Google Groups no longer supports new Usenet posts or subscriptions. Historical content remains viewable.
Dismiss
Massimo senza derivate
548 views
Skip to first unread message
Mariner.PT
Aug 21, 2012, 6:27:58 AM8/21/12
to
In un problema di geometria sul libro di mio fratello (seconda liceo) si
chiede trovare il perimetro massimo di un retangolo inscritto in una certa
parte di ellisse. Tralasciando il problema in quanto tale la funzione che
descrive il perimetro mi risulta:
p(x) = 4x + 4sqrt(1 - x^2) - 5/2
il problema adesso e' trovarte il massimo di questa funzione.
Io l'ho trovato facilmente con una derivata (x = 1/sqrt(2)) ma ovviamente,
visto che l'esercizio e' su un libro di seconda liceo, si puo fare anche
senza solo che io non vedo come. �_�
chiede trovare il perimetro massimo di un retangolo inscritto in una certa
parte di ellisse. Tralasciando il problema in quanto tale la funzione che
descrive il perimetro mi risulta:
p(x) = 4x + 4sqrt(1 - x^2) - 5/2
il problema adesso e' trovarte il massimo di questa funzione.
Io l'ho trovato facilmente con una derivata (x = 1/sqrt(2)) ma ovviamente,
visto che l'esercizio e' su un libro di seconda liceo, si puo fare anche
senza solo che io non vedo come. �_�
Simone
Aug 21, 2012, 6:40:31 AM8/21/12
to
>
Forse la soluzione consiste proprio nell'approccio al problema. Non e' che
si puo' usare qualche simmetria?
Simone
superpollo
Aug 21, 2012, 7:43:36 AM8/21/12
to
Mariner.PT ha scritto:
in sostanda devi massimizzare x+sqrt(1-x^2). con della semplice
trigonometria, basta sostituire x con cos(t) e sei a cavallo...
ma ti propongo una via algebrica:
(x-sqrt(1-x^2))^2 >= 0
x^2+1-x^2 >= 2*x*sqrt(1-x^2)
x^2+1-x^2+x^2+1-x^2 >= 2*x*sqrt(1-x^2)+x^2+1-x^2
2 >= (x+sqrt(1-x^2))^2
x+sqrt(1-x^2) <= sqrt(2)
l'uguaglianza corrisponde al massimo, e si ha quando x=sqrt(1-x^2) ossia
quando x=+/-1/sqrt(2)
bye
--
In realta' cosa viene dopo il 10 ??
Non viene il 20
trigonometria, basta sostituire x con cos(t) e sei a cavallo...
ma ti propongo una via algebrica:
(x-sqrt(1-x^2))^2 >= 0
x^2+1-x^2 >= 2*x*sqrt(1-x^2)
x^2+1-x^2+x^2+1-x^2 >= 2*x*sqrt(1-x^2)+x^2+1-x^2
2 >= (x+sqrt(1-x^2))^2
x+sqrt(1-x^2) <= sqrt(2)
l'uguaglianza corrisponde al massimo, e si ha quando x=sqrt(1-x^2) ossia
quando x=+/-1/sqrt(2)
bye
--
In realta' cosa viene dopo il 10 ??
Non viene il 20
Giorgio Bibbiani
Aug 21, 2012, 8:21:46 AM8/21/12
to
trovato sia effettivamente la piu' semplice ;-),
si puo' trovare il massimo senza derivare:
p(x) ha come dominio l'intervallo [-1, 1], il valore di
x che massimizza p(x) appartiene all'intervallo [0, 1]
e massimizza anche q(x) = x + sqrt(1 - x^2), e
anche q^2(x) = 1 + 2x * sqrt(1 - x^2) e anche
r(x) = x * sqrt(1 - x^2), e anche r^2(x) = x^2 * (1 - x^2),
posto t = x^2 allora r^2(x) = t * (1 - t) = t - t^2 che
e' l'equazione di una parabola con la concavita'
rivolta verso il basso e vertice (1/2, 1/4), quindi
t = 1/2 massimizza r^2(x) e x = sqrt(t) = 1/sqrt(2)
massimizza p(x).
