Gradiente e massima variazione (?)
Giuseppe
(x,y)) indica la massima variazione di quella funzione in quel punto.
Ma la variazione di cosa? Certo se costruisco le curve di livello
tenendo fermo z facendo variare x e y e poi faccio le derivate
parziali rispetto a x e y (nella direzione standard, perchè il
gradiente da solo è una derivata direzionale nella direzione standard)
è normale che se interpreto la variazione come passare da una curva di
livello a un'altra, il gradiente mi dice proprio questo. Mi dice in
ogni punto la variazione massima di livello. Ma chi lo dice che quella
è una variazione massima, io per variazione massima potrei avere in
testa qualcos'altro...pensateci perchè la cosa potrebbe essere meno
banale di quello che sembra.
sempre_radicale
Beh, il gradiente misura il massimo di /quella/
variazione. Non di altre. Dove sta il problema ?
Giuseppe
Che quella variazione potrebbe essere poca cosa in termini
informativi....ma si continua a pensarla come quella "standard".
Con quella che conta. Come dire? Mi sembra una grossa limitazione.
Simone
>
> Che quella variazione potrebbe essere poca cosa in termini
> informativi....ma si continua a pensarla come quella "standard".
> Con quella che conta. Come dire? Mi sembra una grossa limitazione.
Standard e' un aggettivo che vuol dire tutto ed il contrario
di tutto. DIpende dal contesto. L'importante e' che ci sia dietro una
definizione che sta in piedi. Quello che serve a te in questo preciso
momento non puo' essere oggetto di alcuna teoria generale :-)
radicale
>Con quella che conta.
>Come dire? Mi sembra una grossa limitazione.
Va bene, ma mica esiste solo il gradiente per
descrivere il comportamento di una f(x,y).
Senno' sarebbero cavoli.
Ma tu ... A che "pensi" in realta' :-)
?manu*
> Si dice che il gradiente di una funzione (pensiamola del tipo z=f
> (x,y)) indica la massima variazione di quella funzione in quel punto.
Si dice male. Meglio dire che il vettore gradiente indica la direzione
in cui la funzione ha massima pendenza (ovvero la direzione in cui la
derivata direzionale � massima) mentre il suo modulo � la pendenza massima.
> Ma chi lo dice che quella
> � una variazione massima, io per variazione massima potrei avere in
> testa qualcos'altro...
Infatti. Chi lo dice?
E.
Giuseppe
Va bene allora cos'altro useresti per descrivere come varia la
funzione in un punto? Cos'altro prendi per descrivere la
differenzialità di una funzione?
radicale
>Va bene allora cos'altro useresti per descrivere come >varia la funzione in un punto? Cos'altro prendi per >descrivere la differenzialità di una funzione?
Non so ... Il differenziale totale, ad esempio.
Oppure il raggio R di una sfera osculatrice,
tie' !
Ma insomma si puo' sapere che hai in mente ?
Giuseppe
> On 2 Dic, 19:09, Giuseppe <giuseppe_c...@libero.it> wrote:
>
> >Va bene allora cos'altro useresti per descrivere come >varia la funzione in un punto? Cos'altro prendi per >descrivere la differenzialità di una funzione?
>
> Non so ... Il differenziale totale, ad esempio.
> Oppure il raggio R di una sfera osculatrice,
> tie' !
>
Il differenziale totale non è il prodotto vettoriale tra il gradiente
e la variazione? Quindi misura ogni variazione in rapporto quella
massima del gradiente
> Ma insomma si puo' sapere che hai in mente ?
Questo della sfera osculatrice forse risponde alla mia esigenza. Stavo
pensando a un differenziale che non tenesse conto di come è orientata
la funzione. In effetti gli assi sono una finzione che usiamo noi per
fare i calcoli. Ma non ha senso dire che la funzione si orienta
proprio in quel modo. Devo ancora affinare meglio questo ragionamento.
Simone
> Il differenziale totale non � il prodotto vettoriale tra il gradiente
> e la variazione? Quindi misura ogni variazione in rapporto quella
> massima del gradiente
>
Il prodoto SCALARE, non VETTORIALE.
Giuseppe
> > e la variazione? Quindi misura ogni variazione in rapporto quella
> > massima del gradiente
>
> Il prodoto SCALARE, non VETTORIALE.
OH sorry!
