proprieta' delle potenze
Lu
dimostrazione delle proprieta' delle potenze?
Ad esempio: a ^ (x+y) = a^x * a^y
La dimostrazione e' induttiva se x,y sono elementi di N, ma a me
interessa il caso in cui x,y sono elementi di R.
Immagino che bisogni passare dall'insieme dei maggioranti di a^q cosi'
come normalmente si definisce a^x con esponente irrazionale, e magari
potrei provarci da solo, ma mi sarebbe utile un conforto esterno.
Grazie a tutti
Lu
Tetis
> qualcuno sa indicarmi un riferimento online dove trovare la
> dimostrazione delle proprieta' delle potenze?
prima di passare al caso che a sia complesso basta considerare il caso
che a sia maggiore di zero.
> Ad esempio: a ^ (x+y) = a^x * a^y
>
> La dimostrazione e' induttiva se x,y sono elementi di N, ma a me
> interessa il caso in cui x,y sono elementi di R.
e prima ancora il caso che x,y sono elementi di Z, quindi a^(x-y) =
a^x a^(-y) basta considerare la definizione di a^(-y) e moltiplicare
per a^y. Poi passi a prendere in considerazione il caso che x,y siano
in Q. Basta, quasi, l'unicità della radice aritmetica intera.
> Immagino che bisogni passare dall'insieme dei maggioranti di a^q cosi'
> come normalmente si definisce a^x con esponente irrazionale, e magari
> potrei provarci da solo, ma mi sarebbe utile un conforto esterno.
L'idea è giusta, in particolare dato che hai dimostrato la proprietà
sui razionali non rimane come mostrare che a^(q) -> 1 quando q tende a
zero e definire per estensione continua.
> Grazie a tutti
>
> Lu
Enrico Gregorio
Dipende da come definisci l'esponenziale; la definizione come unico
prolungamento della funzione esponenziale Q -> R richiede di aver
definito prima tutte le radici n-esime, oltre a complicate dimostrazioni
di continuit� uniforme.
Il metodo pi� semplice in assoluto � di definire il logaritmo:
log x = int_{1}^{x} (1/t) dt
(per x > 0). Si tratta di una funzione derivabile e crescente, dal
momento che log' x = 1/x. La propriet� fondamentale � una semplice
applicazione della sostituzione:
log(ab) = int_{1}^{a} (1/t) dt + int_{a}^{ab} (1/t) dt
= log a + int_{1}^{b} (1/(au)) a du = log a + log b
(nel secondo integrale si pone t = au).
Ne segue, per induzione, che log(a^n) = n log a; siccome log 2 > 0,
abbiamo che lim_{x->+inf} log x = +inf. La propriet� fondamentale dice
anche subito che log(a^(-1)) = -log a, da cui lim_{x->0} log x = -inf.
Dunque log assume tutti i valori reali; se chiamiamo exp la sua
inversa, abbiamo che exp � definita su R con immagine la semiretta
dei reali positivi.
La propriet� fondamentale si traduce in exp(x+y) = exp(x) exp(y)
e non c'� bisogno di fare calcoli.
Poniamo exp(1) = e; allora, se n � intero positivo, exp(n) = e^n
(facile induzione). Inoltre, exp(1/n)^n = e, quindi exp(1/n) �
l'unica radice n-esima positiva di e.
Per a>0, definiamo poi a^x = exp(x log a). � immediato verificare
che a^(x+y) = a^x a^y e quindi che, per n intero positivo, a^n �
esattamente la n-esima potenza di a. Dunque la notazione esponenziale
non produce ambiguit�.
In un colpo solo abbiamo anche definito tutte le radici n-esime:
b = a^(1/n) = exp((log a)/n) � l'unico numero reale positivo tale
che b^n = a.
Ciao
Enrico
Lu
>
> Il metodo più semplice in assoluto è di definire il logaritmo:
>
> log x = int_{1}^{x} (1/t) dt
>
Sto esaminando attentamente la tua interessante risposta, ma potresti
esplicitare meglio l'integrale che ho citato? Non lo capisco bene,
sarebbe forse:
integrale_indefinito (1^x * 1/t) dt ?
Lu
Enrico Gregorio
> >
> > Il metodo pi� semplice in assoluto � di definire il logaritmo:
> >
> > log x = int_{1}^{x} (1/t) dt
> >
>
> Sto esaminando attentamente la tua interessante risposta, ma potresti
> esplicitare meglio l'integrale che ho citato? Non lo capisco bene,
> sarebbe forse:
>
> integrale_indefinito (1^x * 1/t) dt ?
No, integrale da 1 a x di (1/t); la funzione integrale con punto
di partenza 1.
Ciao
Enrico
Lu
ancora su, credo che ti faro' molte domande in merito ;-) sempre se
posso
Comincio con questa. Definito il logaritmo come una funzione
integrale, come dici, si passa a verificare le proprieta'.
In particolare in questa: log( x^n ) = n * log(x)
consideri un n naturale per poi muoverti con l'induzione.
Ma... se n non fosse naturale?
Lu
Enrico Gregorio
Quello viene dopo che si � definita la funzione esponenziale;
considerare esponenti non naturali a quel punto sarebbe ancora
illecito. La considerazione di log(x^n) = n log x serve per
calcolare il limite della funzione log alla frontiera del dominio
(a 0 e a +inf).
Siccome /poi/ si definisce a^x = exp(x log a), per ogni a>0 e
ogni x, abbiamo
log(a^x) = log(exp(x log a)) = x log a
(perch� log(exp(t)) = t per definizione).
