base duale

[meck...@gmail.com]

In R^3 considero la base: (1,-1,2),(1,2,-1),(1,-1,1)
La sua base duale sarà: (-1/3x+2/3y+z),(x/3+y/3),(x-y-z)
Non riesco a capire come calcolare le componenti rispetto alla base duale della forma lineare: 2x-y+z.

Grazie 1000

[JTS]

Non mi districo bene con il duale ma forse questo esercizio riesco a
risolverlo.
Do per buono che tu abbia fatto correttamente il calcolo della base
duale (non lo controllo e non so neppure in che senso la base dello
spazio duale che hai scritto corrisponde ai vettori di base di R^3 che
hai considerato).


1) Dobbiamo trovare una combinazione dei vettori di base dello spazio
duale che corrisponda all'elemento che vogliamo

2) Scriviamo una generica combinazione con coefficienti d1, d2 e d3

3) La poniamo uguale all'elemento che vogliamo

4) Una volta scritta l'uguaglianza, ce l'abbiamo con pochi passaggi
anche scritta rispetto ai vettori di base dello spazio duale (x), (y) e
(z); descrivendo in dettaglio, (x) e' l'applicazione che dato un vettore
da' la sua componente rispetto al vettore (1, 0, 0), in maniera analoga
si descrivono (y) e (z)

5) L'uguaglianza e' vera se sono uguali i coefficienti nella base (x),
(y) e (z)

6) Da questi passi otteniamo un sistema di equazioni per d1, d2 e d3

[meck...@gmail.com]

quindi dovrei fare:
d1*(-1/3x+2/3y+z)+d2*(x/3+y/3)+d3*(x-y-z)=2x-y+z
ma poi come procedo per trovare d1,d2,d3 ??

grazie

[JTS]

Am 28.05.2019 um 10:11 schrieb meck...@gmail.com:

>
> quindi dovrei fare:
> d1*(-1/3x+2/3y+z)+d2*(x/3+y/3)+d3*(x-y-z)=2x-y+z
> ma poi come procedo per trovare d1,d2,d3 ??
>
> grazie
>

Passo numero 4, che copio qui:

4) Una volta scritta l'uguaglianza, ce l'abbiamo con pochi passaggi
anche scritta rispetto ai vettori di base dello spazio duale (x), (y) e
(z); descrivendo in dettaglio, (x) e' l'applicazione che dato un vettore
da' la sua componente rispetto al vettore (1, 0, 0), in maniera analoga

si descrivono (y) e (z).

Considera che (per esempio) (-1/3x+2/3y+z) ce lo hai gia' scritto come
combinazione lineare delle applicazioni lineari (x), (y) e (z)
(applicazione lineare e' per definizione vettore dello spazio duale).

Con la notazione dettagliata:

(-1/3x+2/3y+z) = -1/3(x) + 2/3(y) + (z)

Forse da questo punto sei in grado di andare avanti da solo?

[meck...@gmail.com]

ok ci provo

grazie 1000 !!

[Pangloss]

Mi sembra che il calcolo esplicito della base duale sia inutile (ovviamente se non
e' richiesto dal testo dell'esercizio). Hai il risultato finale?

--
Elio Proietti
Valgioie (TO)

[El Filibustero]

On Tue, 28 May 2019 01:11:38 -0700 (PDT), meck...@gmail.com wrote:

>quindi dovrei fare:
>d1*(-1/3x+2/3y+z)+d2*(x/3+y/3)+d3*(x-y-z)=2x-y+z
>ma poi come procedo per trovare d1,d2,d3 ??

Con un sistema lineare nelle 3 incognite d1,d2,d3 e tre equazioni che
si hanno imponendo la coincidenza dei coefficienti di x,y,z ai due
membri:

d1*(-1/3)+d2*(1/3)+d3*(1)=2 (coincidenza dei coeff. di x)
d1*(2/3)+d2*(1/3)+d3*(-1)=-1 (coincidenza dei coeff. di y)
d1*(1)+d2*(0)+d3*(-1)=1 (coincidenza dei coeff. di z)

e viene d1=5, d2=-1 e d3=4.

In termini di matrici, questo e' fare

[d1 d2 d3]^t = (A^t)^-1 *[2 -1 1]^t

[dove A e' la matrice dei coefficienti delle tre forme lineari della
base duale (disposti in righe), e ^t indica la trasposizione]

Ma dato che, indicando con B la matrice della base di partenza con i
vettori in colonna, si sa gia' -- per definizione di base duale -- che

A*B = matrice identica 3x3

ossia A=B^-1 ---> (A^t)^-1 = B^t

tanto vale calcolare direttamente [d1 d2 d3]^t = B^t *[2 -1 1]^t. Ciao

[Pangloss]

Vedo che l'intera questione, compresa la scorciatoia, e' stata trattata in modo
esauriente da El Filibustero.
Comunque ripropongo i passaggi essenziali della risoluzione in forma vettoriale.

f(xi+yj+zk) = 2x-y+z comporta: f(i)=+2 f(j)=-1 f(k)=+1

Per definizione di base duale, le componenti della funzione f nella base duale
associata ai vettori base di R^3 sono:

f1 = f(i-j+2k) = 2+1=2 = +5
f2 = f(i+2j+k) = 2-2-1 = -1
f3 = f(i-j+k) = 2+1+1 = +4

Tutto qui, questi brevi calcoli forniscono le componenti richieste senza bisogno
di determinare prima la forma esplicita delle funzioni-base duale.
Usando tali funzioni si puo' verificare la correttezza delle componenti calcolate.

[meck...@gmail.com]

grazie 1000 a tutti per l'aiuto !!!