Arcobaleno
>
>
> Si dice male. Meglio dire che il vettore gradiente indica la direzione
> in cui la funzione ha massima pendenza (ovvero la direzione in cui la
>
Questo discorso perché non proviamo a riportarlo nel piano? Il
gradiente nel piano intendo senza scomodare le due variabili
indipendenti:))
Tanto posso fare la derivata direzionale nel piano. E quindi posso
pure introdurre il concetto di gradiente. O no?:)
Se io prendo per es una f(x) in un determinato intervallo chiuso,
ecco che posso dire che c'è un punto x dove la f(x) ha massima
pendenza. La funzione è continua:))
Lo dico perché a mio parere con questo discorso sul gradiente si
continuerà sempre a fare molta confusione.
Ciao
A.
Giuseppe
Si ma nel piano quante direzioni avrei? Solo due, giusto? in questo
caso cosa mi direbbe il gradiente? che la funzione o varia di piu'
destra o varia di piu' a sinistra?
Forse mi sto perdendo qualcosa?
Arcobaleno
>
>
> Si ma nel piano quante direzioni avrei? Solo due, giusto?
>
Tu mi dimostri(e ti ringrazio per il tuo intervento) che ho ragione a
dire a Manu che bisognerebbe parlare della derivata direzionale nel
piano, senza aspettare lo spazio tre dimensionale.
Purtroppo i testi di analisi non sempre sono scritti da gente capace,
e quindi la didattica invece di migliorare peggiora: ma è altro
discorso anche se c'entra moltissimo.
Nel piano quante direzioni puoi trovare? Tutte!
Non abbiamo alcun obbligo di dover derivare rispetto all'asse x, o
all'asse y. Si trova un altro asse e si deriva rispetto a quello. In
genere si trova un vettore e si deriva rispetto a quello. Oppure trovi
un punto lo unisci con l'origine e derivi rispetto a quella direzione
che individui col teorema di Pitagora ed incrementi su quella
direzione.
E' ovvio che se uno deve aspettare il secondo anno per capire che la
derivata rispetto all'asse x è una CONVENZIONE riguardo la direzione e
la si potrà fare rispetto a qualsiasi direzione, ecco che la nostra
mente si blocca e si convince che la derivata ha a che fare solo
rispetto alla tangente e solo rispetto ad una direzione. Poi nello
spazio tre D se ne fanno due perché abbiamo due variabili, mentre non
è così. Se ne fanno due perché bastano per individuare il piano
tangente: una non basta per individuare il piano tangente.
Ma alla fine anche nello spazio 3D posso prendere due qualsiasi
direzioni a cui riferire il piano tangente: cioè lo posso vincolare
secondo due qualsiasi direzioni.
Poi si arriva al concetto di gradiente e ne viene fuori la derivata
secondo UNA sola direzione, ma dietro ci sono altri ragionamenti:
ragionamenti sui quali molti libri glissano, danno le formulette e
stop.
Poi ci si dimentica di spiegare che in realtà non si parla solo del
piano tangente ma di una tangente ad un piano che è cosa diversa, ed è
secondo UNA direzione.
Insomma, troppa confusione. Il problema a mio parere è che l'analisi
vettoriale viene spiegata male, la si confonde con l'analisi classica,
mentre è una vera e propria rivoluzione.
Ciao
A.
p.s. ho rivolto la domanda a Manu su come poterlo fare, se lo sapessi
l'avrei già scritto io. E' che sto studiando l'analisi funzionale in
questo periodo e non l'analisi vettoriale:))
Giuseppe
> direzioni a cui riferire il piano tangente: cioè lo posso vincolare
> secondo due qualsiasi direzioni.
>
> Poi si arriva al concetto di gradiente e ne viene fuori la derivata
> secondo UNA sola direzione, ma dietro ci sono altri ragionamenti:
> ragionamenti sui quali molti libri glissano, danno le formulette e
> stop.
>
Ecco forse sono questi altri ragionamenti che mi mancano. Secondo me
era come se vincolassimo il gradiente a quella direzione....adesso
dopo il tuo intervento mi viene il dubbio che forse quella direzione è
l'unica che mi da la massima pendenza e varia da funzione a funzione.
Ma dovrei capire meglio. Cos'è che costringe il gradiente a quella
direzione, se non una convenzione, come forse pensavo io?
Grazie comunque del tuo intervento
LordBeotian
> (x,y)) indica la massima variazione di quella funzione in quel punto.
Non ha senso quello che hai scritto. Il gradiente è un vettore
associato ad un punto P, la sua direzione indica la direzione in cui
la superficie z=f(x,y) è più ripida in P e il suo modulo indica la
pendenza in P lungo quella particolare direzione.
