gradiente e derivate direzionali
stefano
derivate direzionali anzichè le derivate parziali rispetto ad x e rispetto
ad y.
Considerato che le le derivate direzionali giacciono tutte sul piano
tangente, non potrei utilizzare nella formula del gradiente due qualsiasi
derivate direzionali ricavando mediante la loro combinazione lineare tutte
le altre ?
grazie a tutti
--------------------------------
Inviato via http://arianna.libero.it/usenet/
Arcobaleno
> Il vettore gradiente può avere come componenti i valori di due qualsiasi
> derivate direzionali anzichè le derivate parziali rispetto ad x e rispetto
> ad y.
>
Ciao,
ma così ragionando non si complica inutilmente il discorso?
Cioè io già mi trovo nel piano x,y....per scegliere una direzione
diversa da x e da y
uso x e y come COMPONENTI.....per es prendo un vettore v = x+y, ed
ottengo
una nuova direzione nel piano che non sia né l'asse x e né l'asse y.
Invece da quello che ho capito.....dovrei prendere due vettori NON
collineari con asse x e y
cioè una BASE per R^2 e rispetto a questa andare ad avere una nuova
direzione.
E questa NUOVA direzione sarebbe il vettore gradiente. Giusto?
Quindi IMHO è meglio fare prima il discorso sulle basi e poi vedere
che si può
usare il concetto di derivata rispetto ad una nuova direzione che NON
sia la direzione
dei due vettori che mi danno la base in R^2..due vettori linearmente
indipendenti.
>
> Considerato che le le derivate direzionali giacciono tutte sul piano
> tangente, non potrei utilizzare nella formula del gradiente due qualsiasi
> derivate direzionali ricavando mediante la loro combinazione lineare tutte
> le altre ?
>
>
ATTENZIONE......qui siamo passati in R^3.
Diciamo che abbiamo piazzato la base i + j.....ora però dobbiamo
decidere dove sta k.
Se per es. k è perpendicolare al piano x,y(o quello della base ( i +j)
denoto una superficie ma per poterlo
fare devo andarea prendere per ogni COPPIA (i+ j) il relativo valore
su k.
Ma se k NON è perpendicolare al piano x,y posso avere problemi
nell'accettare INTUITIVAMENTE
la stessa nozione di PIANO TANGENTE.
La nozione di piano tangente uno la accetta intuitivamente perché
pensa a qualcosa di parallelo con il piano x,y
che però può andare ad essere NON parallelo nel caso in cui bisogna
prendere un piano che TANGE
un punto della SUPERFICIE in R^3.
Quindi per poter procedere devo mettere da parte l'intuizione e per
prima cosa devo prendere L'EQUAZIONE
del piano tangente e solo DOPO(con la nozione di prodotto scalare)
andare a dimostrare COME arrivo
alla nozione di vettore gradiente.
Se vuoi ti copio tutta una dimostrazione dal libro....solo che sul mio
libro ho tanti disegni colorati
che aiutano a capire...ed ecco che senza disegno tutto diventa più
complicato da capire.
Ci vorrebbe un sito esterno dove ognuno di noi potrebbe andare a
prendere disegni e linkarli qui durante una
spiegazione.
stefano
scritto:> > Il vettore gradiente pu� avere come componenti i valori di due
qualsiasi
> > derivate direzionali anzich� le derivate parziali rispetto ad x e
rispetto
> > ad y.
> >
>
> Ciao,
>
> ma cos� ragionando non si complica inutilmente il discorso?
>
> Cio� io gi� mi trovo nel piano x,y....per scegliere una direzione
> diversa da x e da y
> uso x e y come COMPONENTI.....per es prendo un vettore v = x+y, ed
> ottengo
>
> Invece da quello che ho capito.....dovrei prendere due vettori NON
> collineari con asse x e y
> direzione.
>
> E questa NUOVA direzione sarebbe il vettore gradiente. Giusto?
>
> che si pu�
> usare il concetto di derivata rispetto ad una nuova direzione che NON
> sia la direzione
> dei due vettori che mi danno la base in R^2..due vettori linearmente
> indipendenti.
>
> >
> > Considerato che le le derivate direzionali giacciono tutte sul piano
> > tangente, non potrei utilizzare nella formula del gradiente due
qualsiasi
> > derivate direzionali ricavando mediante la loro combinazione lineare
tutte
> > le altre ?
