Derivata di forma quadratica
Liegi
Sia F(s)=(x-As)^t*T*(x-As) una forma quadratica con T simmetrica.
Devo trovare la derivata di F(s) rispetto a s e porla uguale a 0:
dF(s)/ds=0
Mi serve s=....
Datemi la soluzione vi prego,mi serve per la tesi...
Saluti e grazie mille!
--
Postato da Alice Newsgroup: lo usi da web ma con le funzioni del newsreader http://newsgroup.alice.it
Gerarchie it, italia, it-alt, tin, it.binari. Unico!
?manu*
> Aiuto!!!!!!!!!!!!!!!
>
> Sia F(s)=(x-As)^t*T*(x-As) una forma quadratica con T simmetrica.
>
> Devo trovare la derivata di F(s) rispetto a s e porla uguale a 0:
> dF(s)/ds=0
Dunque suppongo che s sia uno scalare e x un vettore fissato. In tal
caso hai
F'(s) = -2 A^t * T * (x-As)
>
> Mi serve s=....
Se A è invertibile s=A^(-1) x.
E.
Liegi
> fissato. In tal
> caso hai
>
> F'(s) = -2 A^t * T * (x-As)
>
> >
> > Mi serve s=....
>
> Se A è invertibile s=A^(-1) x.
>
> E.
No s è un vettore!
Valter Moretti
> Aiuto!!!!!!!!!!!!!!!
>
> Sia F(s)=(x-As)^t*T*(x-As) una forma quadratica con T simmetrica.
>
> Devo trovare la derivata di F(s) rispetto a s e porla uguale a 0:
> dF(s)/ds=0
>
> Mi serve s=....
>
> Datemi la soluzione vi prego,mi serve per la tesi...
>
> Saluti e grazie mille!
> --
> Gerarchie it, italia, it-alt, tin, it.binari. Unico!
Ciao, se s e' un vettore puoi sempre scrivere
F(s) = (x-As)^t*T*(x-As) = (x^t - s^t A^t)T (x-As) =
x^t Tx + s^t A^tT A s - x^t TAs - s^t A^t T x
ma s^t A^t T x = (s^t A^t T x)^t dato che s^t A^t T x e' un numero, e
quindi
s^t A^t T x = (s^t A^t T x)^t = x^tTAs, dove ho usato T^t=T.
In definitiva
F(s) = x^t Tx + s^t A^tT A s - 2s^t A^t T x
Facendo le derivate rispetto alle componenti di s trovi che
grad_s F(s) = 2 A^tT A s - 2A^t T x
Quindi l'equazione che determina s e'
A^tT A s = A^t T x (1)
Se A^tT A e' invertibile hai una sola soluzione data da
s = (A^tT A)^{-1} A^t T x
Se, in particolare A e T sono invertibili, allora
(A^tT A)^{-1} = A^{-1} T^{-1} A^{-1t}
e quindi, sostituendo sopra
s = A^{-1}x come dice manu.
Se A^tT A non e' invertibile, l'insieme delle soluzioni di (1)
e' dato da
s_0 + Ker (A^t T A)
dove s_0 e' una soluzione particolare arbitraria di (1).
Ciao, Valter
Valter Moretti
C'e' un altro modo di scrivere l'insieme delle soluzioni di (1).
L'equazione (1) si riscrive
A^tT(As - x) =0
Pertanto s risolve la (1) se e solo se
As-x appartiene e Ker(A^tT)
e quindi
As = x+ Ker (A^tT)
Concludendo, abbiamo che l'insieme delle soluzioni di (1) e' dato da:
A^{-1}(x+ Ker (A^tT))
dove A^{-1} indica qui la controimmagine secondo A
e non la funzione inversa, che puo' non esistere.
Riciao, Valter
?manu*
>>Dunque suppongo che s sia uno scalare e x un vettore
>>fissato. In tal
>>caso hai
>>
>>F'(s) = -2 A^t * T * (x-As)
>>
>>
>>>Mi serve s=....
>>
>>Se A è invertibile s=A^(-1) x.
>>
>>E.
>
> No s è un vettore!
Ok, infatti intendevo un vettore... Il risultato è quello:
dF/ds = -2 A^t * T * (x-As).
Giustamente, come ha osservato Valter, se T non è invertibile potresti
avere anche altre soluzioni. Ma se T e A sono invertibili l'unica
soluzione è s=A^(-1) x.
E.