assioma trasporto angoli
Massimo Seren
sono un insegnante di Matematica del biennio delle scuole superiori.
Ho qualche perplessita' riguardo all'assioma del trasporto degli angoli
riportato nel libro di testo in adozione.
Tale libro riporta il seguente assioma di trasporto degli angoli:
"Siano dati un qualsiasi angolo ab e un qualsiasi semipiano sul cui
bordo sia prefissata una semiretta arbitraria c.
Esiste sul semipiano considerato una e una sola semiretta d tale che
l'angolo ab e' isometrico all'angolo cd."
Tale assioma consente di trasportare angoli concavi?.
Anche supponendo di poter trasportare angoli concavi che quindi non sono
sottoinsiemi del semipiano in questione,
come si possono confrontare un angolo concavo e uno convesso?
P.S.: Il libro in questione e' "Lezioni di Matematica: Geometria" di
Scaglianti - Varagnolo (1988 CEDAM).
Grazie per l'attenzione.
Massimo Seren // mse...@protec.it
?manu*
> Salve,
> sono un insegnante di Matematica del biennio delle scuole superiori.
> Ho qualche perplessita' riguardo all'assioma del trasporto degli angoli
> riportato nel libro di testo in adozione.
>
> Tale libro riporta il seguente assioma di trasporto degli angoli:
> "Siano dati un qualsiasi angolo ab e un qualsiasi semipiano sul cui
> bordo sia prefissata una semiretta arbitraria c.
> Esiste sul semipiano considerato una e una sola semiretta d tale che
> l'angolo ab e' isometrico all'angolo cd."
>
> Tale assioma consente di trasportare angoli concavi?.
Puo' darsi che qui per angolo si intenda l'intersezione di 2 semipiani
(e' una definizione plausibile in geometria). In tal caso tutti gli
angoli sono convessi.
In caso contrario hai ragione, un angolo concavo non e' contenuto in
nessun semipiano.
> Anche supponendo di poter trasportare angoli concavi che quindi non sono
> sottoinsiemi del semipiano in questione,
> come si possono confrontare un angolo concavo e uno convesso?
Gli angoli dal punto di vista geometrico non vanno pensati come composti
da solo le due semirette, gli angoli sono un insieme "solido" formato da
tutti i punti "interni" all'angolo. In questo modo puoi distinguere
l'angolo concavo e l'angolo convesso che hanno come "bordo" le stesse
semirette. Due angoli infatti si dicono congruenti se c'e' un'isometria
che manda uno nell'altro. (non so se era questa la domanda...)
?manu*
Massimo Seren
Tale libro da' la seguente definizione di angolo: "Si dice angolo ciascuna
delle due parti in cui un piano e' diviso da due semirette aventi la stessa
origine, incluse queste due semirette".
Pertanto tale definizione non esclude gli angoli concavi
>
> > Anche supponendo di poter trasportare angoli concavi che quindi non sono
> > sottoinsiemi del semipiano in questione,
> > come si possono confrontare un angolo concavo e uno convesso?
>
> Gli angoli dal punto di vista geometrico non vanno pensati come composti
> da solo le due semirette, gli angoli sono un insieme "solido" formato da
> tutti i punti "interni" all'angolo. In questo modo puoi distinguere
> l'angolo concavo e l'angolo convesso che hanno come "bordo" le stesse
> semirette. Due angoli infatti si dicono congruenti se c'e' un'isometria
> che manda uno nell'altro. (non so se era questa la domanda...)
>
Quando dico confrontare intendo, dati due angoli, poter dire se sono
isometrici, se il primo e' minore del secondo o se il primo e' maggiore del
secondo.
