Distanza tra due funzioni
Arcobaleno
usando la metrica lagrangiana o altre. In definitiva abbiamo la
possibilità di misurare la DISTANZA(in senso più generale ovviamente)
tra due funzioni.
Così come sappiamo misurare la distanza tra due punti, ecco che
generalizzando il concetto di distanza sappiamo misurare la distanza
anche tra due funzioni.
Nel caso specifico dello spazio funzionale, questo concetto prende
origine da da problemi di calcolo delle variazioni(penso alla metrica
del massimo) ?
Tutta la costruzione di analisi funzionale sfrutta questa
generalizzazione del concetto di distanza per trattare le funzioni
come dei punti?
E' possibile approfondire un po' questo discorso?
I manuali purtroppo non chiariscono questo aspetto ed ecco che chiedo.
Grazie!
A.
radicale
> E' possibile approfondire un po' questo discorso?
Una volta mentre programmavo ho pensato che
le istruzioni vengono tradotte in sequenze di zeri-uni.
Che non sono che numeri, queste sequenze.
Allora ho pensato che anche le affermazioni matematiche
non sono altro che numeri, rispetto ad un compilatore
che le traduce in modo che la macchina le possa
comprendere. Semplice, no ?
Ma allora ho pensato che ad ogni teorema posso
(secondo un meccanismo fisso M) associare un numero.
Ovvero piu' numeri.
Ma i numeri li posso vedere come "coordinate".
Dunque :
Se M e' "paraculamente concepito", allora ogni teorema
e' un punto in uno spazio.
Ma allora e' possibile definire distanze tra /teoremi/ e
addirittura "disegnare" la matematica.
Dimostrazioni comprese.
Ti piace ?
radicale
> Se M e' "paraculamente concepito", allora ogni teorema
> e' un punto in uno spazio.
Ma come concepire M in modo che i punti che genera
abbiano "vicinanza" semantica ? Mi spiego ?
Ad esempio io vorrei che l' affermazione :
"
x^n + y^n = z^n non ha soluzioni intere quando
n > 2
"
fosse piu' vicina a questa
"
x^n + y^n + p^n= z^n non ha soluzioni intere quando
n > k
"
Che a quest' altra :
"
ogni insieme limitato con infiniti elementi ha almeno
un punto di accumulazione
"
MA ! MA ... Magari invece, individuato M,
ci si potrebbe accorgere che alcuni teoremi
(apparentemente agli antipodi) sono
in realta' VICINISSIMI ad altri, e magari scoprire
che fanno famiglia, che hanno qualcosa in
comune ...
LordBeotian
> Così come sappiamo misurare la distanza tra due punti, ecco che
> generalizzando il concetto di distanza sappiamo misurare la distanza
> anche tra due funzioni.
Non è che la "sappiamo misurare", sappiamo definre una o più nozioni
di distanza.
> Nel caso specifico dello spazio funzionale, questo concetto prende
> origine da da problemi di calcolo delle variazioni(penso alla metrica
> del massimo) ?
Non so da dove prende origine, comunque è un concetto che nei libri di
analisi entra in scena quando c'è da dimostrare l'esistenza di
soluzioni per le equazioni differenziali o l'approssimazione in serie
di Fourier.
> Tutta la costruzione di analisi funzionale sfrutta questa
> generalizzazione del concetto di distanza per trattare le funzioni
> come dei punti?
Sì ma ci sono molte possibili distanze non equivalenti per successioni
e funzioni. Mentre negli spazi finito-dimensionali tutte le distanze
sono equivalenti, in quelli di dimensione infinita no, quindi in
analisi funzionale occorre dare conto delle relazioni che sussistono
tra gli spazi che si ottengono con le varie possibili distanze che si
possono definire.
radicale
> Non è che la "sappiamo misurare", sappiamo definre una o più nozioni
> di distanza.
Beh ma e' /ovvio/ che Arcobaleno intendesse questo.
O pensi che aveva idea di prendere un metro di legno
e andare a misurare la distanza tra una funzione e un
altra ?