Ciao
Enrico
Lu
Sto ricostruendo tutte le proprieta' (basilari) dell'algebra
elementare e questo tuo e' il tassello mancante! Spero di riuscire
nella mia impresa :-)
Ti ringrazio, hai risposto immediatamente :-)
Lu
Lu
> Il metodo più semplice in assoluto è di definire il logaritmo:
>
> log x = int_{1}^{x} (1/t) dt
Ho esaminato con attenzione la tua proposta e funziona in modo
impeccabile! :-) Sono al settimo cielo perche' riesco a dimostrare
tutte le proprieta' di logaritmi, radici e potenze. E senza fatica. Ti
ringrazio tantissimo. Ti chiedo due precisazioni.
1) La potenza 0^x non e' definibile con queste impostazioni. Si
potrebbe PORRE 0^x = 0 (per x>0) ?
2) Le potenze con base negativa (ed esponente intero) pure sfuggono a
questa visione. Conviene definirle separatamente e poi valutare
nuovamente per esse la veridicita' delle varie proprieta'?
Grazie mille
Lu
Enrico Gregorio
> > Il metodo pi� semplice in assoluto � di definire il logaritmo:
> >
> > log x = int_{1}^{x} (1/t) dt
>
>
> Ho esaminato con attenzione la tua proposta e funziona in modo
> impeccabile! :-) Sono al settimo cielo perche' riesco a dimostrare
> tutte le proprieta' di logaritmi, radici e potenze. E senza fatica. Ti
> ringrazio tantissimo. Ti chiedo due precisazioni.
>
> 1) La potenza 0^x non e' definibile con queste impostazioni. Si
> potrebbe PORRE 0^x = 0 (per x>0) ?
Non serve definirla. Oppure, se preferisci, poni 0^x = 0 per x>0
e 0^0 = 1, per analogia con gli esponenti interi.
> 2) Le potenze con base negativa (ed esponente intero) pure sfuggono a
> questa visione. Conviene definirle separatamente e poi valutare
> nuovamente per esse la veridicita' delle varie proprieta'?
Le potenze con esponente intero sono precedenti e non hanno bisogno
di alcuna giustificazione delle loro propriet� con una funzione
esponenziale che non le tratta.
Ciao
Enrico
Lu
>
> Le potenze con esponente intero sono precedenti e non hanno bisogno
> di alcuna giustificazione delle loro propriet con una funzione
> esponenziale che non le tratta.
>
Perfetto, allora prima introduco le potenze con esponente naturale,
poi estendo all'esponente 0, poi ad esponenti negativi, e poi attacco
con la definizione di logaritmo che hai dato tu, da cui poi discendono
le definizioni di esponenziale, potenza, radice ennesima e tutte le
relative proprieta'.
Resta inteso allora che le proprieta' delle potenze a base negativa ed
esponente intero devono essere a questo punto tutte dimostrate per
altra via.
Una precisazione. Il logaritmo di x in base qualunque b, verra' a
questo punto definito come (log x / log b), giusto?
Lu
Enrico Gregorio
> >
> > Le potenze con esponente intero sono precedenti e non hanno bisogno
> > di alcuna giustificazione delle loro propriet con una funzione
> > esponenziale che non le tratta.
> >
>
> Perfetto, allora prima introduco le potenze con esponente naturale,
> poi estendo all'esponente 0, poi ad esponenti negativi, e poi attacco
> con la definizione di logaritmo che hai dato tu, da cui poi discendono
> le definizioni di esponenziale, potenza, radice ennesima e tutte le
> relative proprieta'.
>
> Resta inteso allora che le proprieta' delle potenze a base negativa ed
> esponente intero devono essere a questo punto tutte dimostrate per
> altra via.
Sono gi� state dimostrate, no?
> Una precisazione. Il logaritmo di x in base qualunque b, verra' a
> questo punto definito come (log x / log b), giusto?
Per b > 0 e diverso da 1, la funzione esponenziale di base b �
iniettiva:
b^x = b^y -> b^(x-y) = 1 -> exp((x-y)log b) = 1 ->
(x-y)log b = 0 -> x-y = 0
Dunque ammette un'inversa, il "logaritmo in base b". Esercizio:
il logaritmo in base b di x � log x/log b. Infatti ...
Ciao
Enrico
Lu
>
> > Resta inteso allora che le proprieta' delle potenze a base negativa ed
> > esponente intero devono essere a questo punto tutte dimostrate per
> > altra via.
>
>
Be', se si imposta l'intero corpo delle dimostrazioni a partire dalla
definizione di logaritmo, presumevo di poter buttare a mare tutte le
dimostrazioni delle proprieta' di a^b precedentemente scritte (pagine
e pagine) che invece si basavano sulla progressiva estensione del
dominio di b da N --> (Z - N) --> (Q+ - N) --> (Q - Q+) --> (R - Q)
Sacrificio che ho fatto volentieri perche' il lavoraccio stava
diventando davvero ingestibile ed inoltre poco solido in diversi suoi
punti.
A quanto pare devo riprenderlo, almeno per quanto riguarda i casi N e
(Z-N). Vabbe' tutto sommato erano i casi piu' semplici e poi posso
restringere la dimostrazione solo al caso a<0, in quando diversamente
entra in funzione la proprieta' tirata fuori dalla definizione
"analitica" del logaritmo.
>
> Per b > 0 e diverso da 1, la funzione esponenziale di base b è
> iniettiva:
>
> Dunque ammette un'inversa, il "logaritmo in base b". Esercizio:
> il logaritmo in base b di x è log x/log b. Infatti ...
