Funzioni continue NON derivabili
Arcobaleno
rivoluzione(Jordan, Peano, Borel, Lebesgue) e nasce la teoria della
misura che integra le idee di Riemann, in questo modo il teorema
fondamentale continua a valere ecc ecc.....non mi dilungo su aspetti
teorici.
Ma quali sono queste funzioni non derivabili con la VECCHIA teoria
della misura ma derivabili ed integrabili con la NUOVA teoria della
misura?
Nei libri non vedo esempi, che a mio parere potrebbero motivare molto
lo studio della teoria della misura secondo lebesgue.
Qualcuno ha in mente una serie di esempi facili facili?
Simone
Probabilmente sono ancora addormentato, ma non mi sembra che l'esistenza di
funzioni continue ma non derivabili sia l'origine della teoria della misura.
Magari mi sbaglio, ma secondo Riemann *tutte* le funzioni continue e limitate
sono integrabili. Quindi la derivabilita' aggiunge ben poco.
radicale
> Qualcuno ha in mente una serie di esempi facili facili?
I frattali.
Sono curve continue, ma non derivabili.
La stella di Cocche per esempio.
Arcobaleno
>
>
> Probabilmente sono ancora addormentato, ma non mi sembra che l'esistenza di
> funzioni continue ma non derivabili sia l'origine della teoria della misura.
>
Ciao Buon Anno:))
Ora controllo un po' su Klilne, magari ieri sera avevo sonno pure
io:))
<< La teoria delle funzioni di una o più variabili reali germogliò dal
tentativo di capire e di chiarire un certo n umero di strane scoperte
che erano state fatte nel XIX secolo. Funzioni continue ma non
differenziabili, serie di funzioni continue la cui somma è
discontinua, f unzioni continue ma non monotone a tratti, fuinzioni
con le derivate limitate ma non integrabili secondo Riemann, curve
rettificabili ma non secondo la definizione di lunghezza data
dall'analisi, funzioni non integrabili che sono limite di una s
uccessione di funzioni integrabili , tutto sembrava contraddire il
comportamento prevedibile di funzioni , derivate e integrali[...] Le
ricerche sulla teoria delle funzioni davano risalto alla teoria
dell'integrazioe, perché sembrava che la maggior parte delle
incongurenze potesse essere risolta ampliando quella nozione. Perciò
questo lavoro può essere considerato in la rga misura la direta
prosecuzione dell'opera di Rimenna, Darboux, Cantor e altri.>>
Morris Kline, Storia del pensiero matematico, 2° vol, pag 1214,
Einaudi 1991.
Mi fai degli esempi per favore, dove con l'analisi classica non si
risolvevano le cose e con l'analisi moderna(con la teoria della
misura) le cose si risolvono?
A.
Arcobaleno
> On 7 Gen, 23:59, Arcobaleno <arcobalenocolor...@freemail.it> wrote:
>
> > Qualcuno ha in mente una serie di esempi facili facili?
>
> I frattali.
> Sono curve continue, ma non derivabili.
>
GRANDIOSO!!
Non ci avevo mai pensato. Mi piace molto questo esempio.
COMPLIMENTI !!!
Ma ora però dobbiamo avere la funzione , vedere che non la possiamo
derivare con la vecchia teoria della misura, e poi vedere la nuova
teoria della misura e capire come si può applicare ed avere
l'integrale ecc.
Si capisce quello che ho chiesto? Così gli altri mi possono
aiutare.....
Simone
>
> Ma ora per� dobbiamo avere la funzione , vedere che non la possiamo
> derivare con la vecchia teoria della misura, e poi vedere la nuova
> l'integrale ecc.
>
Mi insospettisce questa espressione che ripeti: derivare con la
teoria della misura. In che senso matematico la scrivi?
radicale
>Si capisce quello che ho chiesto?
>Così gli altri mi possono aiutare.....
Si, si capisce, pero' a quanto pare
(Lord Beotian insegna, e quello MENA
e mena di brutto) quelle "curve"
(infatti mi sono guardato bene dal
chiamarle funzioni) non possono
essere scritte nella usuale forma
esplicita y = f(x), perche' ad
ogni x spesso ATQUE volentieri
corrisponde piu' di una y.
Se guardi la figura si vede
subito, a occhio proprio.
Allora le devi descrivere per forza
in forma parametrica :
x = f(t) ; y = g(t) ambedue CONTINUE.
(un frattale nello spazio ne avrebbe
tre, di funzioni)
A questo punto poco male, puoi sempre
calcolare la lunghezza (in dimensione
frattale pero', attenzione !) compresa
tra un punto P1 = { f(t0) ; g(t0) }
e un altro punto P2 = { f(t1) ; g(t1) }
con t0 != t1.
Se pero' chiedi di calcolare l' area
(S'I'EMPRE "frattale", in campana ...)
"sottesa" (diciamo) dalla curva da
un punto x0 ad un punto x1 non ho la
minima idea di come si possa fare.
Ora, queste curve pur essendo continue
non sono derivabili. Ho pero' il sospetto
che ridefinendo il concetto stesso di
derivata in certi casi si potrebbe fare
qualcosa.
Ovvero prendiamo una y = f(x) continua
e derivabile in un certo intervallo.