Ciao
--
Giorgio Bibbiani
Mariner.PT
Aug 21, 2012, 11:58:27 AM8/21/12
to
> Forse la soluzione consiste proprio nell'approccio al problema. Non e' che
> si puo' usare qualche simmetria?
questo � il problema:
> si puo' usare qualche simmetria?
"Inscrivere nella regione finita di piano, delimitata da y=2sqrt(1-x^2) e
dalla direttrice della parabola y=1-x^2, il rettangolo di perimetro massimo
avente un lato sulla direttrice."
Mariner.PT
Aug 21, 2012, 12:03:48 PM8/21/12
to
> in sostanda devi massimizzare x+sqrt(1-x^2). con della semplice
> trigonometria, basta sostituire x con cos(t) e sei a cavallo...
mi pare una strada non praticabile da un quindicenne che va in seconda
> trigonometria, basta sostituire x con cos(t) e sei a cavallo...
liceo.
> ma ti propongo una via algebrica:
>
> (x-sqrt(1-x^2))^2 >= 0
> x^2+1-x^2 >= 2*x*sqrt(1-x^2)
> x^2+1-x^2+x^2+1-x^2 >= 2*x*sqrt(1-x^2)+x^2+1-x^2
> 2 >= (x+sqrt(1-x^2))^2
> x+sqrt(1-x^2) <= sqrt(2)
>
> l'uguaglianza corrisponde al massimo, e si ha quando x=sqrt(1-x^2) ossia
> quando x=+/-1/sqrt(2)
fratello.
Magari capisce il calcolo in se e per se ma al perch� deve rendere un
termine uguale alla funzione di partenza non ci arriva.
Penso che gia togliere il 5/2 potrebbe essere per lui un insormontabile
ostacolo concettuale. :-D
Mariner.PT
Aug 21, 2012, 12:05:45 PM8/21/12
to
"Giorgio Bibbiani" <giorgio_bi...@virgilio.it.invalid> wrote in
message news:50337d60$0$13270$4faf...@reader2.news.tin.it...
;-)
superpollo
Aug 21, 2012, 1:02:06 PM8/21/12
to
Mariner.PT ha scritto:
trigonometria vengano anticipati al biennio...
>> ma ti propongo una via algebrica:
>>
>> (x-sqrt(1-x^2))^2 >= 0
>> x^2+1-x^2 >= 2*x*sqrt(1-x^2)
>> x^2+1-x^2+x^2+1-x^2 >= 2*x*sqrt(1-x^2)+x^2+1-x^2
>> 2 >= (x+sqrt(1-x^2))^2
>> x+sqrt(1-x^2) <= sqrt(2)
>>
>> l'uguaglianza corrisponde al massimo, e si ha quando x=sqrt(1-x^2) ossia
>> quando x=+/-1/sqrt(2)
>
> anche questa, pur essendo molto semplice, dubito sia alla portata di mio
> fratello.
> Magari capisce il calcolo in se e per se ma al perch� deve rendere un
> termine uguale alla funzione di partenza non ci arriva.
> Penso che gia togliere il 5/2 potrebbe essere per lui un insormontabile
> ostacolo concettuale. :-D
per un quindicenne credo che il maggiore ostacolo concettuale sia
proprio il problema della massimizzazione di una funzione. ai miei tempi
questa roba al biennio non si faceva, e anche adesso ai miei alunni
propongo timidamente cose del genere solo a partire dal terz'anno.
bye
--
Come si puo' concepire di moltiplicare una Misura tipo 1kg.
per una misura tipo (0.1kg) ??