>
Infatti: Log(x,b)=Log(x)/Log(b) <==>
b ^ [Log(x):Log(b)] = x <==>
esp[ ( Log(x):Log(b) ) * Log(b) ] = x <==>
esp[ Log(x) ( Log(b):Log(b) ) ] = x <==>
esp[ Log(x) * 1 ] = x <==>
esp[ Log(x) ] = x <==>
x = x CVD
Devo dire che questo nuovo modo di intendere le potenze mi sorprende
sempre di piu' e che, effettivamente, e' un piacere lavorare con
funzioni iniettive ed invertibili.
Lu
Enrico Gregorio
> >
> > > Resta inteso allora che le proprieta' delle potenze a base negativa ed
> > > esponente intero devono essere a questo punto tutte dimostrate per
> > > altra via.
> >
> > Sono gi� state dimostrate, no?
> >
>
> A quanto pare devo riprenderlo, almeno per quanto riguarda i casi N e
> (Z-N). Vabbe' tutto sommato erano i casi piu' semplici e poi posso
> restringere la dimostrazione solo al caso a<0, in quando diversamente
> entra in funzione la proprieta' tirata fuori dalla definizione
> "analitica" del logaritmo.
Non sono d'accordo su questa impostazione. La dimostrazione delle
propriet� fondamentali delle potenze a esponente intero non richiede
altro che la base abbia un inverso moltiplicativo (se vogliamo esponenti
negativi). Non sono difficili.
> > Per b > 0 e diverso da 1, la funzione esponenziale di base b �
> > iniettiva:
> >
> > Dunque ammette un'inversa, il "logaritmo in base b". Esercizio:
> > il logaritmo in base b di x � log x/log b. Infatti ...
> >
>
> Infatti: Log(x,b)=Log(x)/Log(b) <==>
> b ^ [Log(x):Log(b)] = x <==>
> esp[ ( Log(x):Log(b) ) * Log(b) ] = x <==>
> esp[ Log(x) ( Log(b):Log(b) ) ] = x <==>
> esp[ Log(x) * 1 ] = x <==>
> esp[ Log(x) ] = x <==>
> x = x CVD
Per definizione di funzione inversa basta verificare che
b^(log x/log b) = x:
b^(log x/log b) = exp((log x/log b)log b) = exp(log x) = x.
Quelle lunghe catene di "se e solo se" sono proprio brutte.
> Devo dire che questo nuovo modo di intendere le potenze mi sorprende
> sempre di piu' e che, effettivamente, e' un piacere lavorare con
> funzioni iniettive ed invertibili.
C'� pi� astrazione, quindi pi� "semplicit�".
Ciao
Enrico
Lu
>
> Non sono d'accordo su questa impostazione. La dimostrazione delle
> altro che la base abbia un inverso moltiplicativo (se vogliamo esponenti
> negativi). Non sono difficili.
No, non sono difficili, ma sono TANTE. Finora ho conteggiato piu' di 5
pagine di proprieta' (di soli enunciati!). Dimostrarle una volta
passi, ma dimostrarle tutte due volte.... be' comunque come ho detto,
non mi lamento, va molto meglio di prima.
>
> > Infatti: Log(x,b)=Log(x)/Log(b) <==>
> > b ^ [Log(x):Log(b)] = x <==>
> > esp[ ( Log(x):Log(b) ) * Log(b) ] = x <==>
> > esp[ Log(x) ( Log(b):Log(b) ) ] = x <==>
> > esp[ Log(x) * 1 ] = x <==>
> > esp[ Log(x) ] = x <==>
> > x = x CVD
>
> Per definizione di funzione inversa basta verificare che
> b^(log x/log b) = x:
>
> b^(log x/log b) = exp((log x/log b)log b) = exp(log x) = x.
>
> Quelle lunghe catene di "se e solo se" sono proprio brutte.
Si, puo' essere... ma ho la "forma mentis" che deriva dagli assiomi di
Peano e dalle relative dimostrazioni quasi tutte condotte per
induzione e li' mi sono abituato a scandire per bene tutti i passaggi
e a non abusare delle catene a = b = c = ....
> C'è più astrazione, quindi più "semplicità".
Che pago pero' perche' ho bisogno di premettere una bella carrettata
di Analisi (continuita', derivate, integrali, teorema fondamentale del
calcolo, teorema di caratterizzazione, ...) per ottenere le agognate
proprieta' delle potenze.
Non mi lamento, come ho detto. Mi va di lusso cosi'. Del resto, in
alternativa, mi sarebbe toccato manovrare con le sezioni di Dedekind,
cosa che non so fare per nulla.
Ciao
Lu
Enrico Gregorio
> >
> > Non sono d'accordo su questa impostazione. La dimostrazione delle
> > propriet� fondamentali delle potenze a esponente intero non richiede
> > altro che la base abbia un inverso moltiplicativo (se vogliamo esponenti
> > negativi). Non sono difficili.
>
>
> No, non sono difficili, ma sono TANTE. Finora ho conteggiato piu' di 5
> pagine di proprieta' (di soli enunciati!). Dimostrarle una volta
> passi, ma dimostrarle tutte due volte.... be' comunque come ho detto,
> non mi lamento, va molto meglio di prima.
Quali sarebbero queste terribili propriet�? Io ne conosco tre:
a^(m+n) = a^m a^n
(a^m)^n = a^(mn)
(ab)^m = a^m b^m
E perch� si dovrebbero dimostrare due volte?
