in fisica newtoniana vale
>> eccome il principio di equivalenza galileiano fra sistemi inerziali.

> Newton non
> presuppone l'invarianza dei suoi 3 principi rispetto a sistemi
> inerziali, ma la deriva, partendo da uno spazio assoluto,

ergo lo spazio assoluto newtoniano č galileiano. E non potrebbe essere
altrimenti perché Newton presuppone largamente nella sua opera il
contributo galileiano.

> Principia, Corollary 5. When bodies are enclosed in a given space,
> their motions in relation to one another are the same whether the
> space is at rest or whether it is moving uniformly straight forward
> without circular motion.

Che potresti anche leggere: quando dei corpi sono racchiusi in un dato
spazio i loro moti relativi sono gli stessi se lo spazio in cui sono
racchiusi č a riposo rispetto alla terra o rispetto ad essi (ed hai la
sintesi dell'insegnamento galileiano del naviglio).

Che poi Newton fosse incline a pensare ad uno "spazio per antonomasia"
come un riferimento inerziale privilegiato č da dimostrare, era perņ
risolutamente contrario all'esistenza di un etere, le cui proprietą gli
apparivano troppe e troppo contraddittorie per potersi riferire ad un
ente fisico reale.

[Piero Vico]

On Apr 25, 1:10 am, Tetis <lje...@yahoo.it> wrote:
> On 24/04/2012 23:12, Piero Vico wrote:
>
> > On Apr 24, 8:18 pm, Tetis<lje...@yahoo.it>  wrote:
> >> On 24/04/2012 15:35, Piero Vico wrote:
> > I punti in realtà hanno massa diversa, non sono identici.
> > L'impossibilità della Fij di dipendere per esempio solo dalla massa di
> > j deriva dal terzo principio. Mi chiedo se si possa far discendere
> > questa simmetria di F dal principio di galileo.
>
> Ribadisco quello che ho scritto nel post precedente: secondo me non se
> si assume il principio di Galileo come invarianza delle equazioni
> rispetto al gruppo di Galileo.

Perché, in che altri modi si può assumere?

> >>> Quindi mi pare che qui entri in gioco il fatto sperimentale del 3° principio.
>
> >> Esattamente: il sistema newtoniano:
>
> >> R1''=F1(R1-R2)
> >> R2''=F2(R2-R1)
>
> >> è invariante per trasformazioni galileiane, ma non sempre verifica il 3°
> >> principio.
>
> > Infatti Arnold specifica che in un sistema di due punti si verifica
> > "spesso" il terzo principio, quindi non sempre. Ma tu cosa hai
> > scritto? Suppongo che tu intenda che F dipende dal modulo di R1-R2.
>
> no ho scritto quello che scrive Arnold a pagina 18: che è tutto quanto
> si può dedurre dall'invarianza galileiana. Cioè meno della "natura

Sì, non c'è bisogno del modulo, mi son sbagliato. Hai scritto la forma
generale di F che discende dall'invarianza galileiana, senza le (V1-
V2). Stiamo considerando l'esempio fisico più semplice, quello di una
forza di interazione agente a distanza in modo istantaneo su punti
materiali. In questo ambito ovviamente il terzo p. vale sempre.

> potenziale" delle forze fondamentali. Il principio di conservazione
> dell'energia e la formulazione hamiltoniana si sono affermate di pari
> passo alla presa di coscienza della universalità e fondamentalità del
> principio di conservazione dell'energia. Newton non aveva elementi
> sufficienti per sbilanciarsi tanto.

Ma adesso che noi ce li abbiamo, magari c'è una derivazione semplice
che fa a meno del terzo principio.
Tra i fatti sperimentali che sono alla base della meccanica, Arnold in
prima pagina mette il principio di relatività e quello di determinismo
di Newton. Il fatto sperimentale dell'azione-reazione invece lo fa
spuntare fuori molto più avanti, come se non fosse fondamentale, ma è
essenziale per la dimostrazione delle leggi di conservazione. Non
avrebbe dovuto enunciarlo subito in prima pagina?

[Piero Vico]

On Apr 25, 1:35 am, Tetis <lje...@yahoo.it> wrote:
> On 25/04/2012 00:21, Piero Vico wrote:
>
> > On Apr 24, 8:31 pm, Tetis<lje...@yahoo.it>  wrote:
> >> On 24/04/2012 19:33, Piero Vico wrote:
>
> >>> Nota:
> >>> I 3 principi Newton se li utilizza nel SUO spazio, che assoluto, non
> >>> inerziale,
>
> >> che vuol dire? Newton presuppone Galileo ed in fisica newtoniana vale
> >> eccome il principio di equivalenza galileiano fra sistemi inerziali.
> > Newton non
> > presuppone l'invarianza dei suoi 3 principi rispetto a sistemi
> > inerziali, ma la deriva, partendo da uno spazio assoluto,
>

> ergo lo spazio assoluto newtoniano è galileiano. E non potrebbe essere

> altrimenti perché Newton presuppone largamente nella sua opera il
> contributo galileiano.

Come ho detto, ci sono più opere di Newton, non una sola. Nella sua
ultima versione mi pare di aver capito che decide di non presupporre
galilelo. Come dici tu stesso, il corollario V è l'insegnamento
galileiano, ma appunto è un corollario, non viene supposto prima, ma
dedotto.

> > Principia, Corollary 5. When bodies are enclosed in a given space,
> > their motions in relation to one another are the same whether the
> > space is at rest or whether it is moving uniformly straight forward
> > without circular motion.
>
> Che potresti anche leggere: quando dei corpi sono racchiusi in un dato
> spazio i loro moti relativi sono gli stessi se lo spazio in cui sono

> racchiusi è a riposo rispetto alla terra o rispetto ad essi (ed hai la

> sintesi dell'insegnamento galileiano del naviglio).
>
> Che poi Newton fosse incline a pensare ad uno "spazio per antonomasia"

> come un riferimento inerziale privilegiato è da dimostrare, era però
> risolutamente contrario all'esistenza di un etere, le cui proprietà gli

> apparivano troppe e troppo contraddittorie per potersi riferire ad un
> ente fisico reale.

http://plato.stanford.edu/entries/spacetime-iframes/#GalRelNewPhy

[Tetis]

On 25/04/2012 11:58, Piero Vico wrote:

>> Ribadisco quello che ho scritto nel post precedente: secondo me non se
>> si assume il principio di Galileo come invarianza delle equazioni
>> rispetto al gruppo di Galileo.
>
> Perché, in che altri modi si può assumere?

Il principio di Galileo è tutto sommato un racconto presente nel
dialogo, quindi il contenuto matematico che se ne estrae può dipendere
da assunti su connotati impliciti al margine del racconto. Per esempio è
contrario all'esperienza che due masse diverse poste su un tavolo
orizzontale possano accelerare se soggette a mutua forza eppure questo
non sarebbe in contrasto con l'invarianza galileiana se la si
circoscrive all'invarianza delle equazioni rispetto alle trasformazioni
di Galileo, mentre sarebbe in contrasto con il principio di
conservazione dell'energia.

>>>>> Quindi mi pare che qui entri in gioco il fatto sperimentale del 3° principio.
>>
>>>> Esattamente: il sistema newtoniano:
>>
>>>> R1''=F1(R1-R2)
>>>> R2''=F2(R2-R1)
>>
>>>> è invariante per trasformazioni galileiane, ma non sempre verifica il 3°
>>>> principio.
>>
>>> Infatti Arnold specifica che in un sistema di due punti si verifica
>>> "spesso" il terzo principio, quindi non sempre. Ma tu cosa hai
>>> scritto? Suppongo che tu intenda che F dipende dal modulo di R1-R2.
>>
>> no ho scritto quello che scrive Arnold a pagina 18: che è tutto quanto
>> si può dedurre dall'invarianza galileiana. Cioè meno della "natura
>
> Sì, non c'è bisogno del modulo, mi son sbagliato.

Infatti occorre soltanto l'isotropia e l'invarianza per rotazioni come
espressa dall'equazione successiva in quella pagina.

Hai scritto la forma
> generale di F che discende dall'invarianza galileiana, senza le (V1-
> V2). Stiamo considerando l'esempio fisico più semplice, quello di una
> forza di interazione agente a distanza in modo istantaneo su punti
> materiali. In questo ambito ovviamente il terzo p. vale sempre.

Perché? Considera le seguenti equazioni:

m1 R1'' = k (R2-R1)
m2 R2'' = 2k (R1-R2)

se non ci fosse il 2 nella seconda equazione si tratterebbe delle
equazioni del moto di due masse soggette ad una forza mutua di natura
elastica lineare. Per via del fattore 2 non viene alterata l'invarianza
rispetto al gruppo galileiano, e non si coinvolgono le velocità,
tuttavia il terzo principio non è verificato. Il centro di massa di
questo sistema è soggetto ad una accelerazione che dipende solo dalla
geometria delle masse, si tratta di una accelerazione isotropa nel senso
che ruota insieme alle masse e non dipende dall'orientazione della
configurazione rispetto ad una terna di riferimento privilegiata.
Tuttavia sappiamo che equazioni di questa sorta non sono ammissimibili
fisicamente. Newton giunge ad escluderle in virtù del terzo principio,
ma non è detto che sia l'unico modo.