>> in sostanda devi massimizzare x+sqrt(1-x^2). con della semplice
>> trigonometria, basta sostituire x con cos(t) e sei a cavallo...
>
> mi pare una strada non praticabile da un quindicenne che va in seconda
> liceo.
sfogliando i nuovi testi per il liceo, mi pare che funzioni e
>> trigonometria, basta sostituire x con cos(t) e sei a cavallo...
>
> mi pare una strada non praticabile da un quindicenne che va in seconda
> liceo.
trigonometria vengano anticipati al biennio...
>> ma ti propongo una via algebrica:
>>
>> (x-sqrt(1-x^2))^2 >= 0
>> x^2+1-x^2 >= 2*x*sqrt(1-x^2)
>> x^2+1-x^2+x^2+1-x^2 >= 2*x*sqrt(1-x^2)+x^2+1-x^2
>> 2 >= (x+sqrt(1-x^2))^2
>> x+sqrt(1-x^2) <= sqrt(2)
>>
>> l'uguaglianza corrisponde al massimo, e si ha quando x=sqrt(1-x^2) ossia
>> quando x=+/-1/sqrt(2)
>
> anche questa, pur essendo molto semplice, dubito sia alla portata di mio
> fratello.
> Magari capisce il calcolo in se e per se ma al perch� deve rendere un
> termine uguale alla funzione di partenza non ci arriva.
> Penso che gia togliere il 5/2 potrebbe essere per lui un insormontabile
> ostacolo concettuale. :-D
proprio il problema della massimizzazione di una funzione. ai miei tempi
questa roba al biennio non si faceva, e anche adesso ai miei alunni
propongo timidamente cose del genere solo a partire dal terz'anno.
bye
--
Come si puo' concepire di moltiplicare una Misura tipo 1kg.
per una misura tipo (0.1kg) ??
El Filibustero
Aug 21, 2012, 1:51:33 PM8/21/12
to
On Tue, 21 Aug 2012 18:05:45 +0200, Mariner.PT wrote:
>Onestamente, tu a 15 anni, in seconda superiore, avresti capito questa cosa?
Assolutamente si', se solo l'insegnante dedica non piu' di un paio di
>Onestamente, tu a 15 anni, in seconda superiore, avresti capito questa cosa?
minuti a spendere qualche parola:
"se una qualsiasi funzione f(x) assume un valore massimo (o minimo) in x_0,
anche il doppio, la meta' ecc. ecc. di questa funzione avranno un massimo
(o minimo) in x_0".
Concetto del tutto intuitivo, che si generalizza senza troppa fatica: "se g
e' monotona crescente [come lo sono il doppio, la meta' ecc. per ogni
argomento; quadrato, radice quadrata, logaritmo per argomenti positivi
ecc.] allora f(x) ha un max (min) in x_0, pure g(f(x_0)) e' un max (min)".
Ciao
El Filibustero
Aug 21, 2012, 1:53:35 PM8/21/12
to
On Tue, 21 Aug 2012 18:05:45 +0200, Mariner.PT wrote:
>Onestamente, tu a 15 anni, in seconda superiore, avresti capito questa cosa?
Assolutamente si', se solo l'insegnante dedica non piu' di un paio di
minuti a spendere qualche parola:
"se una qualsiasi funzione f(x) assume un valore massimo (o minimo) in x_0,
anche il doppio, la meta' ecc. ecc. di questa funzione avranno un massimo
(o minimo) in x_0".
Concetto del tutto intuitivo, che si generalizza senza troppa fatica: "se g
e' monotona crescente [come lo sono il doppio, la meta' ecc. per ogni
argomento; quadrato, radice quadrata, logaritmo per argomenti positivi
ecc.] e f(x) ha un max (min) in x_0, allora pure g(f(x_0)) e' un max
minuti a spendere qualche parola:
"se una qualsiasi funzione f(x) assume un valore massimo (o minimo) in x_0,
anche il doppio, la meta' ecc. ecc. di questa funzione avranno un massimo
(o minimo) in x_0".
