Problema di geometria euclidea
Robbi
sono congruenti.
Se la mediana è relativa a uno dei due lati congruenti, la
dimostrazione è facile. Se la mediana invece è relativa al terzo lato?
Si dimostra anche in questo caso la congruenza dei due triangoli?
nano bagonghi
Si puo' dimostrare che se un triangolo ha lati
a,b,c,
allora la mediana m relativa al lato c soddisfa
la relazione m^2=(2a^2+2b^2-c^2)/4.
Quindi immaginando di avere a, b, e la mediana m relativa
a c, e risolvendo l'equazione corrispondente si ottengono
due valori possibili per c, ma solo uno e' positivo,
ed uguale alla radice di 2(a^2+b^2-2m^2).
Quindi i triangoli sono uguali, perche' anche il
terzo lato e' congruente.
ciao,
g.
Robbi
wrote:
> Si puo' dimostrare che se un triangolo ha lati
> a,b,c,
> allora la mediana m relativa al lato c soddisfa
> la relazione m^2=(2a^2+2b^2-c^2)/4.
Ti ringrazio, ma io stavo cercando una dimostrazione "euclidea", senza
misure. Però non ci riesco...
Giorgio Pastore
Possibile strategia:
sia ABC e A'B'C' i due triangoli e AM e A'M' le due mediane (siamo nel
caso AB = A'B' e AC=A'C').
Se prolunghi la mediana AM fino ad un punto A" tale che A"M = AM =A'M' e
congiungi BA" e CA", ottieni un quadrilatero le cui diagonali sono
AA" e BC. Queste si bisecano.
Puoi dire qualcosa sul quadrilatero ?
E che relazione c'è tra i triangoli BCA" e A'B'C' ?
Giorgio
Robbi
> E che relazione c'è tra i triangoli BCA" e A'B'C' ?
Sono due triangoli che hanno ordinatamente congruenti due lati e la
mediana relativa al terzo lato. Se sapessi che sono congruenti avrei
dimostrato il teorema :-) Mi sa che così non funziona.
Dalet
>On Feb 8, 12:56 am, Giorgio Pastore <past...@units.it> wrote:
>> E che relazione c'č tra i triangoli BCA" e A'B'C' ?
>Sono due triangoli che hanno ordinatamente congruenti due lati e la
>mediana relativa al terzo lato. Se sapessi che sono congruenti avrei
>dimostrato il teorema :-) Mi sa che cosě non funziona.
Non ho guardato questa che dici, ma il teorema tuo si
dimostra al volo facendo capo ad un altro teorema che dice
che "il quadrato costruito su una mediana e' equivalente
alla differenza della semisomma dei quadrati costruiti sui
due lati, concorrenti con la mediana stessa, meno il quadrato
costruito sulla meta' del terzo lato".
--
Saluti, Dalet
Giorgio Pastore
>
> Sono due triangoli che hanno ordinatamente congruenti due lati e la
> mediana relativa al terzo lato. Se sapessi che sono congruenti avrei
Prova a fare la stessa costruzione del parallelogramma a partire dal
triangolo A'B'C' e sia A''' il quarto vertice. Adesso considera i
triangoli ABA" e A'B'A'''. Sono congruenti per il III criterio.
Stesso per ACA" e A'C'A'''. E a questo punto ci sei.
Giorgio
Robbi
> triangolo A'B'C' e sia A''' il quarto vertice. Adesso considera i
> triangoli ABA" e A'B'A'''. Sono congruenti per il III criterio.
> Stesso per ACA" e A'C'A'''. E a questo punto ci sei.
Perfetto, ora sì. Grazie.
Roberto Montaruli
Purtroppo non funziona.
In questo modo dimostri che esiste almeno un triangolo (quello che hai
costruito) avente uguali rispettivamente due lati e la mediana, ad
essere uguale al triangolo dato, e non che tutti i triangoli...
Sono tre giorni che ci sto provando pure io a dimostrare quel teorema
per via euclidea ma non ci riesco senza passare per la trigonometria o
senza usare quella formula gia citata (la quale a sua volta si dimostra
con la trigonometria o con i vettori!
Giorgio Pastore
...
> Purtroppo non funziona.
Funziona.
Provo a rimettere tutto in chiaro e ordinato.
1. Ipotesi: ci sono due triangoli (T di vertici ABC e T' di vertici
A'B'C') che hanno AB=A'B' (uso = per indicare la relazione di
conguenza), AC=A'C' e AM=A'M', dove AM e' la mediana dal vertice A, e
A'M' quella corrispondente dal vertice A'.
2. Costruiamo a partire dai due triangoli, due quadrilateri, Q di
vertici ABA"C e Q' di vertici A'B'A'''C' a partire da due nuovi punti,
A" e A''', ottenuti su ciascun triangolo, individuando sulle rette per
AM e A'M' due segmenti MA" e MA''', esterni ai triangoli e congruenti
rispettivamente a AM e A'M'.
3. Q e Q' sono due parallelogrammi (Q perché le diagonali AA" e BC si
bisecano e similmente Q'). Quindi, su Q AB=A"C e AC=A"B e su Q'
A'B'=A'''C' e A'C'=A'''B'.
4. Consideriamo i triangoli ABA" e A'B'A'''.
Sono congruenti per il III criterio, avendo:
i) AB=A'B' per ipotesi;
ii) BA"=B'A''' perché BA"=AC (punto 3) =A'C' (ipotesi)=B'A''' (punto 3)
iii) AA"=A'A''' perché ciascuno è somma di segmenti congruenti per l'
ipotesi che AM=A'M'.
5. Similmente si mostra che anche i triangoli ACA" e A'C'A''' devono
essere congruenti.
6. gli angoli BAC e B'A'C' sono congruenti perché somma di angoli
congruenti.
7. I triangoli T e T' hanno congruenti rispettivamente due coppie di
lati (per ipotesi) e l' angolo comperso e quindi sono congruenti.
QED :-)
Giorgio
Roberto Montaruli
> Roberto Montaruli wrote:
> ...
>> Purtroppo non funziona.
>
> Funziona.
>
> Provo a rimettere tutto in chiaro e ordinato.
>
> 7. I triangoli T e T' hanno congruenti rispettivamente due coppie di
> lati (per ipotesi) e l' angolo comperso e quindi sono congruenti.
>
> QED :-)
>
Si, cosi' funziona.
Ci avevo provato pure io a prolungare la mediana, ma non mi era venuto
in mente di farlo su entrambi i triangoli.
Bello questo teorema.
Me lo devo ricordare che mi tornera' utile.