>> potenziale" delle forze fondamentali. Il principio di conservazione
>> dell'energia e la formulazione hamiltoniana si sono affermate di pari
>> passo alla presa di coscienza della universalità e fondamentalità del
>> principio di conservazione dell'energia. Newton non aveva elementi
>> sufficienti per sbilanciarsi tanto.
>
> Ma adesso che noi ce li abbiamo, magari c'è una derivazione semplice
> che fa a meno del terzo principio.

Dipende da cosa intendi per semplice. La formulazione hamiltoniana ed il
principio di conservazione dell'energia sono concetti semplici?

> Tra i fatti sperimentali che sono alla base della meccanica, Arnold in
> prima pagina mette il principio di relatività e quello di determinismo
> di Newton. Il fatto sperimentale dell'azione-reazione invece lo fa
> spuntare fuori molto più avanti, come se non fosse fondamentale, ma è
> essenziale per la dimostrazione delle leggi di conservazione. Non
> avrebbe dovuto enunciarlo subito in prima pagina?

Arnold non è quasi mai lineare nelle esposizioni anche più tecniche e
meno didattiche, ed è forse condizionato da modelli una sorta di blanda
polemica a distanza (nel tempo soprattutto, ma anche nello spazio) con
Landau ed altre esposizioni della meccanica (basta leggere cosa dice a
pagina 243 del principio di minima azione di Eulero-Lagrange-Jacobi: "in
quasi tutti i manuali, anche i migliori, questo principio è presentato
in modo tale che non si può capire". Se prendi il libro di Landau
Meccanica in seconda pagina trovi scritto: una formulazione della legge
del moto di sistemi meccanici è data dal principio di minima azione...
solo nel 3° paragrafo introduce il pincipio di relatività e deduce la
dipendenza della funzione di lagrange del punto materiale dal quadrato
delle velocità. L'idea di Arnold è di ribaltare questo modo apodittico
di procedere per un'impostazione "neoclassica", cerca in quel libro di
partire dalle basi classiche della fisica per giungere il più in fretta
possibile alle postreme astrazioni contemporanee, evitando per quanto
possibile i salti logici. E' un tentativo titanico il cui risultato non
è pienamente soddisfacente IMHO.

Per orientarsi possono risultare efficaci dei confronti con libri meno
ambiziosi, volte più pedanti, ma in conclusione più lineari. Qualcosa di
discreto trovo che siano le dispense del prof. Valter Moretti
dell'università di Trento:

http://www.science.unitn.it/~moretti/dispense.html

che presenta una deduzione del terzo principio dal principio di
conservazione dell'impulso (si può discutere se la natura fondamentale
di un principio del genere potesse essere chiara o presente ad autori
come Leibniz o Huyghens, di certo era chiara a Newton che però si
rifiuta, non a torto, di assumerlo come principio fondante coerentemente
con il suo modo di procedere).

Comunque dipende dagli scopi che ci si prefigge, il libro di Arnold non
andrebbe mai affrontato prima del secondo anno ed anche in quel caso
forse è un poco presto, non dovrebbe mai essere l'unico libro, andrebbe
accompagnato da uno o più libri dall'impostazione classica che
comprendano una buona trattazione del formalismo canonico. Vanno bene
alcuni libri italiani, il Fasano-Marmi, il Dell'Antonio (che segue una
linea di ragionamento simile a quella del Moretti, ma in alcuni punti è
più semplice e chiaro), le dispense di Galgani, quelle di Moretti che ho
linkato, e chissà quanti altri libri stranieri.

[Piero Vico]

On Apr 25, 4:47 pm, Tetis <lje...@yahoo.it> wrote:
> On 25/04/2012 11:58, Piero Vico wrote:
>
> >> Ribadisco quello che ho scritto nel post precedente: secondo me non se
> >> si assume il principio di Galileo come invarianza delle equazioni
> >> rispetto al gruppo di Galileo.
>
> > Perché, in che altri modi si può assumere?
>
> Il  principio di Galileo è tutto sommato un racconto presente nel
> dialogo, quindi il contenuto matematico che se ne estrae può dipendere
> da assunti su connotati impliciti al margine del racconto. Per esempio è
> contrario all'esperienza che due masse diverse poste su un tavolo
> orizzontale possano accelerare se soggette a mutua forza eppure questo
> non sarebbe in contrasto con l'invarianza galileiana se la si
> circoscrive all'invarianza delle equazioni rispetto alle trasformazioni
> di Galileo, mentre sarebbe in contrasto con il principio di
> conservazione dell'energia.

Non l'ho mica capita. Comunque, la relatività galileiana è chiaramente
enunciata, per la prima volta, nel corollario V di Newton.

> >>>>> Quindi mi pare che qui entri in gioco il fatto sperimentale del 3° principio.
>
> >>>> Esattamente: il sistema newtoniano:
>
> >>>> R1''=F1(R1-R2)
> >>>> R2''=F2(R2-R1)
>
> >>>> è invariante per trasformazioni galileiane, ma non sempre verifica il 3°
> >>>> principio.
>
> >>> Infatti Arnold specifica che in un sistema di due punti si verifica
> >>> "spesso" il terzo principio, quindi non sempre. Ma tu cosa hai
> >>> scritto? Suppongo che tu intenda che F dipende dal modulo di R1-R2.
>
> >> no ho scritto quello che scrive Arnold a pagina 18: che è tutto quanto
> >> si può dedurre dall'invarianza galileiana. Cioè meno della "natura
>
> > Sì, non c'è bisogno del modulo, mi son sbagliato.
>
> Infatti occorre soltanto l'isotropia e l'invarianza per rotazioni come
> espressa dall'equazione successiva in quella pagina.

"isotropia e invarianza per rotazioni" sono la stessa cosa.
La dipendenza da R1-R2 deriva dall'omogeneità dello spazio (invarianza
per le traslazioni).

> Hai scritto la forma
>
> > generale di F che discende dall'invarianza galileiana, senza le (V1-
> > V2). Stiamo considerando l'esempio fisico più semplice, quello di una
> > forza di interazione agente a distanza in modo istantaneo su punti
> > materiali. In questo ambito ovviamente il terzo p. vale sempre.
>
> Perché? Considera le seguenti equazioni:
>
> m1 R1'' = k (R2-R1)
> m2 R2'' = 2k (R1-R2)
>
> se non ci fosse il 2 nella seconda equazione si tratterebbe delle
> equazioni del moto di due masse soggette ad una forza mutua di natura
> elastica lineare. Per via del fattore 2 non viene alterata l'invarianza
> rispetto al gruppo galileiano, e non si coinvolgono le velocità,
> tuttavia il terzo principio non è verificato. Il centro di massa di
> questo sistema è soggetto ad una accelerazione che dipende solo dalla
> geometria delle masse, si tratta di una accelerazione isotropa nel senso
> che ruota insieme alle masse e non dipende dall'orientazione della
> configurazione rispetto ad una terna di riferimento privilegiata.
> Tuttavia sappiamo che equazioni di questa sorta non sono ammissimibili
> fisicamente. Newton giunge ad escluderle in virtù del terzo principio,
> ma non è detto che sia l'unico modo.

Embè, hai fatto lo stesso esempio che avevo fatto io. Avevo posto k=m2
e 2k=m1.
Non esiste in realtà, non è un esempio fisico reale. Dimostrarlo,
senza usare il 3° p., è proprio quello che ho chiesto.

> >> potenziale" delle forze fondamentali. Il principio di conservazione
> >> dell'energia e la formulazione hamiltoniana si sono affermate di pari
> >> passo alla presa di coscienza della universalità e fondamentalità del
> >> principio di conservazione dell'energia. Newton non aveva elementi
> >> sufficienti per sbilanciarsi tanto.
>
> > Ma adesso che noi ce li abbiamo, magari c'è una derivazione semplice
> > che fa a meno del terzo principio.
>
> Dipende da cosa intendi per semplice. La formulazione hamiltoniana ed il
> principio di conservazione dell'energia sono concetti semplici?

formulazione hamiltoniana, no. Conservazione energia, si.

> > Tra i fatti sperimentali che sono alla base della meccanica, Arnold in
> > prima pagina mette il principio di relatività e quello di determinismo
> > di Newton. Il fatto sperimentale dell'azione-reazione invece lo fa
> > spuntare fuori molto più avanti, come se non fosse fondamentale, ma è
> > essenziale per la dimostrazione delle leggi di conservazione. Non
> > avrebbe dovuto enunciarlo subito in prima pagina?
>
> Arnold non è quasi mai lineare nelle esposizioni anche più tecniche e

Io penso che sia una scelta voluta e che ha un senso. Il 3° p. non
poteva essere messo allo stesso livello del p. di relatività
galileiano e del p. di determinismo di Newton. E' un fatto
sperimentale neanche sempre verificato, e non credo sia più neanche
necessario in avanti nel libro, dopo Noether (io sono arrivato a
leggere fino a p.76)

> in modo tale che non si può capire". Se prendi il libro di Landau
> Meccanica in seconda pagina trovi scritto: una formulazione della legge
> del moto di sistemi meccanici è data dal principio di minima azione...
> solo nel 3° paragrafo introduce il pincipio di relatività e deduce la
> dipendenza della funzione di lagrange del punto materiale dal quadrato
> delle velocità.

