operatore derivata

[ngs]

Esiste una chiara corrispondenza tra D^n(xy) e (x+y)^n, dove D è
l'operatore derivata. Esiste una parte della matematica che studia
questo tipo di corrispondenze?

Kiuhnm

[Bruno Campanini]

ngs laid this down on his screen :

> Esiste una chiara corrispondenza tra D^n(xy) e (x+y)^n, dove D è l'operatore
> derivata. Esiste una parte della matematica che studia questo tipo di
> corrispondenze?
>

Se per D^n(xy) intendi la derivata parziale n-esima del prodotto di due
variabili x * y, per n=1 abbiamo a sinistra 1, a destra x+y.
Per n>1 abbiamo a sinistra 0, a destra (x+y)^n

Prova a spiegarti meglio che a me le corrispondenze appaiono
più strane che chiare...

Bruno

[Gino Di Ruberto IK8QQM - K8QQM]

Il giorno giovedì 16 agosto 2018 04:05:09 UTC+2, Bruno Campanini ha scritto:

> Prova a spiegarti meglio che a me le corrispondenze appaiono
> più strane che chiare...

Da come scrive, è evidente che x e y siano da intendersi come funzioni, es. x(t) e y(t), e che si parli di derivata totale.
Guarda:

D(x+y) = x'y + xy'

D^2(x+y) = x''y + 2 x'y' + xy''

D^3(x+y) = x'''y + 3 x''y' + 3 x'y'' + xy'''

in generale
D^n(x+y) = ∑ (per k=0,1...n) [ C(n;k) x^(n-k) y^(k) ]

dove, al 2° membro, il simbolo ^(k) denota la derivata k-esima.

Come vedi, la somiglianza con il teorema binomiale è lampante.
Di applicazioni se ne intuiscono un'infinità: dalla meccanica, all'elettronica con circuiti sommatori e derivatori, alla teoria dei sistemi, ecc. Però, alla domanda di Kiuhnm, sinceramente, non so rispondere.

Ciao.
--
Gino Di Ruberto, IK8QQM
(american callsign K8QQM),
ID DMR: 2228273

[Gino Di Ruberto IK8QQM - K8QQM]

AIUTO, CHE HO SCRITTO ⁈
SCUSATE E' IL CALDO!
IGNORATE IL POST!
Ovviamente, ho fatto confusione tra x+y e x∙y.

Ciao, Gino.

[ngs]

On 16/8/2018 08:35, Gino Di Ruberto IK8QQM - K8QQM wrote:
> AIUTO, CHE HO SCRITTO ⁈
> SCUSATE E' IL CALDO!
> IGNORATE IL POST!
> Ovviamente, ho fatto confusione tra x+y e x∙y.

L'idea è giusta, comunque.

(x+y)^1 = x y^0 + x^0 y
~~> x'y + xy' = D(xy)
(x+y)^2 = x^2 y^0 + 2xy + x^0 y^2
~~> x''y + 2x'y' + xy'' = D^2(xy)
ecc...

Indichiamo con § l'operatore che compie la trasformazione "~~>":
D^m(xy) = §((x+y)^m)

Relazioni del genere mi ricordano le funzioni generatrici dove i
passaggi sono da intendersi come puramente formali.

(
Se P è un polinomio,
P(D)e^(rt) = P(r)e^(rt)
da cui, derivando entrambi i membri, si ha
@^m/@r^m P(D)e^(rt) = §((P(r)+e^(rt))^m)
Assumendo derivate parziali continue, la parte sinistra diventa
P(D) (@^m/@r^m e^(rt)) = P(D) t^m e^(rt)
Quindi
P(D) t^m e^(rt) = §((P(r)+e^(rt))^m)
che i fisici dovrebbero riconoscere.
)

Più in generale,
D^m(x_1 x_2 ... x_n) = §((x_1+x_2+...+x_n)^m)

Forse esistono anche altre relazioni più utili... o forse no.
Per ora, § ha più che altro valore mnemonico.

Kiuhnm