Prendiamone un punto x0 e calcoliamo il
rapporto :
dL/dx = {1 + [f'(x0)]^2}^(1/2)
Questo rapporto esprime la derivata
della LUNGHEZZA della y = f(x).
Ok ?
Ma allora :
L'^2 = 1 + [f'(x0)]^2
Da cui subito :
f'(x0) = { L'^2 - 1 }^(1/2)
Vedi che allora se prendessimo
come definizione di derivata
/questa/ espressione, poiche'
la L' e', in dimensione frattale,
perfettamente calcolabile (in certi
casi almeno), allora avremmo definito
la cosidetta "derivata frattale" della
curva.
Pero' questa e' solo una idea. Poi
bisognerebbe intanto rifare i passaggi
usando la forma PARAMETRICA (per il
motivo detto sopra) e /poi/ vedere se
/questa/ definizione di derivata conserva
le proprieta' essenziali delle derivate
(cosa di cui dubito) ovvero per esempio :
(f + g)' = f' + g'
(f * g)' = f'*g + f*g'
... E pinzillacchere varie.
Che ne pensi ? Che ne pensate ? Puo'
uscirne qualche cosa di interessante ?
Arcobaleno
> On 2010-01-08, Arcobaleno <arcobalenocolor...@freemail.it> wrote:
>
>
>
> > Ma ora però dobbiamo avere la funzione , vedere che non la possiamo
> > derivare con la vecchia teoria della misura, e poi vedere la nuova
> > l'integrale ecc.
>
> Mi insospettisce questa espressione che ripeti: derivare con la
> teoria della misura. In che senso matematico la scrivi?
>
Hai ragione, ma allora devo andare immediatamente alle DISTRIBUZIONI?
E questo per la derivazione.
Per l'integrazione possiamo fare qualche esempio semplice semplice,(a
parte la funzione stranota di Dirichlet:)) ?
radicale
> Per l'integrazione possiamo fare qualche esempio semplice semplice,(a
> parte la funzione stranota di Dirichlet:)) ?
Sei vivo ? Respiri ancora ? :D
Mi sono fatto un mazzo tanto per risponderti,
famme sape' qualcosa no ? Pure uno sberleffo
va bene.
?manu*
> On 8 Gen, 10:48, Arcobaleno <arcobalenocolor...@freemail.it> wrote:
>
> Si, si capisce, pero' a quanto pare
> (Lord Beotian insegna, e quello MENA
> e mena di brutto) quelle "curve"
> (infatti mi sono guardato bene dal
> chiamarle funzioni) non possono
> essere scritte nella usuale forma
> esplicita y = f(x), perche' ad
> ogni x spesso ATQUE volentieri
> corrisponde piu' di una y.
> Se guardi la figura si vede
> subito, a occhio proprio.
Si pu� fare un esempio di funzione continua ma mai derivabile. Sono
sicuro di averlo scritto da qualche parte ma ora non riesco a trovare il
file...
Comunque la funzione dovrebbe essere
f(x) = sum_k sin(kx)/2^k
o qualcosa del genere... E' facile vedere che la funzione � continua,
ben pi� difficile � mostrare che non � derivabile. D'altra parte anche
per la curva di Koch, non mi pare banale dimostrare che non � derivabile
in nessun punto.
E.
?manu*
> On 8 Gen, 09:53, Simone <admsi...@gmail.com> wrote:
>>
>> Probabilmente sono ancora addormentato, ma non mi sembra che l'esistenza di
>> funzioni continue ma non derivabili sia l'origine della teoria della misura.
>>
>
> Ciao Buon Anno:))
>
> Ora controllo un po' su Klilne, magari ieri sera avevo sonno pure
> io:))
>
> tentativo di capire e di chiarire un certo n umero di strane scoperte
> che erano state fatte nel XIX secolo. Funzioni continue ma non
> discontinua, f unzioni continue ma non monotone a tratti, fuinzioni
> con le derivate limitate ma non integrabili secondo Riemann, curve
> rettificabili ma non secondo la definizione di lunghezza data
> dall'analisi, funzioni non integrabili che sono limite di una s
> uccessione di funzioni integrabili , tutto sembrava contraddire il
> comportamento prevedibile di funzioni , derivate e integrali[...] Le
> ricerche sulla teoria delle funzioni davano risalto alla teoria
> incongurenze potesse essere risolta ampliando quella nozione. Perci�
> questo lavoro pu� essere considerato in la rga misura la direta
> prosecuzione dell'opera di Rimenna, Darboux, Cantor e altri.>>
>
> Morris Kline, Storia del pensiero matematico, 2� vol, pag 1214,
> Einaudi 1991.
>
> Mi fai degli esempi per favore, dove con l'analisi classica non si
> risolvevano le cose e con l'analisi moderna(con la teoria della
> misura) le cose si risolvono?
Non vorrei sbagliare, ma quelle righe di Kline non mi pare si
riferiscano alla teoria della misura, e neanche all'integrale di
Lebesgue. Mi pare che si stia semplicemente parlando del fatto che le
nozioni di continuit� e derivabilit� vanno formalizzate e non sono
sempre verificate.
E.
LordBeotian
a occhio proprio.
>
> Si può fare un esempio di funzione continua ma mai derivabile. Sono
> sicuro di averlo scritto da qualche parte ma ora non riesco a trovare il
> file...