L'avevo letto, il Landau (parte hamiltoniana esclusa). Decisamente
un'altra cosa rispetto all'Arnold.
Consiglierei di leggere prima l'Arnold, che non mi pare frettoloso, ma
piacevolmente "denso", e rigoroso. Poi leggersi il Landau, che trovo
"bello".

> di procedere per un'impostazione "neoclassica", cerca in quel libro di
> partire dalle basi classiche della fisica per giungere il più in fretta
> possibile alle postreme astrazioni contemporanee, evitando per quanto
> possibile i salti logici. E' un tentativo titanico il cui risultato non
> è pienamente soddisfacente IMHO.

Per postreme astrazioni penso ti riferisci alle appendici? Per il
resto, la base, sono 300 pagine, mi sembra uno spazio sufficiente. In
Landau sono 230.
Se c'è una cosa che non mi piace, dell'Arnold, sono alcuni dei
problemi lasciati da risolvere, senza soluzione, che danno
l'impressione di doversi dimostrare da soli cose importanti che
sarebbe meglio esplicitare. In questo senso è poco didattico per i
principianti.

> che presenta una deduzione del terzo principio dal principio di
> conservazione dell'impulso

capirai! e che ci vuole? :P

> linkato, e chissà quanti altri libri stranieri.

Non hai citato il Goldstein. Io non l'ho consultato. L'hai letto?
Comunque io lo studiando perché nel mio corso di studi non c'è mai
stato un corso di meccanica razionale.

[Tetis]

On 25/04/2012 22:15, Piero Vico wrote:

>>> Sì, non c'è bisogno del modulo, mi son sbagliato.
>>
>> Infatti occorre soltanto l'isotropia e l'invarianza per rotazioni come
>> espressa dall'equazione successiva in quella pagina.

isotropia è un lapsus per invarianza traslazionale (uguaglianza di ogni
luogo, ovvero per omogeneità) Sull'invarianza va notato che in vero:

f(R x) = R f(x)

qui indico sinteticamente con x il vettore r,r', posizione e velocità. A
rigore si dovrebbe parlare di covarianza delle equazioni rispetto alle
rotazioni. Nel punto di vista lagrangiano il sistema è rappresentato da
una funzione scalare e si può parlare di invarianza, con qualche
sottigliezza che si intende meglio nel linguaggio delle forme
differenziali, che Arnold introduce circa 150 pagine più avanti.

> "isotropia e invarianza per rotazioni" sono la stessa cosa.
> La dipendenza da R1-R2 deriva dall'omogeneità dello spazio (invarianza
> per le traslazioni).
>
>> Hai scritto la forma
>>
>>> generale di F che discende dall'invarianza galileiana, senza le (V1-
>>> V2). Stiamo considerando l'esempio fisico più semplice, quello di una
>>> forza di interazione agente a distanza in modo istantaneo su punti
>>> materiali. In questo ambito ovviamente il terzo p. vale sempre.
>>
>> Perché? Considera le seguenti equazioni:
>>
>> m1 R1'' = k (R2-R1)
>> m2 R2'' = 2k (R1-R2)

> Embè, hai fatto lo stesso esempio che avevo fatto io. Avevo posto k=m2
> e 2k=m1.

non mi quadra dimensionalmente, comunque con la scelta di opportune
unità può essere messo nella forma che dici tu.

> Non esiste in realtà, non è un esempio fisico reale. Dimostrarlo,
> senza usare il 3° p., è proprio quello che ho chiesto.

Tu proponevi di usare il solo principio di relatività senza alcuna
ipotesi extratestuale. L'esempio che dici di avere già considerato
avrebbe dovuto farti concludere che la non fisicità di questo esempio
non è dimostrabile per via del solo principio di covarianza. Ma non mi
sembri convinto.

(...)

>> Dipende da cosa intendi per semplice. La formulazione hamiltoniana ed il
>> principio di conservazione dell'energia sono concetti semplici?
>
> formulazione hamiltoniana, no. Conservazione energia, si.

Dici? A me sembra al contrario che la parte difficile, di "fisica" sia
la conservazione dell'energia, benché fondamentale o elementare, il
formalismo hamiltoniano in fondo è solo una ingegnosa rielaborazione
algebrica del principio dei lavori virtuali.

>>> Tra i fatti sperimentali che sono alla base della meccanica, Arnold in
>>> prima pagina mette il principio di relatività e quello di determinismo
>>> di Newton. Il fatto sperimentale dell'azione-reazione invece lo fa
>>> spuntare fuori molto più avanti, come se non fosse fondamentale, ma è
>>> essenziale per la dimostrazione delle leggi di conservazione. Non
>>> avrebbe dovuto enunciarlo subito in prima pagina?
>>
>> Arnold non è quasi mai lineare nelle esposizioni anche più tecniche e
>
> Io penso che sia una scelta voluta e che ha un senso. Il 3° p. non
> poteva essere messo allo stesso livello del p. di relatività
> galileiano e del p. di determinismo di Newton.

Quando parlo di mancanza di linearità nel libro di Arnold non mi
riferisco solo al modo frammentario in cui presenta il 3° principio.
Anche sul principio di conservazione dell'energia (come principio
fisico) è alquanto lacunoso, e lo stesso sulle interrelazioni fra
conservazione dell'impulso, del momento della quantità di moto e della
conservazione dell'energia, in altri punti contiene delle autentiche
leggerezze, come per esempio nell'analogia fra ottica e meccanica.
Nonostante questo è un gran libro, di una grande mente, e lo difendo.

> E' un fatto
> sperimentale neanche sempre verificato, e non credo sia più neanche
> necessario in avanti nel libro, dopo Noether (io sono arrivato a
> leggere fino a p.76)

Se questo aspetto fosse sottolineato a dovere si potrebbe convenire, ma
non c'è nemmeno un cenno sul modo in cui il terzo principio potrebbe
risultare non verificato e non può esserci un cenno perché finché si
parla di sistemi conservativi di un numero finito di punti materiali il
terzo principio è un teorema.

> L'avevo letto, il Landau (parte hamiltoniana esclusa). Decisamente
> un'altra cosa rispetto all'Arnold.

Io ho iniziato con un terzo russo: Gantmacher affiancato da un altro
russo Gelfand, e poi un americano: Goldstein. Il libro di Landau lo
avevo fotocopiato fin dal primo anno, ci veniva ripetuto allo
sfinimento, va bene solo quando le cose le hai già imparate, e gli
esercizi fanno parte del testo, ha un immenso valore alla stregua di
compendio e di approfondimento, e lo si può leggere in maniera
antologica fin da subito. Il libro di Arnold era "sconsigliato" come
testo introduttivo, ma la sua lettura era caldeggiata come completamento
culturale inevitabile.

Dopo aver visto il libro di Marmi e quello di Dell'Antonio penso che
comincerei da quelli e mi sembra che molti abbiano adottato questi nuovi
libri nei corsi di meccanica razionale, oltre ai classici della scuola
romana.

> Consiglierei di leggere prima l'Arnold, che non mi pare frettoloso, ma
> piacevolmente "denso", e rigoroso. Poi leggersi il Landau, che trovo
> "bello".

Quel volume di Arnold come avrai capito non vuole essere rigoroso e
riesce benissimo a non esserlo, a tratti con qualche eccesso di
disinvoltura, comunque se per te è adeguato non sta a me contrastare
questa convinzione, mi sembra di capire che lo stai affrontando con una
certa base culturale e per motivi di completamento personale del
percorso di studi e con queste intenzioni è un ottima lettura.

>> di procedere per un'impostazione "neoclassica", cerca in quel libro di
>> partire dalle basi classiche della fisica per giungere il più in fretta
>> possibile alle postreme astrazioni contemporanee, evitando per quanto
>> possibile i salti logici. E' un tentativo titanico il cui risultato non
>> è pienamente soddisfacente IMHO.
>
> Per postreme astrazioni penso ti riferisci alle appendici? Per il
> resto, la base, sono 300 pagine, mi sembra uno spazio sufficiente. In
> Landau sono 230.

Mi riferisco alla trattazione delle trasformazioni canoniche nel
linguaggio della geometria differenziale dei getti su varietà, che è un
punto di vista ancora largamente ignorato da gran parte dei libri di
testo contemporanei specie a livello introduttivo, come troppo avanzato,
in verità è matematica della prima metà del novecento. Riescono a far di
meglio solo il libro di Marsden ed alcuni libri di Lang, per il resto
nella letteratura sulla meccanica troverai il deserto riguardo al punto
di vista di Arnold.

> Se c'è una cosa che non mi piace, dell'Arnold, sono alcuni dei
> problemi lasciati da risolvere, senza soluzione, che danno
> l'impressione di doversi dimostrare da soli cose importanti che
> sarebbe meglio esplicitare. In questo senso è poco didattico per i
> principianti.

