Assiomi di Peano

[andreapa...@gmail.com]

Ciao,
per cortesia mi potreste far capire un pò meglio il significato del quinto assioma di Peano e cioè :
Ogni sottoinsieme di numeri naturali che contenga lo zero e il successore di ogni proprio elemento coincide con l'intero insieme dei numeri naturali (assioma dell'induzione).

Andrea

[fma...@gmail.com]

Non sono un matematico, ma non mi sembra ci sia molto da capire. Prova a
costruirlo, quest'insieme...
C'è lo zero, e vabbè.
Poi c'è un successore dello zero, P(0).
Poi c'è il successore di questo successore, P(P(0)).
etc.
Se questi elementi li chiami 0, 1, 2, etc. - hai i numeri naturali.

Visto che è un assioma non c'è nulla da dimostrare: sai che i numeri naturali
son proprio fatti così.

Ciao!

[Peano numero 1]

Si dice insieme induttivo un insieme che contenga lo 0 e sia chiuso per successione.
Contrariamente a quanto si potrebbe pensare in maniera istintiva, gli insiemi induttivi sono tanti.
Per esempio, è induttivo l'insieme degli interi, è induttivo l'insieme dei razionali, è induttivo l'insieme dei reali e si potrebbe andare avanti.
L'assioma dell'induzione si può parafrasare così: l'insieme dei naturali è, tra tutti gli insiemi induttivi, quello più piccolo, quello che non si può ridurre in nessuna maniera senza perdere la proprietà di essere induttivo.
Per esempio, "ogni sottoinsieme di numeri interi che contenga lo zero e il successore di ogni proprio elemento coincide con l'intero insieme dei numeri interi" è falso perché i naturali sono un sottoinsieme degli interi, contengono lo 0, sono chiusi per successione ma non coincidono con l'insieme dei numeri interi.

[radica...@gmail.com]

Il giorno domenica 1 febbraio 2015 19:58:03 UTC+1, Peano numero 1 ha scritto:
> è induttivo l'insieme dei reali

Ma se cosi' fosse i reali dovrebbero essere anche numerabili, perche'
hai detto che un insieme e' induttivo se e' chiuso rispetto alla
funzione successore.

[Peano numero 1]

Il giorno lunedì 2 febbraio 2015 10:18:44 UTC+1, radica...@gmail.com ha scritto:

>
> Ma se cosi' fosse i reali dovrebbero essere anche numerabili, perche'
> hai detto che un insieme e' induttivo se e' chiuso rispetto alla
> funzione successore.

mi sembra che tu stia ragionando al contrario...
mettiamola così:
i reali sono numerabili? no
i reali contengono lo 0? sì
i reali sono chiusi rispetto alla funzione successore? sì, perchè se x è reale, è reale anche (x + 1)
quindi esiste un insieme induttivo non numerabile, quindi essere induttivo non implica essere numerabile

[fma...@gmail.com]

State mischiando due cose diverse:

nella formulazione dell'OP si parla di "Ogni sottoinsieme di numeri
naturali.. etc" mentre te stai facendo un discorso su un insieme induttivo
"generico".

Anch'io ho dovuto rileggere due volte il thread per capire l'inghippo :)

Ciao!

[radica...@gmail.com]

Il giorno lunedì 2 febbraio 2015 14:29:14 UTC+1, Peano numero 1 ha scritto:
> Il giorno lunedì 2 febbraio 2015 10:18:44 UTC+1, radica...@gmail.com ha scritto:
>
> >
> > Ma se cosi' fosse i reali dovrebbero essere anche numerabili, perche'
> > hai detto che un insieme e' induttivo se e' chiuso rispetto alla
> > funzione successore.
>
> mi sembra che tu stia ragionando al contrario...

E' possibile :-)

> mettiamola così:
> i reali sono numerabili? no

Si, Ok

> i reali contengono lo 0? sì

Si, Ok

> i reali sono chiusi rispetto alla funzione successore? sì,
> perchè se x è reale, è reale anche (x + 1)

Si, Ok

> quindi esiste un insieme induttivo non numerabile, quindi essere
> induttivo non implica essere numerabile

No Ok :-)

Hai solo dimostrato che in R esiste un sottoinsieme di R induttivo
e numerabile.

Ma non che TUTTO R e' induttivo

[fma...@gmail.com]

Che R sia induttivo è ovviamente vero, no? Lo zero c'è, e se prendi qualsiasi
numero in R e fai più uno sei sempre in R.

E' solo una formulazione diversa.