Proponendo il problema in classe siamo arrivati alla conclusione che se si
tollera che l'angolo concavo esca dal semipiano, allora effettivamente la
semiretta d risulta interna al semipiano e unica, infatti tale angolo entra
nel semipiano dopo aver descritto all'esterno un angolo piatto. Pertanto si
possono confrontare due angoli concavi, risultando minore quello che ha come
secondo lato una semiretta interna all'altro. Il problema non si pone per
confrontare due angoli convessi. Resta il problema di confrontare un angolo
concavo e uno convesso. Infatti in tal caso pur partendo dalla stessa
semiretta c un angolo resterebbe sempre dentro al semipiano (quello convesso)
mentre l'altro "andrebbe dalla parte opposta" descrivendo un angolo piatto e
poi entrerebbe nel semipiano. Come faccio a dire qual e' il maggiore dei due?
Dovrei supporre che ogni angolo concavo e' maggiore di ogni angolo convesso?
Quantunque la cosa sia intuitiva non riesco a convincermi che si possa
assumere come scontata.
Grazie per l'attenzione.
--
Massimo Seren // mse...@protec.it
?manu*
> Tale libro da' la seguente definizione di angolo: "Si dice angolo ciascuna
> delle due parti in cui un piano e' diviso da due semirette aventi la stessa
> origine, incluse queste due semirette".
> Pertanto tale definizione non esclude gli angoli concavi
Ok. Dunque tale "assioma di trasporto" e' sbagliato anche in quanto
identifica un angolo con le due semirette.
> Quando dico confrontare intendo, dati due angoli, poter dire se sono
> isometrici, se il primo e' minore del secondo o se il primo e' maggiore del
> secondo.
Ah, beh, allora io darei questa definizione che mi sembra la piu' semplice
e intuitiva:
Un angolo A e' maggiore o uguale ad un angolo B se c'e' un isometrica che
manda B
all'interno di A (cioe' esiste un isometria f tale che f(B) contenuto in
A). Due angoli sono isometrici se sono uno minore o uguale all'altro e
l'altro minore o uguale all'uno (poi si dimostra che in questo caso c'e'
un'isometria che manda uno nell'altro).
> Proponendo il problema in classe siamo arrivati alla conclusione che se si
> tollera che l'angolo concavo esca dal semipiano, allora effettivamente la
> semiretta d risulta interna al semipiano e unica, infatti tale angolo entra
> nel semipiano dopo aver descritto all'esterno un angolo piatto.
Onestamente mi sembra un po' brutto interpretarla cosi'... gli angoli
convessi "girano" in un senso e i concavi nell'altro?...
Secondo me l'"assioma di trasporto" andrebbe enunciato in modo che tutti
gli angoli "girino allo stesso modo", cosi' poi lo si puo' usare per
confrontare gli angoli.
Ad esempio lo si puo' enunciare cosi':
Dato un semipiano e una semiretta sul suo bordo e dato un qualunque angolo
A esiste uno ed un solo angolo B isometrico ad A per cui B o e' contenuto
nel semipiano (e in questo caso e' convesso) o contiene il semipiano (e
in questo caso e' concavo) e inoltre una delle due semirette che
bordano B e' proprio quella data.
> Resta il problema di confrontare un angolo
> concavo e uno convesso. Infatti in tal caso pur partendo dalla stessa
> semiretta c un angolo resterebbe sempre dentro al semipiano (quello convesso)
> mentre l'altro "andrebbe dalla parte opposta" descrivendo un angolo piatto e
> poi entrerebbe nel semipiano. Come faccio a dire qual e' il maggiore dei due?
> Dovrei supporre che ogni angolo concavo e' maggiore di ogni angolo convesso?
> Quantunque la cosa sia intuitiva non riesco a convincermi che si possa
> assumere come scontata.
Piu' che altro ti costringe a definire la convessita' in qualche modo. Non
puoi dire che un angolo e' convesso se e' maggiore di un angolo piatto,
perche' ancora non hai definito l'"essere maggiore"!
ciao,
Em.
NN
>On Tue, 9 Mar 1999, Massimo Seren wrote:
>> Ho qualche perplessita' riguardo all'assioma del trasporto degli angoli
>> riportato nel libro di testo in adozione.
>> bordo sia prefissata una semiretta arbitraria c.
>> Esiste sul semipiano considerato una e una sola semiretta d tale che
>> l'angolo ab e' isometrico all'angolo cd."
