Diagrammi di Hasse
Lucas
Si consideri l'insieme dei divisori di 12 : {1, 2, 3, 4, 6, 12}. Il
relativo diagramma di Hasse è il seguente:
12
/ \
/ \
4 6
| / |
| / |
| / |
2 3
\ /
\ /
1
(spero vi si visualizzi in maniera corretta)
Perchè il 2 e 3 sono allo stesso livello (come il 4 ed il 6)? Il
diagramma di Hasse dei divisori di 16 come dovrei disegnarlo?
Grazie.
A. Caranti
> Si consideri l'insieme dei divisori di 12 : {1, 2, 3, 4, 6, 12}. Il
> relativo diagramma di Hasse è il seguente:
>
> 12
> / \
> / \
> 4 6
> | / |
> | / |
> | / |
> 2 3
> \ /
> \ /
> 1
>
> (spero vi si visualizzi in maniera corretta)
>
> Perchè il 2 e 3 sono allo stesso livello (come il 4 ed il 6)?
Perche' 2 e 3 sono numeri primi. Perche' 4 e 6 sono il prodotto di due
numeri primi. Il livello indica il numero di fattori primi
> Il diagramma di Hasse dei divisori di 16 come dovrei disegnarlo?
Dovrebbe essere facile a questo punto.
Andreas
Lucas
"A. Caranti" wrote:
Ancora non ho le idee chiare.
Se i divisori di 16 sono 1,2,4,8,16, il diagramma dovrebbe venire così :
16
/ \
/ \
8 \
\ \
\ 4
2 /
\ /
\ /
1
Tralascia la bruttezza del disegno!
Dato che 2 e 4 hanno fattorizzazioni con un numero di numeri primi
differenti li ho messi su livelli differenti (così come il 4 e 8).
Inoltre, unirei il numero 8 el 4, perchè non esiste nessunu numero x tale
che 4|x e x|8 (lo stesso dicasi per 2 e 4). E' giusto così?
Potrei disegnarlo in quest'altro modo :
16
/ \
/ \
/ 8
4 /
\ /
\ /
2 /
\ /
1
Qual'è la versione giusta? C'è un modo di procedere esatto? A cosa servono
'sti diavolo di diagrammi?
Grazie.
Andrea Coletta
Non ci capisco niente, ed č la prima volta che sento parlare di questi
grafici (studio fisico), ma vorrei sapere se ho capito:
non dovrebbe essere
16
|
|
8
|
|
4
|
|
2
|
|
1
?
o comunque il 4 e l' 8 dovrebbero esser collegati.
In che ambito sono stati ideati questi grafi? quali sono le loro
applicazioni?
Andrea Coletta, Roma
Lucas <Ky...@iguild.com> ha scritto nel messaggio
39757F08...@iguild.com...
>
>
> "A. Caranti" wrote:
>
> > Lucas wrote:
> >
> > > Si consideri l'insieme dei divisori di 12 : {1, 2, 3, 4, 6, 12}. Il
> > > relativo diagramma di Hasse č il seguente:
> > >
> > > 12
> > > / \
> > > / \
> > > 4 6
> > > | / |
> > > | / |
> > > | / |
> > > 2 3
> > > \ /
> > > \ /
> > > 1
> > >
> > > (spero vi si visualizzi in maniera corretta)
> > >
> > > Perchč il 2 e 3 sono allo stesso livello (come il 4 ed il 6)?
> >
> > Perche' 2 e 3 sono numeri primi. Perche' 4 e 6 sono il prodotto di due
> > numeri primi. Il livello indica il numero di fattori primi
> >
> > > Il diagramma di Hasse dei divisori di 16 come dovrei disegnarlo?
> >
> > Dovrebbe essere facile a questo punto.
> >
> > Andreas
>
> Ancora non ho le idee chiare.
> Se i divisori di 16 sono 1,2,4,8,16, il diagramma dovrebbe venire cosě :
>
> 16
> / \
> / \
> 8 \
> \ \
> \ 4
> 2 /
> \ /
> \ /
> 1
>
> Tralascia la bruttezza del disegno!
>
> Dato che 2 e 4 hanno fattorizzazioni con un numero di numeri primi
> differenti li ho messi su livelli differenti (cosě come il 4 e 8).
> Inoltre, unirei il numero 8 el 4, perchč non esiste nessunu numero x tale
> che 4|x e x|8 (lo stesso dicasi per 2 e 4). E' giusto cosě?
> Potrei disegnarlo in quest'altro modo :
>
> 16
> / \
> / \
> / 8
> 4 /
> \ /
> \ /
> 2 /
> \ /
> 1
>
>
> Qual'č la versione giusta? C'č un modo di procedere esatto? A cosa servono
Adam Atkinson
Lucas <Ky...@iguild.com> wrote:
> Ancora non ho le idee chiare.