> >
> >
>
> ATTENZIONE......qui siamo passati in R^3.
>
> decidere dove sta k.
>
> Se per es. k � perpendicolare al piano x,y(o quello della base ( i +j)
> denoto una superficie ma per poterlo
> fare devo andarea prendere per ogni COPPIA (i+ j) il relativo valore
> su k.
>
> nell'accettare INTUITIVAMENTE
> la stessa nozione di PIANO TANGENTE.
>
> pensa a qualcosa di parallelo con il piano x,y
> prendere un piano che TANGE
> un punto della SUPERFICIE in R^3.
>
> Quindi per poter procedere devo mettere da parte l'intuizione e per
> prima cosa devo prendere L'EQUAZIONE
> del piano tangente e solo DOPO(con la nozione di prodotto scalare)
> andare a dimostrare COME arrivo
> alla nozione di vettore gradiente.
>
> Se vuoi ti copio tutta una dimostrazione dal libro....solo che sul mio
> libro ho tanti disegni colorati
> complicato da capire.
>
> Ci vorrebbe un sito esterno dove ognuno di noi potrebbe andare a
> prendere disegni e linkarli qui durante una
> spiegazione.
Io ho usato ancora questo sito per depositare gratuitamente file a tempo
determinato: http://www.senduit.com.
Dopo aver caricato la documentazione, il sito restituisce un link che puoi
inviare a chiunque debba prelevare i files.
Tornado al gradiente, ho qualche difficoltà a capire perchè la direzione
del vettore gradiente rappresenta la massima pendenza cioè se nello stesso
punto prendo come componenti del vettore gradiente il valore di due derivate
direzionali (diverse dalle derivate parziali fatte rispetto ad x ed a y) la
direzione di massima pendenza in quel punto coincide con quella che ottengo
consideranto il vettore gradiente di componente le derivate parziali ?
Spero di aver reso un poco l'idea.
Grazie comunque per la risposta
Arcobaleno
>
>
> Tornado al gradiente, ho qualche difficoltà a capire perchè la direzione
> del vettore gradiente rappresenta la massima pendenza
>
Ti rispondo subito al volo perché stavo per chiudere il pc. Più tardi
mi riconnetto....
Prendi le superfici di livello........ci sono le linee come per le
cartine....le conosci no?
Ora tu capisci che la via più BREVE per andare da una linea all'altra
deve essere perpendicolare....
se per es. hai due cerchi concentrici....la linea che collega due
punti delle due circonferenze che è più breve
qual è?
Quella direzione è la massima VELOCITA' di variazione.
ESEMPIO......
Una circonferenza rappresenta il valore in OGNI SUO
PUNTO100,,,,,un'altra rappresenta IN OGNI SUO PUNTO il valore 10.
Ora quale è la via più breve per passare da 10 a 100 o viceversa?
Se 10 metri e 100 metri sono due quote...due monti, qual è la via più
breve per passare da una cima all'altra?
Sono stato in Trentino questa estate e spesso si prendeva proprio la
seggiovia, ecc.....ecco immagina due cime e bisogna collegarle.
Non pensare in termini TRIDIMENSIONALI.....rappresenta il tutto con le
curve di livello......ed ecco che da un punto all'altro ci si va per
la via più breve che è indicata dal del, nabla, grad .
Poi riprendo
Ciao e scusa per la fretta
A.
Arcobaleno
> del vettore gradiente rappresenta la massima pendenza
>
Ora questa cosa la vediamo MATEMATICAMENTE....per bene e nei dettagli.
In genere sui libri la spiegano malissimo...però io con un po' di
piazienza ho trovato anni fa
un libro buono di analisi due:))
Prendiamo una superficie in R^3....z = f(x, y).
Poi prendiamo un piano tangente a questa superficie nel punto (X, Y,
Z).
La EQUAZIONE del piano tangente nel punto (X, Y, Z) é la seguente
z - Z = f_x (X, Y) (x - X) + f_y (X, Y) (y - X) (1)
N.B. Se vuoi sapere COME si giunge alla equazione del piano tangente
fammelo sapere...magari le tuoi fonti neppure quello sanno
spiegare.....
N.B. f_x = derivata PARZIALE rispetto alla variabile INDIPENDENTE x.
f_y = derivata PARZIALE rispetto alla variabile INDIPENDENTE y.
