ordine di infinitesimo in senso fisico
Sam_X
ho studiato che la componente tangenziale del campo elettrico E si conserva
nell'attraversare una superficie di discontinuità, dove, per esempio, cambia
il mezzo materiale nel quale il campo stesso si propaga.
Nella dimostrazione di questo fatto, come molti sapranno, si ricorre al
calcolo di un integrale di superficie su di un rettangolo di base DELTAb e
altezza DELTAh (entrambi *penso* numeri reali).
Poi, si fa tendere DELTAh a 0, e "a meno di infinitesimi superiori in
DELTAb" si ottiene un certo risultato.
Ora, io penso di avere una (!) grave lacuna: so che gli infinitesimi sono
particolari funzioni f(x) che, al tendere di x ad un certo valore x0, si
avvicinano sempre di più allo 0. So anche come determinarne l'ordine.
Tuttavia l'altezza h del rettangolo di cui ho parlato sopra NON è una
funzione ma una "misura", un numero. Che senso ha, dunque, parlare di
infinitesimi e di ordini?
Se qualcuno sapesse indirizzarmi anche verso un appunto o una dispensa (o un
libro, addirittura) che trattasse l'argomento, gliene sarei grato, infatti
già altre volte ho avuto a che fare, nello studio della meccanica, con
"elementini" dx ma non conosco bene la loro definizione... Che significa
"elementino infinitesimo"? Elemento piccolo? Vorrei una definizione non
ambigua. Insomma vorrei essere indirzzato su qualche testo che spieghi la
teoria dell'integrazione dal punto di vista **fisico**.
Grazie ancora.
Sam
Simone
>
> Se qualcuno sapesse indirizzarmi anche verso un appunto o una dispensa (o un
> libro, addirittura) che trattasse l'argomento, gliene sarei grato, infatti
> gią altre volte ho avuto a che fare, nello studio della meccanica, con
> "elementini" dx ma non conosco bene la loro definizione... Che significa
> "elementino infinitesimo"? Elemento piccolo? Vorrei una definizione non
> ambigua. Insomma vorrei essere indirzzato su qualche testo che spieghi la
> teoria dell'integrazione dal punto di vista **fisico**.
Forse non e' questo il posto giusto per cercare testi che spieghino in modo
scorretto una teoria consolidata. Quello di cui parli e' il classico linguaggio
con cui i fisici e i pionieri dell'analisi matematica introducevano i limiti.
Come dici, non esistono nella matematica standard delle quantita'
numeriche infinitesime:
esistono gli infinitesimi intesi come funzioni che tendono a zero in
qualche senso specificato,
ma non e' corretto parlare di segmento infinitesimo o di
parallelepipedo di volume
infinitesimo. Tutte queste "sciocchezze" (non scatenate un flame per
questo termine, per favore) si
possono giustificare usando appunto l'idea di limite.
Certo, poi esiste l'analisi non standard, che introduce i numeri
infinitesimi accanto a quelli standard (scrivo rozzamente, per
capirci). Ma, nella mia esperienza, non ho mai visto libri di fisica
che si rifacciano esplicitamente a questa teoria piu' moderna.
Semplicemente, i libri di fisica si sforzano di spiegare a gesti i
concetti piu' complicati di passaggio al limite, uso di estremi
inferiori e superiori, ecc.
Archeopteryx
> un flame per questo termine, per favore) si possono
> giustificare usando appunto l'idea di limite.
Per carità, visto che io "parteggio" per i fisici non
posso che sorridere nel senso migliore per questo bel
passaggio che ho quotato.
ciao
Apx.
Pistacchio
> Buonasera,
>
> Se qualcuno sapesse indirizzarmi anche verso un appunto o una dispensa (o un
> libro, addirittura) che trattasse l'argomento, gliene sarei grato, infatti
> già altre volte ho avuto a che fare, nello studio della meccanica, con
> "elementini" dx ma non conosco bene la loro definizione... Che significa
> "elementino infinitesimo"? Elemento piccolo? Vorrei una definizione non
> ambigua. Insomma vorrei essere indirzzato su qualche testo che spieghi la
> teoria dell'integrazione dal punto di vista **fisico**.
Ti suggerisco un buon libro di geometria differenziale (esempio
Kreyszig - Differential Geometry) dove, a dispetto di quello che
dice Simone, la nozione di distanza e quella di infinitesimo
vengono brillantemente riconciliate ;)
- P
Simone
>
> Ti suggerisco un buon libro di geometria differenziale (esempio
> Kreyszig - Differential Geometry) dove, a dispetto di quello che
> dice Simone, la nozione di distanza e quella di infinitesimo
> vengono brillantemente riconciliate ;)
Mah, non sono del tutto d'accordo. Se parli di forme differenziali,
faccio fatica a vederci
quello che il nostro OP si aspetta.
Simone
Sam_X
momento, più mi preme:
> ho studiato che la componente tangenziale del campo elettrico E si
> conserva nell'attraversare una superficie di discontinuità, dove, per
> esempio, cambia il mezzo materiale nel quale il campo stesso si propaga.
> Nella dimostrazione di questo fatto, come molti sapranno, si ricorre al
> calcolo di un integrale di superficie su di un rettangolo di base DELTAb e
> altezza DELTAh (entrambi *penso* numeri reali).
> Poi, si fa tendere DELTAh a 0, e "a meno di infinitesimi superiori in
> DELTAb" si ottiene un certo risultato.