>
> Comunque la funzione dovrebbe essere
>
> f(x) = sum_k sin(kx)/2^k
>
> ben più difficile è mostrare che non è derivabile. D'altra parte anche
> per la curva di Koch, non mi pare banale dimostrare che non è derivabile
> in nessun punto.
Una funzione (o una curva) derivabile deve essere tale che quando fai
uno zoom in un punto del grafico questo tende a coincidere localmente
con una retta quando il fattore di scala tende all'infinito. Se il
grafico ha una struttura frattale autosimile per riscalamenti è ovvio
che il limite non può essere una retta.
Arcobaleno
Scusami tanto ma ero impegnatissimo in altro, non uso spesso il pc in
questo periodo.
Domani con calma ci rifletterò meglio, d'altra parte sono stato io a
proporre questo tema che mi interessa moltissimo:)) Ci sono cose dove
parto in quarta e faccio subito, qui invece ho problemi, non me ne
intendo e quindi ho bisogno di tempo:))
A domani
A.
Arcobaleno
> sicuro di averlo scritto da qualche parte ma ora non riesco a trovare il
> file...
>
> Comunque la funzione dovrebbe essere
>
> f(x) = sum_k sin(kx)/2^k
>
> ben più difficile è mostrare che non è derivabile. D'altra parte anche
> per la curva di Koch, non mi pare banale dimostrare che non è derivabile
> in nessun punto.
>
Ciao, Buon anno:))
Però se ho capito bene, in genere si preferisce(nei libri) introdurre
la teoria della misura secondo lebesgue e poi fare l'integrale di
lebesgue per le relative applicazioni..... Invece per la derivazione a
quanto pare la questione è più complicata ed ecco che non riuscivo a
trovare degli esempi nei libri.
Per quanto riguarda la teoria della misura e la sua genesi, Kline in
seguito(non ho avuto tempo di riportare tutto il paragrafo) dice che
lo studio degli insiemi di discontinuità delle funzioni suggerì il
problema di come misurare l'estensione di un insieme appunto di
discontinuità, perché l'estensione di queste discontinuità determina
l'integrabilità della funzione.
Hai fatto bene a farlo notare, perché in effetti io cmq l'ho presa
alla lontana e cioè sono partito dalle origini della teoria delle
funzioni reali e poi dovevo riportare riguardo alla teoria della
misura, ed invece mi sono fermato e non sono andato avanti...
Ciao e grazie!!
A.
p.s. la organizziamo una conferenza in primavera dove il relatore
potrebbe essere Valter? Penso sia un bel modo per stare un po' tutti
insieme in un'aula ad ascoltarlo. Magari ci parla di fisica e di nuove
frontiere o un tema che gli interessa e ce ne parla. Così mettiamo
insieme fisici e matematici:)) Tu verresti?
RADICALE THE BEST
>
> > On 8 Gen, 10:48, Arcobaleno <arcobalenocolor...@freemail.it> wrote:
>
> > Si, si capisce, pero' a quanto pare
> > (Lord Beotian insegna, e quello MENA
> > e mena di brutto) quelle "curve"
> > (infatti mi sono guardato bene dal
> > chiamarle funzioni) non possono
> > essere scritte nella usuale forma
> > esplicita y = f(x), perche' ad
> > ogni x spesso ATQUE volentieri
> > corrisponde piu' di una y.
> > Se guardi la figura si vede
> > subito, a occhio proprio.
>
> sicuro di averlo scritto da qualche parte ma ora non riesco a trovare il
> file...
>
> Comunque la funzione dovrebbe essere
>
> f(x) = sum_k sin(kx)/2^k
>
> ben più difficile è mostrare che non è derivabile. D'altra parte anche
> per la curva di Koch, non mi pare banale dimostrare che non è derivabile
> in nessun punto.
Ma vedi Lord.
Comunque, mi interessava molto di piu' la seconda parte.
E' talmente assurda che non vale la pena nemmeno di commentarla ?
(chiedo)
LordBeotian
> Ovvero prendiamo una y = f(x) continua
> e derivabile in un certo intervallo.
> Prendiamone un punto x0 e calcoliamo il
> rapporto :
>
> dL/dx = {1 + [f'(x0)]^2}^(1/2)
> Questo rapporto esprime la derivata
> della LUNGHEZZA della y = f(x).
> Ok ?
>
> Ma allora :
> L'^2 = 1 + [f'(x0)]^2
> Da cui subito :
>
> f'(x0) = { L'^2 - 1 }^(1/2)
>
> Vedi che allora se prendessimo
> come definizione di derivata
> /questa/ espressione, poiche'
> la L' e', in dimensione frattale,
> perfettamente calcolabile (in certi
> casi almeno), allora avremmo definito
> la cosidetta "derivata frattale" della
> curva.
Ma nel caso delle curve frattali L è infinito anche tra punti
arbitrariamente vicini.
RADICALE THE BEST
> Ma nel caso delle curve frattali L è infinito anche tra punti
> arbitrariamente vicini.
No, maestro.
E' infinita se dimensione d = 1.
Ma non e' piu' infinita in dimensione 1 < d < 2, dove d dipende
dalla curva. Solo che NON E' una "vera" lunghezza. E' una
quantita' di dimensione intermedia tra una lunghezza e una
area.
Per esempio nella curva de cocche d = log4/log3 = 1,262 ...