> Se i divisori di 16 sono 1,2,4,8,16, il diagramma dovrebbe venire cosě
:
>
> 16
> / \
> / \
> 8 \
> \ \
> \ 4
> 2 /
> \ /
> \ /
> 1
>
> Tralascia la bruttezza del disegno!
*scratch, scratch*. Nemmeno io conosco i "diagrammi di Hesse",
ma anch'io, sulla base dell'esempio che ci hai fornito,
avrei detto che quello per 16 fosse
16
|
8
|
4
|
2
|
1
>A cosa servono
> 'sti diavolo di diagrammi?
Boh. In quale contesto li stai studiando. Immagino teoria
dei numeri o teoria dei gruppi.
Forse servono per introdurre l'idea di un ordinamento
parziale.
--
Libri di matematica piu' o meno ricreativa:
http://www.mistral.co.uk/ghira/recmathslibri.html
Sent via Deja.com http://www.deja.com/
Before you buy.
elreg
Lucas ha scritto nel messaggio <3973807E...@iguild.com>...
>Qualcuno ha una semplice definizione per essi?
>Grazie.
Il diagramma di Hasse e' una delle possibili
rappresentazioni delle relazioni che intercorrono
tra gli elementi di un insieme parzialmente ordinato.
Ricordo che un insieme si dice parzialmente ordinato
se, per esso, e' definita una regola che consente, per
ogni coppia di elementi E1; E2 dell'insieme, di
stabilire se risulti E1=E2; oppure E1>E2; oppure
E1<E2; oppure E1#E2 e di definire il significato dei
simboli >;<;#. Il simbolo = ha il consueto significato;
i simboli > e < debbono godere della transitivita' (se
E1>E2 e inoltre E2>E3 ne deve conseguire E1>E3). Il
simbolo #, interposto tra due elementi, significa che,
secondo la regola, tra di essi non si puo' interporre
nessuno degli altri tre simboli (=;<;<).
Il diagramma di Hasse riporta in un piano tutti i
simboli che rappresentano gli elementi dell'insieme
dato e li dispone in modo che siano rispettate le
seguenti condizioni:
Se due simboli sono posti sulla stessa linea
orizzontale, in immediato contatto, significa che, tra
gli elementi, deve essere interposto il segno =. Se
l'elemento E1 e' connesso all'elemento E2 da un
segmento (mai orizzontale) e E2 e' posto piu' in alto
rispetto a E1 significa che E1<E2; se e' posto piu'
in basso E1>E2; se, dati due elementi, non e' possibile
raggiungere dal primo il secondo lungo un percorso
sempre in salita oppure sempre in discesa significa che
tra gli elementi deve essere interposto il simbolo #
(che ho inventato io) e si dice che i due elementi non
sono confrontabili. Nel diagramma vengono cancellati
i segmenti ridondanti: se E1;E2;E3 sono connessi dai
due segmenti in salita E1-E2 e E2-E3 il segmento E1-E3
viene omesso perche' E1<E3 e' una conseguenza delle
relazioni E1<E2 e E2<E3 (per la ipotizzata proprieta'
transitiva).
Nei diagrammi discussi da Lucas(17/7 ore23:54 e 19/7
ore12:12), Andreas(18/7 ore11:52), Andrea(19/7
ore12:46) e Adam(19/7 ore 13:55)
era importante premettere che la relazione E1<E2
significa che E1 e' un sottomultiplo di E2; la
relazione E2>E1 significa che E2 e' un multiplo di E1;
la relazione E3#E4 significa che nella coppia E1;E2
nessuno dei due elementi e'multiplo(o sottomultiplo)
dell'altro; che il simbolo = puo' essere ignorato
(perche' non esistono, nell'insieme dato, elementi
uguali). Le premesse sono essenziali per la corretta
definizione del diagramma di Hasse. Se, ad esempio, ai
simboli >;< si attribuisce il significato della
aritmetica (invece che quello sopra definito) e' facile
rendersi conto che il diagramma non e' quello riportato
da Lucas ma e' una semplice catena (gli elementi si
dispongono su una linea verticale). Qesto avviene ogni
volta che l'insieme, per il particolare significato
attribuito ai simboli >;<, sia tale che ogni coppia di
elementi risulti sempre confrontabile (non esistano
coppie per le quali valga la relazione E3#E4).
Ritengo di aver cosi' risposto al primo quesito di
Lucas (qualcuno ha una semplice definizione?).
Se nessuno del Gruppo mi precede rispondero' poi ai
quesiti:
2. A che cosa servono?
3. Come si costruiscono?
Ci sarebbero poi le domande:
4. Quali sono i vantaggi e gli svantaggi dei diagrammi
di Hasse?