Spesso nelle notazioni abbiamo anche f_1 che denota f_x e f_2 che
denota f_y.
Ora ci vorrebbe un disegno.....che sarebbe questo....
Immagina una supercie....un sorta di cupolone in R^3......poi arriva
un piano TANGENTE di equazione (1) e tocca
il cupolone nel punto (X, Y, Z).
Tieni ben presente il punto dove il piano TOCCA il cupolone.....ora
scendi SOTTO questo LIVELLO.....scendi più in basso.
A questo punto prendi un piano bene AFFILATO come una lama PIATTA e
lo infili nel cupolone come a volerlo sezionare ORIZZONTALMENTE.......
La equazione del piano ORIZZONTALE è z = Z.
Cioè i valori x sono costanti e anche y scegliamo un valore di z ed
ecco che abbiamo un piano ORIZZONTALE.
ATTENZIONE......nel fare questa operazione si andrà ad INTERSECARE
anche il piano tangente di equazione (1).
GUARDANDO dall'alto il cupolone si vede la superficie che si mostra a
noi con una CURVA di livello e il piano tangente che si mostra a noi
con una RETTA.
Ora RITORNIAMO più giù in modo tale da SEZIONARE cupolone e piano
tangente PASSANDO per il punto (X, Y, Z).
Questa LAMA piatta(un piano orizzontale) TOCCHERA' il cupolone e il
piano tangente nel punto (X, Y, Z) ed ecco che avremo una CURVA di
livello che viene fuori da questa intersezione tra piano ORIZZONTALE
e superficie ed una RETTA che viene fuori dalla intersezione del
piano ORIZZONTALE con il piano TANGENTE.
La RETTA e la CURVA di livello si TOCCANO nel punto (X, Y, Z).
ATTENZIONE e INTUIZIONE!!
Se il piano tangente viene intersecato da un piano ORIZZONTALE di
equazione z - Z
Questo significa che dalla intersezione risulta qualcosa che si trova
ALLA STESSA QUOTA.
Cioè molto banalmente il piano tangente e il piano orizzontale si
intersecano lungo una RETTA che
avrà una UNICA (è un fatto banalissimo ma meglio dirlo:) quota per
ogni suo punto.
Cioè z - Z = 0 allora.....
Riprendiamo la (1) e cioè l'equazione del piano TANGENTE e abbiamo
0 = f_x (X, Y) (x - X) + f_y (X, Y) (y - X) (2)
Questa è l'equazione della retta di cui si parla.
Fino a qui con un po' di disegni ed intuizione geometrica secondo me
si capisce bene.
Con calma e SENZA alcuna fretta!!
Questa retta è TANGENTE alla CURVA che viene fuori dalla
intersezione(è un fatto geometrico: basta disegnare)....cioè abbiamo
l'equazione della retta TANGENTE alla CURVA DI LIVELLO.
La 2 però cosa è?
Prendiamo l'OPERATORE gradiente (nabla, del ecc)
grad = (f_x + f_y) come ben sai(sui libri questo è spiegato bene).
Se ora mettiamo tutto sotto forma di un prodotto SCALARE
ecco che abbiamo (f_x, f_ y) (x - X , y - Y ) = 0
Eseguendo questo prodotto abbiamo la (2) ovviamente.
Ora NOTIAMO che la (2) viene fuori da f grad
Cioè abbiamo grad f = [ f_x ( X, Y ), f_y (X, Y ) ]
Quando il prodotto SCALARE tra due vettori è ZERO come sono i due
vettori?
Con questo abbiamo dimostrato che il vettore grad è NORMALE alla retta
TANGENTE la curva di livello.
>
>cioè se nello stesso
> punto prendo come componenti del vettore gradiente il valore di due derivate
> direzionali (diverse dalle derivate parziali fatte rispetto ad x ed a y)
>
Ecco, fino ad ora abbiamo preso le derivate parziali rispetto a x e a
y cioè le direzioni
degli assi ortogonali.
>
>la
> direzione di massima pendenza in quel punto coincide con quella che ottengo
> consideranto il vettore gradiente di componente le derivate parziali ?
>
> Spero di aver reso un poco l'idea.
>
Ora se ti va puoi rendere meglio l'idea ragionando sulla dimostrazione
che ho proposto io.