Ciao
Enrico
Lu
>
> Quali sarebbero queste terribili proprietà? Io ne conosco tre:
>
> a^(m+n) = a^m a^n
> (a^m)^n = a^(mn)
> (ab)^m = a^m b^m
>
Tra proprieta' fondamentali e corollari io ne ho contate una trentina
Non esiste 0^0
0^a = 0 (se a>0)
Non esiste 0^a (se a<=0)
a^0 = 1 (se a!=0)
1^a = 1
a^1 = a
(-1)^n = 1 (se n e' pari oppure (-n) e' pari)
(-1)^n = (-1) (se n e' dispari oppure (-n) e' dispari)
a^(-1) = (1/a) (con a!=0)
(-a)^n = (-1)^n * a^n (con n in Z)
a^(-n) = (1/a^n) = (1/a)^n (con a!=0)
(-1)^(-n)= (-1)^n (con n in Z)
(1/a)^(-n) = a^n (con a!=0)
(1/a)^(-1) = a (con a!=0)
a^(b+c) = a^b * a^c
a^(b-c) = a^b : a^c
(ab)^c = a^c * b^c
(a:b)^c = a^c : b^c
(a^b)^c = (a^c)^b = a^(bc)
a^b = 0 <==> a=0 ^ b>0
a^b = 1 <==> (b=0 ^ a!=0) v (a=1) v [a=(-1) ^ (b e' pari v (-b) e'
pari]
a^b = (-1) <==> a=(-1) ^ [b e' dispari v (-b) e' dispari]
a^b < 0 <==> a<0 ^ (b e' dispari v (-b) e' dispari]
a^b < 1 <==> etc. etc.
a^b <= (-1) <==> etc. etc.
a^b <= c <==> etc. etc.
a^b = a^c <==> b=c (con a>1 v 0<a<1) ovvero |b|=|c| (se etc. etc.)
a^b = c^b <==> a=c (se etc. etc.)
a^b <= a^c <==> b<=c (se etc. etc.)
a^b <= c^b <==> a<=c (se etc. etc.)
ho messo etc. etc. per non appesantire troppo
> E perché si dovrebbero dimostrare due volte?
E' questo il punto, se prendi l'ultima proprieta', per esempio, la
conclusione a<=c e' valida se (a>=0 ^ c>=0). Ed e' molto semplice da
dimostrare.
Se invece ammettiamo che (a<0 v b<0) e naturalmente restringiamo b in
Z, non solo la tecnica di dimostrazione adottata prima non e' piu'
valida, ma ci sono molte situazioni da tener presenti: io ne ho
trovate quattro: a<=c, c<=a, (-a)<=c, c<=(-a) a seconda del segno e
della parita' dei numeri coinvolti.
Quindi le dimostrazioni delle proprieta' quando l'esponente e' in Z
diventano molto piu' laboriose di quelle in cui l'esponente e' un
reale qualsiasi, proprio perche' bisogna tenere conto che la base puo'
anche essere negativa, l'esponente stesso puo' essere pari o dispari e
cosi' via. Sembra assurdo ma credo che non si possa fare di meglio.
Sei d'accordo? Aspetto il tuo parere.
Ciao, Luigi
Enrico Gregorio
> Scusa il ritardo della risposta:
>
>
> >
> > Quali sarebbero queste terribili propriet�? Io ne conosco tre:
> >
> > a^(m+n) = a^m a^n
> > (a^m)^n = a^(mn)
> > (ab)^m = a^m b^m
> >
>
>
> Tra proprieta' fondamentali e corollari io ne ho contate una trentina
>
>
> Non esiste 0^0
Perch� mai?
> 0^a = 0 (se a>0)
Per definizione.
> Non esiste 0^a (se a<=0)
Per definizione.
> a^0 = 1 (se a!=0)
Per definizione
> 1^a = 1
Per definizione, dal momento che log1 = 0
Adesso passiamo a esponenti interi.
> a^1 = a
Per definizione
> (-1)^n = 1 (se n e' pari oppure (-n) e' pari)
Dov'� il problema?
> (-1)^n = (-1) (se n e' dispari oppure (-n) e' dispari)
Dov'� il problema?
> a^(-1) = (1/a) (con a!=0)
Per definizione.
> (-a)^n = (-1)^n * a^n (con n in Z)
Scherziamo? Forse discende facilmente da (ab)^n = a^n b^n; o no?
> a^(-n) = (1/a^n) = (1/a)^n (con a!=0)
Per definizione.
> (-1)^(-n)= (-1)^n (con n in Z)
Caso particolare.
> (1/a)^(-n) = a^n (con a!=0)
Discende da (a^m)^n = a^(mn)
> (1/a)^(-1) = a (con a!=0)
Caso particolare di un'altra.
Adesso torniamo agli esponenti qualsiasi?
> a^(b+c) = a^b * a^c
Facile dalla definizione di a^x = exp(x log a); come quelle che
seguono.
> a^(b-c) = a^b : a^c
> (ab)^c = a^c * b^c
> (a:b)^c = a^c : b^c
> (a^b)^c = (a^c)^b = a^(bc)
Le rimanenti mi rifiuto di considerle come "propriet�"; sono
semplici esercizietti di calcolo.
> a^b = 0 <==> a=0 ^ b>0
> a^b = 1 <==> (b=0 ^ a!=0) v (a=1) v [a=(-1) ^ (b e' pari v (-b) e'
> pari]
> a^b = (-1) <==> a=(-1) ^ [b e' dispari v (-b) e' dispari]
> a^b < 0 <==> a<0 ^ (b e' dispari v (-b) e' dispari]
> a^b < 1 <==> etc. etc.
> a^b <= (-1) <==> etc. etc.
> a^b <= c <==> etc. etc.
> a^b = a^c <==> b=c (con a>1 v 0<a<1) ovvero |b|=|c| (se etc. etc.)
> a^b = c^b <==> a=c (se etc. etc.)
> a^b <= a^c <==> b<=c (se etc. etc.)
> a^b <= c^b <==> a<=c (se etc. etc.)