>> Tale assioma consente di trasportare angoli concavi?.
>> sottoinsiemi del semipiano in questione,
>
>Puo' darsi che qui per angolo si intenda l'intersezione di 2 semipiani
>(e' una definizione plausibile in geometria). In tal caso tutti gli
>angoli sono convessi.
>da solo le due semirette, gli angoli sono un insieme "solido" formato da
>tutti i punti "interni" all'angolo. In questo modo puoi distinguere
>l'angolo concavo e l'angolo convesso che hanno come "bordo" le stesse
>semirette.
Forse (e ripeto, *forse*) si ha a che fare con un libro di geometria
impostata con uno stile "alla Hilbert".
Per Hilbert, un angolo e` una coppia non ordinata di semirette con la
stessa origine ma non su una stessa retta.
Con questa definizione (che evidentemente esclude angoli nulli e angoli
piatti) non ha senso parlare di angolo concavo o convesso, ma e`
"sostanzialmente equivalente" (nel senso che esiste una evidente
corrispondenza biunivoca naturale tra gli oggetti individuati da
una definizione e gli oggetti individuati dall' altra definizione)
alla definizione come intersezione di due semipiani (di uno stesso piano)
con sostegni incidenti (in un unico punto).
In questo modo si confrontano (con l' assioma del trasporto, vedendo se
la semiretta trasportata e` interna, coincidente al secondo lato o esterna ...)
solo angoli che (quando visti con la definizione "solida") sono convessi,
ma gli angoli concavi semplicemente "non esistono" (non si considerano).
{{Bourbaki (e seguaci) fa ancora "peggio": considera come "angoli" (non ricordo
il termine esatto usato) coppie non ordinate di rette incidenti o coincidenti,
perche` lavora (in algebra lineare con forme sesquilineari o quadratiche) in
situazioni in cui puo` non essere possibile alcun ordine (sulle rette ovvero in
un fascio). In questo modo non solo non si distingue tra angoli concavi e
convessi, ma addirittura non si distinguono angoli adiacenti. Ovviamente
nel caso particolare in cui abbia senso l' ordinamento cosidera anche gli
angoli in senso meno inusuale.}}
Anche i segmenti Hilbert li considera come coppie non ordinate di punti (mi
sembra distinti, anche se cio` non compare esplicitamente nella definizione).
E anche qui questa definizione non "solida" e` sensata quando si vogliono
considerare situazioni non necessariamente ordinabili (per esempio dimostrare
il teorema di coordinatizzazione usando solamente assiomi di incidenza e
parallelismo, come viene fatto in una appendice).
Altre caratteristiche del sistema di Hilbert che possono sembrare inusuali:
i concetti di congruenza (di segmenti e angoli) sono primitivi e non definiti
mediante isometrie: il che e` in accordo col punto di vista secondo cui
gli oggetti geometrici come rette, piani ... NON sono "insiemi di punti"
(e quindi la relazione di incidenza e` un concetto primitivo e non definito
mediante l' appartenenza insiemistica).
A che pro tutto questo sproloquio?
Per sottolineare che per rispondere con esattezza alle domande poste
occorrerebbe sapere (cosa non banale) esattamente quali definizioni/concetti
primitivi/assiomi usa il libro in esame.
{Personalmente mi *sembrerebbe* comunque piu` sensato, per l' insegnamento,
usare una terminologia piu` orientata alla compatibilita` con la terminologia
basata sugli insiemi, piuttosto che quelle "alla Hilbert" orientate ad
ambienti logicamente (ma NON psicologicamente?) piu` elementari (nel senso
tecnico della logica: teorie del primo ordine non basate su teorie degli
insiemi). Per non parlare poi del fatto che con la terminologia insiemistica
la misura della lunghezza di segmenti, area di poligoni, ... sono esempi
di "misura" nel senso usuale della "teoria della misura", mentre con la
terminologia "alla Hilbert" sono esempi solo di "teorie della misura" in
senso ancora piu` astratto ...}