LordBeotian
> > Non è che la "sappiamo misurare", sappiamo definre una o più nozioni
> > di distanza.
>
> Beh ma e' /ovvio/ che Arcobaleno intendesse questo.
> O pensi che aveva idea di prendere un metro di legno
> e andare a misurare la distanza tra una funzione e un
> altra ?
Ok, ma le parole di Arcobaleno sembravano suggerire che esistesse
*una* nozione "naturale" di distanza: questo è vero per gli spazi
euclidei finito dimensionali (dove la distanza naturale è la radice
della somma dei quadrati) ma non in dimensione infinita.
Arcobaleno
Ciao Lord:))
Ma non ti preoccupare, commenta, correggi, interpreta pure senza
problemi.
E' il nostro Radicale che a volte ci vede la critica che non c'è:))
Ora riprendendo il discorso, noi abbiamo, ed hai fatto bene a
precisarlo(mica uno deve sapere cosa ho io in mente:) varie metriche
nello spazio funzionale, cioè possiamo definire più metriche, come
quella integrale o quella lagrangiana per esempio, come sai.....
Dalla metrica lagrangiana per es. mi viene fuori un'altra funzione in
un primo tempo, perché ho | f(x) - f(g) | . Però poi devo calcolare il
massimo, ed ecco che in questo caso la mia metrica è un funzionale, e
cioè come sai, opero su funzioni con questo operatore(che è un
funzionale distanza) ed ottengo un numero. Se così non fosse non avrei
un funzionale, come nel caso dell'operatore D....derivata.
Quindi una determinata metrica è un funzionale d(x, y).
In pratica(dico cose che sai meglio di me, ma che così capisce anche
Radicale) prendo due funzioni di un determinato intervallo (a, b),
faccio la differenza |f(x) + f(g) | tra le due funzioni ed ottengo una
nuova funzione. Poi faccio il max di questa NUOVA funzione h(x)
ottenuta dalla differenza, e questo significa prendere la nuova
funzione e trovare il massimo.
Per favore correggimi se sbaglio.....
Ora questo a me fa venire in mente qualcosa che si fa nel c.d.v. e non
lo dico per un fatto storico che in questo caso non mi interessa.
Lo dico per capire bene a cosa ci serve sapere questo max.
Cioè come hai specificato tu noi possiamo definire diverse metriche
non equivalenti. E quindi io capisco che questo può servire per farmi
fare dei calcoli.
Ora forse conviene fare esempi su una metrica precisa.
Alla fine fai notare che quella metrica l'esistenza di
soluzioni per le equazioni differenziali o l'approssimazione in serie
di Fourier.
Quindi noi prima studiamo tutto quell'apparato formale e solo dopo
possiamo applicarlo.
Ora non c'è la possibilità di avere una applicazione immediata per far
vedere l'utilità del concetto di metrica nello spazio funzionale? Cioè
un esempio più immediato per dire: ecco guardate a cosa ci serve la
distanza tra due funzioni usando questa metrica.
Secondo me con uno o due esempi uno si convince prima dell'utilità di
questa estensione del concetto di distanza. Perché alla fine se faccio
il solito esempio nel campo euclideo, è ovvio che io so a cosa mi
serve sapere la distanza sulla retta. Ma a cosa mi serve sapere la
distanza tra due funzioni?
Poi sugli spazi di infinite dimensioni ci ritorniamo per non
complicare il bel discorso che hai fatto.
Arcobaleno
>
> Ti piace ?
>
Vedo con molto piacere che ste cose le hai capite e anche bene.
Ora ho capito io il perché tu non vuoi fare il programmino di studio
che per te sarebbe un giochetto:))
Però ci servono degli esempi che non siano la solita distanza sulla
retta. Cioè si prendono altre metriche e si fa vedere come si
applicano e a cosa ci servono nel caso specifico.
Perché in termini generali alla fine si capisce.
Io feci pure l'esempio di calcolare la distanza tra città in termini
di tempo impiegato dal treno o prezzo del biglietto ecc.
radicale
> E' il nostro Radicale che a volte ci vede la critica che non c'è:))
Ma no, ma no.