Con la definizione di insieme induttivo puoi avere un modello in cui dici
che i naturali sono definiti come il più piccolo insieme induttivo.

Ciao!

[Peano numero 1]

Il giorno lunedì 2 febbraio 2015 14:47:48 UTC+1, fma...@gmail.com ha scritto:

>
> State mischiando due cose diverse:
>
> nella formulazione dell'OP si parla di "Ogni sottoinsieme di numeri
> naturali.. etc" mentre te stai facendo un discorso su un insieme induttivo
> "generico".
>
> Anch'io ho dovuto rileggere due volte il thread per capire l'inghippo :)
>
> Ciao!

quando si definiscono per via assiomatica i naturali per prima cosa si introduce la costante N (o l'espressione "numeri naturali"); poi ci sono gli assiomi che elencano le proprietà che deve avere N (o l'espressione "numeri naturali").
Ma se tu invece di N usi un altro simbolo, per esempio, Q, oppure se invece di "numeri naturali" usi l'espressione "birre su tavoli con sedie" formalmente è la stessa cosa.
E' per questo che prima ho fatto l'esempio "ogni sottoinsieme di numeri interi che contenga lo zero e il successore di ogni proprio elemento coincide con l'intero insieme dei numeri interi"; questo enunciato è falso se si suppone che gli interi siano già definiti (e infatti nell'esempio li supponevo già definiti), ma se i numeri interi non sono definiti e usi quell'espressione per definirli (assieme agli altri assiomi di Peano) l'espressione "numeri interi" sta a significare i numeri naturali.
Spero che sono stato spiegato. :-)

[Peano numero 1]

Il giorno lunedì 2 febbraio 2015 15:38:40 UTC+1, fma...@gmail.com ha scritto:

>
> Che R sia induttivo è ovviamente vero, no? Lo zero c'è, e se prendi qualsiasi
> numero in R e fai più uno sei sempre in R.

sono d'accordo

[vecchio]

<radica...@gmail.com> ha scritto nel messaggio
news:f4f49722-fe94-496c...@googlegroups.com...

>Ma se cosi' fosse i reali dovrebbero essere anche >numerabili, perche'
>hai detto che un insieme e' induttivo se e' chiuso >rispetto alla
>funzione successore.

Quale sarebbe la "funzione successore" nei numeri reali?



---
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[fma...@gmail.com]

On Monday, February 2, 2015 at 7:09:44 PM UTC+1, vecchio wrote:
> <radica...@gmail.com> ha scritto nel messaggio
> news:f4f49722-fe94-496c...@googlegroups.com...
>
> >Ma se cosi' fosse i reali dovrebbero essere anche >numerabili, perche'
> >hai detto che un insieme e' induttivo se e' chiuso >rispetto alla
> >funzione successore.
>
> Quale sarebbe la "funzione successore" nei numeri reali?
>

Direi che ce ne sono infinite..

La definizione così come l'ha scritta "Peano numero 1" non richiede che sia
una funzione che, a partire dallo zero, costruisca tutto l'insieme: dice
solo che, dato un insieme e una funzione successore, per essere induttivo
deve essere chiuso rispetto a questa.

Il fatto è che la definizione di insieme induttivo non è necessariamente
l'unico modo per definire i naturali: si può fare anche con l'assioma
dell'esistenza dello zero e quello scritto dall'OP in apertura.

Ma ripeto, parlo più per sentito dire che per cognizione di causa: son
sicuro che i più precisi mi correggeranno ;)

Ciao!

[Elio Fabri]

vecchio ha scritto:

> Quale sarebbe la "funzione successore" nei numeri reali?

Ottima domanda.
Infatti è un po' che volevo intervenire per rimarcare un serio difetto
di tutti i discorsi che ho letto.
Sembra dato per scontato che la funzione sucessore sia intrinseca, il
che non è.

Chiameremo "sistema di Peano" la coppia (insieme P, funzione S:P-->P)
(c'è chi aggiunge anche l'elemento privilegiato "0", ma se ne può fare
a meno) quando (P,S) soddisfa un insieme di proprietà (appunto gli
assiomi di Peano, che si possono enunciare in forme varie).

Per es. invece di assumere l'esistenza di "0", posso dire in partenza
che P non è vuoto, e poi inserire tra gli assiomi
"esiste in P un unico elemento, che diremo "z", tale che per nessun
elemento x di P si ha S(x) = z".

Quanto alla funzione successore, è ovvio che possiamo sceglierla come
ci pare: poi ci dovremo assicurare che soddisfi gli assiomi.
Quindi nel caso dei reali possiamo provare con S(x) = x+1, ma anche con
S(x) = x+pi: in ogni caso quel "z" (primo numero) non esiste.

