combinazione lineare
Matteo D.
Potete farmi un esempio di combinazione lineare?
Il libro sul quale studio ("Algebra lineare", di Lang) la introduce per
fare un esempio di sottospazio vettoriale, poi non aggiunge altro.
Link, suggerimenti?
Grazie!
Matteo
Giorgio Bibbiani
> Potete farmi un esempio di combinazione lineare?
Non e' facile trovare una domanda che ammetta cosi'
tante possibili risposte come questa ;-)
Un esempio tratto dalla matematica?
Tutte le soluzioni di una equazione differenziale lineare
omogenea a coefficienti costanti di ordine n
sono c.l. di n soluzioni indipendenti.
Un esempio tratto dalla fisica?
Tutti gli stati di polarizzazione di un fotone sono
c.l. di due stati di polarizzazione indipendenti.
Ecc. ecc.
Ciao
--
Giorgio Bibbiani
Matteo D.
> Matteo D. ha scritto:
>> Potete farmi un esempio di combinazione lineare?
>
> Non e' facile trovare una domanda che ammetta cosi'
> tante possibili risposte come questa ;-)
ehhehehe, e fra tutti gli esempi che ci stanno proprio quei due lì?? :|
Ciao!
Matteo
Arcobaleno
Nicholson, Algebra lineare, Mc Graw Hill.
Questo libro si capisce molto meglio.
Per quanto riguarda un esempio, prova a disegnare due vettori A e B
nel piano e poi fa la loro somma con la regola del parallelogramma.
Ora il vettore risultante R potrà variare in lunghezza e direzione e
questo dipende dai due vettori A e B che sei andato a sommare tra
loro.
Al variare di A varierà R e al variare di B varierà R.
Come fare per far variare A e B?
Per es. si può moltiplicare il vettore A per uno scalare ed ecco che A
si allunga o si accorcia. E lo stesso vale per B .
Se k e g sono due scalari ecco che g* A + k * B
darà quel vettore R, risultante.
Questa è una combinazione lineare.
Ora quello che dovresti cercare di capire tu è il PERCHE' noi parliamo
di LINEARITA'.
Così si capisce pure in che senso la combinazione è lineare.
Facciamo un esempio.
Andiamo in auto alla velocità di 1 metro al secondo. Quindi dopo 1
secondo abbiamo percorso 1 metro, due 2 secondi 2 metri, dopo 3
secondi 3 metri ecc.
Questa è una variazione lineare. Cioè ad ogni incremento di tempo
corrisponde lo stesso incremento di spazio.
Il termine lineare deriva da linea, linea retta. Se provi a disegnare
una retta passante per l'origine per es. noti che ad ogni x
corrisponde un y(le coordinate della retta) e il rapporto tra y/x è il
coefficiente angolare. Ad ogni variazione di x v'è una variazione
lineare di y e viceversa.
Questo geometricamente lo si vede per es. facendo il rapporto y/x e si
nota che è costante.
Allo stesso modo se riprendiamo l'esempio dell'auto vediamo che dopo 1
secondo abbiamo percors 1 metro, cioè v = s/t, cioè 1/1 =1, dopo 2
secondi 2 metri, cioè 2/2 = 1, dopo 3 secondi 3 metri, cioè 3/3 =1.
Alla fine la velocità, cioè il rapporto tra lo spazio percorso e il
tempo impiegato a percorrerlo è COSTANTE.
Si capisce sta roba?
Fammi sapere
Ciao ciao
A.
p.s. prova tu stesso a vedere per es. perché quindi quella tra i due
vettori A e B è una combinazione lineare. Cioè dove sta la
LINEARITA' ? Tieni presente che A e B hanno delle "componenti" e sono
queste in ultima analisi a variare.....
Giorgio Bibbiani
> ehhehehe, e fra tutti gli esempi che ci stanno proprio quei due lě??
> :|
L'esempio piu' semplice chi mi riesca di immaginare e' questo
(nel contesto della cinematica del punto materiale):
ogni vettore spostamento nello spazio euclideo e' c.l. di
tre vettori spostamento linearmente indipendenti.
Ciao
--
Giorgio Bibbiani
Matteo D.
> Se k e g sono due scalari ecco che g* A + k * B
> darà quel vettore R, risultante.
> Questa è una combinazione lineare.
> p.s. prova tu stesso a vedere per es. perché quindi quella tra i due
> vettori A e B è una combinazione lineare. Cioè dove sta la
> LINEARITA' ? Tieni presente che A e B hanno delle "componenti" e sono
> queste in ultima analisi a variare.....
E' lineare perchè al variare di R il rapporto g/k è costante?
Ti ringrazio, ora è più chiaro.:)
Ciao!