> Ma la variazione di cosa? Certo se costruisco le curve di livello
> tenendo fermo z facendo variare x e y e poi faccio le derivate
> parziali rispetto a x e y (nella direzione standard, perchè il
> gradiente da solo è una derivata direzionale nella direzione standard)
Ma che vuol dire "direzione standard"???
> è normale che se interpreto la variazione come passare da una curva di
> livello a un'altra, il gradiente mi dice proprio questo.
Il gradiente è ortogonale alle curve di livello, punta nella direzione
in cui la f cresce e con un modulo che indica quanto velocemente
cresce in quella direzione.
> Mi dice in
> ogni punto la variazione massima di livello. Ma chi lo dice che quella
> è una variazione massima, io per variazione massima potrei avere in
> testa qualcos'altro...pensateci perchè la cosa potrebbe essere meno
> banale di quello che sembra.
Non ci siamo. Funziona così: fissato un punto (x0,y0) consideri la
funzione f(x,y) ristretta ad una retta passante per (x0,y0) e avente
per direzione un vettore unitario v. La restrizione di f su questa
retta è una funzione di una variabile quindi puoi calcolarne la
derivata. Ottieni il valore massimo di questa derivata quando prendi v
nella direzione del gradiente.
Tetis
>
> > Si dice che il gradiente di una funzione (pensiamola del tipo z=f
> > (x,y)) indica la massima variazione di quella funzione in quel punto.
>
> Si dice male. Meglio dire che il vettore gradiente indica la direzione
> in cui la funzione ha massima pendenza (ovvero la direzione in cui la
Sono d'accordo a metà con questa definizione. Il problema è che
sebbene la definizione di gradiente sia nata storicamente in spazi
pensati come euclidei e quindi storicamente nasce come la definizione
che stiamo trattando qui, in seguito alcuni autori (ad esempio
Cipolla, Courant Hilbert, fino ai nostri giorni Novikov -- (*nota
allegata) ) hanno preferito una definizione differente, indipendente
dalla struttura metrica e valida anche per varietà generali, questa
definizione ha il difetto di potere essere espressa in modo semplice
(il gradiente è un vettore di R^n formato dalle derivate parziali
rispetto alle coordinate), ma di richiedere un certo sforzo di
astrazione per essere compresa pienamente. Essi si riferiscono
infatti alle componenti del differenziale rispetto alla base dei
differenziali delle coordinate di una varietà, non necessariamente
metrica, e quindi pensano il gradiente come la lista delle derivate
parziali rispetto alle coordinate, indipendentemente dall'esistanza di
una metrica che misuri le distanze (il che è necessario per parlare di
pendenza), mentre molti altri autori, specie di estrazione tecnica o
di quella tradizione francese ancora aderente alle linee guida
dell'ecolé politecnique di Lagrange, D'Alembert, Laplace, Fourier,
presuppongono certamente l'esistenza di una metrica nello spazio delle
coordinate che stanno considerando, e si riferiscono alla
rappresentazione duale del vettore gradiente ed in questo il gradiente
viene ad indicare la direzione in cui la funzione varia più
velocemente a parità di spazio percorso.
Anche riguardo alla derivata direzione si ha questa ambiguità. Quasi
tutti gli autori, con abuso di linguaggio, definiscono la derivata
direzionale come la derivata nella direzione di un vettore v e si
riferiscono al rapporto incrementale:
(f(x + h v) - f(x))/h
ma a rigore due vettori che differiscono per un fattore indicano la
stessa direzione e tuttavia la derivata direzionale nella direzione
del vettore v e la derivata nella direzione del vettore kv sono pari
la prima a k volte la seconda. Quindi questa definizione risulta
legata alla direzione solo a patto di richiedere che il vettore v sia
un vettore unitario, e solo in tal caso si potrà legittimamente
identificare la direzione del vettore gradiente con la direzione in
cui la derivata direzionale è massima. Tuttavia anche in questo caso
c'è un abuso di linguaggio, perchè rimane la possibilità di una
differenza di segno (ricordiamo che con "direzione" in geometria si
intende la giacitura di una retta, mentre il verso è una proprietà
delle due semirette staccate dal punto "di vista", tuttavia nel
linguaggio comune si parla spessissimo di direzione pensando in verità
ad un verso e quindi rispetto al linguaggio comune la definizione è
corretta).