> Ora, io penso di avere una (!) grave lacuna: so che gli infinitesimi sono
> particolari funzioni f(x) che, al tendere di x ad un certo valore x0, si
> avvicinano sempre di più allo 0. So anche come determinarne l'ordine.
> Tuttavia l'altezza h del rettangolo di cui ho parlato sopra NON è una
> funzione ma una "misura", un numero. Che senso ha, dunque, parlare di
> infinitesimi e di ordini?
Ho omesso i particolari della dimostrazione perche' penso sia notissima, ma
se ce ne fosse bisogno posso anche essere piu' dettagliato.
Grazie mille ancora.
Sam
Valter Moretti
Ciao, basta usare per bene l'analisi e la geometria, e capire
l'importanza delle ipotesi e non c'è molto altro da dire.
Normalmente i ragionamenti dei fisici sono "abbozzi" di ragionamenti
che si rigorizzano facilmente. Vediamo il caso in esame.
Prendi la tua superficie S pensata come una superficie regolare
(sottovarietà embeddeed di R^3), ma mettiamoci nel caso elementare in
cui S coincida con il piano z=0, il caso generale non è molto più
complicato e si riduce essenzialmente a questo con una trasformazione
di coordinate
(ma ci vuole un po' di geometria differenziale). Supponiamo che su z=0
sia definita una funzione continua rho, la densità superficiele di
carica. Supponiamo ancora che per z>0 e per z <0 il campo E sia una
funzione ****continua**** a valori vettoriali e che ammetta limite per
z-> 0
in ogni punto, dando luogo a due funzioni **continue** nei semispazi z
>=0 e z<=0 rispettivamente (ammettiamo però che ci possa essere una
discontinuità attraversando z=0). Ora, indicando con . il prodotto
scalare, con n il versore normale uscente alla superficie B del
cilindro che dico tra poco, la fisica (una delle equazioni di Maxwell
in forma integrale) dice che l'integrale di superficie di E.n su un
cilindro retto B, simmetrico rispetto al piano z=0, centrato
nell'origine con asse parallelo all'asse z, di altezza 2h e raggio r
valga, a meno di costanti moltiplicative che dipendono dal sistema di
unità di misura
int_S rho dxdy, (cioè la carica contenuta nel cilindro)
dove S è la base del cilindro proiettata su z=0, dS è la misura di
superficie sulle superfici considerate (su z=0 coincide con dxdy di
Lebesgue)
Quindi,
int_B E.n dS = int_S rho dxdy
Adesso facciamo il limite per h->0 di entrambi i membri. Il primo
membro non dipende da h. Il secondo membro si maneggia come segue
int_B E.n dS = int_S E(+h,x,y). e_z dxdy - int_S E(-h,x,y). e_z dxdy
+ Int_L E.n dS
dove L è la superficie laterale del cilindro E(+h,x,y) e E(-h,x,y)
sono il campo elettrico valutato sulla superficie di base
superiore ed inferiore del cilindro, e_z è il versore dell'asse z
diretto verso l'alto. Dato che E è continuo lo è ||E|| e
quindi sarà sicuramente limitato su un compatto K che include metà del
cilindro iniziale e poggia suo piano z=0
(e quindi tutti quelli che otteniamo mandando h a zero)
|| Int_L E.n dS || <= int_L |E.n| dS <= int_L ||E|| dS
<= sup_B ||E| int_L dS = sup_K |E.n| 2pi r h -> 0 se h->0
Nello stesso modo, usando il teorema della convergenza dominata,
tenendo conto che, puntualmente E(+h,x,y) -> E(+0,x,y) e che
c'è sicuramente una costante che maggiora uniformemente
|E(z,x,y)| per ogni 0<z<=h (proprio perchè E è continuo sul compatto
K)
int_S E(+h,x,y). e_z dxdy -> int_S E(+0,x,y). e_z dxdy se h->0
dove E(0^+,x,y) è il limite che assume E sulla superficie superiore.
Stesso discorso per l'ultimo pezzo.
Concludiamo, facendo il limite, che
int_S (E(+0,x,y) - E(-0,x,y)). e_z dxdy = int_S rho dxdy
e dunque:
int_S{ (E(+0,x,y) - E(-0,x,y)). e_z - rho(0,0)} dxdy = 0 (1)
Questo risultato vale indipendentemente dal raggio della base S che
non abbiamo mai fissato.
Questo permette di concludere che:
(E(+0,x,y) - E(-0,x,y)). e_z - rho(0,0) =0
ossia, per ogni punto p sulla discontinuità (per noi p è l'origine)
Delta E(p) = rho(p)
come raccontano i fisici.
Ecco la prova.
Assumi che sia E(+0,0,0) - E(-0,0,0)). e_z - rho(0,0) >0.
Data la continuità della funzione (x,y) -> (E(+0,x,y) - E(-0,x,y)).
e_z - rho(x,y)) ci sarà un intorno di
(0,0) in cui tale funzione è strettamente >0. Stringendo il raggio
della base S in modo tale che essa cada
in tal intorno, avresti:
int_S{ (E(+0,x,y) - E(-0,x,y)). e_z - rho(0,0,0) dS } dxdy >0
in contraddizione con (1). Se fosse E(+0,0,0) - E(-0,0,0)). e_z -
rho
(0,0) < 0 si otterrebbe un analogo assurdo,
per cui:
E(+0,0,0) - E(-0,0,0)). e_z - rho(0,0) = 0
Ciao, Valter
Valter Moretti
>
> || Int_L E.n dS || <= int_L |E.n| dS <= int_L ||E|| dS
>
> <= sup_B ||E| int_L dS = sup_K |E.n| 2pi r h -> 0 se h->0
>
scusa c'è un po' di casino, doveva essere:
|| Int_L E.n dS || <= int_L |E.n| dS <= int_L ||E|| dS
<= sup_K ||E|| int_L dS = sup_K ||E|| 2pi r h -> 0 se h->0
Vabbé spero che l'idea sia chiara, ho scritto un po' di fretta, ci
saranno altre imprecisioni...