Ciao
A.
cometa_luminosa
> Il vettore gradiente può avere come componenti i valori di due qualsiasi
> derivate direzionali anzichè le derivate parziali rispetto ad x e rispetto
> ad y.
> Considerato che le le derivate direzionali giacciono tutte sul piano
> tangente, non potrei utilizzare nella formula del gradiente due qualsiasi
> derivate direzionali ricavando mediante la loro combinazione lineare tutte
> le altre ?
Allora, per definizione il gradiente e' il vettore che ha come
componenti le derivate parziali, quindi non lo puoi ridefinire in
un'altro modo. Pero', se tu volessi, potresti prendere, invece che i
vettori i, j, k, ovvero (scritto in un'altro modo) e^1, e^2, e^3,
altri 3 vettori di R^3, purche' ne costituiscano sempre una base
(ovvero 3 vettori non paralleli a due a due e che non stanno tutti e 3
nello stesso piano). Chiamiamo la nuova base h^1, h^2, h^3,
risultera', per opportuni coefficienti a1, a2, a3, b1, b2, b3, c1, c2,
c3:
e^1 = a1 h^1 + a2 h^2 + a3 h^3
e^2 = b1 h^1 + b2 h^2 + b3 h^3
e^3 = c1 h^1 + c2 h^2 + c3 h^3
allora in tale base un vettore V = v1 e^1 + v2 e^2 + v3 e^3 si
scrivera':
V = v1 (a1 h^1 + a2 h^2 + a3 h^3) +
+ v2 (b1 h^1 + b2 h^2 + b3 h^3) +
+ v3 (c1 h^1 + c2 h^2 + c3 h^3) =
h^1 (a1v1 + b1v2 + c1v3) +
+ h^2 (a2v1 + b2v2 + c2v3) +
+ h^3 (a3v1 + b3v2 + c3v3)
e quindi le componenti, invece di essere (v1,v2,v3) saranno:
(a1v1 + b1v2 + c1v3, a2v1 + b2v2 + c2v3, a3v1 + b3v2 + c3v3).
Adesso vediamo invece che cosa sono le derivate direzionali lungo i
nuovi vettori base:
Poiche' la derivata direzionale di f lungo un vettore u, vale:
nabla(f).u
dove il punto indica prodotto scalare. Dunque si hanno i tre valori:
nabla(f).h^1, nabla(f).h^2, nabla(f).h^3.
In generale, per un vettore V = v1 e^1 + v2 e^2 + v3 e^3, i prodotti
scalari del vettore con i vettori della nuova base *non danno* le
componenti nella nuova base, a meno che tali vettori h^1, h^2 e h^3
siano tutti ortogonali a due a due.
In conclusione: le derivate direzionali lungo le 3 direzioni dei
vettori della nuova base *non sono*, in generale, le coordinate del
gradiente in quella nuova base, a meno che sia una base ortogonale (se
questa era la tua domanda).
Ciao.
--
cometa_luminosa
cometa_luminosa
> Tornado al gradiente, ho qualche difficoltà a capire perchè la direzione
> del vettore gradiente rappresenta la massima pendenza
Poiche' la derivata direzionale di f lungo la direzione di un versore
u vale: nabla(f).u, il prodotto scalare e' massimo quando i due
vettori sono paralleli, ovvero quando la direzione u che scegli e'
quella del gradiente.
--
cometa_luminosa
cometa_luminosa
Errata:
> Poiche' la derivata direzionale di f lungo un vettore u, vale:
> nabla(f).u
> dove il punto indica prodotto scalare. Dunque si hanno i tre valori:
Corrige:
Poiche' la derivata direzionale di f lungo un *versore* u, vale:
nabla(f).u
dove il punto indica prodotto scalare, si hanno i tre valori:
--
cometa_luminosa
Arcobaleno
>
>
> Questa retta è TANGENTE alla CURVA che viene fuori dalla
> intersezione(è un fatto geometrico: basta disegnare)....cioè abbiamo
> l'equazione della retta TANGENTE alla CURVA DI LIVELLO.
>
La curva di livello ovviamente ha equazione Z = f(x, y).
Z = a un numero preciso in questo caso.
La Z(maiuscola) denota una COSTANTE...la z (minuscola) denota una
variabile.