Concetto del tutto intuitivo, che si generalizza senza troppa fatica: "se g
e' monotona crescente [come lo sono il doppio, la meta' ecc. per ogni
argomento; quadrato, radice quadrata, logaritmo per argomenti positivi
(min)". Ciao
Elio Fabri
Aug 21, 2012, 2:37:48 PM8/21/12
to
Mariner.PT ha scritto:
soluzione potrebbe stare proprio nell'enunciato esatto del problema,
che a te sembra irrilevante.
--
Elio Fabri
> In un problema di geometria sul libro di mio fratello (seconda liceo)
> si chiede trovare il perimetro massimo di un retangolo inscritto in
> una certa parte di ellisse. Tralasciando il problema in quanto tale la
> funzione che descrive il perimetro mi risulta:
Anche tu, come tanti, non ti rendi conto che forse l'idea per la
> si chiede trovare il perimetro massimo di un retangolo inscritto in
> una certa parte di ellisse. Tralasciando il problema in quanto tale la
> funzione che descrive il perimetro mi risulta:
soluzione potrebbe stare proprio nell'enunciato esatto del problema,
che a te sembra irrilevante.
--
Elio Fabri
Tommaso Russo, Trieste
Aug 21, 2012, 4:58:37 PM8/21/12
to
Il 21/08/2012 17:58, Mariner.PT ha scritto:
>> Forse la soluzione consiste proprio nell'approccio al problema. Non e' che
>> si puo' usare qualche simmetria?
>
> questo � il problema:
Prima di tutto un'osservazione: nei libri di testo, di norma, i problemi
>> Forse la soluzione consiste proprio nell'approccio al problema. Non e' che
>> si puo' usare qualche simmetria?
>
> questo � il problema:
vengono raggruppati in capitoli che vengono fatti corrispondere a
capitoli dell'esposizione, in modo da risolverli applicando
principalmente i concetti esposti li'. Di che si parla nel capitolo di
testo corrispondente al problema?
> "Inscrivere nella regione finita di piano, delimitata da y=2sqrt(1-x^2) e
> dalla direttrice della parabola y=1-x^2,
bisogna *prima* risolvere un sottoproblema, e se la soluzione al
sottoproblema e' sbagliata il problema puo' risultare privo di senso...
Immagino comunque che il ragazzo sappia trovare la direttrice, che e'
y = 5/4.
> il rettangolo di perimetro massimo
> avente un lato sulla direttrice."
dubito che potrebbe arrivarci da solo (senza aver visto, almeno, qualche
esempio simile svolto in classe):
Si tratta in sostanza di determinare un punto sull'ellisse che
massimizzi il *semi*perimetro
p = 2x + y - 5/4.
Considera la famiglia di rette parallele
2x + y = p + 5/4
con p *positivo*; scegline una a caso che intersechi l'ellisse in due
punti, e scegli uno dei due punti a caso: chiamiamolo, per l'appunto, C.
Ora disegna il rettangolo inscritto fra l'ellisse e la direttrice che ha
per vertice C. Il suo semiperimetro p e' proprio l'intercetta della
retta sull'asse y, *meno* 5/4.
Puo' essere quello il rettangolo di perimetro massimo? Evidentemente no,
perche' "sopra" alla retta scelta ce n'e' sicuramente un'altra che
interseca l'ellisse, e che ha intercetta sull'asse y maggiore della
prima, e quindi individua due vertici di due rettangoli inscritti di
perimetro superiore. Bisogna quindi trovare la retta "piu' alta" del
fascio che ha un punto in comune con l'ellisse. E' evidente che si
tratta della retta del fascio tangente all'ellisse.
Mettendo a sistema una retta del fascio con l'ellisse,
2x + y = p + 5/4
y = 2sqrt(1-x^2)
si ottiene un'equazione di II grado in x o in y il cui discriminante
contiene p.
