Dipendenza lineare degli zeri di un polinomio dai suoi coefficienti
Emanuele
qualcuno mi può indicare (un libro dove trovare) una dimostrazione del
teorema in oggetto?
Grazie a chi mi vorrà rispondere,
E.
Enrico Gregorio
Lineare? Nemmeno per le equazioni di primo grado.
ax + b = 0
x = -b/a
Non è lineare in a, mi pare.
Ciao
Enrico
Emanuele
Enrico Gregorio ha scritto:
El Filibustero
>qualcuno mi può indicare (un libro dove trovare) una dimostrazione del
>teorema in oggetto?
Non io.
>Grazie a chi mi vorrà rispondere,
gli zeri di un polinomio dipendono con continuita' dai suoi
coefficienti solo in campo complesso. In campo reale puo' darsi che,
anche facendo variare con continuita' i coefficienti, una radice
scompaia all'improvviso.
Una dimostrazione analitica (un po' noiosa) potrebbe essere la
seguente.
1) Considerare un compatto A del campo complesso che contenga tutte le
radici del polinomio (monico) p(z) = z^n + p_{n-1}z^{n-1} + ... + p_0.
Fissato z_0 in A, la funzione
f(c_{n-1},c_{n-2},...,c_0) = z_0^n+c_{n-1}z^{n-1}+c_{n-2}z^{n-2}+..c_0
e' ovviamente continua per ogni valore dei suoi argomenti; cioe',
fissato epsilon > 0, esiste delta(z_0) >0 (dipendente da z_0) tale che
per ogni j=0..n-1 | p_j - c_j | < delta(z_0) implica
che | p(z_0) - (z_0^n + c_{n-1}z^{n-1} + ... c_0) | < epsilon
Ora, A e' compatto, quindi delta(z_0) ha un minimo positivo delta per
z_0 variabile su A. Si puo' concludere che, fissato epsilon > 0,
esiste delta tale che il modulo di | p(z) - q(z) | e' minore di
epsilon per ogni polinomio monico q(z) i cui coefficienti differiscano
in modulo dai rispettivi di p(z) per meno di delta, qualunque sia z in
A.
2) Consideriamo la funzione reale nonnegativa f(x,y) = |p(x+iy)|^2.
E' immediato constatare che tutti e soli i suoi minimi sono in
corrispondenza degli zeri di p(z). Analogamente per la funzione
g(x,y)=|q(x+iy)|^2. Grazie a quanto visto in 1), per ogni epsilon>0
esiste gamma>0 tale che |f(x,y)-g(x-y)| < epsilon se i rispettivi
coefficienti di p e q differiscono in modulo per meno di gamma,
qualunque sia (x,y) in A.
3) consideriamo, per ogni radice z_j = x_j + iy_j (j=1..n) di p(z), un
intorno I_j di raggio epsilon e centro (x_j,y_j): sia delta_j il
minimo valore assunto da f(x,y) sul perimetro di tale intorno. Notiamo
che delta_j e' positivo. Per quanto visto in 2), esiste gamma_j>0 tale
che |f(x,y)-g(x,y)| < delta_j/3 in ogni (x,y) di A. Sia gamma>0 il
minimo degli n gamma_j. Se consideriamo un polinomio q(z) i cui
coefficienti differiscono in modulo da quelli di p(z) per meno di
gamma, avremo che g(x_j,y_j) < delta_j /3 (in quanto f(x_j,y_j)=0) e
g(x,y) > 2/3 delta_j su tutto il perimetro di I_j (in quanto sul
perimetro si ha f(x,y)>delta). Questo significa che g(x,y) ha un
minimo all'interno di I_j: ma gli unici minimi di g sono in
corrispondenza degli zeri di q(z).
4) Riassumendo, fissato epsilon qualsiasi, si e' potuto individuare
gamma tale che, se i coefficienti di q(z) differiscono in modulo dai
rispettivi di p(z) per meno di gamma, allora tutte le radici di q(z)
differiscono in modulo da quelle di p(z) per meno di epsilon. In altri
termini, le radici complesse di un polinomio dipendono con continuita'
dai suoi coefficienti. QED
Un abbozzo di dimostrazione piu' algebrica (e piu' interessante) e' la
seguente, che si dovrebbe poter generalizzare dal 2^grado in su.
Consideriamo due polinomi monici di secondo grado:
p(z) = zz + p1 z + p0 di radici u1, u2
q(z) = zz + q1 z + q0 di radici w1, w2
si ha, ricordando che p1 = -(u1+u2) e p0 = u1 u2 e analogamente per q,
q1-p1 = (u1-w1)+(u2-w2)
p0-q0 = u1 u2 - w1 w2 = u2(u1-w1)+w1(u2-w2) =
= u2(u1-w1) + w1[(q1-p1)-(u1-w1)] = (u2-w1)(u1-w1) + w1(q1-p1)
e quindi
(u2-w1)(u1-w1) = p0-q0 - w1(q1-p1)
all'avvicinarsi dei rispettivi coefficienti, il secondo membro tende a
zero: pertanto almeno una delle parentesi del primo membro deve
tendere a zero. In altri termini, una radice di q (nel nostro caso w1)
deve tendere a una delle radici di p (u1 oppure u2). In generale si
dovrebbe provare che le radici di p sono arbitrariamente vicine a
quelle di q (opportunamente permutate), purche' i coefficienti
rispettivi siano abbastanza vicini. Ciao
Emanuele
dimostrazione!! Grazie mille, sei stato gentilissimo.
Ciao
El Filibustero ha scritto:
> On Tue, 15 Jul 2008 12:19:41 +0200, Emanuele wrote:
>
>> qualcuno mi puň indicare (un libro dove trovare) una dimostrazione del
>> teorema in oggetto?
>
> Non io.
>
>> Grazie a chi mi vorrŕ rispondere,