>
> ho messo etc. etc. per non appesantire troppo
>
>
>
>
> > E perch� si dovrebbero dimostrare due volte?
>
> E' questo il punto, se prendi l'ultima proprieta', per esempio, la
> conclusione a<=c e' valida se (a>=0 ^ c>=0). Ed e' molto semplice da
> dimostrare.
> Se invece ammettiamo che (a<0 v b<0) e naturalmente restringiamo b in
> Z, non solo la tecnica di dimostrazione adottata prima non e' piu'
> valida, ma ci sono molte situazioni da tener presenti: io ne ho
> trovate quattro: a<=c, c<=a, (-a)<=c, c<=(-a) a seconda del segno e
> della parita' dei numeri coinvolti.
>
> Quindi le dimostrazioni delle proprieta' quando l'esponente e' in Z
> diventano molto piu' laboriose di quelle in cui l'esponente e' un
> reale qualsiasi, proprio perche' bisogna tenere conto che la base puo'
> anche essere negativa, l'esponente stesso puo' essere pari o dispari e
> cosi' via. Sembra assurdo ma credo che non si possa fare di meglio.
> Sei d'accordo? Aspetto il tuo parere.
No, questa � botanica, non matematica. :-) E ti stai facendo problemi
dove non ci sono. Le propriet� sono molto semplici:
Definizione di potenza a esponente intero:
a^0 = 1,
a^(n+1) = a^n a, per n >= 0
a^n = (1/a)^n, per n < 0 e a diverso da 0
Propriet� (in cui supponiamo a diverso da 0, altrimenti non c'� molto
da dire):
a^(m+n) = a^m a^n
(a^m)^n = a^(mn)
(ab)^n = a^n b^n
Ciao
Enrico
Lu
> Le rimanenti mi rifiuto di considerle come "proprietà"; sono
> semplici esercizietti di calcolo.
>
> No, questa è botanica, non matematica. :-) E ti stai facendo problemi
> dove non ci sono. Le proprietà sono molto semplici:
>
Forse bisognerebbe prima accordarsi su cio' che e' proprieta' e cio'
che e' applicazione (l'esercizietto). Dove e' il limite sottile?
Se voglio sapere i valori di a per cui a^b <= (-1) posso ogni volta
considerarlo come esercizio, e svolgerlo, oppure svolgere l'esercizio
una volta per tutte, e sapere, da allora in avanti che: a<=(-1) se b
e' dispari, mentre (-1)<=a<0 se (-b) e' dispari. Del resto penso che
sia questo il criterio con cui si compilano i "repertori" delle
proprieta' che troviamo sui libri: elencare le relazioni piu' comuni e
fornirne in generale una risposta.
Esempio: anche la "legge dell'annullamento del prodotto" (non c'entra
nulla con le potenze) potrebbe essere considerata semplice
esercizietto applicativo, fatto sta che la totalita' dei testi la
propongono come proprieta' notevole a causa della rilevante frequenza
con cui la si incontra. E cosi' non si costringe lo studente a
ridimostrarla ogni volta che la incontra.
Ora il discorso e': forse non c'e' un limite netto tra relazioni o
identita' meritevoli di catalogazione e altre declassate a esercizio
per il lettore. Credo che il tutto sia lasciato alla intuizione del
singolo autore. E difatti e' difficile trovare due testi che espongono
lo stesso elenco di proprieta' (parlo di proprieta' algebriche, tra
cui quelle delle potenze).
Torno al mio lungo elenco. Riportavo tutte le proprieta' che a mio
avviso possono essere catalogate e che riguardano le potenze. Molte
sono ovvie, ma non tutte. In particolare ce n'e' una di queste che ha
richiesto da sola un'intera pagina per analizzare i vari casi. E
ancora una volta tutta questa complicazione mi veniva fuori solo
quando gli esponenti avevano valori in Z. E' questo il paradosso che
volevo discutere con te. Se l'esponente e' reale la dimostrazione e'
invece rapidissima (grazie alla definizione integrale del logaritmo
che mi hai suggerito tu).
Ciao e grazie del contraddittorio
Luigi
?manu*
> Se voglio sapere i valori di a per cui a^b <= (-1) posso ogni volta
> considerarlo come esercizio, e svolgerlo, oppure svolgere l'esercizio
> una volta per tutte, e sapere, da allora in avanti che: a<=(-1) se b
> e' dispari, mentre (-1)<=a<0 se (-b) e' dispari.
Delle due possibilit� io consiglierei la prima. Come fai a ricordarti
una regola del genere? E quante volte pensi che ti capiter� di utilizzarla?
E.
Lu
> Lu ha scritto:
>
> > Se voglio sapere i valori di a per cui a^b <= (-1) posso ogni volta
> > considerarlo come esercizio, e svolgerlo, oppure svolgere l'esercizio
> > una volta per tutte, e sapere, da allora in avanti che: a<=(-1) se b
> > e' dispari, mentre (-1)<=a<0 se (-b) e' dispari.
>
> una regola del genere? E quante volte pensi che ti capiterà di utilizzarla?
>
Mi e' capitato, purtroppo, in analisi, dove con le serie di funzioni
dovevo macinare maggiorazioni di tutti i tipi. Da li' mi e' nata
l'idea di costruirmi un repertorio di queste relazioni fondamentali,
che poi sono quelle dell'elenco.
Luigi
Enrico Gregorio
> > Le rimanenti mi rifiuto di considerle come "propriet�"; sono
> > semplici esercizietti di calcolo.
> >
> > No, questa � botanica, non matematica. :-) E ti stai facendo problemi
> > dove non ci sono. Le propriet� sono molto semplici:
> >
>
> Forse bisognerebbe prima accordarsi su cio' che e' proprieta' e cio'
> che e' applicazione (l'esercizietto). Dove e' il limite sottile?