Non sorgerebbe alcuna difficoltà se la differenza fra un vettore ed un
covettore risaltasse immediata per l'intuizione geometrica di tipo
spaziale, mentre non è questo il caso, infatti, sebbene la prima
definizione non indichi affatto una direzione nella varietà, succede
tuttavia che se la varietà è uno spazio affine costruito da uno spazio
vettoriale reale lo si può identificare, mediante isomorfismo con R^n
e lo stesso si può fare per il suo duale, allora in R^n si può sempre
definire la metrica canonica identificando R^n con uno spazio euclideo
di uguale dimensione, ma ovviamente R^n non è metrizzabile in un modo
solo e quindi si ottiene un gradiente dipendente dalla base, che
trasforma esattamente come i vettori di base. Questo modo di pensare
illustra allora la nozione di covarianza e controvarianza senza
staccarsi dall'intuizione geometrica euclidea, ma occorre una certa
esperienza per evitare di confondersi.
(* riguardo agli autori che utilizzano la definizione di gradiente
come elenco delle derivate parziali sono incerto su Bianchi, Dini,
Cremona, Battaglini, Caccioppoli e Picone dovrei andare a controllare,
ma ricordo che con certezza Cipolla cita Dini e Bianchi a proposito di
trasformazioni co-gredienti e probabilmente anche Ricci-Curbastro e
Grossmann, come già Hilbert seguivano la scuola di distinguere fra
varietà pluriestesa e varietà metrica suggerita dall'avvento delle
geometrie non - euclidee e dai lavori di Riemann e Grassmann)
> > Ma chi lo dice che quella
> > è una variazione massima, io per variazione massima potrei avere in
Giuseppe
> On 2 Dic, 14:13, Giuseppe <giuseppe_c...@libero.it> wrote:
>
> > Si dice che il gradiente di una funzione (pensiamola del tipo z=f
> > (x,y)) indica la massima variazione di quella funzione in quel punto.
>
> Non ha senso quello che hai scritto. Il gradiente è un vettore
> associato ad un punto P, la sua direzione indica la direzione in cui
> la superficie z=f(x,y) è più ripida in P e il suo modulo indica la
> pendenza in P lungo quella particolare direzione.
>
E quindi il gradiente in toto indica la massima variazione.
> > Ma la variazione di cosa? Certo se costruisco le curve di livello
> > tenendo fermo z facendo variare x e y e poi faccio le derivate
> > parziali rispetto a x e y (nella direzione standard, perchè il
> > gradiente da solo è una derivata direzionale nella direzione standard)
>
> Ma che vuol dire "direzione standard"???
>
Volevo dire che quella direzione è proprio quella e non un'altra
perchè pensiamo agli assi in quel modo. Prova a pensare a una montagna
che anzichè essere poggiata a terra è poggiata di lato. Il gradiente
cambia. Adesso te lo posso spiegare meglio perchè ho capito meglio il
concetto. Come ho spesso ripetuto nei post precedenti, mi mancava
qualcosa nella definizione di gradiente.
Ma ora penso che forse non è tanto utile sapere la variazione massima
di quella funzione pensata come un "oggetto mobile". Bho.
> > è normale che se interpreto la variazione come passare da una curva di
> > livello a un'altra, il gradiente mi dice proprio questo.
>
> Il gradiente è ortogonale alle curve di livello, punta nella direzione
> in cui la f cresce e con un modulo che indica quanto velocemente
> cresce in quella direzione.
>
> > Mi dice in
> > ogni punto la variazione massima di livello. Ma chi lo dice che quella
> > è una variazione massima, io per variazione massima potrei avere in
> > testa qualcos'altro...pensateci perchè la cosa potrebbe essere meno
> > banale di quello che sembra.
>
> Non ci siamo. Funziona così: fissato un punto (x0,y0) consideri la
> funzione f(x,y) ristretta ad una retta passante per (x0,y0) e avente
> per direzione un vettore unitario v. La restrizione di f su questa
> retta è una funzione di una variabile quindi puoi calcolarne la
> derivata. Ottieni il valore massimo di questa derivata quando prendi v
> nella direzione del gradiente.
E questa la cosa che mi mancava. Per me era come se, se faccio la
derivata in un punto, la retta tangente è quella e basta (se la
funzione è a una variabile), mentre la puoi fare in tutte le
direzione.
Arcobaleno
>
> Ma ora penso che forse non è tanto utile sapere la variazione massima
> di quella funzione pensata come un "oggetto mobile". Bho.
