Problema geometria (quadrato iscritto nella circonferenza)
Ughetto
non so come procedere con questo problema:
"Un quadrato è iscritto nella circonferenza di centro E(-1/2;1) e il
raggio di misura 1/2. Determina i vertici del quadrato sapendo che la
retta di uno dei suoi lati passa per l'origine del sistema di
riferimento"
Prima di tutto mi sono trovato l'equzione della circonferenza:
x^2+y^2+x-2y+1=0.
Poi ho scritto l'equazione generica di una retta che passa per
l'origine del sistema di riferimento: y=mx.
Facendo il disegno credo che in quella circonferenza possano essere
iscritti due quadrati:
- Uno con i lati paralleli e perpendicolari agli assi
- Uno inclinato di 45° (forse) rispetto agli assi ==> In questo caso
la retta su cui giace il lato del quadrato sarà la bisettrice del 2° e
4° quadrante... come continuo?
Ughetto
D. Z.
"Ughetto" <CoIng...@gmail.com> ha scritto nel messaggio
news:2970cc71-5e2f-4c83...@i72g2000hsd.googlegroups.com...
Non puoi desumere la soluzione guardando il disegno.
Cmq, disegnando con Geogebra, di trova che la soluzione y=-x per la retta è
corretta.
Forse le soluzioni sono due, ma escluderei che i lati possano essere
paralleli agli assi principali, poichè la circonferenza è tangente all'asse
Y.
Credo che tu debba imporre la condizione che la retta stacchi sulla
circonferenza un segmento uguale al lato, che in questo caso è 2*r/sqrt(2).
Che si trova con semplici considerazioni geometriche.
Ciao, auguri.
El Filibustero
>"Un quadrato è iscritto nella circonferenza di centro E(-1/2;1) e il
>raggio di misura 1/2. Determina i vertici del quadrato sapendo che la
>retta di uno dei suoi lati passa per l'origine del sistema di
>riferimento"
>
>Prima di tutto mi sono trovato l'equzione della circonferenza:
>x^2+y^2+x-2y+1=0.
>Poi ho scritto l'equazione generica di una retta che passa per
>l'origine del sistema di riferimento: y=mx.
>Facendo il disegno credo che in quella circonferenza possano essere
>iscritti due quadrati:
>- Uno con i lati paralleli e perpendicolari agli assi
Nessun lato di questo quadrato passa per l'origine.
>- Uno inclinato di 45° (forse) rispetto agli assi ==> In questo caso
>la retta su cui giace il lato del quadrato sarà la bisettrice del 2° e
>4° quadrante... come continuo?
Magari questo potrebbe andare bene. Il problema non e' semplice ed e'
ambiguo (non c'e' un solo quadrato, ma due). Un metodo risolutivo
consiste nell'osservare che i lati di un quadrato inscritto nella
circonferenza di raggio 1/2 distano dal centro sqrt(2)/4; un altro
metodo (piu' lungo) e' trovare quelle rette del fascio y=mx che
tagliano la circonferenza su una corda di lunghezza sqrt(2)/2 (lato
del quadrato inscritto). Una soluzione la si ha per m=-1, un'altra per
m=-7. Ciao
Enrico Gregorio
La retta y=mx deve intersecare la circonferenza in due punti aventi
distanza 1/sqrt(2), che è il lato di un quadrato inscritto nella
circonferenza di raggio 1/2 (la diagonale misura 1). L'equazione che
determina le due intersezioni è
(1+m^2)x^2 + (1-2m)x + 1 = 0
Se a e b sono le radici, conviene calcolarsi il quadrato della
distanza, che vale (1 + m^2)(a - b)^2. Ora
(a - b)^2 = (a + b)^2 - 4ab = (1-2m)^2/(1+m^2)^2 - 4/(1+m^2)
(usando le relazioni fra radici e coefficienti) e dunque l'equazione da
risolvere è
(1-2m)^2/(1+m^2) - 4 = 1/2
cioè
2(1-2m)^2 = 9(1+m^2)
2 - 8m + 8m^2 = 9 + 9m^2
m^2 + 8m + 7 = 0
m = -1 oppure m = -7
(se non ho fatto errori di calcolo).
Ciao
Enrico