>
> Se voglio sapere i valori di a per cui a^b <= (-1) posso ogni volta
> considerarlo come esercizio, e svolgerlo, oppure svolgere l'esercizio
> una volta per tutte, e sapere, da allora in avanti che: a<=(-1) se b
> e' dispari, mentre (-1)<=a<0 se (-b) e' dispari. Del resto penso che
> sia questo il criterio con cui si compilano i "repertori" delle
> proprieta' che troviamo sui libri: elencare le relazioni piu' comuni e
> fornirne in generale una risposta.
Direi che si tratta di un falso problema. Avere una miriade di
regolette in qualche tabella da consultare ti porta al problema
di /catalogare/ queste regolette, cio� dare una regola che ti
permetta di trovare quella giusta. Oppure le guardi tutte a una
a una ogni volta?
Da a^n <= -1 segue che a < 0; perci�, se n � pari, nessun a la
soddisfa; se n � dispari, la radice n-esima � monotona, perci�
la disuguaglianza equivale a: a <= -1.
> Esempio: anche la "legge dell'annullamento del prodotto" (non c'entra
> nulla con le potenze) potrebbe essere considerata semplice
> esercizietto applicativo, fatto sta che la totalita' dei testi la
> propongono come proprieta' notevole a causa della rilevante frequenza
> con cui la si incontra. E cosi' non si costringe lo studente a
> ridimostrarla ogni volta che la incontra.
La "legge di annullamento del prodotto" discende dall'esistenza
degli inversi.
> Ora il discorso e': forse non c'e' un limite netto tra relazioni o
> identita' meritevoli di catalogazione e altre declassate a esercizio
> per il lettore. Credo che il tutto sia lasciato alla intuizione del
> singolo autore. E difatti e' difficile trovare due testi che espongono
> lo stesso elenco di proprieta' (parlo di proprieta' algebriche, tra
> cui quelle delle potenze).
>
> Torno al mio lungo elenco. Riportavo tutte le proprieta' che a mio
> avviso possono essere catalogate e che riguardano le potenze. Molte
> sono ovvie, ma non tutte. In particolare ce n'e' una di queste che ha
> richiesto da sola un'intera pagina per analizzare i vari casi. E
> ancora una volta tutta questa complicazione mi veniva fuori solo
> quando gli esponenti avevano valori in Z. E' questo il paradosso che
> volevo discutere con te. Se l'esponente e' reale la dimostrazione e'
> invece rapidissima (grazie alla definizione integrale del logaritmo
> che mi hai suggerito tu).
Basta un pochino di buon senso e una mentalit� non "botanica". :)
Ciao
Enrico
Lu
> Direi che si tratta di un falso problema. Avere una miriade di
> regolette in qualche tabella da consultare ti porta al problema
> di /catalogare/ queste regolette, cio dare una regola che ti
> permetta di trovare quella giusta. Oppure le guardi tutte a una
> a una ogni volta?
>
Direi che e' piu' un problema di stile. Per farti un esempio ci sono
tabelle di integali immediati lunghe pagine e tabelle striminzite che
riportano sei o sette casi.
> Da a^n <= -1 segue che a < 0; perci , se n pari, nessun a la
> soddisfa; se n dispari, la radice n-esima monotona, perci
> la disuguaglianza equivale a: a <= -1.
Se n e' in Z puo' anche essere n<0 in tal caso la disuguaglianza
equivale ad:
a >= (-1) :-)
> La "legge di annullamento del prodotto" discende dall'esistenza
> degli inversi.
Certo... ma ad esempio in Z ed in N gli inversi (i reciproci) non
esistono.
>
> Basta un pochino di buon senso e una mentalit non "botanica". :)
>
Eh, eh... confesso che a me questo termine naturalistico piace :-)
ricordo che Desargues adotto' termini botanici addirittura per
definire concetti matematici.
Ciao Luigi
Enrico Gregorio
> > Direi che si tratta di un falso problema. Avere una miriade di
> > regolette in qualche tabella da consultare ti porta al problema
> > di /catalogare/ queste regolette, cio dare una regola che ti
> > permetta di trovare quella giusta. Oppure le guardi tutte a una
> > a una ogni volta?
> >
>
> Direi che e' piu' un problema di stile. Per farti un esempio ci sono
> tabelle di integali immediati lunghe pagine e tabelle striminzite che
> riportano sei o sette casi.
E allora?
> > Da a^n <= -1 segue che a < 0; perci , se n pari, nessun a la
> > soddisfa; se n dispari, la radice n-esima monotona, perci
> > la disuguaglianza equivale a: a <= -1.
>
> Se n e' in Z puo' anche essere n<0 in tal caso la disuguaglianza
> equivale ad:
> a >= (-1) :-)
Dici sul serio? Da quando l'inversa di una funzione crescente
� decrescente?
> > La "legge di annullamento del prodotto" discende dall'esistenza
> > degli inversi.
>
> Certo... ma ad esempio in Z ed in N gli inversi (i reciproci) non
> esistono.
E con ci�? Se l'annullamento del prodotto vale nei complessi,
vale a maggior ragione in ogni sottoinsieme.
> > Basta un pochino di buon senso e una mentalit non "botanica". :)
> >
>
> Eh, eh... confesso che a me questo termine naturalistico piace :-)
> ricordo che Desargues adotto' termini botanici addirittura per
> definire concetti matematici.
Non solo botanici.
Ciao
Enrico
Lu
> > Direi che e' piu' un problema di stile. Per farti un esempio ci sono
> > tabelle di integali immediati lunghe pagine e tabelle striminzite che
> > riportano sei o sette casi.