>
Mi permetto di farti gentilmente notare che fino ad ora NESSUNO ha
spiegato passo dopo passo(cosa che in qualche libro si può leggere)
come si arriva al concetto di gradiente. E' ovvio che se non si vede
questo il concetto stesso rimane una mera e banalissima definizione.
Qui fino ad ora hai letto le definizioni, ma non hai letto NULLA su
come si arrivi(o cosa significano in profondità) quelle definizioni.
Sarebbe un po' come se alla domanda cosa è la derivata di una f(x) io
avessi risposto dando la definizione e stop. Ma alla fine cosa si
capisce? NULLA!!
Per capire cosa è la derivata per es. bisogna partire dal concetto di
tangente ad una curva nel piano, o dal caso cinematico. Alle
definizioni ben confezionate in ottimo italiano(o altra lingua) ci si
arriva solo DOPO. E' il prima che richiede CAPACITA' espositive e di
ragionamento NON comuni.
Siamo TUTTI bravi a riportare la pappardella a memoria della
definizione sia ad un esame universitario che su di un ng, ma quello
che sta dietro la pappardella è la VERA matematica.
Ciao:)
A.
p.s. per passare dalle pappardelle ai concetti veri, bisogna ora
aprire qualche libro, magari quello di Binmore(il titolo l'ho indicato
nell'altro thread) o quello di Adams, Calcolo differenziale 2. Altri
libri non fanno capire NULLA, riportano la pappardella!!
Giuseppe
Grazie dei suggerimenti. Mi sono permesso comunque di dire di aver
capito qualcosa in piu' non solo grazie ai post ma perchè comunque (mi
sembrava ovvio) c'è anche una base studio dietro. E credo che ora lo
riesco a vedere il gradiente oltre a saperlo definire. Si, tu ti stai
riferendo ai passaggi nello spazio vettoriale che sono richiesti per
far si che il gradiente sia proprio quello. Ok da un punto di vista
algebrico diciamo che non ho seguito tutti i passaggi,solo quelli
principali, ma come ragionamento direi quasi tutti (anche se devo
ricorrere a strumenti interpretativi un po grezzi). Per ora mi basta
così ma poi ci ritornerò su questi concetti magari quando avrò piu'
chiaro il concetto di misura.
Comunque io sto studiando il libro di Adams e l'ho scelto da solo.
Finora ho sempre scelto i libri da solo e non me ne sono mai pentito.
Penso che questo sia anche un motivo di vanto.
Premettendo che non sono un laureato o laureando di matematica ma lo
faccio solo per una passione personale e quindi ho un bel po di
nozioni da recuperare, si fa il possibile...,sto studiando questo
libro perchè poi vorrei studiare un po di analisi 2 seria dal libro di
Pagani-Scarpa Analisi matematica 2. Tanto per dirti lo avevo comprato
e avevo provato a leggere il primo paragrafo e per me era arabo.
Adesso invece il primo paragrafo lo posso anche cominciare capire ma
vorrei prima finire questo di Adams (è inutile dirti che tutte le
applicazioni inerenti la fisica e la meccanica li salto a pier pari,
lo so che mi sarebbero utili ma ritengo comunque che non sia mio
campo).
Se hai altri suggerimenti non esitare :)
Simone
>
> Comunque io sto studiando il libro di Adams e l'ho scelto da solo.
> Finora ho sempre scelto i libri da solo e non me ne sono mai pentito.
> Penso che questo sia anche un motivo di vanto.
> Premettendo che non sono un laureato o laureando di matematica ma lo
> faccio solo per una passione personale e quindi ho un bel po di
> nozioni da recuperare, si fa il possibile...,sto studiando questo
> libro perch� poi vorrei studiare un po di analisi 2 seria dal libro di
> Pagani-Scarpa Analisi matematica 2.
Pagani-Salsa, non Scarpa!
Giuseppe
> On 2009-12-04 13:02:06 +0100, Giuseppe <giuseppe_c...@libero.it> said:
>
>
>
> > Comunque io sto studiando il libro di Adams e l'ho scelto da solo.
> > Finora ho sempre scelto i libri da solo e non me ne sono mai pentito.
> > Penso che questo sia anche un motivo di vanto.
> > Premettendo che non sono un laureato o laureando di matematica ma lo
> > faccio solo per una passione personale e quindi ho un bel po di
> > nozioni da recuperare, si fa il possibile...,sto studiando questo
> > Pagani-Scarpa Analisi matematica 2.
>
> Pagani-Salsa, non Scarpa!
Ops, Sorry al professor Salsa.