5. Esistono alternative ai diagrammi di Hasse?
6. C'e' qualcuno nel mondo occidentale che attualmente
li utilizza per qualche scopo pratico?
Non mi impegno pero'a rispondere su questi ultimi punti.
Ciao. Elreg
elreg
Lucas ha scritto nel messaggio <39757F08...@iguild.com>...
[MegaCut] <C'è un modo di procedere esatto? >[Cut]
Ci sono almeno tre modi di procedere per costruire i
diagrammi di Hasse: uno si adatta alla costruzione
dei diagrammi degli insiemi piuttosto semplici (del tipo
di quelli considerati qui da noi); il secondo riguarda
la costruzione di diagrammi meno addomesticati (insiemi
di alcune decine di elementi al massimo); il caso
generico riguarda un numero elevato di elementi e un
ordinamento che non ammette semplificazioni e richiede
l'impiego di programmi particolari per il calcolatore.
Nel primo caso la semplificazione deriva dal fatto
che è possibile conoscere a priori il
livello di ciascun elemento e, inoltre, si sa che i
segmenti collegano elementi giacenti su livelli
contigui. In queste ipotesi, che sono verificate nel caso
dell'esempio di Lucas e, più in generale, quando gli
elementi dell'insieme siano
tutti e soli i divisori di un qualunque numero
intero, si sa a priori quale sia il numero dei livelli
(uguale al numero dei fattori del maggiore dei numeri
dell'insieme). Nel nostro caso è quattro (12=1*2*2*3).
Si disegnano le (quattro) linee di livello (parallele).
Si riportano, su ogni livello, gli elementi che hanno
un numero di fattori uguale al numero della linea di
livello. Ad esempio, sul terzo livello, nel nostro caso,
si riportano gli elementi 4=1*2*2 e 6=1*2*3. L'ordine
di posizionamento degli elementi sulla linea di livello
è arbitrario. Per ogni linea di livello si confrontano
tutti gli elementi della linea con tutti gli elementi
della linea superiore e si uniscono con un segmento
solo le coppie confrontabili (nel nostro caso, solo le
coppie che godono della relazione sottomultiplo-
multiplo). Il diagramma è così completato salvo, se si
vuole, cambiare l'ordine degli elementi su ciascun
livello fino a trovare una configurazione che non
presenti intersezioni tra i segmenti oppure, almeno,
presenti il minimo numero di intersezioni.
Dato che nessun umano potrebbe proseguire senza essere
colto dalla malattia del sonno, mi fermo qui senza
escludere, all'eventuale risveglio, di trasmettere
un'altra puntata.
Grazie per l'ascolto. Elreg
elreg
Lucas ha scritto nel messaggio <39757F08...@iguild.com>...
[MegaCut]<C'è un modo di procedere esatto? >[Cut]
Nel secondo caso, se non sono noti i livelli dei
vari elementi e non si sa se il confronto possa essere
limitato agli elementi giacenti su livelli contigui, si
può procedere così: si riportano tutti i simboli degli
elementi dell'insieme dato su una circonferenza; si
confrontano a coppie in tutti i modi possibili gli
elementi e si congiungono con un segmento orientato le
sole coppie di simboli che corrispondono a elementi
confrontabili (se E2>E1 il segmento è orientato da E2
a E1); si eliminano i segmenti ridondanti (se esistono
i segmenti orientati E3-E2 e E2-E1, il segmento E3-E1
viene eliminato); si ridispongono i simboli degli
elementi su vari livelli in modo che i segmenti
orientati puntino tutti verso il basso e che i vari
livelli risultino occupati; si cancellano le frecce che
indicano l'orientamento dei segmenti perchè è già noto
che tali segmenti puntano tutti verso il basso.
E' ovvio poi come operare nel caso (più semplice) in
cui siano noti i livelli ma non si sia certi che il
confronto possa essere limitato agli elementi giacenti
su livelli contigui: prima del confronto, si possono
già predisporre gli elementi sui livelli effettivi.
Questo comporta una grossa semplificazione.
Nel caso generico (numero elevato di elementi e
impossibilità di semplificazioni) è indispensabile
l'uso di un programma per il calcolatore. E'
opportuno che il programma sia costituito da due
sottoprogrammi: uno (dipendente dalla definizione
dell'insieme parzialmente ordinato) che opera il
confronto tra le coppie di elementi dell'insieme; il
secondo (che dipende dal massimo numero di elementi
che può essere trattato) che fornisce in uscita il
numero di livelli, l'elenco degli elementi per ogni
livello, l'elenco dei segmenti che uniscono gli
elementi. Ci può essere un ultimo sottoprogramma che
provvede al disegno automatico del diagramma,
eventualmente dopo ottimizzazione (disposizione degli
elementi in modo tale da minimizzare il numero delle
intersezioni tra segmenti).
