[OT] Energia elettrostatica - sfera uniformemente carica.
Daniele 'Dalamar' S.
Ciao a tutti.
Ho dei problemi nel calcolo dell'energia elettrostatica di
una sfera uniformemente carica, ovvero utilizzando 2
procedimenti differenti ottengo risultati pure differenti.
L'espressione del campo interno (r < R, con R raggio della
sfera) di una sfera unif. carica è:
E(r) = (p / 3e_0) r
con:
p = densità volumetrica di carica;
e_0 = costante dielettrica del vuoto.
Dall'espressione precedente ottengo il potenziale (sempre
per r<R):
V(r) = (p / 6e_0) r^2
L'energia elettrostatica totale del sistema può essere
calcolata come:
U = 1/2 \int_{\tau} pV \ud \tau ( U = 1/2 int pV dxdydz
calcolato su tutto il volume )
In particolare la densità di carica all'esterno della sfera
è nulla qundi il volume di integrazione si riduce a quello
della sfera. Svolgendo i miei buoni (?!) calcoli ottengo:
U = ((\pi p^2 ) / (15 e_0) ) R^5
Un altro modo per effettuare il calcolo è quello di definire
la densità di energia elettrostatica:
u = (e_0 E^2)/2
e poi integrare su tutto lo spazio, considerando che per r>R
il campo elettrico generato vale:
E = (p R^3) / (3e_0 r^2)
Il risultato che ottengo in questo caso è esattamente il
quadruplo :( rispetto al caso precendente. Secondo il mio
libro di testo il risultato esatto è appunto:
U = ((4 \pi p^2 ) / (15 e_0) ) R^5
Dove ho sbagliato?
Grazie per la pazienza.
Daniele S.
misto fritto
> Ho dei problemi nel calcolo dell'energia elettrostatica di
> una sfera uniformemente carica, ovvero utilizzando 2
> procedimenti differenti ottengo risultati pure differenti.
direi che hai anche problemi a spiegarti:
una sfera carica ha potenziale costante al suo interno, mentre varia in
una distribuzione sferica di cariche
qual'e' il tuo caso?
Yanez
Daniele 'Dalamar' S. ha scritto nel messaggio
<9okf6h$d9kit$1...@ID-58857.news.dfncis.de>...
>( Scusate il cross post ... )
>Ciao a tutti.
>Ho dei problemi nel calcolo dell'energia elettrostatica di
>una sfera uniformemente carica, ovvero utilizzando 2
>procedimenti differenti ottengo risultati pure differenti.
>
>L'espressione del campo interno (r < R, con R raggio della
>sfera) di una sfera unif. carica è:
>
>E(r) = (p / 3e_0) r
>
>con:
> p = densità volumetrica di carica;
> e_0 = costante dielettrica del vuoto.
>
>Dall'espressione precedente ottengo il potenziale (sempre
>per r<R):
>
>V(r) = (p / 6e_0) r^2
>
No, questo è l' opposto del potenziale :-)
A parte questo, l' inghippo sta nel fatto che non stai utilizzando un
potenziale continuo in tutto lo spazio: prova a calcolare per r=R i due
potenziali che hai trovato (interno ed esterno, con i segni giusti però!).
Ti verranno due valori distinti, segno che hai 'creato' un misterioso salto
di potenziale in r=R.
Devi 'raccordare' il potenziale interno con quello esterno con una costante
additiva opportuna (imponendo la continuità in r=R).
Fatto questo, vedrai che è proprio questa costante a 'mettere a posto' i
calcoli :-)
Ciao.
Giovanni -Darth Vader- Neiman
>direi che hai anche problemi a spiegarti:
>una sfera carica ha potenziale costante al suo interno, mentre varia in
>una distribuzione sferica di cariche
>qual'e' il tuo caso?
Forse lui non intendeva una sfera METALLICA carica, ma una
distribuzione spazialmente costante, sferica, di carica elettrica.
--
>Giovanni -Darth Vader- Neiman
IHM Dudi n.548 - Moderatore di IAFM
available on FidoNet, ICQ, Messenger
Daniele 'Dalamar' S.
> >per r<R):
> >
> >V(r) = (p / 6e_0) r^2
> >
>
> No, questo è l' opposto del potenziale :-)
Certo! :)
Grazie mille. :)
Daniele S.
Daniele 'Dalamar' S.
Il caso è il secondo. Se avessi letto altre 2 righe non ci
sarebbero stati dubbi.
Ciao e grazie. Daniele S.