>
> E allora?
>
Il fatto che le tabelle (degli integrali, delle derivate, dei limiti
notevoli...) presenti nei vari testi non siano tutte identiche mostra
che la scelta di cosa sia fondamentale e cosa no e' materia opinabile.
> > > Da a^n <= -1 segue che a < 0; perci , se n pari, nessun a la
> > > soddisfa; se n dispari, la radice n-esima monotona, perci
> > > la disuguaglianza equivale a: a <= -1.
>
> > Se n e' in Z puo' anche essere n<0 in tal caso la disuguaglianza
> > equivale ad:
> > a >= (-1) :-)
>
> Dici sul serio? Da quando l'inversa di una funzione crescente
> è decrescente?
>
Certo che dico sul serio.
a=(-1/2); b= (-1) ===> a^b = (-2)
Altro esempio:
a=(-1/3); b= (-3) ===> a^b = (-27)
Come vedi e' molto facile lasciarsi sfuggire qualcosa :-)
>
> E con ciò? Se l'annullamento del prodotto vale nei complessi,
> vale a maggior ragione in ogni sottoinsieme.
Non sempre le proprieta' che valgono in un insieme valgono anche nei
suoi sottoinsiemi. E viceversa. Ad esempio, da ab = 1 discendono
conclusioni diverse a seconda dell'insieme numerico adottato.
In N ==> a=1 ^ b=1
In Q ==> a= (1/b)
>
> > Eh, eh... confesso che a me questo termine naturalistico piace :-)
> > ricordo che Desargues adotto' termini botanici addirittura per
> > definire concetti matematici.
>
> Non solo botanici.
>
... ma anche "botanici" :-)
Lu
Enrico Gregorio
> > > Direi che e' piu' un problema di stile. Per farti un esempio ci sono
> > > tabelle di integali immediati lunghe pagine e tabelle striminzite che
> > > riportano sei o sette casi.
> >
> > E allora?
> >
>
> Il fatto che le tabelle (degli integrali, delle derivate, dei limiti
> notevoli...) presenti nei vari testi non siano tutte identiche mostra
> che la scelta di cosa sia fondamentale e cosa no e' materia opinabile.
Non c'entra nulla; le tabelle di integrali sono faccende ben diverse
dalle inutili tabelle di derivate che si trovano in certi testi.
> > > > Da a^n <= -1 segue che a < 0; perci , se n pari, nessun a la
> > > > soddisfa; se n dispari, la radice n-esima monotona, perci
> > > > la disuguaglianza equivale a: a <= -1.
> >
> > > Se n e' in Z puo' anche essere n<0 in tal caso la disuguaglianza
> > > equivale ad:
> > > a >= (-1) � � :-)
> >
> > Dici sul serio? Da quando l'inversa di una funzione crescente
> > � decrescente?
> >
>
> Certo che dico sul serio.
>
> a=(-1/2); b= (-1) ===> a^b = (-2)
>
> Altro esempio:
>
> a=(-1/3); b= (-3) ===> a^b = (-27)
>
>
> Come vedi e' molto facile lasciarsi sfuggire qualcosa :-)
Gi�, che n<0. :-( Ma il discorso � uguale: x -> x^n, per n<0 �
decrescente. Quindi non c'� molto da ricordare di pi�.
> > E con ci�? Se l'annullamento del prodotto vale nei complessi,
> > vale a maggior ragione in ogni sottoinsieme.
>
> Non sempre le proprieta' che valgono in un insieme valgono anche nei
> suoi sottoinsiemi. E viceversa. Ad esempio, da ab = 1 discendono
> conclusioni diverse a seconda dell'insieme numerico adottato.
>
> In N ==> a=1 ^ b=1
> In Q ==> a= (1/b)
Che c'entra? La propriet� riguarda solo le operazioni e coinvolge
quantificatori universali, non esistenziali:
"per ogni a, per ogni b, se ab=0, allora a=0 oppure b=0"
ed � ovvio che se vale in R vale anche in qualsiasi sottoinsieme.
Imparare la matematica a tabelle e memoria � uno sforzo stupido,
perch� inutile allo scopo che si prefigge.
Ciao
Enrico
Lu
> Non c'entra nulla; le tabelle di integrali sono faccende ben diverse
> dalle inutili tabelle di derivate che si trovano in certi testi.
>
Personalmente ho trovato invece molto formativo un testo che riportava
corpose tabelle di integrali e di limiti notevoli. Ricordo che a suo
tempo provai a risolvere i singoli casi e mi trovai ad armeggiare con
un buon numero di tecniche risolutive e trovai la cosa molto
formativa.
In seguito non ho memorizzato tutti quei casi, e credo di ricordare a
memoria solo un paio di limiti notevoli e cinque o sei primitive.
Cionostante se, studiando una dimostrazione, incontro un integrale o
un limite che l'autore da' per banale, e non riesco a giustificarlo
mentalmente in qualche secondo (e non ho molto tempo), do' una
sbirciata a quella tabella e vado tranquillo :-)
> Che c'entra? La proprietà riguarda solo le operazioni e coinvolge
> quantificatori universali, non esistenziali:
>
> "per ogni a, per ogni b, se ab=0, allora a=0 oppure b=0"
in N: "per ogni a, per ogni b, se ab=1, allora a=1 e b=1" (*)
in N: "per ogni a, per ogni b, se a+b=0, allora a=0 e b=0" (*)
in R: "per ogni a, per ogni b, se a+b=0, allora a=(-b)" (**)
Non vedo grandi differenze...
Tra l'altro la seconda e la terza (*) sono utilizzatissime in
dimostrazioni di aritmetica superiore.