Può essere traumatico per dei principianti. Va bene in seconda o terza
lettura, meglio scoprirlo avendo delle solide basi, penso sia stata una
lettura meravigliosa per chi aveva completato il proprio corso di studi
ignorandolo del tutto, quindi per i nostri insegnanti più anziani, e che
purtroppo è difficile che uno studente di oggi lo legga solo con la
giusta maturità.

>> che presenta una deduzione del terzo principio dal principio di
>> conservazione dell'impulso
>
> capirai! e che ci vuole? :P

piano. Non hai letto cosa Moretti intende per terzo principio: non è lo
stesso che intendi tu, per quello che intendi tu serve anche la
conservazione del momento angolare.

>> linkato, e chissà quanti altri libri stranieri.
>
> Non hai citato il Goldstein. Io non l'ho consultato. L'hai letto?
> Comunque io lo studiando perché nel mio corso di studi non c'è mai
> stato un corso di meccanica razionale.

L'ho studiato, il Goldstein nella vecchia edizione, quello nuovo è a
tratti più divertente. E' un libro stimolante, sul Gantmacher ho un
giudizio contrastato, per certi versi è un utile palestra di
formalizzazione di ragionamenti complessi, per altri è poco rigoroso e
contiene materiali esuberanti rispetto ad una lettura introduttiva.

[Piero Vico]

On Apr 27, 11:16 pm, Tetis <lje...@yahoo.it> wrote:

> Quel volume di Arnold come avrai capito non vuole essere rigoroso e
> riesce benissimo a non esserlo, a tratti con qualche eccesso di
> disinvoltura, comunque se per te è adeguato non sta a me contrastare
> questa convinzione, mi sembra di capire che lo stai affrontando con una
> certa base culturale e per motivi di completamento personale del
> percorso di studi e con queste intenzioni è un ottima lettura.

Le intenzioni sono queste, lo faccio per motivi "culturali".
Rispetto al Landau, intendevo, è "abbastanza" rigoroso. Quel minimo
che a me basta, comunque lontano dal rigido formalismo ed estremo
dettaglio delle dispense di V.Moretti, che trovo pesante e superfluo
all'apprendimento delle idee fondamentali. Arnold invece è conciso,
lucido ed efficace anche nel presentare in breve nuovi concetti
matematici.

> >> che presenta una deduzione del terzo principio dal principio di
> >> conservazione dell'impulso
>
> > capirai! e che ci vuole? :P
>
> piano. Non hai letto cosa Moretti intende per terzo principio: non è lo
> stesso che intendi tu, per quello che intendi tu serve anche la
> conservazione del momento angolare.

Cito a p.69:
<La conservazione dell'impulso unitamente al secondo principio della
dinamica, implica immediatamente
quello che, nella presentazione tradizionale, viene chiamato terzo
principio della
dinamica o principio di azione e reazione: Fij=-Fji>

E' il principio "in forma debole", ok, noi (e Arnold) semplifichiamo e
intendiamo direttamente "in forma forte": per due punti materiali, il
vettore forza del campo centrale di ciascun punto non può che giacere
lungo la direttrice congiungente i punti, che coincidono con l'origine
O dei campi.

[Elio Fabri]

Tetis ha scritto:

> Il principio di Galileo è tutto sommato un racconto presente nel
> dialogo, quindi il contenuto matematico che se ne estrae può
> dipendere da assunti su connotati impliciti al margine del racconto.

> Per esempio ...
Non sono intervenuto finora per varie ragioni:
- perché mi disturba che questioni *di fisica* vengano trattate in
questo NG e *come se fossero questioni di matematica*
- perché non ho capito molto di tutto lo spirito della discussione
- perché (come al solito) faccio fatica a tenervi dietro.

Però...
Che vuol dire la tua frase che ho citato?
In che senso quello di G. sarebbe un racconto?
A parte la forma, sta dicendo una cosa chiarissima:
"nessun esperimento può distinguere tra due diversi rif. inerziali"
In che senso se ne dovrebbe "estrarre" un contenuto matematico?

> Per orientarsi possono risultare efficaci dei confronti con libri meno
> ambiziosi, volte più pedanti, ma in conclusione più lineari.
> Qualcosa di discreto trovo che siano le dispense del prof. Valter
> Moretti dell'università di Trento:
>
> http://www.science.unitn.it/~moretti/dispense.html
>
> che presenta una deduzione del terzo principio dal principio di
> conservazione dell'impulso

E' certamente un gran peccato che Valter non partecipi più a questi
NG, credo in misura non trascurabile a causa dell'indecente
inquinamento presente.
Comunque sono andato a guardare, e a parte la notazione davvero
pesante, il punto essenziale è uno che mi pare nessuno di voi abbia
rilevato.
Anche la dim. di Valter *vale solo per un sistema di due punti*.

Per un sistema di più di due punti, il terzo principio dice qualcosa
che *non si può* dedurre dalla cons. della q. di moto:
"le forze agenti fra due punti qualsiasi del sistema sono a due a due
opposte (e hanno la stessa retta di azione)".

Questo ha per conseguenza, ad esempio, le eq. cardinali della dinamica
dei sistemi, dove *contano solo le forze esterne*.


--
Elio Fabri

[Piero Vico]

On Apr 28, 9:23 pm, Elio Fabri <elio.fa...@tiscali.it> wrote:
> Per un sistema di più di due punti, il terzo principio dice qualcosa
> che *non si può* dedurre dalla cons. della q. di moto:
> "le forze agenti fra due punti qualsiasi del sistema sono a due a due
> opposte (e hanno la stessa retta di azione)".

Per il principio di sovrapposizione, l'interazione tra due punti in un
sistema di n punti deve essere la stessa di quella che avrebbero se
fossero isolati. Mi sembra banale, cos'è che non va? Se la forza di
interazione tra 2 punti si dimostra agire in una certa maniera, non
sarà di certo la presenza del campo di altri n punti a cambiarla, ma
si sovrappongono tutti i contributi.


Vedete un po' se questo ragionamento fila:
Dato un sistema chiuso fatto di n punti materiali ri (i=1,...n),
ciascuno con massa mi e campo centrale Fi, definisco il lavoro
dL:=Fds. Assumo che il sistema possieda in un dato istante una
quantità scalare dipendente dalla sola posizione dei suoi punti :=
U(r1,..,rn), e che dL:=-dU.
Dall'invarianza galileiana, la U deve essere funzione di (|ri-rj|).
Poiché grad(U)=-F, segue che per due punti isolati sia Fij=-Fji (e
quindi per sovrapposizione anche per n punti).
Quindi ho ricavato il 3°p. dai concetti di lavoro e potenziale, p.di
galileo e 2°p. di Newton. Che ve ne pare?

[Giorgio Pastore]

On 4/29/12 3:01 PM, Piero Vico wrote:
.....

> Per il principio di sovrapposizione,

e chi te lo da' il p. di sovrapposizione ? Non e' un principio generale.

> l'interazione tra due punti in un
> sistema di n punti deve essere la stessa di quella che avrebbero se
> fossero isolati. Mi sembra banale, cos'è che non va? Se la forza di
> interazione tra 2 punti si dimostra agire in una certa maniera, non
> sarà di certo la presenza del campo di altri n punti a cambiarla, ma
> si sovrappongono tutti i contributi.

E invece in fisica ci sono tanti sistemi in cui non vale. Bastano tre
atomi polarizzabili per avere un' interazione che non e' la somma di tre
interazioni di coppia.

Giorgio

[Piero Vico]

L'ho scritto sin dalle prime righe del primo post che faccio
riferimento al semplice caso di punti materiali dotati ciascuno di
campo centrale, un modello idealizzato molto semplice del campo
newtoniano, per esempio.

[Giorgio Pastore]

On 4/29/12 4:02 PM, Piero Vico wrote:
....

> L'ho scritto sin dalle prime righe del primo post che faccio
> riferimento al semplice caso di punti materiali dotati ciascuno di
> campo centrale, un modello idealizzato molto semplice del campo
> newtoniano, per esempio.

Cio' non toglie che l' ipotesi di sovrapposizione non e' contenuta in
modo inevitabile ne' dal punto materiale ne' da interazioni di tipo
centrale.

Essendo un' ipotesi in piu', tanto vale mettere il 3 principio.

Giorgio

[Piero Vico]

Ma quale ipotesi in più, ma di che parliamo? Suvvia. Il carattere
elementare di questa proprietà delle forze non è lontanamente
paragonabile al 3° principio. In presenza di due o più forze, se ne fa
la composizione vettoriale. La forza è un vettore e lo spazio lineare.

[Piero Vico]

On Apr 29, 6:21 pm, Piero Vico <eng...@teletu.it> wrote:
> On Apr 29, 5:05 pm, Giorgio Pastore <past...@units.it> wrote:
>
> > On 4/29/12 4:02 PM, Piero Vico wrote:
> > Cio' non toglie che l' ipotesi di sovrapposizione non e' contenuta in
> > modo inevitabile ne' dal punto materiale ne' da interazioni di tipo
> > centrale.

Non inevitabile? Fammi un controesempio, sono proprio curioso. Ricordo
che il campo è centrale, ogni punto ha la sua massa, lo spazio è
euclideo E^3,

[Alessandro_]

On 29 Apr, 18:21, Piero Vico wrote:

>In presenza di due o più forze, se ne fa la composizione vettoriale.