Ciao, Valter
Valter Moretti
Rieccomi, mi sono reso conto solo ora che a te interessava la
componente tangenziale e non quella normale...
In tal caso la dimostrazione è ancora più semplice ed usa integrali di
linea invece che di superficie...
A questo punto te lo lascio per esercizio. Vedi non è che i fisici
abbiano una matematica differente da quella dei matematici,
è solo che i discorsi sono solo abbozzati molto spesso, ma non sono
sbagliati, perché l'armamentario matematico, quando i discorsi
sono giusti, è tale da poter fornire una versione rigorosa del
ragionamento euristico. Normalmente questo viene fatto in quella
parte
della fisica o della matematica che si chiama fisica matematica...
Ciao, Valter
Sam_X
"Valter Moretti" <vmor...@hotmail.com> ha scritto:
> Rieccomi, mi sono reso conto solo ora che a te interessava la
> componente tangenziale e non quella normale...
> In tal caso la dimostrazione è ancora più semplice ed usa integrali di
> linea invece che di superficie...
Grazie mille lo stesso. Anche la componente normale mi interessava e
comunque sei stato utilissimo. Se ci sono problemi spero di poter chiedere
ancora :-).
Sam
Valter Moretti
> "Valter Moretti" <vmoret...@hotmail.com> ha scritto:
Un consiglio: se sei uno staudente di fisica, quando vai all'esame non
tirare fuori questo genere di dimostrazioni più rigorose, o fallo con
molta circospezione, li faresti solo arrabbiare nella maggior parte
dei casi... sono stato uno studente di fisica anche io ed avevo anche
io i tuoi stessi problemi.
Ciao, Valter Moretti
-------------------------------------------------------------
Valter Moretti
Dip. Matematica - Univ. Trento
http://www.science.unitn.it/~moretti/home.html
Magister P.N.
> On Mar 12, 11:10 pm, "Sam_X" <qwe...@abc.com> wrote:
>
> > "Valter Moretti" <vmoret...@hotmail.com> ha scritto:
>
> > > Rieccomi, mi sono reso conto solo ora che a te interessava la
> > > componente tangenziale e non quella normale...
> > > In tal caso la dimostrazione è ancora più semplice ed usa integrali di
> > > linea invece che di superficie...
>
> > Grazie mille lo stesso. Anche la componente normale mi interessava e
> > comunque sei stato utilissimo. Se ci sono problemi spero di poter chiedere
> > ancora :-).
>
> > Sam
>
> Un consiglio: se sei uno staudente di fisica, quando vai all'esame non
> tirare fuori questo genere di dimostrazioni più rigorose, o fallo con
> molta circospezione, li faresti solo arrabbiare nella maggior parte
> dei casi...
Forse non avrebbero tutti i torti... :-)
A parte gli scherzi, credo che ci sia una considerazione da fare, e
cioe' che la fisica a scale molto piccole e' necessariamente discreta.
Quindi la stessa definizione di limite (da cui discende tutto il
resto) ha una piccola differenza concettuale.
Dove l'analisi dice "per ogni epsilon > 0",
la fisica deve dire "per ogni epsilon > s",
dove s e' la scala minima per la quale il fenomeno puo' essere
descritto con l'approssimazione di continuita'.
Ricordo che nei corsi di elettrodinamica questa distinzione saltava
fuori ("per dV intendo un volumetto piccolo rispetto al corpo, ma
abbastanza grande da non considerare i singoli elettroni come
particelle discrete")
Ciao
R.
Neo
>Normalmente i ragionamenti dei fisici sono "abbozzi" di ragionamenti
>che si rigorizzano facilmente.
Questo non è giusto... A seconda dei casi ti puoi mettere a favore o
contro di uno e degli altri!! Decidi da quale sponda stai e poi
comportati di conseguenza!! :)
On 13 Mar, 08:06, Valter Moretti <vmoret...@hotmail.com> wrote:
> Un consiglio: se sei uno staudente di fisica, quando vai all'esame non
> tirare fuori questo genere di dimostrazioni più rigorose, o fallo con
> molta circospezione, li faresti solo arrabbiare nella maggior parte
> dei casi... sono stato uno studente di fisica anche io ed avevo anche
> io i tuoi stessi problemi.
<Polemica mode>
Saggio consiglio! Durante gli anni che ho trascorso a fisica (e
trascorro) ho accumulato una sorta di "chicche" favolose da gustare in
tutta calma (non cito gli autori solo per loro rispetto)...
1) \int 1/dc = k \int dx (questa è divertente, 1/dc = k dx)
2) Alla domanda di un esame, abbozzando una risposta il docente
risponde con: "Guardi quella dimostrazione non l'ho mai vista,
cambiamo domanda". Visto con i miei occhi!