Poincarè
> Premettendo che non sono un laureato o laureando di matematica ma lo
> faccio solo per una passione personale
Ma quanti lupi solitari frequentano questo ng. :-) Mi fa proprio
piacere!
Ciao
Poincarè
Giuseppe
Che vuol dire lupo solitario????
Arcobaleno
Secondo la mia modesta interpretazione significa che c'è uno, sempre
lo stesso, che ulula, ma sempre uno è:)))
Giuseppe
> > > > faccio solo per una passione personale
>
> > > Ma quanti lupi solitari frequentano questo ng. :-) Mi fa proprio
> > > piacere!
>
> > Che vuol dire lupo solitario????
>
> Secondo la mia modesta interpretazione significa che c'è uno, sempre
> lo stesso, che ulula, ma sempre uno è:)))
Ragazzo io ho sempre usato solo questo profilo. Ti consiglio piu' fica
e meno ore sui libri.
Poincarè
> > > Premettendo che non sono un laureato o laureando di matematica ma lo
> > > faccio solo per una passione personale
>
> > Ma quanti lupi solitari frequentano questo ng. :-) Mi fa proprio
> > piacere!
>
> Che vuol dire lupo solitario????
:)
Niente di particolare. Mi piaceva il termine, tutto qui.
Volevo solo dire che c'è parecchia gente che studia per conto proprio
e la cosa mi fa piacere.
Ciao
Poincarè
Giuseppe
Si diciamo che ci provano in molti, personalmente faccio il possibile,
senza tante pretese :)
?manu*
> On 2 Dic, 19:01, ?manu* <paol...@no.spam.unifi.it> wrote:
>> Giuseppe ha scritto:
>>
>>> Si dice che il gradiente di una funzione (pensiamola del tipo z=f
>>> (x,y)) indica la massima variazione di quella funzione in quel punto.
>> Si dice male. Meglio dire che il vettore gradiente indica la direzione
>> in cui la funzione ha massima pendenza (ovvero la direzione in cui la
>
> Sono d'accordo a met� con questa definizione.
Ma questa per me non � la definizione di gradiente, � una sua propriet�.
Come definizione direi che il gradiente � il vettore che rappresenta
il differenziale tramite prodotto scalare:
< Nabla f(x), h > := df(x)[h].
E.
Tetis
> Tetis ha scritto:
>
> > On 2 Dic, 19:01, ?manu* <paol...@no.spam.unifi.it> wrote:
> >> Giuseppe ha scritto:
>
> >>> Si dice che il gradiente di una funzione (pensiamola del tipo z=f
> >>> (x,y)) indica la massima variazione di quella funzione in quel punto.
> >> Si dice male. Meglio dire che il vettore gradiente indica la direzione
> >> in cui la funzione ha massima pendenza (ovvero la direzione in cui la
>
> > Sono d'accordo a metà con questa definizione.
>
> Ma questa per me non è la definizione di gradiente, è una sua proprietà.
Oggi non è considerata una definizione del gradiente, ma storicamente
questa era la definizione più naturale.
> Come definizione direi che il gradiente è il vettore che rappresenta
> il differenziale tramite prodotto scalare:
>
> < Nabla f(x), h > := df(x)[h].
>
> E.
Dal che si dovrebbe però dedurre che in mancanza di un prodotto
scalare il gradiente non può essere definito. Diversamente esiste una
tradizione matematica che definisce il gradiente come un vettore riga
di R^n che moltiplicato formalmente per il vettore colonna dei
differenziali secondo la regola canonica di moltiplicazione delle
matrici, eguaglia il differenziale. Questo vettore coincide con il
vettore delle derivate parziali. Se è dato un prodotto interno non
degenere si riottiene la tradizionale rappresentazione del vettore
gradiente considerando le componenti dell'immagine mediante
l'isomorfismo indotto dal prodotto scalare.
Volendo dare una sola definizione valida in entrambi i casi si può
procedere in questo modo: la definizione di gradiente naturale è
quella da te anteposta, e se non è dato un prodotto scalare si
considera il prodotto scalare indotto dal prodotto canonico di R^n e
questo lo si chiama gradiente delle coordinate generali o gradiente
generalizzato. Secondo Courant Hilbert questo è il gradiente tout-
court, mentre quello che definisci tu è la sua rappresentazione
naturale. In Wikipedia anche nella voce inglese si trovano confuse ed
usate entrambe le definizione.