>
> ed è ovvio che se vale in R vale anche in qualsiasi sottoinsieme.
La quarta proprieta' (**), valida in R, non e' valida in N e in Q+
> Imparare la matematica a tabelle e memoria è uno sforzo stupido,
> perché inutile allo scopo che si prefigge.
>
Imparare le tabelle a memoria no, son d'accordo, ma vedere come quelle
tabelle sono realizzate e' un esercizio che apre la mente e che
peraltro porta a un risultato che si rivela poi utilissimo nelle
applicazioni.
Ciao
Lu
Enrico Gregorio
> > Non c'entra nulla; le tabelle di integrali sono faccende ben diverse
> > dalle inutili tabelle di derivate che si trovano in certi testi.
> >
>
> Personalmente ho trovato invece molto formativo un testo che riportava
> corpose tabelle di integrali e di limiti notevoli. Ricordo che a suo
> tempo provai a risolvere i singoli casi e mi trovai ad armeggiare con
> un buon numero di tecniche risolutive e trovai la cosa molto
> formativa.
> In seguito non ho memorizzato tutti quei casi, e credo di ricordare a
> memoria solo un paio di limiti notevoli e cinque o sei primitive.
> Cionostante se, studiando una dimostrazione, incontro un integrale o
> un limite che l'autore da' per banale, e non riesco a giustificarlo
> mentalmente in qualche secondo (e non ho molto tempo), do' una
> sbirciata a quella tabella e vado tranquillo :-)
Appunto. Quello che conta � fare pratica. Ma non con la memoria.
> > Che c'entra? La propriet� riguarda solo le operazioni e coinvolge
> > quantificatori universali, non esistenziali:
> >
> > "per ogni a, per ogni b, se ab=0, allora a=0 oppure b=0"
>
> in N: "per ogni a, per ogni b, se ab=1, allora a=1 e b=1" (*)
> in N: "per ogni a, per ogni b, se a+b=0, allora a=0 e b=0" (*)
> in R: "per ogni a, per ogni b, se a+b=0, allora a=(-b)" (**)
>
> Non vedo grandi differenze...
>
> Tra l'altro la seconda e la terza (*) sono utilizzatissime in
> dimostrazioni di aritmetica superiore.
Dov'� il problema? La propriet� "per ogni a, per ogni b, X"
che valga in un insieme vale anche in ogni sottoinsieme.
> >
> > ed � ovvio che se vale in R vale anche in qualsiasi sottoinsieme.
>
> La quarta proprieta' (**), valida in R, non e' valida in N e in Q+
Davvero? Guarda meglio.
> > Imparare la matematica a tabelle e memoria � uno sforzo stupido,
> > perch� inutile allo scopo che si prefigge.
> >
> Imparare le tabelle a memoria no, son d'accordo, ma vedere come quelle
> tabelle sono realizzate e' un esercizio che apre la mente e che
> peraltro porta a un risultato che si rivela poi utilissimo nelle
> applicazioni.
C'� modo e modo di arrivare a fare pratica.
Ciao
Enrico
Lu
> Appunto. Quello che conta è fare pratica. Ma non con la memoria.
Anche qui materia opinabile....
Esempio: formule di prostaferesi, di Werner e compagnia bella. Ho
avuto insegnanti che la pensavano come te, altri che aborrivano i
"formulari" e pretendevano che si imparassero le formule a memoria.
Ah, ci sara' pure qualcuno che quando ha bisogno di una di queste
formule se la va ogni volte a ricostruire, ma non penso che sara' in
gran compagnia....
> > in R: "per ogni a, per ogni b, se a+b=0, allora a=(-b)" (**)
>
> Dov'è il problema? La proprietà "per ogni a, per ogni b, X"
> che valga in un insieme vale anche in ogni sottoinsieme.
>
> > La quarta proprieta' (**), valida in R, non e' valida in N e in Q+
>
> Davvero? Guarda meglio.
Guarda, e' banale: in N il concetto di opposto non esiste.
> > Imparare le tabelle a memoria no, son d'accordo, ma vedere come quelle
> > tabelle sono realizzate e' un esercizio che apre la mente e che
> > peraltro porta a un risultato che si rivela poi utilissimo nelle
> > applicazioni.
>
> C'è modo e modo di arrivare a fare pratica.
>
Ci sono tanti modi... non credo che si possa porre un punto fermo su
questo tema.
Lu
Enrico Gregorio
> > Appunto. Quello che conta � fare pratica. Ma non con la memoria.
>
> Anche qui materia opinabile....
> Esempio: formule di prostaferesi, di Werner e compagnia bella. Ho
> avuto insegnanti che la pensavano come te, altri che aborrivano i
> "formulari" e pretendevano che si imparassero le formule a memoria.
> Ah, ci sara' pure qualcuno che quando ha bisogno di una di queste
> formule se la va ogni volte a ricostruire, ma non penso che sara' in
> gran compagnia....
Io.
> > > in R: "per ogni a, per ogni b, se a+b=0, allora a=(-b)" � � � � (**)
> >
> > Dov'� il problema? La propriet� "per ogni a, per ogni b, X"
> > che valga in un insieme vale anche in ogni sottoinsieme.
> >
> > > La quarta proprieta' (**), valida in R, non e' valida in N e in Q+
> >
> > Davvero? Guarda meglio.
>
> Guarda, e' banale: in N il concetto di opposto non esiste.
Ehm, guarda meglio. Un po' pi� in profondit�: imparare la
matematica a memoria con le tabelle d� proprio questi problemi.
� banale, sicuro: se a+b=0, b � quell'elemento che sommato ad a
d� 0. Che poi /esista/ � un altro paio di maniche.
Ciao
Enrico