(letto su libro) :D
In /quella/ dimensione, la lunghezza (che non e' una vera
lunghezza, e' intermedia tra un' area e una lunghezza)
e' un certo numero ben definito (dati gli estremi, si intende)
Mi spiego :
Le "linee" frattali hanno lunghezza infinita se le misuri con
un segmento di dimensione 1. Come se tu cercassi di
misurare una area con un segmento. Ti schioda a infinito.
Allora uno pensa : fosse che 'sta "linea" e' talmente frastagliata
che ti riempie una "striscia" dotata d' area ? Allora misuriamola
con una piccola area presa come unita' di misura.
Ed in quel caso ti schioda a 0. Fottuto.
Allora PLIN ! Idea ! La misuri con una "lungarea" di dimensione
intermedia d. Se riesci a trovare la d, ecco che ZAC !
trovi la "lungarea" del tratto di curva. Non appena t'allontani
anche da una anticchia da d, o ti rischioda a 0 o a oo.
(a seconda se d' > d oppure d' < d)
Dunque il discorso che ho fatto "dovrebbe" reggere ....
Ma, essendo pippa, NON sono capace a svilupparlo.
(DANNAZIONE !)
RADICALE THE BEST
wrote:
> Ma, essendo pippa, NON sono capace a svilupparlo.
> (DANNAZIONE !)
I /concetti/ li CAPISCO e pure bene, perche' la capoccia
funziona a dovere, ma davanti a tutte quelle formulille
passaggilli simbolilli e cazzilli vari ME PERDO !
ARGH !
Non ho ... Abilita' (e anche poca competenza)
?manu*
> Una funzione (o una curva) derivabile deve essere tale che quando fai
> uno zoom in un punto del grafico questo tende a coincidere localmente
> con una retta quando il fattore di scala tende all'infinito.
S� (a meno che la derivata non sia nulla).
> Se il
> grafico ha una struttura frattale autosimile per riscalamenti � ovvio
> che il limite non pu� essere una retta.
Pure tu c'hai ragione...
E.
?manu*
> Che ne pensi ? Che ne pensate ? Puo'
> uscirne qualche cosa di interessante ?
Per certi versi quello che dici assomiglia al concetto di "derivata
metrica" introdotta piuttosto di recente da Ambrosio-Kirchheim. La
derivata metrica ti permette di definire il modulo della derivata di una
funzione definita tra spazi metrici. Sostanzialmente dovrebbe il limite
della costante di lipschitz della funzione ristretta ad un intorno del
punto preso in considerazione.
Nel caso della curva di Koch, puoi mettere sulla curva la metrica
indotta dalla misura d-dimensionale, e quindi fare la derivata rispetto
a questa metrica. Mi pare sia sostanzialmente quello che stai cercando
di fare tu.
E.
Tetis
>
> >Si capisce quello che ho chiesto?
> >Così gli altri mi possono aiutare.....
>
> Si, si capisce, pero' a quanto pare
> (Lord Beotian insegna, e quello MENA
> e mena di brutto) quelle "curve"
> (infatti mi sono guardato bene dal
> chiamarle funzioni) non possono
> essere scritte nella usuale forma
> esplicita y = f(x), perche' ad
> ogni x spesso ATQUE volentieri
> corrisponde piu' di una y.
> Se guardi la figura si vede
> subito, a occhio proprio.
Non tutte le curve frattali sono autosimili come la curva di Koch. La
funzione di Weierstrass è probabilmente il primo frattale che abbia
fatto la sua comparsa in analisi matematica (nel 1872, mentre la curva
di Koch che è importante come esempio di curva autosimile è del 1904),
introdotta come esempio di curva ovunque non differenziabile in ogni
punto eccetto che su un insieme denso sull'intervallo, ma di misura
nulla. La funzione di Weierstrass ammette un grafico della classica
forma y=f(x). Fu pensata nel solco, di lunga tradizione, di ricerca di
esempi in merito alla teoria delle approssimazioni trigonometriche. E'
un esempio di costruzione matematica pensata come mero esempio e che
ha trovato applicazioni concrete solo molto tempo dopo. Aspetto
paradossale di questa funzione è che sembra essere una funzione
continua che non è integrale di alcuna funzione, nemmeno a tratti, ma
è davvero così, oppure semplicemente non è integrale della sua
derivata, ed esemplifica il fallimento del teorema fondamentale del
calcolo per qualche nuova nozione di integrale? Nulla di tutto ciò, la
funzione è davvero non derivabile e non c'è modo di ottenerala come
integrale di alcunché né nella teoria di Riemann, né in quella di
Lebesgue. La si può forse pensare come integrale di una estensione
del concetto di funzione? Ovvero una nuova nozione di integrale può
condurre a comprenderla nella classe delle funzioni primitive? E' già
tutto chiaro, di questa funzione, oppure esistono aspetti che devono
ancora essere chiariti? Con certezza non si finisce mai d'imparare,
la funzione è un esempio di funzione che mostra proprietà che si
comprendono meglio nel frame della teoria di Lebesgue, ma che al tempo
stesso mostrano i limiti del calcolo, ma questi limiti stanno nella
teoria di Lebesgue ovvero del calcolo infinitesimale basato sulla
nozione intuitiva di approssimazione mediante rette? Alcuni limiti del
calcolo infinitesimale erano del resto ben evidenti allo stesso
Leibniz, e persero di nitidezza man mano che l'analisi divenne un