Nel caso di coordinate ortogonali per passare dal gradiente delle
coordinate alla sua rappresentazione naturale basta in pratica
dividere le coordinate parziali per gli elementi di lunghezza,
definiti come norma del vettore associato alla coordinata, e
moltiplicare per il versore associato alla coordinata. Questo equivale
al metodo generale di moltiplicare questo vettore per la matrice che
rappresenta la metrica indotta nello spazio duale rispetto alla base
dei differenziali delle coordinate (nel linguaggio delle categorie è
la forma trasposta è quella forma bilineare fra vettori duali a*,b*
tale che g*(a*(v),b*(w)) = g(v,w) e se g è la matrice che rappresenta
la forma bilineare g(,) in una data base di V risulta che g^(-1) la
rappresenta nella base duale)
g^(-1) grad( f )
e moltiplicare il risultato, componente per componente per i vettori
coordinati, (ovvero se p(x1,...xn) è il punto di coordinate x1,..,xn
si definisce vettore coordinato relativa alla coordinata x_i: dp
(x1, ... , xn)/dx_i e lo si indica con e_i dove d indica il simbolo di
derivata parziale, risulta che per costruzione questa è una base duale
della base dei differenziali). Quello che si ottiene è un elemento di
TM_p ovvero la fibra nel punto P del fibrato tangente alla varietà M.
Questi vettori definiscono, per ipotesi la rappresentazione nelle date
coordinate del prodotto scalare:
<e_i e_ j>_x = g_i j (x)
e di conseguenza risulta che per un vettore h = dx_ j /ds:
<gradnaturale(f),h> = (Sum_i [g^(-1) grad( f )]^i e_i ) (Sum_ j x_j
dx_ j (s)/ds ) =
= Sum_ j ( df/dx_ j * dx_ j (x)/ds) = df/ds.
So che a qualcuno potrebbe non piacere il carattere dipendente dalle
coordinate di questa definizione ma a me sembra che le coordinate
siano un tool importante, relativamente poco compreso, della teoria
delle varietà. Il linguaggio naturale per parlare di coordinate è
quello delle categoria ed infatti in termini di categorie tutti questi
discorsi si esprimono in modo più compatto, il gradiente è definito a
meno di un funtore canonico, dare una rappresentazione del gradiente
equivale a definire un oggetto in una categoria che è in
corrispondenza con la categoria dei sistemi di coordinate definiti, si
passa da un sistema di coordinate ad un altro mediante morfismi,
etc...
?manu*
>> Come definizione direi che il gradiente � il vettore che rappresenta
>> il differenziale tramite prodotto scalare:
>>
>> < Nabla f(x), h > := df(x)[h].
>
> scalare il gradiente non pu� essere definito.
Infatti secondo me dovrebbe proprio essere cos�, il gradiente �
strettamente legato alla presenza di un prodotto scalare.
> Diversamente esiste una
> tradizione matematica che definisce il gradiente come un vettore riga
> di R^n che moltiplicato formalmente per il vettore colonna dei
> differenziali secondo la regola canonica di moltiplicazione delle
> matrici, eguaglia il differenziale. Questo vettore coincide con il
> vettore delle derivate parziali.
Questo per me � Df (in contrapposizione a Nabla f). Df � la matrice che
rappresenta il differenziale e si chiama derivata. Dunque si avrebbe:
< Nabla f(x), h > = Df(x) h = df(x)[h].
E.
Giuseppe
WOW
Tetis
> >> il differenziale tramite prodotto scalare:
>
> >> < Nabla f(x), h > := df(x)[h].
>
> > scalare il gradiente non può essere definito.
>
> Infatti secondo me dovrebbe proprio essere così, il gradiente è
> strettamente legato alla presenza di un prodotto scalare.
Ed a me personalmente potrebbe anche star bene, se non fosse che
esistono autori, anche importanti, che usano l'altra definizione e
quindi nel momento in cui si apre un libro di calcolo tensoriale
scritto prima di Cartan o uno scritto dopo l'avvento della geometria
non commutativa si corre il rischio di non capire che significa che il
gradiente è un esempio di vettore covariante e che l'elemento di
linea è un tensore controvariante. Infatti il gradiente naturale è
certamente indipendente dalle coordinate, questa indipendenza è usata
anzi per ottenerne le componenti rispetto ai vari sistemi di versori
coordinati nelle diverse metriche, componenti che non trasformano nè
in modo covariante nè in modo controvariante perchè c'è da correggere
la matrice jacobiana con gli elementi di lunghezza.