Quindi per es. io prendo la SUPERFICIE z = f(x, y) = x^ 2 y + y^3
x (1)
grad f = (2 x y + y^3 , x^2 + 3 y^2 x )
Ora noi pensiamo ad un piano ORIZZONTALE z = Z = 10
Se questo piano ORIZZONTALE interseca la superficie ecco che ottengo:
x^ 2 y + y^3 x = 10
Cioè prendo TUTTI i PUNTI (tutte le coordinate) della superficie t.c
la quota sia sempre uguale a 10.
E' una cosa banale ma è meglio andare in tutti in dettagli:))
ATTENZIONE e INTUIZIONE!!
Se io ora prendo la curva e la TANGENTE alla curva IN UN PUNTO (1,
2 ) per es è ovvio che se voglio procedere andando subito
avanti.....cioè se mi voglio allontanare dal punto (1,2) in modo da
trovarmi al più presto possibile sulla NORMALE ecco che mi trovo sul
VETTORE gradiente.
Ma il vettore grad = (f_x, f_y).
Se prendo il punto (1,2) (punto dove la retta tange la curva di
livello) e sostituisco nella grad f ecco che ottengo proprio il punto
(12, 13 ) e se vado a collegare i due punti noto che il vettore grad è
NORMALE alla retta....ma questo lo si è visto nella dimostrazione.
Ovviamente bisogna IMHO fare molta attenzione che la DIREZIONE di
massimo aumento(massima variazione) è da intedersi vero un punto
vicino piccolo a piacere.
Se io per es. dovessi dire...ti do questo punto e allontanati da esso
di pochissimo, il più poco possibile e però fallo secondo una
direzione che ti permetta di avere la distanza minima cosa faresti?
Cioè prendi il punto nel piano A = (1, 1) e poi ti scegli il punto B
=(2, 2) in attesa di sceglierti uno ancora più vicino.
Ora tu con che genere di curva colleghi i due punti affinché la
distanza A B sia MINIMA?
Qui non ci vuole il calcolo delle variazioni.....l'intuito ci dice che
la distanza minima è un segmento di retta.
In pratica a noi interessa dirigerci SUBITO verso la direzione di
massimo aumento......questo NON implica che poi non si debba USCIRE da
quella direzione per continuare a seguire la direzione di massima
variazione.
Noi per farlo scegliamo UN SOLO PUNTO e colleghiamo il punto di
partenza e quello di arrivo. Per poterli collegare u siamo la distanza
minima che è la linea retta....in questo caso la linea retta sta sulla
direzione del VETTORE gradiente perché questo vettore è NORMALE alla
tangente nel punto.
Arcobaleno
Traducendo questo in qualcosa di più intuitivo possiamo fare un
esempio...
Prendiamo una curva e la tangente IN UN PUNTO P di questa curva.
Domanda: qual è il punto della tangente più vicino alla curva?
Ovviamente è il punto di tangenza.
Ora allontaniamo di 1 cm la retta tangente mantenendoci PARALLELI alla
tangente.
Cioè facciamo un trasporto parallelo della tangente stessa.
Prendiamo ora TUTTI i punti della retta che ora si trova ad 1 cm di
distanza dal punto P della curva.
Quale è il punto della RETTA TANGENTE più vicino al punto P della
curva?
Ecco che sarà proprio il punto che toccava il punto P......ma per
arrivare a quel punto sulla retta
bisogno muoversi lungo la NORMALE alla retta stessa.
Alla base del concetto di gradiente sta un concetto più intuitivo e
cioè quello di potersi allontanare
da una curva percorrendo la direzione di MINIMA distanza tra il punto
P della curva da cui vogliamo allontanarci
e il punto esterno alla curva stessa.
Si nota che il punto esterno più vicino giace sempre sulla parallela
alla retta tangente in quel punto.
Per questo si sceglie la normale alla curva.
Ho detto bene?
Ti piace?
Vogliamo aggiustare questa definizione?
Ciao:)
A.
stefano
p.s.: Accetto suggerimenti relativamente ad un buon testo di analisi 2
grazie ancora
BlueRay
> grazie a tutti per il tempo che mi avete dedicato.
>
> p.s.: Accetto suggerimenti relativamente ad un buon testo di analisi 2
Enrico Giusti
Pagano-Salsa (soprattutto quello di Analisi 2)
Roberto Conti.