sistema sostenuto dalla, certo non biasimabile, presunzione di
coerenza. Tuttavia si vede nel tempo che al di fuori degli ambiti di
coerenza esiste ancora spazio per la scoperta matematica ed è così che
alcune semplici idee di Leibniz, come la derivazione rispetto ad una
funzione diversa dalla retta, giunsero a maturazione nel sistema
costruito dai padri fondatori dell'analisi solo a costo di moltissima
fatica. Ad esempio esiste oggi, grazie agli sforzi di Abel
(personaggio passato alla storia per altre ragioni, ma che fu anche un
critico sublime capace di svelare la presunzione di coerenza che
aleggiava nelle applicazioni matematiche degli inizi dell'ottocento e
che avviò una profonda revisione, prematuramente interrotta dalla sua
scomparsa, dell'idea di rigore dimostrativo, di approssimazione
funzionale, di operatore integrale e differenziale. Dalla storia di
Abel si vede come la storia delle idee sia soggetta, più di quanto
spesso si riconosca, all'esercizio del libero arbitrio e come la
dialettica storica sia un censore molto sensibile all'aura
mediocritas) che si scontrò come Lioville con i limiti del calcolo
infinitesimale e di una troppo ingenua teoria delle serie, esiste
dicevo un'estensione della nozione di integrale e della nozione di
derivata che permette di vedere la funzione di Weierstrass come
primitiva ovvero come integrale generalizzato di un altra curva
continua non derivabile, ma si tratta di introdurre gli indici
frazionari di derivazione.
radicale
> Per certi versi quello che dici assomiglia al concetto di "derivata
> metrica" introdotta piuttosto di recente da Ambrosio-Kirchheim. La
> derivata metrica ti permette di definire il modulo della derivata di una
> funzione definita tra spazi metrici. Sostanzialmente dovrebbe il limite
> della costante di lipschitz della funzione ristretta ad un intorno del
> punto preso in considerazione.
Trovo un po' irritante che qualcuno abbia sempre le
idee prima di me. Questa volta pure "recentemente" !
A me questa idea e' venuta una decina d'anni o 12
fa, e tentai disperatamente di postarle qui. Nessuna risposta.
Niente. Eppure era IDENTICA a come l' ho messa oggi.
Vabbe', ma chissenefrega , tanto se deve mori' ... :-))
Comunque :
Io non so cosa sia il "modulo" di una derivata.
Io invece uso il concetto di "lunghezza" di una curva per trarne
fuori quello di derivata, ovvero derivata = f(lunghezza),
cioe' inverto i termini della questione dando per scontato
che la curva, invece che "derivabile", sia "lunghettabile".
Ok ?
Il punto che vorrei mi aiutassi ad approfondire (se ti va)
e' vedere se la derivata espressa in quella forma scritta
prima, la formula intendo, abbia le proprieta' delle derivate.
Se non le ha ... E' da buttare.
> Nel caso della curva di Koch, puoi mettere sulla curva la metrica
> indotta dalla misura d-dimensionale, e quindi fare la derivata rispetto
> a questa metrica. Mi pare sia sostanzialmente quello che stai cercando
> di fare tu.
Si, ma ... Come ?
?manu*
> Trovo un po' irritante che qualcuno abbia sempre le
> idee prima di me. Questa volta pure "recentemente" !
> A me questa idea e' venuta una decina d'anni o 12
> fa, e tentai disperatamente di postarle qui. Nessuna risposta.
> Niente. Eppure era IDENTICA a come l' ho messa oggi.
> Vabbe', ma chissenefrega , tanto se deve mori' ... :-))
Ma quello che tu scrivi pu� avere un senso, per me, solo perch� gi�
conosco il concetto di derivata metrica. E' normale che io interpreti
quello che scrivi in base alle conoscenze che ho.
> Comunque :
> Io non so cosa sia il "modulo" di una derivata.
Il modulo di un vettore � la lunghezza del vettore. La derivata, in
questo caso, dovrebbe essere un vettore.
> Io invece uso il concetto di "lunghezza" di una curva per trarne
> fuori quello di derivata, ovvero derivata = f(lunghezza),
Qui il concetto di derivata metrica � pi� generale. Invece di
considerare la lunghezza della curva prendi un generico spazio metrico e
consideri la distanza.
> cioe' inverto i termini della questione dando per scontato
> che la curva, invece che "derivabile", sia "lunghettabile".
> Ok ?
Stai usando la misura d-dimensionale per definire una distanza tra i pun
ti. Oppure potresti dire che la distanza tra due punti � la distanza nel
segmento di partenza, cio� misurare le distanze nel dominio della
funzione invece che nel codominio.
> Il punto che vorrei mi aiutassi ad approfondire (se ti va)
> e' vedere se la derivata espressa in quella forma scritta
> prima, la formula intendo, abbia le proprieta' delle derivate.
> Se non le ha ... E' da buttare.
Ne avr� molto poche... a quali propriet� stai pensando?
E.
?manu*
> p.s. la organizziamo una conferenza in primavera dove il relatore
> potrebbe essere Valter? Penso sia un bel modo per stare un po' tutti
> insieme in un'aula ad ascoltarlo. Magari ci parla di fisica e di nuove
> insieme fisici e matematici:)) Tu verresti?