> > Diversamente esiste una
> > tradizione matematica che definisce il gradiente come un vettore riga
> > di R^n che moltiplicato formalmente per il vettore colonna dei
> > differenziali secondo la regola canonica di moltiplicazione delle
> > matrici, eguaglia il differenziale. Questo vettore coincide con il
> > vettore delle derivate parziali.
>
> Questo per me è Df (in contrapposizione a Nabla f). Df è la matrice che
> rappresenta il differenziale e si chiama derivata. Dunque si avrebbe:
>
> < Nabla f(x), h > = Df(x) h = df(x)[h].
Dove h è in generale il vettore dei coefficienti delle componenti
della velocità rispetto ai vettori coordinati, ovvero è il vettore di
R^n che si ottiene applicando i differenziali delle coordinate al
vettore tangente considerato: dx_i ( dp/ds ). Sono d'accordo che
occorre distinguere.
> E.
Tetis
> On 5 Dic, 09:30, ?manu* <paol...@no.spam.unifi.it> wrote:
>
> > Tetis ha scritto:
>
> > >> Come definizione direi che il gradiente è il vettore che rappresenta
> > >> il differenziale tramite prodotto scalare:
>
> > >> < Nabla f(x), h > := df(x)[h].
>
> > > Dal che si dovrebbe però dedurre che in mancanza di un prodotto
> > > scalare il gradiente non può essere definito.
>
> > Infatti secondo me dovrebbe proprio essere così, il gradiente è
> > strettamente legato alla presenza di un prodotto scalare.
>
> Ed a me personalmente potrebbe anche star bene, se non fosse che
> esistono autori, anche importanti, che usano l'altra definizione e
> quindi nel momento in cui si apre un libro di calcolo tensoriale
> scritto prima di Cartan o uno scritto dopo l'avvento della geometria
> non commutativa si corre il rischio di non capire che significa che il
> gradiente è un esempio di vettore covariante e che l'elemento di
> linea è un tensore controvariante.
O, meglio si rischia di capire solo metà della storia, ovvero la
diversa azione dei diffeomeomorfismi della varietà, ma non il cambio
di coordinate. E ci tengo a precisare che non si tratta di due modi di
interpretare la stessa cosa. In generale eccetto che su spazi
vettoriali o affini, dove è ammessa la lettura duale di
interpretazione attiva e passiva, il cambio di coordinate ammette una
maggiore libertà rispetto all'azione dei diffeomeorfismi, quello che
fa la differenza è il range: il range delle coordinate per l'azione di
un diffeomeomorfismo è invariato, il range delle coordinate per
l'azione di un cambiamento di coordinate non è invece soggetto a
nessuna restrizione.
Arcobaleno
> e la cosa mi fa piacere.
>
Da quello che so io anche Hilbert dopo aver studiato insieme ai suoi
maestri continuò da solo e così fecero TUTTI i grandi matematici.
Inoltre so anche che tutti i docenti continuano a studiare da soli:))
Sono tutti lupi solitari perché il cervello è uno e per concentrarsi
bisogna stare spesso soli, riflettere e andare oltre. Forse con
internet abbiamo maggiore possibilità di interagire, di scambiarci le
idee. Ma questo, come sai, esiste da sempre con i contatti epistolari,
cioè lettere che giravano tra loro: così nacquero le riviste.
Siamo tutti soli in pratica, a parte gli studenti che vengono aiutati
dai professori e si vedono tra loro per studiare insieme.
Noi qui bene o male collaboriamo, si fa quel che si può, io stesso
sono stato aiutato molto, e penso di aver aiutato anche io altri.
Cambiando topic:
Scusami per la volta scorsa sui libri della biblioteca:) E' che i
libri da consigliarti in italiano non ci sono e la cosa mi fa molta
rabbia e dare alle biblioteche locali libri in inglese mi sembra un
ridurre la nostra cultura. La soluzione è tradurre molti testi più
recenti che le case editrici non hanno più interesse a tradurre o che
tradurranno chissà tra quanti anni.
Io per es sto cercando qualcosa sui fibrati, in italiano c'è
qualcosina, e perfino i docenti italiani lo scrivono in inglese:))
Invece ho avuto modo di vedere in biblioteca libri di autori anglofoni
e sono molto più chiari. Ovviamente c'è il problema della lingua e v'è
una naturale resistenza anche per chi legge correntemente l'inglese
come me.
Chissà se i francesi hanno tradotto tutto o si sono dati da fare molto
nelle università per scrivere tutto in francese direttamente anche a
livello di matematica avanzata. Tu ne sai qualcosa a riguardo?
Ciao
A.