E questo fatto lo hai un po' sottovalutato.
Nelle implicazioni fisicamente significative del terzo principio e'
_fondamentale_ che la coppia di forze abbia braccio nullo (ovvero che
le due forze abbiano la stessa retta d'azione).
Usando il terzo principio puoi dimostrare impeccabilmente che la
quantita' di moto di un sistema isolato di n punti materiali si
conserva, ma *non e' assolutamente vero il viceversa*!

Per quanto mi riguarda, la "forma debole" del terzo principio e' del
tutto inutile ed esiste solo per Moretti.

[Piero Vico]

On Apr 29, 7:16 pm, Alessandro_ <alessandr...@yahoo.it> wrote:
> On 29 Apr, 18:21, Piero Vico wrote:
>
> >In presenza di due o più forze, se ne fa la composizione vettoriale.
>
> E questo fatto lo hai un po' sottovalutato.
> Nelle implicazioni fisicamente significative del terzo principio e'
> _fondamentale_ che la coppia di forze abbia braccio nullo (ovvero che
> le due forze abbiano la stessa retta d'azione).

L'ho già detto che per un campo centrale di un punto materiale è
automatico. Fare distinzione tra forte e debole in questo caso è
inutile.

> Usando il terzo principio puoi dimostrare impeccabilmente che la
> quantita' di moto di un sistema isolato di n punti materiali si
> conserva, ma *non e' assolutamente vero il viceversa*!

Ti devo credere sulla parola? Dovresti trovare un esempio in cui non è
vero, altrimenti...è vero.
Sia Fij il vettore d'interazione tra 2 punti mi e mj isolati. Siamo
d'accordo che per n punti la forza Fi agente su i sia la somma Fij con
j=1...n ?

> Per quanto mi riguarda, la "forma debole" del terzo principio e' del
> tutto inutile ed esiste solo per Moretti.

Anche il Goldstein (e non so quanti altri) fa distinzione tra weak and
strong version of the principle of action and reaction

[Elio Fabri]

Piero Vico ha scritto:
> Riferito questo, ne deduco che nella sua versione finale Newton non

> presuppone l'invarianza dei suoi 3 principi rispetto a sistemi

> inerziali, ma la deriva, partendo da uno spazio assoluto, diverso
> dallo spazio galileiano, introdotto da Arnold sin dalle prime pagine.
>

> Principia, Corollary 5. When bodies are enclosed in a given space,
> their motions in relation to one another are the same whether the
> space is at rest or whether it is moving uniformly straight forward
> without circular motion.

Siccome fidarsi è bene, ma non fidarsi (delle traduzioni) è meglio, vi
propongo l'originale latino, del corollario e della "dimostrazione":
---------------------------------------
Corporum dato spatio inclusorum ijdem sunt motus inter se, sive
spatium illud quiescat, sive moveatur idem uniformiter in directum
absque motu circulari.

Nam differentiae motuum tendentium ad eandem partem, & summae
tendentium ad contrarias, eadem sunt sub initio in utroque casu (ex
hypothesi) & ex his summis vel differentiis oriuntur congressus &
impetus quibus corpora se mutuo feriunt. Ergo per Legem 2 aequales
erunt congressuum effectus in utroq; casu, & propterea manebunt motus
inter se in uno casu aequales motibus inter se in altero. Idem
comprobatur experimento luculento. Motus omnes eodem modo se habent in
Navi, sive ea quiescat, sive moveatur uniformiter in directum.
---------------------------------------
Ho scritto "dimostrazione" tra virgolette, per attirare la vostra
attenzione: vi sembra che si tratti davvero di una dimostrazione?

> Ma quale ipotesi in più, ma di che parliamo? Suvvia. Il carattere
> elementare di questa proprietà delle forze non è lontanamente
> paragonabile al 3° principio. In presenza di due o più forze, se
> ne fa la composizione vettoriale. La forza è un vettore e lo spazio
> lineare.

Ecco che cosa succede quando si pretende di ridure la fisica alla
matematica :-(
Come lo dimostri che la forza è un vettore?

Comunque, ultimo avviso.
Vi ho fornito "largo spazio di filosofare", ma non interverrò più fin
quando continuerete a trattare questo argomento su ism.


--
Elio Fabri

[Yoda]

Addi' 29 apr 2012, Elio Fabri scrive:
> Piero Vico ha scritto:

>> Principia, Corollary 5. When bodies are enclosed in a given space,
>> their motions in relation to one another are the same whether the
>> space is at rest or whether it is moving uniformly straight forward
>> without circular motion.

[...cut...]

> Ho scritto "dimostrazione" tra virgolette, per attirare la vostra
> attenzione: vi sembra che si tratti davvero di una dimostrazione?

Non bisogna confondere: corollario d'un teorema e' un teorema, ma
corollario d'un postulato, come e' appunto il principio di reazione, e'
un postulato.

>> Ma quale ipotesi in più, ma di che parliamo? Suvvia. Il carattere
>> elementare di questa proprietà delle forze non è lontanamente
>> paragonabile al 3° principio. In presenza di due o più forze, se
>> ne fa la composizione vettoriale. La forza è un vettore e lo spazio
>> lineare.

> Ecco che cosa succede quando si pretende di ridure la fisica alla
> matematica :-(
> Come lo dimostri che la forza è un vettore?

Appunto col quinto corollario: l'azione delle forze componenti equivale
a quella della forza risultante.

--
Tanti saluti

[Piero Vico]

On Apr 29, 8:56 pm, Elio Fabri <elio.fa...@tiscali.it> wrote:
> Come lo dimostri che la forza è un vettore?

Lo è per definizione: derivata seconda del vettore posizione r per la
massa. Il suo valore è un fatto sperimentale. Si ottiene quindi un
campo vettoriale.

[Giorgio Pastore]

On 4/29/12 6:21 PM, Piero Vico wrote:
....

> Ma quale ipotesi in più, ma di che parliamo? Suvvia.

Io parlo di fisica. Tu non so. Apparentemente confondi ipotesi fisiche e
matematiche.

> Il carattere
> elementare di questa proprietà delle forze non è lontanamente
> paragonabile al 3° principio. In presenza di due o più forze, se ne fa
> la composizione vettoriale. La forza è un vettore e lo spazio lineare.

Appunto.

Il carattere vettoriale della forza e' un risultato della fisica. Dopo
che hai *scoperto* che le forze sono vettori (i vettori sono invece una
costruzione matematica) puoi applicare tutto quello che ne consegue.

Pero' dal fatto (vero per gli spazi vettoriali) che puoi sempre sommare
a due a due le forze, non consegue ne' che queste obbediscano il terzo
principio, ne' che la forza su un corpo in presenza di altri due debba
essere la somma delle forze tra le due coppie prese separatamente (e
questo e' il principio di sovrapposizione). Che non sia cosi' in
generale e' matematica. Scoprire se ci sono e quali siano le interazioni
per cui sia cosi' e' fisica.

Esempi:

forza centrale tra due masse (m1 e m2) che non soddisfa il III principio:

F12 = k*(m1/m2)/r^2 (F12 e' il modulo della forza su 1 esercitata da
2; k una costante e r la distanza 1-2


potenziale di interazione a 3 corpi che *non* e' ottenibile come somma
di potenziali di coppia (e quindi non vale il principio di
sovrapposizione) pur essendo compatibile con ' approssimazione di punto
materiale.

U = A/(r12*r13*r23) (rij e' la distanza tra punto i e punto j)

Giorgio

PS concordo con Elio sul fatto che il contenuto del thread e' al 99% di
fisica.

[Giorgio Pastore]

On 4/30/12 12:01 AM, Piero Vico wrote:
> On Apr 29, 8:56 pm, Elio Fabri<elio.fa...@tiscali.it> wrote:

>> Come lo dimostri che la forza č un vettore?
>
> Lo č per definizione: derivata seconda del vettore posizione r per la
> massa. Il suo valore č un fatto sperimentale. Si ottiene quindi un
> campo vettoriale.

Domanda matematica:
la derivata seconda del vettore posizione definisce una funzione di che
variabile e su che dominio ?

Le affermazioni necessarie per questa discussione (quella sul III
principio, intendo) riguardano la dipendenza della forza da quali
variabili ?

Giorgio

[Piero Vico]

On Apr 30, 12:48 am, Giorgio Pastore <past...@units.it> wrote:
> Domanda matematica:
> la derivata seconda del vettore posizione definisce una funzione di che
> variabile e su che dominio ?

Stabilire su che variabile e dominio sia definita credo sia
innanzitutto una questione fisica, ed il modello matematico viene
dopo. Comunque la risposta è scritta in qualunque libro di meccanica,
dall'Arnold alle dispense di Moretti. Sin dalle prime righe del mio
primo post avevo specificato a cosa facevo riferimento, proprio per
evitare questo avvitarsi in domande e puntualizzazioni tecniche
pedanti senza arrivare al dunque. Con Tetis si era avuta una certa
discussione proficua, forse perché anche lui aveva sotto mano il libro
di Arnold.

> Le affermazioni necessarie per questa discussione (quella sul III
> principio, intendo) riguardano la dipendenza della forza da quali
> variabili ?