Esercizio: potremmo porre S(x) = 2x ?
Quale assioma sarebbe violato?


--
Elio Fabri

[Peano numero 1]

Il giorno lunedì 2 febbraio 2015 21:12:10 UTC+1, fma...@gmail.com ha scritto:

>
> Il fatto è che la definizione di insieme induttivo non è necessariamente
> l'unico modo per definire i naturali: si può fare anche con l'assioma
> dell'esistenza dello zero e quello scritto dall'OP in apertura.

Ho usato l'espressione "insieme induttivo" per sintetizzare gli altri assiomi di Peano, che così diventano 2/3, cioè
1. i naturali sono un insieme induttivo
(2. lo zero non ha successore)
3. assioma dell'induzione (l'assioma di apertura del thread)
Dire che esiste lo 0 rientra nell'assioma 1, quindi siamo sempre nell'ambito degli assiomi di Peano.

Comunque è vero che esiste almeno un altro modo per definire i numeri naturali: tramite gli assiomi di Pieri.
Pieri ha dimostrato che i suoi assiomi sono equivalenti a quelli di Peano e Peano ha apprezzato molto il lavoro del suo amico.

[Peano numero 1]

Il giorno lunedì 2 febbraio 2015 22:07:47 UTC+1, Elio Fabri ha scritto:

> Ottima domanda.
> Infatti è un po' che volevo intervenire per rimarcare un serio difetto
> di tutti i discorsi che ho letto.
> Sembra dato per scontato che la funzione sucessore sia intrinseca, il
> che non è.

non ho capito la tua osservazione; che cosa intendi per "intrinseco"?

[fma...@gmail.com]

On Monday, February 2, 2015 at 10:07:47 PM UTC+1, Elio Fabri wrote:
> Chiameremo "sistema di Peano" la coppia (insieme P, funzione S:P-->P)
> (c'è chi aggiunge anche l'elemento privilegiato "0", ma se ne può fare
> a meno) quando (P,S) soddisfa un insieme di proprietà (appunto gli
> assiomi di Peano, che si possono enunciare in forme varie).
>
> Per es. invece di assumere l'esistenza di "0", posso dire in partenza
> che P non è vuoto, e poi inserire tra gli assiomi
> "esiste in P un unico elemento, che diremo "z", tale che per nessun
> elemento x di P si ha S(x) = z".
>
> Quanto alla funzione successore, è ovvio che possiamo sceglierla come
> ci pare: poi ci dovremo assicurare che soddisfi gli assiomi.
> Quindi nel caso dei reali possiamo provare con S(x) = x+1, ma anche con
> S(x) = x+pi: in ogni caso quel "z" (primo numero) non esiste.
>
> Esercizio: potremmo porre S(x) = 2x ?
> Quale assioma sarebbe violato?
>

Stavo per dire: "questa è facile", ma poi m'è sorta una domanda..

Non basterebbe prendere 1 come elemento 0? :)

Ciao!

[radica...@gmail.com]

Il giorno lunedì 2 febbraio 2015 15:38:40 UTC+1, fma...@gmail.com ha scritto:

> On Monday, February 2, 2015 at 3:12:22 PM UTC+1, radica...@gmail.com wrote:

> > Hai solo dimostrato che in R esiste un sottoinsieme di R induttivo
> > e numerabile.
> > Ma non che TUTTO R e' induttivo
>
> Che R sia induttivo è ovviamente vero, no? Lo zero c'è,
> e se prendi qualsiasi numero in R e fai più uno sei
> sempre in R.

Se questa e' la definizione di insieme induttivo allora
ok, niente da dire.

[radica...@gmail.com]

Il giorno lunedì 2 febbraio 2015 15:38:40 UTC+1, fma...@gmail.com ha scritto:

> On Monday, February 2, 2015 at 3:12:22 PM UTC+1, radica...@gmail.com wrote:
> > Il giorno lunedì 2 febbraio 2015 14:29:14 UTC+1, Peano numero 1 ha scritto:
> > > quindi esiste un insieme induttivo non numerabile, quindi essere
> > > induttivo non implica essere numerabile
> >
> > No Ok :-)
> >
> > Hai solo dimostrato che in R esiste un sottoinsieme di R induttivo
> > e numerabile.
> >
> > Ma non che TUTTO R e' induttivo
>
> Che R sia induttivo è ovviamente vero, no?