A Trento? Sar� molto difficile...
E.
Archaeopteryx
Mica stai lontano da TN; sicuramente ci stai 300 km
meno lontano di me. Seriamente parlando io ci verrei
se sapessi di portare a casa il 5% di quel che avrei
sentito. Ma ne dubito, purtroppo.
Sarebbe comunque bello una specie di raduno come
quelli che fanno i motociclettari :D, in fondo
conosco solo Elio e Radicale di persona e te,
Tommaso e Valter dalla foto :D (in ordine alfabetico!).
--
Tutti gli uomini sono mortali
il gatto è un animale
quindi Socrate ha la coda.
radicale
> Ma quello che tu scrivi può avere un senso, per me, solo perché già
> conosco il concetto di derivata metrica. E' normale che io interpreti
> quello che scrivi in base alle conoscenze che ho.
Certo, io parlavo di me, non volevo criticarti.
> Il modulo di un vettore è la lunghezza del vettore. La derivata, in
> questo caso, dovrebbe essere un vettore.
Boh.
> Qui il concetto di derivata metrica è più generale. Invece di
> considerare la lunghezza della curva prendi un generico spazio metrico e
> consideri la distanza.
M' accontenterei di considerare la lunghezza.
(in dimensione d)
> Stai usando la misura d-dimensionale per definire una distanza tra i pun
> ti.
E certo.
>Oppure potresti dire che la distanza tra due punti è la distanza nel
> segmento di partenza, cioè misurare le distanze nel dominio della
> funzione invece che nel codominio.
Non capisco
> Ne avrà molto poche... a quali proprietà stai pensando?
A queste (ricopio) :
Valter Moretti
<cor.bonukFANCULOSPAM@libero_NOMAIL_.it> wrote:
> Sarebbe comunque bello una specie di raduno come
> quelli che fanno i motociclettari :D, in fondo
> conosco solo Elio e Radicale di persona e te,
> Tommaso e Valter dalla foto :D (in ordine alfabetico!).
>
A proposito Archaeopteryx: avevi detto che passavi in facoltà a
trovarmi quest'estate, quando eri da queste parti...
Poi mica sei passato!
Ciao, Valter
Archaeopteryx
> passavi in facoltà a trovarmi quest'estate,
> quando eri da queste parti... Poi mica sei
> passato!
Non mi sono scordato... e mi scuso ora per la
maleducazione. Il campeggio di Misurina si è
rivelato un incubo; il tempo, dopo 4 giorni che ero
lì è cambiato verso il disastroso stabile e sono
dovuto letteralmente scappare. Contemporaneamente,
come quando sono solo, avevo iniziato a rimuginare
di tutti i fallimenti della mia vita e immaginami in
una tenda da campo base (quindi con spazi minimi)
così, mentre fuori si scatenava il finimondo, senza
poter nemmeno stendere un'antenna per la radio,
eccetera. Praticamente ho avuto 4 giorni di vacanza
e mezza ferrata. Ho preso la macchina (che nel
frattempo si era mezza rotta e mi è costato un
patrimonio sistemare) e ho fatto l'allungata a Roma.
Ero avvilitissimo e mi ero ripromesso di scriverti.
Poi ogni tanto mi scatta il complesso del tipo "ma a
uno come Valter gli faccio solo perdere tempo" e non
ho più fatto niente.
Ora mi sento (ma so che non mi fraintenderai
l'esempio) come l'assassino che ha confessato, con
l'animo più leggero. Spero che il prossimo settembre
la mia situazione sia tranquilla, che possa fare le
ferie, e siccome le passo sempre dalle parti tue,
spero anche di fare il salto che l'anno scorso non
mi riuscì.
ciao!
Apx.
radicale
<cor.bonukFANCULOSPAM@libero_NOMAIL_.it> wrote:
(omissis)
Ma perche' ti butti sempre giu' in questa maniera ?
Io t' ho trovato un tipo a posto.
Anzi : in gamba.
MA DAI ! Che se campa una volta sola ! E ricordati
che per avere stima dagli altri la prima cosa e'
averla per se stessi, purche' non si ecceda.
Un abbraccio.
P.S.
Posso venire anchio a trovare Walter, nel caso ?
(chiedo il permesso anche a lui, s' intyende)
Archaeopteryx
> ?
perché sono un depresso cronico. Di un bicchiere
pieno per 9/10 riesco a dare più peso al 1/10 che
manca :D
> Io t' ho trovato un tipo a posto.
Questo sì, so di essere una persona che non fa del
male a nessuno. Ma è diverso da realizzarsi
professionalmente e umanamente.
> Anzi : in gamba.
Brrrr... non è nella mia natura :D
> MA DAI ! Che se campa una volta sola !
Non lo sottoscrivo, visto che credo nella rinascita
volgarmente detta "reincarnazione" :))))
> E ricordati che per avere stima dagli altri la
> prima cosa e' averla per se stessi, purche' non
> si ecceda.
Non è sempre vero. Non ne ho molta per me ma riesco
a stimare chi se lo merita.
> Un abbraccio.
Ricambiato!
> Posso venire anchio a trovare Walter, nel caso ?