Idem come sopra, un'occhiata all'Arnold no? Facciamo prima, altrimenti
va a finire che devo puntualizzare qui tutto quello che è scritto nei
primi capitoli del libro.
Ho già scritto in uno dei primi post di questo tread la definizione di
campo centrale nell'Arnold. Da lì discende la dipendenza del modulo
dalla sola distanza dal centro.

[Piero Vico]

On Apr 30, 12:34 am, Giorgio Pastore <past...@units.it> wrote:
> Il carattere vettoriale della forza e' un risultato della fisica. Dopo
> che hai *scoperto* che le forze sono vettori (i vettori sono invece una
> costruzione matematica) puoi applicare tutto quello che ne consegue.

Se proprio vogliamo partire da adamo ed eva, forse è meglio dire così:
il fatto sperimentale è che la quantità di moto in una data direzione
dello spazio varia linearmente ad un valore F determinato
sperimentalmente e che può essere funzione della sola posizione e
velocità del punto, dato che i valori di x e x' determinano
completamente l'evoluzione del moto (principio di determinismo di
Newton), quindi per ogni direzione dello spazio si può scrivere una
eq. del tipo x''=F(x,x',t).

> Pero' dal fatto (vero per gli spazi vettoriali) che puoi sempre sommare
> a due a due le  forze, non consegue ne' che queste obbediscano il terzo
> principio

E chi l'ha mai voluto affermare?

> ne' che la forza su un corpo in presenza di altri due debba
> essere la somma delle forze tra le due coppie prese separatamente (e
> questo e' il principio di sovrapposizione). Che non sia cosi' in
> generale e' matematica.

E chi l'ha mai voluto affermare *in generale*? Mi sono sempre riferito
solo ad un caso particolarissimo.

> Scoprire se ci sono e quali siano le interazioni
> per cui sia cosi' e' fisica.

Stiamo parlando di un modello matematico di un sistema fisico
idealizzato. Chi ha mai voluto limitare tutto solo alla matematica?

> Esempi:
>
> forza centrale tra due masse (m1 e m2) che non soddisfa il III principio:
>
> F12 = k*(m1/m2)/r^2     (F12 e' il modulo della forza su 1 esercitata da
> 2; k una costante e r la distanza  1-2

L'abbiamo già fatto questo esempio, non ha senso fisicamente, viola il
3°p. Oppure, introducendo il concetto di lavoro, si potrebbe dire che
viola la conservazione dell'energia, in un sistema meccanico
potenziale.

> potenziale di interazione a 3 corpi che *non* e' ottenibile come somma
> di potenziali di coppia (e quindi non vale il principio di
> sovrapposizione) pur essendo compatibile con ' approssimazione di punto
> materiale.
>
> U = A/(r12*r13*r23)     (rij e' la distanza tra punto i e punto j)

No, mi devi scrivere una funzione vettoriale del tipo F(|r12|)*e_r
(con e_r versore del raggio vettore r12 del punto 2 rispetto al centro
O del punto 1).

[cometa_luminosa]

On Apr 30, 12:01 am, Piero Vico <eng...@teletu.it> wrote:
> On Apr 29, 8:56 pm, Elio Fabri <elio.fa...@tiscali.it> wrote:
>
> > Come lo dimostri che la forza è un vettore?
>
> Lo è per definizione:

Ma neanche per idea. Lo e' per un fatto sperimentale.
Distinguere fisica da matematica...

--
cometa_luminosa

[superpollo]

cometa_luminosa ha scritto:

hai ragione a dir di distinguere, ma poiche' *per definizione* la forza
e' la derivata di un vettore...

bye

--
>> Non vedi che si puo' dimostrare che 0/0=1.
>> Cosa vuoi che ti faccio se non vedi ??
> Che me lo dimostri.
Non si puo', se non vedi non vedi e basta.

[cometa_luminosa]

On Apr 24, 7:55 pm, "Tommaso Russo, Trieste" <tru...@tin.it> wrote:
> Il 24/04/2012 18:29, superpollo ha scritto:
>
> > alcuni?
> > c'e' qualcheduno che NON usa questa come definizione di f.c.?
>
> Parecchi. Ho incontrato piu' volte la distinzione fra "forza centrale" e
> "forza centrale che dipende solo dal modulo del raggio".
...
> e Wikipedia:
> Una forza  è detta centrale di centro O se è sempre diretta come la
> congiungente tra un punto materiale P, che si muove nello spazio sotto
> l'azione della forza, e il centro fisso O.
...
> La pagina inglese di Wikipedia riporta invece la definizione con la
> dipendenza funzionale dal solo raggio:
> In classical mechanics, a central force is a force whose magnitude only
> depends on the distance r of the object from the origin and is directed
> along the line joining them.

La cosa buffa e' che la voce di wiki italiana, tedesca e russa,
concordano tra loro con la definizione di forza diretta verso il
centro, la voce di wiki inglese, francese e spagnola, concordano con
la definizione di forza diretta verso il centro E dipendente solo da
r.

Si stanno delineando nuove alleanze mondiali? :-)

--
cometa_luminosa

[cometa_luminosa]

On Apr 30, 1:44 pm, superpollo <superpo...@tznvy.pbz> wrote:
> cometa_luminosa ha scritto:
>
> > On Apr 30, 12:01 am, Piero Vico <eng...@teletu.it> wrote:
> >> On Apr 29, 8:56 pm, Elio Fabri <elio.fa...@tiscali.it> wrote:
>
> >>> Come lo dimostri che la forza è un vettore?
> >> Lo è per definizione:
>
> > Ma neanche per idea. Lo e' per un fatto sperimentale.
> > Distinguere fisica da matematica...
>
> hai ragione a dir di distinguere, ma poiche' *per definizione* la forza
> e' la derivata di un vettore...

...ma solo dopo che hai trovato che la forza e' un vettore. Altrimenti
definisci un ente matematico che e' il prodotto di massa ed
accelerazione, ma non puoi associarlo ad alcun ente fisico.

--
cometa_luminosa

[superpollo]

cometa_luminosa ha scritto:
> On Apr 30, 1:44 pm, superpollo <superpo...@tznvy.pbz> wrote:
>> cometa_luminosa ha scritto:
>>
>>> On Apr 30, 12:01 am, Piero Vico <eng...@teletu.it> wrote:
>>>> On Apr 29, 8:56 pm, Elio Fabri <elio.fa...@tiscali.it> wrote:

>>>>> Come lo dimostri che la forza č un vettore?

>>>> Lo č per definizione:

>>> Ma neanche per idea. Lo e' per un fatto sperimentale.
>>> Distinguere fisica da matematica...
>> hai ragione a dir di distinguere, ma poiche' *per definizione* la forza
>> e' la derivata di un vettore...
>
> ...ma solo dopo che hai trovato che la forza e' un vettore

ma quantita' di moto e' un vettore?

[Giorgio Pastore]

On 4/30/12 7:15 PM, superpollo wrote:
....

> ma quantita' di moto e' un vettore?

Dipende dalla definizione di quantita' di moto.
Se la definisci come m*v allora tutto dipende da cosa e' m. Che sia uno
scalare *e'* un fatto fisico.

Giorgio

[superpollo]

Giorgio Pastore ha scritto:

non sono del tutto d'accordo... il fatto fisico e' che le variazioni di
velocita' di due particelle interagenti sono vettori linearmente
dipendenti; un altro fatto fisico e' che il coefficiente (lo scalare)
che lega tali vettori e' negativo ed e' determinato se e' fissata la
coppia di particelle. la definizione di m (massa inerziale), che
discende da questi fatti fisici, e' invece una pura questione di
convenienza.

[Giorgio Pastore]

Visto che vuoi restare nel solco di Arnold, vediamo se ti va bene questa
risposta.

On 4/29/12 3:01 PM, Piero Vico wrote:
....

> Vedete un po' se questo ragionamento fila:
> Dato un sistema chiuso fatto di n punti materiali ri (i=1,...n),
> ciascuno con massa mi e campo centrale Fi, definisco il lavoro
> dL:=Fds. Assumo che il sistema possieda in un dato istante una
> quantità scalare dipendente dalla sola posizione dei suoi punti :=
> U(r1,..,rn), e che dL:=-dU.
> Dall'invarianza galileiana, la U deve essere funzione di (|ri-rj|).

No. In mdo piu' generale puo' essere una funzione
U(|r1-r2|,|r1-r3|,...,|r(n-1)-rn|)

> Poiché grad(U)=-F, segue che per due punti isolati sia Fij=-Fji

ok

(e
> quindi per sovrapposizione anche per n punti).

No perche' non sta scritto da nessuna parte che in generale valga la
sovrapposizione. Dalla scrittura di cui sopra non ricavi la validita'
generale della sovrapposizione. Infatti Arnold deve introdurre dei
sistemi particolari (le cui forze chiama forze di interazione) per cui
vale la sovrapposizione *e* il III principio.

Percio' l' ipotesi che il potenziale sia della forma
somma_{i,j} phi(|ri-rj|), o l' ipotesi di forze di interazione di
Arnold (che obbediscono a coppie il III principio e per cui vale la
sovrapposizione) sono due modi di introdurre qualcosa che non sta tutta
nel principio di relativita. galileiano.