Eguagliando il discriminante a zero, si ottiene un'equazione in p che
per la geometria del problema deve ammettere un'unica soluzione positiva.
Trovato p, si risolve il sistema e si trovano x e y.
--
TRu-TS
Buon vento e cieli sereni
Tommaso Russo, Trieste
Aug 21, 2012, 5:26:40 PM8/21/12
to
Il 21/08/2012 22:58, Tommaso Russo, Trieste ha scritto:
> Considera la famiglia di rette parallele
> 2x + y = p + 5/4
> con p *positivo*; scegline una a caso che intersechi l'ellisse in due
> punti
Ho dimenticato di specificare: di cui almeno uno con x positivo, e
> Considera la famiglia di rette parallele
> 2x + y = p + 5/4
> con p *positivo*; scegline una a caso che intersechi l'ellisse in due
> punti
y>5/4. Se ce n'e' uno solo, scegli quello come punto C.
> e scegli uno dei due punti a caso: chiamiamolo, per l'appunto, C.
io_x
Aug 22, 2012, 3:08:20 AM8/22/12
to
"Mariner.PT" <mari...@GLIposte.it> ha scritto nel messaggio
news:5033b024$0$17953$4faf...@reader1.news.tin.it...
|> p(x) = 4x + 4sqrt(1 - x^2) - 5/2
essa ha un massimo relativo se qq(x)= 4x + 4sqrt(1 - x^2)
ha un massimo relativo
ma qq(x) � il perimetro del rettangono iscritto in una
circonferenza di raggio 1
e sappiamo che il perimetro massimo per un rettangolo
iscritto in una circonferenza � raggiunto dal quadrato
4x=4sqrt(1 - x^2) => x=+1/sqrt(2)
inoltre si deve vedere se x si sopra � nell'intervallo
di definizione di p(x) e se agli estremi
si raggiungono valori + grandi...
ma tale problema *si deve* fare con le derivate
i problemi piu' insopportabili
sono quelli quando 'l'autore'
immagina una soluzione contorta e
fa tutto il problema per eliminarne tutte
quelle di altro tipo...
Alessandro_
Aug 22, 2012, 11:37:19 AM8/22/12
to
On 21 Ago, 18:03, "Mariner.PT" <marine...@GLIposte.it> wrote:
> Penso che gia togliere il 5/2 potrebbe essere per lui un insormontabile
> ostacolo concettuale. :-D
Direi che il 5/2 possa essere tolto a monte, dipende da come imposti
> Penso che gia togliere il 5/2 potrebbe essere per lui un insormontabile
> ostacolo concettuale. :-D
le cose prima.
Tuo fratello ha mai incontrato in precedenza il problema di
massimizzare la somma delle lunghezze dei cateti di un triangolo
rettangolo di data ipotenusa? Questa somma e' massima quando i due
cateti hanno medesima lunghezza, nella stessa configurazione in cui si
massimizza l'area del triangolo rettangolo. Ne saprebbe dare una
qualche dimostrazione?
E allora, se l'ipotenusa misura 1 (o 16 se preferite che un cateto sia
4x), qual e' il massimo della somma dei cateti?
Alessandro_
Aug 22, 2012, 11:42:47 AM8/22/12
to
On 22 Ago, 17:37, Alessandro_ <alessandr...@yahoo.it> wrote:
> E allora, se l'ipotenusa misura 1 (o 16 se preferite che un cateto sia
> 4x), qual e' il massimo della somma dei cateti?
Ops, un refuso. L'ipotenusa misura 4 se vuoi che un cateto sia 4x.
> E allora, se l'ipotenusa misura 1 (o 16 se preferite che un cateto sia
> 4x), qual e' il massimo della somma dei cateti?
mrruggine
Aug 22, 2012, 1:44:41 PM8/22/12
to
puoi dire qual e' il libro ?
ciao
io_x
Aug 26, 2012, 1:07:09 PM8/26/12
to
"io_x" <a...@b.c.invalid> ha scritto nel messaggio
news:503483e5$0$13279$4faf...@reader2.news.tin.it...