3) sqrt(g_mu nu dx^mu dx^nu) = sqrt(g_mu nu dx^mu/dt dx^nu/dt dt^2) =
sqrt(g_mu nu dx^mu/dt dx^nu/dt) dt
Non fanno ridere? Ma quando spiegano i docenti pensavo di parlare a
degli idioti?? Specialmente la 3) il conto pulito è molto più semplice
di quella schifezza...
Poi si stupiscono quando la gente esce da fisica e non ha capito
praticamente niente... Come potrebbe essere altrimenti con questi
elementi? Purtroppo questa non è l'eccezione ma è la regola. Quelli
preparati/bravi sono l'eccezione...
</Polemica mode>
> Ciao, Valter Moretti
--
Ciao Neo
Neo
wrote:
> la fisica deve dire "per ogni epsilon > s",
> dove s e' la scala minima per la quale il fenomeno puo' essere
> descritto con l'approssimazione di continuita'.
> Ricordo che nei corsi di elettrodinamica questa distinzione saltava
> fuori ("per dV intendo un volumetto piccolo rispetto al corpo, ma
> abbastanza grande da non considerare i singoli elettroni come
> particelle discrete")
Guarda... Il mio pensiero di elettromagnetismo arriva dal famoso libro
di Mencuccini & C. In prima pagina (magari qualcuna dopo) c'è proprio
l'argomento che descrivi tu.
La cosa mi sembrava ragionevole, fino a quando non ho preso una bella
batosta (su questo ng, se fai una ricerca magari la trovi). L'analisi
usata è quella standard, in un modello continuo come
l'elettromagnetismo classico non si può tener conto della
discretizzazione della carica. Si accetta la distribuzione continua e
si fanno conti con l'analisi standard. Non esiste questo discorso.
Se poi non ti piace allora cambi modello ma se discretizzi la carica
non puoi poi usare il teorema di Stokes per esempio. Non sto dicendo
che è sbagliato, dico che quando fai didattica decidi il modello da
adottare e lo porti avanti, dichiarando le ipotesi di lavoro e usando
i teoremi. Altrimenti fai fuffa e purtroppo è la regola nella
didattica.
La cosa bella è che i dx non ti servono... Però risulta comodo usarli.
Con i dx puoi mostrare tutto quello che ti pare volendo...
> Ciao
> R.
--
Ciao Neo
Valter Moretti
>
>
>
> > On Mar 12, 11:10 pm, "Sam_X" <qwe...@abc.com> wrote:
>
> > > "Valter Moretti" <vmoret...@hotmail.com> ha scritto:
>
> > > > Rieccomi, mi sono reso conto solo ora che a te interessava la
> > > > componente tangenziale e non quella normale...
> > > > In tal caso la dimostrazione è ancora più semplice ed usa integrali di
> > > > linea invece che di superficie...
>
> > > Grazie mille lo stesso. Anche la componente normale mi interessava e
> > > comunque sei stato utilissimo. Se ci sono problemi spero di poter chiedere
> > > ancora :-).
>
> > > Sam
>
> > Un consiglio: se sei uno staudente di fisica, quando vai all'esame non
> > tirare fuori questo genere di dimostrazioni più rigorose, o fallo con
> > molta circospezione, li faresti solo arrabbiare nella maggior parte
> > dei casi...
>
> Forse non avrebbero tutti i torti... :-)
>
Scherzavo un po' anche io, ma non del tutto... parlavo per esperienza
personale !
> A parte gli scherzi, credo che ci sia una considerazione da fare, e
> cioe' che la fisica a scale molto piccole e' necessariamente discreta.
Non sono del tutto d'accordo: tu parli delle strutture dei sistemi
fisici, ma non dei valori delle grandezze fisiche definite su tali
sistemi. Voglio dire, anche in meccanica quantistica esistono
osservabili a spettro continuo e non sono approssimazioni, sono
esatte. E' vero però che le grandezze di cui si parla nei casi come
quello di cui si discute, sono grandezze macroscopiche,
approssimativamente continue...
> Quindi la stessa definizione di limite (da cui discende tutto il
> resto) ha una piccola differenza concettuale.
> Dove l'analisi dice "per ogni epsilon > 0",
> la fisica deve dire "per ogni epsilon > s",
> dove s e' la scala minima per la quale il fenomeno puo' essere
> descritto con l'approssimazione di continuita'.
Si sono d'accordo.
> Ricordo che nei corsi di elettrodinamica questa distinzione saltava
> fuori ("per dV intendo un volumetto piccolo rispetto al corpo, ma
> abbastanza grande da non considerare i singoli elettroni come
> particelle discrete")
Io la vedo in modo leggermente diverso. Il dV della fisica sono
sottosistemi che sono approssimativamente in equilibrio termodinamico,
per cui sono definibili grandezze "macroscopiche" (il sistema globale
invece non è in equilibrio termodinamico in genere). Pertanto dV deve
contenere comunque un sacco di particelle, diciamo un numero di
Avogadro...
Ciao, Valter
> R.
Kiuhnm
> 3) sqrt(g_mu nu dx^mu dx^nu) = sqrt(g_mu nu dx^mu/dt dx^nu/dt dt^2) =
> sqrt(g_mu nu dx^mu/dt dx^nu/dt) dt
>
> Non fanno ridere? Ma quando spiegano i docenti pensavo di parlare a
> degli idioti?? Specialmente la 3) il conto pulito è molto più semplice
> di quella schifezza...
Ho visto cose simili praticamente in ogni libro di fisica elementare che
mi sia capitato di leggere.
E poi non parliamo delle dimostrazioni...
Kiuhnm
Magister P.N.