> (chiedo il permesso anche a lui, s' intyende)
Boooo... posso solo limitarmi a sconsigliarti il
campeggio di Misurina se decidi di abbinare la
visita a un saltino in Dolomiti. Se ripenso a quel
terreno pendente inadattissimo a una tenda, pieno di
sassi, con bagni pessimi (e credimi che mi adatto
quasi a tutto) mi sa che ti rovineresti la gita.
Valter Moretti
<cor.bonukFANCULOSPAM@libero_NOMAIL_.it> wrote:
> Il campeggio di Misurina si è
> rivelato un incubo; il tempo, dopo 4 giorni che ero
> lì è cambiato verso il disastroso stabile e sono
> dovuto letteralmente scappare. Contemporaneamente,
> come quando sono solo, avevo iniziato a rimuginare
> di tutti i fallimenti della mia vita e immaginami in
> una tenda da campo base (quindi con spazi minimi)
> così, mentre fuori si scatenava il finimondo, senza
> poter nemmeno stendere un'antenna per la radio,
> eccetera. Praticamente ho avuto 4 giorni di vacanza
> e mezza ferrata. Ho preso la macchina (che nel
> frattempo si era mezza rotta e mi è costato un
> patrimonio sistemare) e ho fatto l'allungata a Roma.
ah, ah ,ah, ah che ridere! Si il tempo è stato un po' una follia
quest'anno. Ora c'è la neve.
Pensa che, invece poco prima delle vacanze di Natale c'è stato -12
di temperatura per diverse mattine dove abito io. Andavo a prendere
il treno per la facoltà con un bel -10 di temperatura in stazione...Ma
si sopportava dato che era secco. Da quando abito in trentino ho visto
anche -15 gradi al mattino presto...
La prossima volta telefonarmi. Se lo avessi fatto saremmo andati a
mangiare una pizza e così ti saresti ripreso dal disastro
vacanziero. Mi dispice degli infortuni...spero per un'altra
volta.
Ciao, Valter
Valter Moretti
> Posso venire anchio a trovare Walter, nel caso ?
> (chiedo il permesso anche a lui, s' intyende)
Basta che non vieni da solo, perché ho paura!
Ciao, Valter
sempre_radicale
> perché ho paura!
... Ma perche' ?!?
(in ogni caso non saprei come trovarti senza il buon
Arkeo ...) :D
?manu*
>> Ne avr� molto poche... a quali propriet� stai pensando?
>
> A queste (ricopio) :
> <<
> f'(x0) = { L'^2 - 1 }^(1/2)
Questa l'hai presa come definizione e quindi vale
> (f + g)' = f' + g'
> (f * g)' = f'*g + f*g'
Queste non possono valere, perch� tu non hai la derivata f', ma hai il
suo modulo |f'|.
E.
radicale
>
> Queste non possono valere, perch tu non hai la derivata f', ma hai il
> suo modulo |f'|.
Boh. Non capisco. Insisti con questo modulo.
Ci rinuncio ... Ciao, e grazie lo stesso !
Tetis
> On 8 Gen, 12:29, radicale <radical...@gmail.com> wrote:
> Non tutte le curve frattali sono autosimili come la curva di Koch. La
> funzione di Weierstrass è probabilmente il primo frattale che abbia
> fatto la sua comparsa in analisi matematica (nel 1872, mentre la curva
> di Koch che è importante come esempio di curva autosimile è del 1904),
> introdotta come esempio di curva ovunque non differenziabile in ogni
> punto eccetto che su un insieme denso sull'intervallo, ma di misura
> nulla.
Una precisazione, ho attribuito a Weierstrass il primo esempio di
curva frattale che appartiene invece a Riemann ed è semplicemente la
serie di termine funzionale:
Cos[n^2 t]/n^2
questa curva fu ideata da Riemann nel 1864 o prima. Questa curva è
derivabile solamente su un insieme di misura nulla cosa che però è
stata dimostrata solo di recente a quanto sembra nel 1970. In seguito
Weierstrass che aveva ascoltato questo esempio a lezione da Riemann,
diffidando che si trattasse effettivamente di una funzione non
derivabile in alcun punto dell'intervallo, ne pensò un'altra e
dimostrò che si trattava effettivamente di una funzione per la quale
la derivata non esiste in alcun punto dell'intervallo. Il termine
generale della funzione di Weirstrass che è stata in anni recenti una
miniera di applicazioni in fisica statistica è:
b^n Cos[a^n pi t]
con a intero dispari, b in (0,1) e tale che ab > 1 + 3/2 pi.
superpollo
> On 9 Gen, 00:31, Tetis <lje...@yahoo.it> wrote:
>> On 8 Gen, 12:29, radicale <radical...@gmail.com> wrote:
>
>> Non tutte le curve frattali sono autosimili come la curva di Koch. La
>> fatto la sua comparsa in analisi matematica (nel 1872, mentre la curva
>> introdotta come esempio di curva ovunque non differenziabile in ogni
>> punto eccetto che su un insieme denso sull'intervallo, ma di misura
>> nulla.
>
>
> Una precisazione, ho attribuito a Weierstrass il primo esempio di
> serie di termine funzionale:
>
> Cos[n^2 t]/n^2
>
> derivabile solamente su un insieme di misura nulla cosa che per� �
addirittura si tratta di un insieme discreto (e' fatto di punti isolati)...
bye
?manu*
> la curva
> di Koch
> punto eccetto che su un insieme denso sull'intervallo, ma di misura
> nulla.