Matteo
Elio Fabri
> ehhehehe, e fra tutti gli esempi che ci stanno proprio quei due lì??
> :|
Considera i polinomi in una variabile a coeff. reali.
Questi sono tutti combinazioni lineari delle potenze della variabile:
x^0, x^1, x^2, ...
--
Elio Fabri
Radicale
>
>Va bene, vediamo se questo ti piace di piu'.
>Considera i polinomi in una variabile a coeff. reali.
>Questi sono tutti combinazioni lineari delle potenze >della variabile:
> x^0, x^1, x^2, ...
E quindi ogni x^n puo' essere considerata un vettore ?
Un vettore ...
Praticamente un vettore che ha un continuo di
componenti ! Una per ogni valore di x.
Arcobaleno
>
>
Ora che hai visto cos'è una combinazione lineare facciamo
un esempio(sempre sui vettori) per vedere a cosa ci può servire.
Abbiamo tre vettori nello spazio R^3.
A = (1,2,3)
B = (2,3, 7)
C = ( 3, 5, 6)
C'è anche un altro vettore di cui conosciamo le coordinate ed
è il vettore V = ( 3, 7, -4)
Se ora per es. sommiamo i vettori A ,B e C otteniamo un vettore che tu
stesso
puoi calcolarti.
Però noi ora vogliamo esprimere il vettore V tramite una combinazione
lineare
dei vettori A, B e C.
In pratica il vettore A, così come il vettore B, così come il vettore
C dovranno essere "allungati" o "accorciati" in modo tale che quando
si vanno a sommare tra loro daranno proprio il vettore V come
risultante.
Le direzioni di A, B e C non cambiano(ma questo lo davo per scontato
anche nel post precedente) ma può variarie la loro lunghezza.
Ora quelli che erano g e h(gli scalari) in questo caso sono INCOGNITE.
Questi scalari li denotiamo con x, y e z.
x (1,2,3) + y( 2,3,7) + z( 3, 5, 6) = (3,7, -4)
Come noti ogni vettore A, B e C viene allungato /accorciato in modo
tale
che sommando i TRE vettori A, B e C si otterrà il vettore V come
risultante.
Per comodità di scrittura invece di scrivere le colonne ho scritto le
righe, ma
conviene scrivere le colonne in modo che si possa vedere come viene
fuori
un sistema in tre incognite.
Quindi il vettore V è il vettore dei termini noti. I vettori A, B e C
sono le colonne della matrice dei coefficienti e poi ovviamente ci
sono x,y e z, cioè la colonna delle incognite.
A è la matrice dei coefficienti, B è il vettore dei termini noti e X
la colonna delle incognite.
Quindi abbiamo il sistema AX = B
Un sistema del genere, come sai, tanto può avere un'unica soluzione,
tanto può avere molte soluzioni, e tanto nessuna soluzione.
E' ovvio che se questo sistema non ammette soluzioni significa che il
vettore V NON potrà essere scritto come combinazione lineare di A, B e
C.
Prova a risolvere il sistema e vedi in che situazione ci troviamo.
Per quanto riguarda la linearità di cui si parlava, basta notare che
una retta che passa per l'origine per es. potrà essere individuata
sempre da (x,y) e il rapporto y/x è costante.
Ora se x e y li pensi come due vettori che sommati tra loro danno
proprio quel segmento di retta si nota che "il rapporto" tra LE
COMPONENTI del vettore risultante che si potrà trovare di volta in
volta su quella retta è costante. Cioè il rapporto tra le COMPONENTI è
costante.
In questo modo il vettore verrà allungato/accorciato e la direzione
ovviamente non varierà.
Basta disegnare un retta che passa per l'origine e notare che ad ogni
valore di x(che possiamo pensare come vettore componente) corrisponde
il rispettivo valore y(che possiamo pensare come un vettore
componente). Il rapporto tra le componenti è sempre lo stesso ed ecco
che quando x e y(cioè le componenti) del vettore verranno moltiplicate
per UNO scalare, non faranno altro che allungare/accorciare il
vettore, ma si rimane(in questo esempio) sempre sulla stessa retta,
cioè sempre sulla stessa direzione.
Se quindi(in generale) abbiamo DUE variabili, cioè due grandezze che
variano, questa variazione è lineare quando gli incrementi saranno
PROPORZIONALI.
Per es. prendiamo un rettangolo e ne facciamo un ingrandimento, per
es. DUE volte più grande.
Abbiamo la base b = 3 e l'altezza h = 2. Se voglio ingrandire il
rettangolo raddoppio la base che diventa 6 e raddoppio l'altezza che
diventa 4.
b e h sono due grandezze che in questo caso hanno subito una
variazione lineare, cioè sono raddoppiate entrambe.