Non pensavo volesse "criticarti". Credevo solo fosse un po' troppo
pignolo.
E invece non era nemmeno quello, vista poi la risposta che m'ha
fornito.
:-)
Ciao.
B0000P
> E' possibile approfondire un po' questo discorso?
>
> I manuali purtroppo non chiariscono questo aspetto ed ecco che chiedo.
spazi di Banch
A. Kolmogorov - S. Fomin
?manu*
> Ma come concepire M in modo che i punti che genera
> abbiano "vicinanza" semantica ? Mi spiego ?
Potresti definire la distanza tra due proposizioni come il numero minimo
di assiomi che devi applicare per passare da una all'altra.
E.
LordBeotian
> Ora non c'è la possibilità di avere una applicazione immediata per far
> vedere l'utilità del concetto di metrica nello spazio funzionale? Cioè
> un esempio più immediato per dire: ecco guardate a cosa ci serve la
> distanza tra due funzioni usando questa metrica.
Gli esempi più semplici che mi vengono in mente di applicazione di
queste nozioni coinvolgono il Teorema delle contrazioni, lo conosci?
> Secondo me con uno o due esempi uno si convince prima dell'utilità di
> questa estensione del concetto di distanza. Perché alla fine se faccio
> il solito esempio nel campo euclideo, è ovvio che io so a cosa mi
> serve sapere la distanza sulla retta. Ma a cosa mi serve sapere la
> distanza tra due funzioni?
Una volta che doti uno spazio X di funzioni di una metrica puoi
1) considerare le applicazioni F:X->R oppure F:X->X
2) verificare se F:X->X è una contrazione e dunque (dal teorema delle
contrazioni) se ha un punto fisso
3) definire una nozione di continuità per F:X->R o F:X->X
4) definire delle nozioni di derivata, gradiente, differenziale per
F:X->R o F:X->X
5) dimostrare che i punti di minimo per una certa F:X->R sono quelli
in cui si annulla il gradiente
...
Più in generale puoi estendere tutta una serie di risultati
dell'analisi in dimensione finita agli spazi di funzioni.
Considera per esempio il problema: come bisogna variare la velocità
dell'automobile lungo un certo tragitto per minimizzare il consumo?
Per risolverlo consideri lo spazio V delle funzioni v(x) (che indicano
la velictà da assumere in ogni posizione x del tragitto) consideri il
consumo C(v) associato alla funzione v e cerchi il minimo assunto da C
su V studiando dove si annulla il "gradiente" infinito dimensionale
della funzione C:V->R.
> Poi sugli spazi di infinite dimensioni ci ritorniamo per non
> complicare il bel discorso che hai fatto.
Ma non sono un argomento diverso: gli spazi funzionali sono infinito
dimensionali.
radicale
Gia ! Mi pare un' ottima idea !
... Pero' cosi' rinunci a "disegnare" la matematica.
LordBeotian
> > > Ma come concepire M in modo che i punti che genera
> > > abbiano "vicinanza" semantica ? Mi spiego ?
>
> > Potresti definire la distanza tra due proposizioni come il numero minimo
> > di assiomi che devi applicare per passare da una all'altra.
>
> Gia ! Mi pare un' ottima idea !
> ... Pero' cosi' rinunci a "disegnare" la matematica.
La puoi rappresentare come un grafo i cui vertici sono teoremi.
Arcobaleno
>
>
> Gli esempi più semplici che mi vengono in mente di applicazione di
> queste nozioni coinvolgono il Teorema delle contrazioni, lo conosci?
>
accessibili. E a quanto pare bisogna usare un'altra via da quello che
ho capito. Cioè quello che intendevo io è se fosse possibile fare
degli esempi applicativi appena si INTRODUCE il concetto di spazio
metrico, ma a quanto pare non si può fare se non più avanti quando si
acquisiscono altre conoscenze di analisi funzionale. Quindi bisogna
fare una generalizzazione dicendo che ci servirà DOPO e non si può
dare subito conto del PERCHE' si fa quella generalizzazione- strazione
del concetto di distanza.