Stai dicendo che ci sono punti in cui la curva di Koch � derivabile?
E.
Tetis
>
> E.
Me ne guarderei bene, perché ha punti dove è derivabile?
> Non tutte le curve frattali sono autosimili come la curva di Koch. La
> funzione di Weierstrass è probabilmente il primo frattale che abbia
> fatto la sua comparsa in analisi matematica (nel 1872, mentre la curva
> di Koch che è importante come esempio di curva autosimile è del 1904),
> introdotta come esempio di curva ovunque non differenziabile in ogni
> punto eccetto che su un insieme denso sull'intervallo, ma di misura
> nulla.
In realtà Weierstrass presentò nel 1872 due funzioni, una che può
essere fatta risalire, anche secondo altre fonti alle lezioni che
aveva ascoltato presso Riemann nel 1861, ed è quella di cui parlo qui,
l'altra che costruì lui stesso e della quale dimostrò non essere
derivabile in alcun punto. Riguardo alla prima, ovvero alla funzione
che andrebbe definita funzione di Riemann, che ha termine generale cos
(n^2 x)/n^2, risulterebbe, da scritti di Kronecker Weierstass e lo
stesso Riemann che Riemann avrebbe dimostrato che fosse non derivabile
in un insieme denso di R. Tuttavia solo nel 1916 con Hardy si potrà
dire che quell'insieme ha misura piena, mentre l'intuizione di
Weierstrass che quella funzione fosse derivabile in molti punti fu
confermata da Gerver (1970) and Smith (1972) che dimostrarono che ha
derivata finita (per la precisione, 1/2) nei punti razionali della
forma (2n+1)/(2m+1). Ed ancora con Gerver (1971) che dimostrò che è
non differenziabile in ogni punto della forma: (2n+1)/2m e 2m/(2n+1)
si può ritenere concluso lo studio della funzione nata da
un'intuizione di Riemann che la citava a lezione come esempio di
funzione non derivabile. Dice Mathworld che nel 1997 un tale ha
riesaminato criticamente la letteratura concludendo che non ci sono
evidenze per sostenere che Riemann avesse effettivamente dimostrato
quanto asserito. Comunque noi possiamo dire con certezza che nel 1861
fu fornito, forse per la prima volta, un esempio di funzione
frattale.
?manu*
> On 11 Gen, 12:36, ?manu* <paol...@no.spam.unifi.it> wrote:
>> Tetis ha scritto:
>>
>>> la curva
>>> di Koch
>>> introdotta come esempio di curva ovunque non differenziabile in ogni
>>> punto eccetto che su un insieme denso sull'intervallo, ma di misura
>>> nulla.
>
> Me ne guarderei bene, perch� ha punti dove � derivabile?
allora non capisco a cosa ti riferisci quando scrivi "eccetto che su un
insieme [...] di misura nulla".
E.
Tetis
> Non tutte le curve frattali sono autosimili come la curva di Koch. La
> funzione di Weierstrass è probabilmente il primo frattale che abbia
> fatto la sua comparsa in analisi matematica (nel 1872, mentre la curva
> di Koch che è importante come esempio di curva autosimile è del 1904),
> introdotta come esempio di curva ovunque non differenziabile in ogni
> punto eccetto che su un insieme denso sull'intervallo, ma di misura
> nulla.
Alla funzione di Weierstrass (quella che Weierstrass apprese a lezione
da Riemann nel 1961 e rese poi celebre perfezionando l'esempio con una
funzione null'affatto derivabile in ogni punto dell'intervallo). Se
fai l'analisi logica della frase intera, che ho riportato su, ti
accorgi che è quello il soggetto.
?manu*
> On 11 Gen, 16:50, ?manu* <paol...@no.spam.unifi.it> wrote:
>> Tetis ha scritto:
>>
>>> On 11 Gen, 12:36, ?manu* <paol...@no.spam.unifi.it> wrote:
>>>> Tetis ha scritto:
>>>>> la curva
>>>>> di Koch
>>>>> introdotta come esempio di curva ovunque non differenziabile in ogni
>>>>> punto eccetto che su un insieme denso sull'intervallo, ma di misura
>>>>> nulla.
>>>> Stai dicendo che ci sono punti in cui la curva di Koch derivabile?
>>> Me ne guarderei bene, perch ha punti dove derivabile?
>> allora non capisco a cosa ti riferisci quando scrivi "eccetto che su un
>> insieme [...] di misura nulla".
>>
>> E.
>
>> Non tutte le curve frattali sono autosimili come la curva di Koch. La
>> fatto la sua comparsa in analisi matematica (nel 1872, mentre la curva
>> introdotta come esempio di curva ovunque non differenziabile in ogni
>> punto eccetto che su un insieme denso sull'intervallo, ma di misura
>> nulla.
>
> Alla funzione di Weierstrass (quella che Weierstrass apprese a lezione
> da Riemann nel 1961 e rese poi celebre perfezionando l'esempio con una
> funzione null'affatto derivabile in ogni punto dell'intervallo). Se
> fai l'analisi logica della frase intera, che ho riportato su, ti
S�, � vero! Avevo saltato qualche parentesi...
E.