> L'analisi
> usata è quella standard, in un modello continuo come
> l'elettromagnetismo classico non si può tener conto della
> discretizzazione della carica. Si accetta la distribuzione continua e
> si fanno conti con l'analisi standard.
Che si usi l'analisi standard e' vero, ma manca un pezzo.
Rispondi a questa domanda: dato che sappiamo che la materia non e'
*realmente* continua, perche' su scala macroscopica possiamo
continuare a usarla?
Proprio perche' la definizione di limite dell'analisi standard e'
globale ("per ogni epsilon"), e non per epsilon necessariamente
"piccoli".
Quello che rende possibile mantenere l'approssimazione continua a
partire da una certa scala e' proprio il fatto che sappiamo che
prendendo un certo epsilon finito, otterro' un errore "accettabile".
Esempio: una volta scoperto che il mondo microscopico non e' continuo,
mi rendo conto che non sto lavorando piu' con derivate, ma con
rapporti incrementali. L'analisi mi garantisce pero' che, se voglio
rimanere entro un certo errore determinato, posso sempre approssimare
questi rapporti incrementali con derivate.
Detto in due parole:
- l'analisi tratta di numeri reali
- la fisica tratta di grandezze espresse come numeri decimali finiti,
ovvero come multipli interi della piu' piccola unita' di misura
considerata: lunghezza di Planck, carica dell'elettrone, ecc.
Il problema che si pone e' di conciliare questi due aspetti: come
posso usare i numeri reali, che sono piu' "comodi", al posto dei
numeri interi che rappresentano la fisica effettiva?
Perche' su grandi scale la "discretizzazione" puo' tranquillamente
essere ignorata?
Risposta: perche' l'analisi garantisce la possibilita' di approssimare
il molto piccolo con l'infinitesimo, ovvero di "controllare" la
differenza tra un integrale e una somma di tantissimi termini molto
piccoli.
Se cosi' non fosse, l'introduzione degli atomi avrebbe distrutto
completamente tutta la fisica da Newton in avanti.
Ciao
R.
Valter Moretti
Ciao, non sono tanto d'accordo, su quest'ultima affermazione... se non
hanno capito la fisica vuole dire che gli hanno spiegato male la
fisica, la matematica c'entra fino ad un certo punto... bisogna
distiguere tra modo di pensare dei fisico e quello del matematico.
Sono due cose diverse e servono entrambi per fare ricerca. Non è vero
che capendo bene la matematica e sapendo formalizzare bene le cose,
con il linguaggio matematico adeguato, si è capita la fisica. La
matematica è un modello ed un linguaggio, non può rimpiazzare il
ragionamento del fisico.
Lo vedo negli studenti e nei miei colleghi. Ho un collega con il quale
lavoro molto bene che un giorno mi ha detto
che il rapproto che c'è tra lui e il matematico è lo stesso che c'è
tra il macellaio ed il chirurgo. Sarà anche vero, ma ha un intuito
fisico notevolissimo che nel nostro lavoro è fondamentale. Arriva
spesso prima di me al nocciolo del problema (parlo di cose che
coinvolgono tecniche molto avanzate di analisi funzionale)... anche se
poi quello che fa le dimostrazioni nei nostri lavori sono io più che
lui.
Ti assicuro che anche io quando cerco di fare una dimostrazione
ragiono con le mani ed i piedi, pensando i dx come Delta x piccoli e
tutte le porcherie che puoi immaginare. Arrivato a qualcosa, cerco di
risistemare il ragionamento con i teoremi, facendo anche grandi
deviazioni dall'idea originale. Ma questo solo perché la matematica ha
seguito una strada piuttosto che un'altra, per esempio abbandonando in
pratica l'idea di Leibnitz degli infinitesimi ed usando l'approccio di
Cauchy (che sarà molto più agevole nelle dimostrazioni rigorose, ma
rispetto all'intuizione lascia molto a desiderare) .
Sergio Albeverio, uno dei maggiori matematici applicati esistenti, mi
ha detto che lui ha usato in alcuni casi l'analisi non standard per
fare certe dimostrazioni, perché passare per l'analisi standard era
troppo complicato.
A me, che non sono Albeverio, non è mai capitato di trovare un 'idea
"fisica" che non si potesse imbrigliare nell'analisi o nella geometria
"standard", tuttavia è evidente che nel momento in cui formalizzi per
bene qualcosa perdi anche qualcosa e questo fatto lo paghi sicuramente
nelgi sviluppi successivi.
Concludendo, è meglio non pensare male degli approcci da macellaio dei
fisici, e bisogna saperli usare, anche se poi, se uno vuole occupersi
di fisica matematica o di fisica teorica, bisogna saper addomesticare
il ragionamento selvaggio nei canoni standard della matematica.
Ciao, Valter
Magister P.N.
> > A parte gli scherzi, credo che ci sia una considerazione da fare, e
> > cioe' che la fisica a scale molto piccole e' necessariamente discreta.
>
> Non sono del tutto d'accordo: tu parli delle strutture dei sistemi
> fisici, ma non dei valori delle grandezze fisiche definite su tali
> sistemi. Voglio dire, anche in meccanica quantistica esistono
> osservabili a spettro continuo e non sono approssimazioni, sono
> esatte. E' vero però che le grandezze di cui si parla nei casi come
> quello di cui si discute, sono grandezze macroscopiche,
> approssimativamente continue...
Parlavo in realta' degli "elementini di volume", o degli "elementini
di massa" che si incontrano descrivendo corpi estesi. Mi pareva che il
senso del post iniziale vertesse su questi casi.