Piu' interessante e' che il teorema della conservazione della quantita'
di moto vale anche in assenza del III principio per forze derivate dal
potenziale [1]. E questo e' un esempio piu' "meccanico" dei soliti, in
cui compaiono campi, della piu' ampia validita' della conservazione
della q. di moto rispetto al III principio.

Giorgio

[Giorgio Pastore]

On 5/1/12 12:10 AM, superpollo wrote:
> Giorgio Pastore ha scritto:
>> On 4/30/12 7:15 PM, superpollo wrote:
>> ....
>>> ma quantita' di moto e' un vettore?
>>
>> Dipende dalla definizione di quantita' di moto.
>> Se la definisci come m*v allora tutto dipende da cosa e' m. Che sia
>> uno scalare *e'* un fatto fisico.
>
> non sono del tutto d'accordo... il fatto fisico e' che le variazioni di
> velocita' di due particelle interagenti sono vettori linearmente
> dipendenti; un altro fatto fisico e' che il coefficiente (lo scalare)
> che lega tali vettori e' negativo ed e' determinato se e' fissata la
> coppia di particelle. la definizione di m (massa inerziale), che
> discende da questi fatti fisici, e' invece una pura questione di
> convenienza.

No. Anche se hai un solo grado di liberta' e la legge oraria e'
indubitabilmente un campo vettoriale, la natura della separazione della
derivata seconda (un vettore) nel rapporto tra un vettore forza
(dipendente dalla posizione e velocita' del corpo relativamente ad altri
corpi fissi, ) e uno scalare (dipendente solo dal corpo) e' un fatto
sperimentale. Da un punto di vista puramente matematico, poteva andar
bene anche una massa vettoriale e una forza tensoriale o cose piu'
complicate.

Giorgio

[superpollo]

mi fido... ma ammetto di non aver capito molto.

[Piero Vico]

On May 1, 1:06 am, Giorgio Pastore <past...@units.it> wrote:
> > Dall'invarianza galileiana, la U deve essere funzione di (|ri-rj|).
>
> No. In mdo piu' generale puo' essere una funzione
> U(|r1-r2|,|r1-r3|,...,|r(n-1)-rn|)

ovvio che era sottinteso per i,j=1,...,n , la U è totale e comprende
tutti gli n punti.

> > Poiché grad(U)=-F, segue che per due punti isolati sia Fij=-Fji
>
> ok
>
> (e
>
> > quindi per sovrapposizione anche per n punti).
>
> No perche' non sta scritto da nessuna parte che in generale valga la
> sovrapposizione. Dalla scrittura di cui sopra non ricavi la validita'
> generale della sovrapposizione. Infatti Arnold deve introdurre dei
> sistemi particolari (le cui forze chiama forze di interazione) per cui
> vale la sovrapposizione *e* il III principio.

Non mi quadra o quello che dici tu, o quello che è scritto nel libro.
Cito a p.48:
<In questo paragrafo si dimostrano le leggi di cons. dell'ener.,
dell'imp. e del momento per un sistema di punti materiali in E^3>
(consideri questo un "sistema particolare"? Se sì, allora siamo a
posto, io non considero altri sistemi oltre a quello che scrive
Arnold)
<Sistema di eq. vettoriali mi*ri=Fi per i=1,..n,. Le forze Fi spesso
in un sistema di due punti, sono uguali ed opposte:="forze di
interazione". Se tutte le forze che agiscono sugli n punti sono forze
di interazione, allora il sistema è definito chiuso e per definizione
Fi=somma_Fij per "j=1..n escluso i", Fij forza agente sull'i_esimo
punto da parte punto j> (dov'è che ha *dovuto* introdurre il p. di
sovrapposizione?)
Da qui in poi discendono tutte le leggi di conservazione del capitolo.
Quindi il mio ragionamento "taglia e cuce" solo nella dimostrazione
che per due punti isolati valga l'azione-reazione, senza usare
l'esperimento, il 3°p., e dopo pongo, come Arnold, che tutti i punti
abbiano questo tipo di "forza di interazione", e si passa subito a
fare la composizione delle forze, la somma vettoriale, per definizione.

[Piero Vico]

On May 1, 1:21 am, superpollo <superpo...@tznvy.pbz> wrote:
> Giorgio Pastore ha scritto:

> > la natura della separazione della
> > derivata seconda (un vettore) nel rapporto tra  un vettore forza
> > (dipendente dalla posizione e velocita' del corpo relativamente ad altri
> > corpi fissi, ) e uno scalare (dipendente solo dal corpo) e' un fatto
> > sperimentale. Da un punto di vista puramente matematico, poteva andar
> > bene anche una massa vettoriale e una forza tensoriale o cose piu'
> > complicate.
>
> mi fido... ma ammetto di non aver capito molto.

E' un fatto sperimentale che x''_1/x''_2=m_2/m_1 per un'ugale forza
applicata (i.e. uguale distanza e velocità da un altro corpo). La
massa quindi è una proprietà del corpo. Il prodotto mx'' ne è invece
indipendente.

[Giorgio Pastore]

On 5/1/12 11:20 AM, Piero Vico wrote:
....

> E' un fatto sperimentale che x''_1/x''_2=m_2/m_1 per un'ugale forza
> applicata (i.e. uguale distanza e velocità da un altro corpo). La
> massa quindi è una proprietà del corpo.

Per chiarezza. Non solo e' una proprieta' del corpo ma e' uno scalare. E
questo e' la base sperimentale per poter dire che la forza e' un vettore
a partire da una definizione dinamica delle forze attraverso il vettore
accelerazione.

Giorgio

[Giorgio Pastore]

On 5/1/12 11:03 AM, Piero Vico wrote:
> On May 1, 1:06 am, Giorgio Pastore<past...@units.it> wrote:

....

>> No perche' non sta scritto da nessuna parte che in generale valga la
>> sovrapposizione. Dalla scrittura di cui sopra non ricavi la validita'
>> generale della sovrapposizione. Infatti Arnold deve introdurre dei
>> sistemi particolari (le cui forze chiama forze di interazione) per cui
>> vale la sovrapposizione *e* il III principio.
>
> Non mi quadra o quello che dici tu, o quello che è scritto nel libro.
> Cito a p.48:
> <In questo paragrafo si dimostrano le leggi di cons. dell'ener.,
> dell'imp. e del momento per un sistema di punti materiali in E^3>
> (consideri questo un "sistema particolare"? Se sì, allora siamo a
> posto, io non considero altri sistemi oltre a quello che scrive
> Arnold)

Non e' qui che Arnold particolarizza. Vedi dopo.

> <Sistema di eq. vettoriali mi*ri=Fi per i=1,..n,. Le forze Fi spesso
> in un sistema di due punti, sono uguali ed opposte:="forze di
> interazione".

Qui A. sta particolarizzando. Dal fatto che siano uguali e opposte nel
caso di 2 punti isolati non consegue che questa proprieta' continui a
valere in generale con 3 o piu' corpi.

Se si insiste a lavorare nel caso particolare di forze additive, allora,
nel quadro di A.,e' ampiamente equivalente usare il principio di
invarianza galileiana o il III principio.

Secondo me, tutto il problema nasce dal fatto che A. non e'
particolarmente chiaro su questo punto e introduce l' ipotesi di forze
di coppia senza dirlo esplicitamente.

D'altronde, sarebbe praticamente inutile una meccanica i cui risultati
dipendano in modo cruciale dall' ipotesi di additivita' a coppie delle
forze, visto che praticamente tutte le interazioni atomiche in natura
non la rispettano.

Giorgio

[Piero Vico]

On May 1, 2:50 pm, Giorgio Pastore <past...@units.it> wrote:
> Qui A. sta particolarizzando. Dal fatto che siano uguali e opposte nel
> caso di 2 punti isolati non consegue che questa proprieta' continui a
> valere in generale con 3 o piu' corpi.

Cioè A. sottintende che valga la sovrapposizione, non lo dice
esplicitamente ma lo dà per assunto?
(Forse perché sin dal principio nel capitolo ha lavorato con campi
centrali del tipo F(|r12|)*e_r

(con e_r versore del raggio vettore r12 del punto 2 rispetto al centro

O del punto 1), per i quali è naturale che valga l'additività)
Oppure introduce l'ipotesi di additività quando dice "Se tutte le
forze che agiscono sugli n punti sono forze di interazione" ? (cioè,
come ha definito prima, forze uguali ed opposte per ogni coppia di
punti presa isolatamente)"

> Se si insiste a lavorare nel caso particolare di forze additive, allora,
> nel quadro di A.,e' ampiamente equivalente usare il principio di
> invarianza galileiana o il III principio.

E come? Non è che sia così evidente. Io ho provato un ragionamento.
Limitata la questione ad un sistema in cui valga l'additività delle
forze, allora può andare? Se fosse vero che è "ampiamente equivalente
usare il principio di invarianza galileiana o il III principio, nel
quadro di A.", allora avrebbe potuto dimostrare tutto facendo a meno
di introdurre il 3° principio?.