>
> "Mariner.PT" <mari...@GLIposte.it> ha scritto nel messaggio
> news:5033b024$0$17953$4faf...@reader1.news.tin.it...
>>> Forse la soluzione consiste proprio nell'approccio al problema. Non e' che
>>> si puo' usare qualche simmetria?
>>
>> questo � il problema:
>> "Inscrivere nella regione finita di piano, delimitata da y=2sqrt(1-x^2) e
>> dalla direttrice della parabola y=1-x^2, il rettangolo di perimetro massimo
>> avente un lato sulla direttrice."
>
> come tu hai scritto in un'altro post
> |> p(x) = 4x + 4sqrt(1 - x^2) - 5/2
>
> essa ha un massimo relativo se qq(x)= 4x + 4sqrt(1 - x^2)
> ha un massimo relativo
> ma qq(x) � il perimetro del rettangono iscritto in una
> circonferenza di raggio 1
> e sappiamo che il perimetro massimo per un rettangolo
> iscritto in una circonferenza � raggiunto dal quadrato
cerchiamo di dimostrare le due righe di sopra...
> "Mariner.PT" <mari...@GLIposte.it> ha scritto nel messaggio
> news:5033b024$0$17953$4faf...@reader1.news.tin.it...
>>> Forse la soluzione consiste proprio nell'approccio al problema. Non e' che
>>> si puo' usare qualche simmetria?
>>
>> questo � il problema:
>> "Inscrivere nella regione finita di piano, delimitata da y=2sqrt(1-x^2) e
>> dalla direttrice della parabola y=1-x^2, il rettangolo di perimetro massimo
>> avente un lato sulla direttrice."
>
> come tu hai scritto in un'altro post
> |> p(x) = 4x + 4sqrt(1 - x^2) - 5/2
>
> essa ha un massimo relativo se qq(x)= 4x + 4sqrt(1 - x^2)
> ha un massimo relativo
> ma qq(x) � il perimetro del rettangono iscritto in una
> circonferenza di raggio 1
> e sappiamo che il perimetro massimo per un rettangolo
> iscritto in una circonferenza � raggiunto dal quadrato
siano dati x,y dimensione del rettangolo inscritto in una circonferenza
di raggio 1/2
il perimetro di tale rettangolo �: P=2x+2y
ma siamo in una circoferenza di diametro 1 =>
P=2x+2sqrt(1-x^2) xe(0, 1)
� la funzione che dovremmo massimizzare...
esco dal 'cilindro' il numero 1/sqrt(2)
P(1/sqrt(2))=2 sqrt(2)
sia xe(0, 1)
2x+2sqrt(1-x^2)<= 2sqrt(2) <=>
x+ sqrt(1-x^2)<= sqrt(2) <=>
sqrt(1-x^2)<= sqrt(2)- x <=>
1-x^2 <= 2+x^2 -2sqrt(2)x <=>
0 <= 1+2x^2-2sqrt(2)x <=>
0 <= (sqrt(2)x-1)^2
ma l'ultima � vera per ogni xe(0,1)
la prima � vera per ogni xe(0,1)
ed
se xe(0,1) => P(x) <= 2sqrt(2) = P(1/sqrt(2))
allora il perimetro ha massimo assoluto in (0, 1) ed �
2sqrt(2) raggiunto dal valore del lato x=1/sqrt(2)
ma si vede che y(1/sqrt(2))=sqrt(1-1/2)=sqrt(1/2)=1/sqrt(2)
x==y ed il rettangolo in questo caso del massimo perimetro
� un quadrato...
capite il mio modo di esprimermi?
ci potrebbero essere problemi nell'uso di simboli?
0 new messages