Grazie per l'attenzione. Elreg
elreg
Andrea Coletta ha scritto nel messaggio
<8l40uq$37j$1...@pegasus.tiscalinet.it>...
[cut>
>In che ambito sono stati ideati questi grafi? >
I diagrammi di Hasse precedono di gran lunga la data di
nascita di Helmut Hasse (1898). Basti pensare che gli
alberi genealogici sono diagrammi di Hasse in cui il
simbolo > assume il significato di "predecessore di" e il
simbolo < quello di "successore di". In definitiva, gli
alberi genealogici sono i diagrammi di Hasse che
rappresentano le relazioni tra consanguinei e,
probabilmente, sono stati impiegati alcuni millenni prima
che il signor Hasse li proponesse nel campo della
matematica.
Anche nel campo della matematica non sembra
che il sigor Hasse sia arrivato primo dato che, tre anni
prima della sua nascita, era reperibile in libreria il
libro : H. Vogt,"Resolution algebrique des equations,"
Paris; Librairie Nony & C.ie,1895. Tale libro riportava
alcuni grafi che, evidenziando l'ordinamento parziale
tra alcuni tipi di equazione algebrica, potevano essere
senza dubbio considerati diagrammi di Hasse.
Per quanto riguarda il signor Hasse, mi vergogno di
dover confessare di non essere in grado di riportare
l'articolo (o il libro) in cui, per la prima volta, la
novella della nascita del diagramma fu comunicata.
Spero che qualche Componente del nostro rispettabile
Newsgroup mi sollevi da questa incresciosa situazione.
Circa l'ambito in cui i diagrammi sono stati ideati sono
convinto che essi siano stati utilizzati da Hasse
nell'ambito della teoria dei numeri, dato che questo č
l'ambito delle ricerche di Hasse.
Le (poche ) notizie su Hasse sono da me state desunte
dal libro di Bottazzini (Storia della matematica moderna
e contemporanea,UTET,1990). Nessun cenno, comunque, č
riservato, nel libro, ai diagrammi di Hasse.
Le informazioni su Vogt sono invece di prima mano perchč
ho visto con i miei propri occhi i diagrammi di cui ho
parlato.
Per notizie piů dettagliate sugli alberi genealogici,
dovremmo forse rivolgerci ai gentili Componenti del
Newsgroup soc.genealogy methods oppure soc.genealogy
misc.
Mi permetto infine di esortare tutti a fare attenzione a
non confondere il signor Hasse (di cui ho parlato sopra)
con il signor Ludwig Hesse, vissuto una cinquantina di
anni prima, il cui campo di interesse era la geometria.
Sono sicuro che nessuno dei due suddetti apprezzerebbe la
confusione.
Elreg
.
elreg
>quali sono le loro
>applicazioni?
Tre applicazioni le abbiamo già considerate (messaggio
di Elreg di domenica 30 luglio 2000 0.04):
-Alberi genealogici
-Teoria delle equazioni
-Teoria dei numeri
Un gran numero di applicazioni è legato agli insiemi
nei quali, a ogni elemento, può essere fatto corrispondere
un vettore a N componenti e un elemento E2 (corrispondente
al vettore V2) si definisce maggiore dell'elemento E1
(corrispondente al vettore V1) quando ogni componente
di V2 è maggiore o uguale della corrispondente componente di
di V1 e,inoltre, per almeno una componente, non vale il
segno =.
Come esempio di questo tipo di applicazioni, consideriamo
gli alunni di una scuola e, a ciascuno di essi, associamo
le votazioni di fine anno nelle varie materie, prese in
un certo ordine. Il corrispondente diagramma di Hasse ci
fornisce una visione di insieme delle capacità relative
dei vari alunni (o, almeno, dei loro interessi).
Il criterio può essere applicato ai più svariati campi
e, utilizzato correttamente, può fornire una buona base
per prendere delle decisioni o almeno, rendersi conto,
a colpo d'acchio, di una situazione.
Molte cose ci sarebbero da dire sulle precauzioni da
prendere per rendere il diagramma di immediata lettura
(e non degeneri in un groviglio di linee difficilmente
interpretabile).
||||||| Inizio comunicazione OT |||||||
Ringrazio chi ha avuto la costanza di seguirmi fino a
questo punto. Da domani non sarò reperibile perchè mi
trasferirò su un'isola deserta. Dal giorno 16/9/00, se
sarò stato in grado di fare ritorno e avrò ancora
disponibile il personal, l'impianto elettrico e
telefonico, sarò lieto di rispondere a eventuali
obiezioni, critiche e commenti vari.
||||||| Fine comunicazione OT |||||||
Elreg