Pero' a ben pensarci ...
Ma scusa, qual' e' il successore di 0 in R ? Mica e' 0 + 1. E allora ?

[fma...@gmail.com]

Se scegli come funzione successore "+1" sì, certo. Se scegli "+2" sarà 2.
L'importante è solo che ci sia.

Ciao!

[radica...@gmail.com]

Ma se il successore di x e' diciamo y non ci deve essere niente tra
x e y. Senno' y che successore e' ?

[Elio Fabri]

"Peano numero 1" ha scritto:

> non ho capito la tua osservazione; che cosa intendi per
> "intrinseco"?

Sì, forse non è l'aggettivo più giusto.
Intendevo questo: l'idea che una volta dato l'insieme, la funzione
successore sia implicita, "intrinseca" a quell'insieme.


--
Elio Fabri

[Elio Fabri]

fma...@gmail.com ha scritto:

> Stavo per dire: "questa è facile", ma poi m'è sorta una domanda..
>
> Non basterebbe prendere 1 come elemento 0? :)

Il mio esercizio conteneva in realtà un trabocchetto :)
Non ha senso chiedere qual è il successore, se prima non dico qual è
l'insieme.
Se per es. l'insieme è N, la tua idea soddisfa tutti i postulati
tranne il quinto, semplicemente perché iterando la funzione S, se
parti da 1 non ottieni tuti i naturali.
Se però l'insieme consiste delle potenze di 2: 1, 2, 4, ... allora va
tutto bene.

Tuttavia potrebbe nascere un altro problema: se è così, forse gli
assiomi di Peano non sono categorici? Ossia, non determinano in modo
unico i naturali?
Certo esistono tanti sistemi di assiomi non categorici, per es. quelli
di gruppo o di campo: ci sono infinite varietà di gruppi o di campi.
Ma assiomi categorici determinano la struttura *a meno di isomorfismi*
(di più non possono fare).
Ciò vuol dire che se hai due diversi modelli degli assiomi, tra di
loro esiste una biiezione che conserva tutte le prorpietà strutturali.

Nel nostro caso, se N sono i naturali, e P le potenze di 2, la
biiezione N-->P è semplicemente 2^n.
Non solo mette in corrispondenza biunivoca i due insiemi, ma inoltre
2^(n+1) = 2*(2^N), quindi il successore definito in N va nel
successore definito in P.
In senso astratto si tratta sempre *della stessa struttura*.


--
Elio Fabri

[fma...@gmail.com]

On Friday, February 6, 2015 at 8:50:50 PM UTC+1, Elio Fabri wrote:
> fma...@gmail.com ha scritto:
> > Stavo per dire: "questa è facile", ma poi m'è sorta una domanda..
> >
> > Non basterebbe prendere 1 come elemento 0? :)
> Il mio esercizio conteneva in realtà un trabocchetto :)
> Non ha senso chiedere qual è il successore, se prima non dico qual è
> l'insieme.
>

Lo sapevo che c'era il trucco! Peccato che non ho capito qual'era! :)

> Se per es. l'insieme è N, la tua idea soddisfa tutti i postulati
> tranne il quinto, semplicemente perché iterando la funzione S, se
> parti da 1 non ottieni tuti i naturali.

Giusto, non c'avevo pensato. Come al solito ho confuso l'insieme con
la sua etichettatura (spero sia questo il nome "ufficiale").

> Se però l'insieme consiste delle potenze di 2: 1, 2, 4, ... allora va
> tutto bene.
>

:) Vero.

> Tuttavia potrebbe nascere un altro problema: se è così, forse gli
> assiomi di Peano non sono categorici? Ossia, non determinano in modo
> unico i naturali?
> Certo esistono tanti sistemi di assiomi non categorici, per es. quelli
> di gruppo o di campo: ci sono infinite varietà di gruppi o di campi.
> Ma assiomi categorici determinano la struttura *a meno di isomorfismi*
> (di più non possono fare).
> Ciò vuol dire che se hai due diversi modelli degli assiomi, tra di
> loro esiste una biiezione che conserva tutte le prorpietà strutturali.
>
> Nel nostro caso, se N sono i naturali, e P le potenze di 2, la
> biiezione N-->P è semplicemente 2^n.
> Non solo mette in corrispondenza biunivoca i due insiemi, ma inoltre
> 2^(n+1) = 2*(2^N), quindi il successore definito in N va nel
> successore definito in P.
> In senso astratto si tratta sempre *della stessa struttura*.
>

Tutto molto interessante.. Mi hai dato un sacco di spunti per scegliere
le mie prossime letture..

Ciao!