> Io la vedo in modo leggermente diverso. Il dV della fisica sono
> sottosistemi che sono approssimativamente in equilibrio termodinamico,
> per cui sono definibili grandezze "macroscopiche" (il sistema globale
> invece non è in equilibrio termodinamico in genere). Pertanto dV deve
> contenere comunque un sacco di particelle, diciamo un numero di
> Avogadro...
Si, hai ragione, e' che ormai sono passati 10 anni dalla laurea, e
scrivendo qui vado un po' a memoria... Giustamente i prof dicevano
"abbastanza grande da poter definire al suo interno le grandezze
macroscopiche"
Ciao
R.
Neo
wrote:
> Che si usi l'analisi standard e' vero, ma manca un pezzo.
> Rispondi a questa domanda: dato che sappiamo che la materia non e'
> *realmente* continua, perche' su scala macroscopica possiamo
> continuare a usarla?
Si ma nel modello per l'elettromagnetismo classico la carica non è
quantizzata. Poi se vuoi porti quei problemi ben venga però non stai
più facendo elettromagnetismo (almeno standard).
Ripeto il mio pensiero era come il tuo poi mi sono ricreduto
> [cut]
> Detto in due parole:
> - l'analisi tratta di numeri reali
> - la fisica tratta di grandezze espresse come numeri decimali finiti,
> ovvero come multipli interi della piu' piccola unita' di misura
> considerata: lunghezza di Planck, carica dell'elettrone, ecc.
Si ma in un contesto teorico questo non conta. Se faccio
elettromagnetismo classico, con un occhio al formalismo impongo la
distribuzione continua e stop. Non capisco se tu stai facendo
riferimenti alle misure (visto che parli di grandezze misurabili).
> Il problema che si pone e' di conciliare questi due aspetti: come
> posso usare i numeri reali, che sono piu' "comodi", al posto dei
> numeri interi che rappresentano la fisica effettiva?
> Perche' su grandi scale la "discretizzazione" puo' tranquillamente
> essere ignorata?
>
> Risposta: perche' l'analisi garantisce la possibilita' di approssimare
> il molto piccolo con l'infinitesimo, ovvero di "controllare" la
> differenza tra un integrale e una somma di tantissimi termini molto
> piccoli.
Si ma continuo a pensare che sai pensando a una misura e come si
propaga l'errore considerando la carica continua.
Sono due problemi diverso a mio avviso, uno inquadrare la teoria in un
contesto con le sue ipotesi e tutto il resto. Un'altra cosa è come
preoccuparmi di mettere insieme la teoria (continua) con il dato
sperimentale che invece dice carica discreta.
Uno è il modello, l'altro il modo di verificarlo. Nel modello E =
lim_q->0 F/q è un limite vero, per ogni e>0...
> Se cosi' non fosse, l'introduzione degli atomi avrebbe distrutto
> completamente tutta la fisica da Newton in avanti.
No. Basta solo inquadrare le ipotesi di lavoro. Nel mondo microscopico
le ipotesi sono differenti da quelle del mondo macroscopico, tutto li.
Infatti portando a usare il modello classico la dove le ipotesi non
sono soddisfatte porta alle catastrofi (tipo l'elettrone che girando
perde energia, quindi atomo instabile)
Neo
> Concludendo, è meglio non pensare male degli approcci da macellaio dei
> fisici, e bisogna saperli usare, anche se poi, se uno vuole occupersi
> di fisica matematica o di fisica teorica, bisogna saper addomesticare
> il ragionamento selvaggio nei canoni standard della matematica.
ho letto tutto il post che condivido solo perché tu stai parlando di
ricerca: allora qui si che il ragionamento da macellaio funziona, a
patto di mettere bene le cose a posto prima dell'articolo.
Io parlavo di didattica, che senso ha fare queste cose in un corso?
Secondo me non si deve delegare tutto alla matematica, però in un
corso ben fatto, a mio avviso, ci dovrebbero essere i seguenti
ingredienti:
1) illustrare le problematiche che fanno abbandonare la teoria
studiate lo scorso trimestre per quella che vi illustro ora;
2) mettere l'accento sulle ipotesi di lavoro, costruire il modello che
vogliamo fare;
3) ad ogni formula formula scritta (derivata in maniera corretta)
spiegare il contenuto fisico.
Di solito la 1) viene fatta, ma la 2) e la 3) ben poche volte l'ho
visto fare...
Specialmente la 3) si fa ma dopo aver ottenuto la formula con metodi
diciamo "comodi", il mio cervello si rifiuta di ripetere il
ragionamento, e anche quando riesco a cogliere il significato fisico,
puntualmente lo dimentico dopo aver dato l'esame... Questo perché non
mi è chiaro il punto di partenza e quello di arrivo...
Poi per la ricerca ben vengano i conti da macellaio (dove forse quello
è l'unico metodo che ti fa fare qualcosa quando non sai come
muoverti).
Sbaglio?
> Ciao, Valter
--
Ciao Neo
Neo
wrote:
Ho ritrovato il 3d che dicevo
vedi se ti convince
--
Ciao Neo
Magister P.N.
> On 15 Mar, 12:12, "Magister P.N." <Ricciardi.Ricca...@gmail.com>
> wrote:
>
> > Che si usi l'analisi standard e' vero, ma manca un pezzo.
> > Rispondi a questa domanda: dato che sappiamo che la materia non e'
> > *realmente* continua, perche' su scala macroscopica possiamo
> > continuare a usarla?