[cometa_luminosa]

On Apr 30, 7:15 pm, superpollo <superpo...@tznvy.pbz> wrote:
> cometa_luminosa ha scritto:
>

> > ...ma solo dopo che hai trovato che la forza e' un vettore
>
> ma quantita' di moto e' un vettore?
>

Vedo che ti ha risposto Giorgio, con un argomento che non mi sarebbe
venuto in mente. Io ti avrei dato (magari sbagliando :-) ) una
risposta diversa: anche ammesso che la quantita' di moto sia un
vettore, chi mi dice che la sua derivata temporale debba essere cio'
che in fisica abbiamo gia' definito, in altro modo, essere una forza?
Qual'e' l'altro modo? La fisica si impara partendo dalla statica,
ovvero dai fili messi in tensione (o dalle molle, che e' lo stesso).
Poi si dimostrera' che cio' equivale alla derivata temporale della
quantita' di moto, ma solo dopo.

--
cometa_luminosa

[superpollo]

cometa_luminosa ha scritto:

si puo' viceversa DEFINIRE la forza come derivata della qdm, o no?

bye

--
Diventare intelligente con la Standard, non e' la mia aspirazione,
la mia aspirazione e' solo di correggerla alla base,
per liberare l'umanita' intera da questo cancro, che per ora
sembrerebbe necessario.

[cometa_luminosa]

On May 1, 8:37 pm, superpollo <superpo...@tznvy.pbz> wrote:

> si puo' viceversa DEFINIRE la forza come derivata della qdm, o no?
>

Non in fisica. Lo puoi fare, a mio avviso, solo in meccanica razionale/
meccanica analitica perche' li' non ti stai a preoccupare dei fatti
sperimentali, li prendi per buoni.

--
cometa_luminosa

[superpollo]

cometa_luminosa ha scritto:

non concordo: definire la forza come derivata della qdm ha il suo
fondamento sperimentale nella conservazione della qdm stessa, per
sistemi isolati. ho letto di recente il lavoro di huygens di critica
all'impostazione di cartesio della meccanica degli urti...

[cometa_luminosa]

On May 1, 9:05 pm, superpollo <superpo...@tznvy.pbz> wrote:
> cometa_luminosa ha scritto:
>
> > On May 1, 8:37 pm, superpollo <superpo...@tznvy.pbz> wrote:
>
> >> si puo' viceversa DEFINIRE la forza come derivata della qdm, o no?
>
> > Non in fisica. Lo puoi fare, a mio avviso, solo in meccanica razionale/
> > meccanica analitica perche' li' non ti stai a preoccupare dei fatti
> > sperimentali, li prendi per buoni.
>
> non concordo: definire la forza come derivata della qdm ha il suo
> fondamento sperimentale nella conservazione della qdm stessa, per
> sistemi isolati. ho letto di recente il lavoro di huygens di critica
> all'impostazione di cartesio della meccanica degli urti...

Il fatto che la quantita' di moto si conservi nei sistemi isolati, fa
parte di quello che io ho definito come *dopo* :-)
E comunque, come dimostreresti, con quella definizione, che se applico
n fili tesi ad un corpo, in un certo modo, il corpo e' in equilibrio ?

--
cometa_luminosa

[Yoda]

Addi' 01 mag 2012, Piero Vico scrive:

> Se fosse vero che è "ampiamente equivalente
> usare il principio di invarianza galileiana o il III principio, nel
> quadro di A.", allora avrebbe potuto dimostrare tutto facendo a meno
> di introdurre il 3° principio?.

Potresti dirmi cosa intendi per "principio d'invarianza galileiana"?
grazie in anticipo.

--
Tanti saluti

[Giorgio Pastore]

On 5/1/12 4:13 PM, Piero Vico wrote:
....

> Cioč A. sottintende che valga la sovrapposizione, non lo dice
> esplicitamente ma lo dŕ per assunto?
Infatti. Non lo dice esplicitamente ma...

...

> Oppure introduce l'ipotesi di additivitŕ quando dice "Se tutte le
> forze che agiscono sugli n punti sono forze di interazione" ? (cioč,

> come ha definito prima, forze uguali ed opposte per ogni coppia di
> punti presa isolatamente)"

Lo fa *quasi* nel passo che hai citato. Dico quasi perche' avrebbe
dovuto dirlo esplicitamente. D'altronde, ho molta stima di Arnold e
penso che da vero matematico di classe non si sia posto il problema di
spaccare il capello in 54 (a differenza di certi fisici matematici
nostrani... niente paura, non e' un apprezzamento per nessuno del NG ma
solo per persone che ho incontrato nel corso degli anni...).

>
>> Se si insiste a lavorare nel caso particolare di forze additive, allora,
>> nel quadro di A.,e' ampiamente equivalente usare il principio di
>> invarianza galileiana o il III principio.
>

> E come? Non č che sia cosě evidente. Io ho provato un ragionamento.
> Limitata la questione ad un sistema in cui valga l'additivitŕ delle
> forze, allora puň andare?

Quello che vedo chiaramente e' che per sistemi conservativi con
interazioni additive omogenee e isotrope la dipendenza dell' energia da
somme di termini di coppia funzione di |ri-rj| ti da' automanticamente
il III principio e in questo senso il tuo ragionamento e' valido.

>Se fosse vero che č "ampiamente equivalente

> usare il principio di invarianza galileiana o il III principio, nel
> quadro di A.", allora avrebbe potuto dimostrare tutto facendo a meno
> di introdurre il 3° principio?.

Mah. Qui occorrerebbe fare una seduto spiritica e chiedere ad Arnold
cosa voleva fare. Io ho scritto ampiamente perche' ci sono situazioni in
cui non c'e' equivalenza. Il post di Tetis del 24/4 8:18 pm mi sembra
suffcuentemente chiaro a questo riguardo.

Giorgio

[Oceano]

Giorgio Pastore <pas...@units.it> ha scritto:

>

Scusa Giorgio, ma Piero è un allievo del nostro caro Valter Moretti?
Sembra di leggere Valter a tratti:)

grazie e ciao:)

--
Pace e Bene

[superpollo]

cometa_luminosa ha scritto:
> On May 1, 9:05 pm, superpollo <superpo...@tznvy.pbz> wrote:
>> cometa_luminosa ha scritto:
>>
>>> On May 1, 8:37 pm, superpollo <superpo...@tznvy.pbz> wrote:
>>>> si puo' viceversa DEFINIRE la forza come derivata della qdm, o no?
>>> Non in fisica. Lo puoi fare, a mio avviso, solo in meccanica razionale/
>>> meccanica analitica perche' li' non ti stai a preoccupare dei fatti
>>> sperimentali, li prendi per buoni.
>> non concordo: definire la forza come derivata della qdm ha il suo
>> fondamento sperimentale nella conservazione della qdm stessa, per
>> sistemi isolati. ho letto di recente il lavoro di huygens di critica
>> all'impostazione di cartesio della meccanica degli urti...
>
> Il fatto che la quantita' di moto si conservi nei sistemi isolati, fa
> parte di quello che io ho definito come *dopo* :-)

dopo cosa? se io osservo la conservazione della qdm, e poi definisco
F=dp/dt, che problema c'e'?

> E comunque, come dimostreresti, con quella definizione, che se applico
> n fili tesi ad un corpo, in un certo modo, il corpo e' in equilibrio ?

questa domanda non l'ho proprio capita...

[Piero Vico]

On May 2, 3:21 pm, "Oceano" <padreeinst...@yahoo.it> wrote:
>...

> grazie e ciao:)
>
> --
> Pace e Bene

Dietro Oceano c'è un Troll che infesta l'ng, ignorate i suoi messaggi.

[cometa_luminosa]

On May 2, 6:05 pm, superpollo <superpo...@tznvy.pbz> wrote:
>
> dopo cosa? se io osservo la conservazione della qdm, e poi definisco
> F=dp/dt, che problema c'e'?

Per me la forza e' cio' che misura un dinamometro. Come lo dimostri,
*solo matematicamente* che questa grandezza e' equivalente alla
derivata temporale della qdm?

> > E comunque, come dimostreresti, con quella definizione, che se applico
> > n fili tesi ad un corpo, in un certo modo, il corpo e' in equilibrio ?
>
> questa domanda non l'ho proprio capita...
>

Vedi sopra.
Ciao.

--
cometa_luminosa

[Oceano]

Piero Vico <eng...@teletu.it> ha scritto:

ah ok, ho capito, tu devi essere un altro personaggio della happy family nuovo
di zecca:)

--
Pace e Bene

[Giorgio Pastore]

On 5/3/12 12:35 AM, cometa_luminosa wrote:
> On May 2, 6:05 pm, superpollo<superpo...@tznvy.pbz> wrote:
>>
>> dopo cosa? se io osservo la conservazione della qdm, e poi definisco
>> F=dp/dt, che problema c'e'?
>
> Per me la forza e' cio' che misura un dinamometro. Come lo dimostri,
> *solo matematicamente* che questa grandezza e' equivalente alla
> derivata temporale della qdm?

...

Ah, l' eterna diatriba sulla definizione di forza...

Seriamente. Se ne volete parlare, aprirei un uovo thread su un NG di
fisica. Qui non c'entra niente.

Giorgio