Quindi se ho ben capito, l'unico modo è quello di motivare come segue.
Si introduce il concetto di spazio metrico e si fa capire che lo
spazio metrico è uno spazio topologico ovviamente. Poi si fa capire
noi quando introduciamo il concetto di limite in analisi classica, in
realtà stiamo operando su uno spazio metrico, cioè R che la la sua
topologia naturale la sua metrica ecc ecc.
Però bisogna insistere quindi sul concetto di limite che è tale se noi
abbiamo una definizione di cosa è un intorno, un potersi avvicinare
INDEFINITAMENTE (epsilon piccolo a piacere) ad un punto ecc.
In questo modo si estende tale concetto anche ad una metrica DIVERSA,
dove abbiamo un altro spazio, che non è quello fatto di punti ma fatto
di funzioni.
Ecco allora che si può fare l'esempio delle funzioni in un intervallo
[a, b], si introduce la metrica lagrangiana(ho visto che deriva dal
c.d.v) e si fa notare che così facendo possiamo approssimare la
"vicinanza" tra due funzioni. Cioè, così come possiamo trovare
INFINITI punti tra due reali, allo stesso modo possiamo trovare
INFINITE funzioni tra due funzioni. In questo caso, come mi insegni,
possiamo riferirci alle serie di funzioni, alla convergenza uniforme
per esempio.
In questo modo a mio parere si capisce anche meglio cosa si vuole
intendere quando si vuole completare uno spazio metrico.
Cmq fammi sapere per favore se va bene, o se sto dicendo cose
sbagliate:)
>
> > Poi sugli spazi di infinite dimensioni ci ritorniamo per non
> > complicare il bel discorso che hai fatto.
>
> Ma non sono un argomento diverso: gli spazi funzionali sono infinito
> dimensionali.
>
E' vero, hai ragione e lo so anche:)) Però mi sono espresso molto
male. Avevo in mente SOLO DUE funzioni per fare un esempio:))
Cioè non pensavo allo spazio funzionale, ma a due funzioni per fare
l'esempio e basta. Cioè non volevo introdurre il concetto di spazio
lineare(astratto) ad infinite dimensioni appena già introdotto il
concetto astratto di spazio metrico. Questo visto che si parte come mi
insegni dallo spazio lineare in dimensione finita. Era un discorso
didattico come al solito:))
Ciao e grazie
A.
p.s. fammi sapere per favore, perché mi piace moltissimo poter
dialogare su questi argomenti di analisi funzionale, spaziando un
pochino sui concetti di base, che stanno a fondamento.
sempre_radicale
> Vedo con molto piacere che ste cose le hai capite e anche bene.
Le ho rubacchiate qua e la.
Un po' anche leggendo questo NG, un po' ci sono arrivato da solo
nelle mie "ponderazioni" in metropolitana. :-)
La matematica e' un passatempo bellissimo e gratis.
radicale
E la distanza tra un teorema e l' altro come il numero di "salti"
necessario per andare dal teorema x al teorema y percorrendo
l' albero ?
Arcobaleno
>
>
> Gia'.
> E la distanza tra un teorema e l' altro come il numero di "salti"
> necessario per andare dal teorema x al teorema y percorrendo
> l' albero ?
>
Bella la tua idea. Ricordo molto vagamente qualcosa sulla ricorsività,
la tesi di Church, la dimostrabilità, Goedel ecc ecc.
Qui forse ci può entrare anche il discorso sull'induzione e la
funzione composta che viene iterata infinite volte.
Cos'è l'albero?
RADICALE THE BEST
> Cos'è l'albero?
In che senso ? :D
Francesco
Tutta la costruzione di analisi funzionale sfrutta questa
generalizzazione del concetto di distanza per trattare le funzioni
come dei punti?
E' possibile approfondire un po' questo discorso?
I manuali purtroppo non chiariscono questo aspetto ed ecco che chiedo.
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