>
> Si ma nel modello per l'elettromagnetismo classico la carica non è
> quantizzata.
Allora come e' possibile che l'elettromagnetismo classico descriva
comunque bene la realta' macroscopica, se l'ipotesi microscopica che
sta alla base (carica non quantizzata) e' caduta?
Deve esserci un principio che rende l'analisi standard adatta a
descrivere la fisica *sopra una certa scala s*, indipendentemente dal
modello che descrive i fenomeni *al di sotto di una certa scala*.
> > Detto in due parole:
> > - l'analisi tratta di numeri reali
> > - la fisica tratta di grandezze espresse come numeri decimali finiti,
> > ovvero come multipli interi della piu' piccola unita' di misura
> > considerata: lunghezza di Planck, carica dell'elettrone, ecc.
>
> Si ma in un contesto teorico questo non conta. Se faccio
> elettromagnetismo classico, con un occhio al formalismo impongo la
> distribuzione continua e stop. Non capisco se tu stai facendo
> riferimenti alle misure (visto che parli di grandezze misurabili).
L'oggetto stesso della fisica sono le grandezze misurabili. Qualsiasi
modello teorico non puo' prescindere da questo.
> > Il problema che si pone e' di conciliare questi due aspetti: come
> > posso usare i numeri reali, che sono piu' "comodi", al posto dei
> > numeri interi che rappresentano la fisica effettiva?
> > Perche' su grandi scale la "discretizzazione" puo' tranquillamente
> > essere ignorata?
>
> > Risposta: perche' l'analisi garantisce la possibilita' di approssimare
> > il molto piccolo con l'infinitesimo, ovvero di "controllare" la
> > differenza tra un integrale e una somma di tantissimi termini molto
> > piccoli.
>
> Si ma continuo a pensare che sai pensando a una misura e come si
> propaga l'errore considerando la carica continua.
Quando si parla di propagazione degli errori, si parla di errori
statistici sul procedimento di misura.
Il discorso che faccio io e' un altro.
Supponi di osservare un cerchio di raggio 1cm, e dici: la sua area
vale Pi cm^2 ~ 3,1416 cm^2.
Poi qualcuno guarda il cerchio al microscopio, e ti informa che in
realta' si tratta di un poligono di 1 milione di lati.
A quel punto, invece di calcolarmi esattamente l'area, posso sempre
dire che vale Pi cm^2, consapevole che questo valore e' in realta'
un'approssimazione di quello reale.
E' vero che Pi = lim(num_lati-> infinito) (area del poligono)
ma e' anche vero che posso usare la formula scritta sopra anche se
num_lati ha un valore finito e molto grande. Anzi, sapendo di quanto
"sbaglio" rispetto all'area del cerchio, posso anche stabilire questo
valore finito e molto grande in modo da ottenere una precisione
voluta, ad esempio nelle prime quattro cifre dopo la virgola
(decimillimetri quadrati).
Questo tipo di approssimazione e' quella che consente di mantenere
l'idea di continuo su scala macroscopica anche sapendo che al di sotto
questa ipotesi non vale piu'.
Ciao
R.
Valter Moretti
> On 15 Mar, 12:16, Valter Moretti <vmoret...@hotmail.com> wrote:
>
> > Concludendo, è meglio non pensare male degli approcci da macellaio dei
> > fisici, e bisogna saperli usare, anche se poi, se uno vuole occupersi
> > di fisica matematica o di fisica teorica, bisogna saper addomesticare
> > il ragionamento selvaggio nei canoni standard della matematica.
>
> ho letto tutto il post che condivido solo perché tu stai parlando di
> ricerca: allora qui si che il ragionamento da macellaio funziona, a
> patto di mettere bene le cose a posto prima dell'articolo.
>
> Io parlavo di didattica, che senso ha fare queste cose in un corso?
>
Perché secondo me quella *è* la fisica, il modo di ragionare del
fisico, e quello devono insegnare a fisica: il metodo del macellaio,
se visto da un matematico. Ovviamente senza eccedere, senza dire
delle mostruosità o insegnare modi di pensare profondamente sbagliati
(del tipo invertire un'inferenza). Io ho solo incontrato dei bravi
macellai quando studiavo fisica, ma niente di peggio. A me non piaceva
non quello che mi dicevano, ma *come* me lo dicevano, per cui passavo
ore ed ore a riformalizzare tutto quello che mi avevano insegnato, con
le mani e con i piedi, in termini matematicamente rigorosi usando
tutto quello che imparavo nei corsi paralleli dei matematici. Alla
fine questo modo di fare è diventato parte del mio lavoro.
Ma sono ben conscio che la realtà, con la quale devono fare i conti i
fisici, NON è la matematica, è qualcosa molto molto più sporco, nel
quale ritagliare delle strutture che spesso (forse sempre?) esistono
solo nella mente di chi ragiona.
> Secondo me non si deve delegare tutto alla matematica, però in un
> corso ben fatto, a mio avviso, ci dovrebbero essere i seguenti
> ingredienti:
>
> 1) illustrare le problematiche che fanno abbandonare la teoria
> studiate lo scorso trimestre per quella che vi illustro ora;
> 2) mettere l'accento sulle ipotesi di lavoro, costruire il modello che
> vogliamo fare;
> 3) ad ogni formula formula scritta (derivata in maniera corretta)
> spiegare il contenuto fisico.
