Iniettività e dimensione del nucleo

[Jamie]

Buongiorno.
Aiutatemi a capire questo fatto: la relazione che intercorre fra la
dimensione del nucleo e l'iniettività.
Ovvero: un'app. lineare è iniettiva se e solo se il nucleo ha dimensione 0.
Il nucleo è l'insieme dei vettori che "vanno" nel vettore nullo del
codominio, e fin qui...
Una funzione è iniettiva se ciascun elemento dell'immagine ha una sola
controimmagine.
Qui mi perdo, perché non capisco il nesso fra le due cose.

Grazie...

[BlueRay]

Se il nucleo ha dimensione non nulla, per es. ha dim 1, significa che e' costituito da tutti i vettori proporzionali ad un vettore v. Quanti sono dunque questi vettori? Infiniti. Percio' hai infiniti vettori che vanno in 0, ovvero l'elemento 0 dell'immagine ha infinite controimmagini, piu' precisamente oo^1. Se il nucleo ha dimensione n, le controimmagini di 0 sono oo^n.

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BlueRay

[Jamie]

e quindi questo non va bene perché contraddirrebbe l'ipotesi che sta
alla base dell'iniettività, cioè che ogni elemento dell'immagine ha una
sola controimmagine?
perché il nucleo è importante?

[BlueRay]

Il giorno mercoledì 17 giugno 2015 10:49:20 UTC+2, Jamie ha scritto:

> e quindi questo non va bene perché contraddirrebbe l'ipotesi che sta
> alla base dell'iniettività, cioè che ogni elemento dell'immagine ha una
> sola controimmagine?

Si

> perché il nucleo è importante?

Mi ricordo poco. Una e' il teorema del rango: se f:V --> V, la dimensione di V e' la somma delle dimensioni di nucleo e immagine:
dim_Ker(f) + dim_Im(f) = dim_V.
Un'altra e' per la teoria degli autovalori che si trovano dall'equazione (secolare):
Ker(A - LI) = 0
A e' la matrice dell'endomorfismo f, I e' la matrice identita', L l'autovalore
(cose che studierai tra un po', almeno spero!).

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BlueRay