Quindi l'incremento delle grandezze(in questo esempio la base e
l'altezza del rettangolo) deve essere PROPORZIONALE. Se si triplica la
base bisogna triplicare anche l'altezza ecc ecc.
Allo stesso modo, come già detto, capita con un vettore che viene
moltiplicato per UNO scalare.
Se prendo il vettore (1,2) e moltiplico per 3, ovviamente avrò due
nuove componenti, e cioè 3(1,2) = (3,6).
Cioè ho triplicato le DUE componenti. In questo modo come abbiamo
notato(esempio della retta) si rimane sempre sulla stessa direzione,
ed ecco che possiamo parlare di "allungare/accorciare" un vettore.
A mio parere bisogna vedere i disegni, perché la cosa si intuisce
subito e spesso tante parole(comprese le mie) non chiariscono in
profondità.
Quindi prova tu stesso a fare dei disegni e a vedere cosa succede,
magari usando la carta millimetrata:))
>
> E' lineare perchè al variare di R il rapporto g/k è costante?
>
E' lineare perché le componenti possono essere entrambe
moltiplicate(come abbiamo appena visto) per UNO scalare e si rimane
sempre sulla stessa direzione.
Per es. g * A + h * B è lineare perché se A =(1,2) e B = (2,4) noi
moltiplichiamo A per g(prendiamo g = 3), cioè moltiplichiamo (1,2) *
3. Cioè sia 1 che 2 vengono moltiplicato per 3.
Ovvero il vettore A si allunga verso la sua direzione ed è questa la
linearità.
Si combinano quindi due(o più) grandezze(cioè le COMPONENTI DI A e B)
che VARIANO linearmente. Come abbiamo visto sono le componenti che
variano linearmente. Il vettore A = (1,2) se moltiplicato per 3 ecco
che la componente 1 triplica e la componente 2 pure triplica.
Questa è la linearità, la combinazione sta nel fatto che che si
sommano tra loro e si moltiplicano per uno scalare.
Quindi si vanno a combinare ( A+B) delle grandezze che variano
linearmente: cioè il vettore si allunga o si accorcia.
Ciao
A.
Elio Fabri
> E quindi ogni x^n puo' essere considerata un vettore ?
> Praticamente un vettore che ha un continuo di componenti ! Una per
> ogni valore di x.
No.
Ho evitato di precisare un punto, per non confondere l'OP.
Ma un polinomio e' cosa diversa da una _funzione polinomiale_.
Quella che ho chiamato "variabile" spesso viene chiamata
"indeterminata", per rimarcare che si tratta di un simbolo autonomo,
che non e' un elemento del campo numerico su cui e' definito il
polinomio (nel mio esempio, i reali).
x e' x e basta: non ha valori.
Sebbene sia vero che il mio esempio si applica tal quale anche alle
funzioni polinomiali, che includono le potenze (a esponente in N)
della variabile indipendente, e tutte le loro combinazioni lineari
finite con coefficienti in un campo, per esempio in R.
Ma anche in questo caso non ci sono "infinite componenti".
Le funzioni sono funzioni, non sono i loro (infiniti) valori.
--
Elio Fabri
Radicale
> > Praticamente un vettore che ha un continuo di componenti ! Una per
> > ogni valore di x.
>
> No.
> Ho evitato di precisare un punto, per non confondere l'OP.
> Ma un polinomio e' cosa diversa da una _funzione polinomiale_.
Forse perche' un polinomio e' cosi' :
3^2 + 2^3
Invece una funzione polinomiale e' cosi' :
x^2 + x^3
Ho capito ?
> Quella che ho chiamato "variabile" spesso viene chiamata
> "indeterminata", per rimarcare che si tratta di un simbolo autonomo,
> che non e' un elemento del campo numerico su cui e' definito il
> polinomio (nel mio esempio, i reali).
> x e' x e basta: non ha valori.
Allora tu intendevi (forse) che, per ogni assegnata x, quella creatura
x^0, x^1, x^2 , x^3, ... forma uno spazio vettoriale ?
>
> Sebbene sia vero che il mio esempio si applica tal quale anche alle
> funzioni polinomiali, che includono le potenze (a esponente in N)
> della variabile indipendente, e tutte le loro combinazioni lineari
> finite con coefficienti in un campo, per esempio in R.
Ok. Ovvero quello che originariamente pensavo io.
> Ma anche in questo caso non ci sono "infinite componenti".
> Le funzioni sono funzioni, non sono i loro (infiniti) valori.
E no. Su questo permettimi di dissentire.
Le funzioni sono solo ed esclusivamente insiemi di elementi.
(con certe proprieta'). Mi battero' strenuamente per difendere
questo. :-)