> Di solito la 1) viene fatta, ma la 2) e la 3) ben poche volte l'ho
> visto fare...
>
> Specialmente la 3) si fa ma dopo aver ottenuto la formula con metodi
> diciamo "comodi", il mio cervello si rifiuta di ripetere il
> ragionamento, e anche quando riesco a cogliere il significato fisico,
> puntualmente lo dimentico dopo aver dato l'esame... Questo perché non
> mi è chiaro il punto di partenza e quello di arrivo...
Spesso le formule dei fisici vengono ottenute in modo euristico e,
diciamo così, "retorico". Quello che conta è *come* vengono usate nei
vari casi: quello te ne spiega il contenuto fisico. Questo non si
impara nella prima lezione, ma si impara *alla fine del corso*. Forse
il punto 3 andrebbe fatto alla fine del corso.
Con questo non voglio giustificare chi svolge male il proprio compito
didattico, ma voglio solo dire che non si può pretendere che si
insegni la fisica così come si insegna la matematica.
Ciao, Valter
Magister P.N.
> On 15 Mar, 12:30, "Magister P.N." <Ricciardi.Ricca...@gmail.com>
> wrote:
>
> Ho ritrovato il 3d che dicevo
>
>
> vedi se ti convince
> --
> Ciao Neo
In quel thread secondo me c'e' proprio l'errore di fondo di
interpretare il limite
E = lim(q->0) F/q
come "prendendo q piccola a piacere arrivo alla definizione di E".
Invece la forza della definizione di limite sta proprio nel fatto che
non e' dinamica, non mi costringe a prendere q sempre piu' piccole
fino ad arrivare a 0, cosa che mi impedirebbe di fermarmi ad una certa
scala.
Quel limite significa (se consideriamo la definizione epsilon-delta):
"quanto piu' la carica e' piccola, tanto piu' sara' precisa la
definizione di E a partire dalle quantita' F e q misurate).
Questo significa che *posso* fermarmi alla scala che voglio,
conoscendo il grado di approssimazione che avro' nella definizione di
E.
Quindi la differenza tra classico e quantistico sta solo nel grado di
approssimazione (nel caso quantistico *devo* fermarmi ad una scala
minima, nel caso classico la scelgo liberamente).
Ciao
R.
Valter Moretti
Ciao, mi pare di essere d'accordo con te. Bisogna stare attenti che il
significato di quel "limite" in fisica non è quello che si usa in
analisi, cioé potrebbe anche essere, ma non è questo il senso che
danno i fisici a quella scrittura, in questo caso. Il punto è invece
il seguente: se metti una carica di prova in un insieme di cariche
"fisse", alteri la distribuzione di queste ultime. L'esempio più ovvio
si ha quando le cariche "fisse2 sono poste su conduttori.
L'idea di prendere la carica "sempre più piccola" serve a non alterare
le cariche "fisse" che generano il campo che uno vuole misurare.
Si potrebbe sostenere che se uno formalizzasse perfettamente la teoria
dell'elettrodinamica classica la nozione di limite dei matematici e
quella dei fisici
E = lim(q->0) F/q
coincidano. Ma questo non sarebbe assolutamente sufficiente, perché
oltre all'elettrodinamica bisognerebbe anche formalizzare
perfettamente il sistema fisico considerato (bisognerebbe tenere conto
di tutte le forze che agiscono sulle cariche, di come si deforma il
mezzo in funzione dello stress dovuto alle forze elettriche ecc...
dimostrare teoremi di esistenza e unicità ed alla fine dimostrare che
le configurazioni di carica "fisse" che si ottengono risolvendo le
equazioni, alterate dalla presenza di una carica di prova, nel limite
di questa che tende a zero, tendono alle configurazioni senza carica
di prova) un modello di questo genere non viene assolutamente fatto
nelle formulazioni dell'elettrodinamica classica. La mia opinione è
che semplicemente la notazione
E = lim(q->0) F/q
usata dai fisici, nel caso in esame sia pericolosamente fuorviante se
non viene chiarita precisamente come ho detto prima.
Il problema di perché funzionino i modelli continui anche se la realtà
è quantistica (preferisco questo termine più preciso, piuttosto che
dire "discreta"), in realtà non è del tutto risolto, perché noi non
sappiamo bene come si produca un comportamente classico da uno
quantistico (mi riferisco al problema della decoerenza). Tuttavia
sappiamo che le cose in pratica funzionano bene: i modelli continui,
meglio dire "differenziabili" in un certo ambito di esperienze
funzionano benissimo.
Per quanto riguarda l'elettromagnetismo, se ci limitiamo al problema
della granularità della carica, trascurando tutte le implicazioni
quantistiche, il fatto che la formulazione delle equazioni di Maxwell
possa darsi in termini integrali è di grande aiuto perché le
formulazioni integrali sono molto "stabili": non importa tanto se le
funzioni che consideri siano proprio quelle, se le cambi un po',
quando integri, calcoli essenzialmente delle medie e "te ne accorgi
poco" (si potrebbe dire tutto questo in termini di stabilità). Le
funzioni continue con le quali vogliamo approssimare distribuzioni
discrete di carica nella realtà non esistono e ci sono molte
possibilità per definirle, con un larghissimo spettro di
arbitrarietà. Il fatto che le equazioni siano integrali permette di
non tenere conto di tali arbitrarietà. La mia opinione è che la fisica
stia nelle equazioni di Maxwell *in forma integrale* e che la forma
differenziale sia una conseguenza essenzialmente matematica..
Ciao, Valter