Sommare pere e mele
Dalgora Nulla
Scusate la banalità della domanda, ma è un luogo comune ripetere da
parte dei maestri, fin dalle scuole elementari, che "non si possono
sommare le pere con le mele"
Da un punto di vista della correttezza didattica mi sembra che questa
informazione sia molto opinabile, specialmente se viene data a bambini
delle elementari.
Un problema del tipo:
"La mamma va al supermercato ed acquista 5 pere e 4 mele: quanti
frutti ha comperato in tutto?" potrebbe apparire irrisolvibile, mentre
ha una semplice risoluzione.
Mi piacerebbe conoscere la vostra opinione in proposito, sperando di
non creare troppo disturbo. Grazie.
Dalgora
Andrea Bergia
> Scusate la banalitą della domanda, ma č un luogo comune ripetere da
> parte dei maestri, fin dalle scuole elementari, che "non si possono
> sommare le pere con le mele"
>
> Da un punto di vista della correttezza didattica mi sembra che questa
> informazione sia molto opinabile, specialmente se viene data a bambini
> delle elementari.
>
> Un problema del tipo:
>
> "La mamma va al supermercato ed acquista 5 pere e 4 mele: quanti
> frutti ha comperato in tutto?" potrebbe apparire irrisolvibile, mentre
> ha una semplice risoluzione.
Direi che ogni bambino lo capisce benissimo.
--
Andrea Bergia
Peltio
Nulla ha dichiarato su it.scienza.matematica in data 23-11-07 ?
Non stai sommando pere e mele.
Stai sommando frutti.
--
Ti sei chiesto a cosa diamine può servire la statistica? Qualche
risposta la trovi su http://www.intuitor.com/statistics/ . Annuncio
sponsorizzato dalla LIPSISC (Lega Internettiana per la Protezione dei
Siti di Interesse Scientifico Conoscitivo). Aut. Min. rich.
Dalgora Nulla
Bergia) wrote:
>Dalgora Nulla <dalgor...@libero.it> wrote:
>> Scusate la banalità della domanda, ma è un luogo comune ripetere da
>> parte dei maestri, fin dalle scuole elementari, che "non si possono
>> sommare le pere con le mele"
>>
>> Da un punto di vista della correttezza didattica mi sembra che questa
>> informazione sia molto opinabile, specialmente se viene data a bambini
>> delle elementari.
>>
>> Un problema del tipo:
>>
>> "La mamma va al supermercato ed acquista 5 pere e 4 mele: quanti
>> frutti ha comperato in tutto?" potrebbe apparire irrisolvibile, mentre
>> ha una semplice risoluzione.
>
>Direi che ogni bambino lo capisce benissimo.
Dalle discussioni che ho ascoltato, però, non mi sembra che il
problema sia davvero così chiaro:
http://www.matematicainsieme.it/math/archivio/Numeri%20e%20misure.htm
MauroM
"Dalgora Nulla" <dalgor...@libero.it> ha scritto nel messaggio
news:40jek315bsjg7ts5e...@4ax.com...
Fai la somma diretta dello spazio vettoriale delle pere con quello delle
mele e ottieni uno spazio vettoriale dove la somma è definita benissimo e
puoi anche definire un applicazione lineare in |N numero totale.
Questo vale se assumi che tutte le pere e le mele siano identiche altrimenti
passi ai gruppi.
Certo rimane la difficoltà di definire cosa diavolo vuol dire un numero
negativo di pere o mele (e di spiegare tutto a dei bambini). :-)
Avatar
se prendi le pere e le mele in maniera distinta come appartenenti
rispettivamente all'insieme delle pere e delle mele allora in quel caso
non puoi sommarli. ma se allarghi il tutto e vedi i due insiemi distinti
come sottininsiemi dell'insieme frutti allora all'interno di
quest'ultimo è possibile sommarli.
Giorgio Pastore
> Scusate la banalità della domanda, ma è un luogo comune ripetere da
> parte dei maestri, fin dalle scuole elementari, che "non si possono
> sommare le pere con le mele"
>
> Da un punto di vista della correttezza didattica mi sembra che questa
> informazione sia molto opinabile, specialmente se viene data a bambini
> delle elementari.
> Mi piacerebbe conoscere la vostra opinione in proposito, sperando di
> non creare troppo disturbo. Grazie.
Separerei due parti del problema, anche se collegate. Quello matematico
e quello didattico.
Dal punto di vista matematico il problema sta nel significato dell'
"operazione" di "somma" tra mele e pere. Non esiste un' operazione di
somma generica che sia definita su qualsiasi insieme ma si possono
definire (eventualmente) tante diverse operazioni su insiemi diversi che
possono avere le stesse proprietà formali e che possono quindi essere
messe in relazione attraverso un' opportuna trasformazione da un
insieme all' altro (omo o isomorfismi).
In pratica, anche sommare mele con mele non e' la stessa cosa che
sommare numeri.: le mele sono oggetti del mondo fisico e i numeri no.
Posso però definire una somma tra mele fisiche p.es. in termini di
mettere insieme mele diverse appartenenti a casse diverse nella stessa
cassa. A questo punto scopro che esiste un modo di associare alle casse
di mele dei numeri naturali (la cardinalità dell' insieme delle mele in
una cassa) e all' operazione di riversare il contenuto di due casse in
una l' operazione di somma tra i numeri naturali di cui sopra.
Se riesco a definire nel mondo fisico un' operazione di "somma" tra
mele e pere che preservi le stesse proprita' formali della somma tra
numeri, posso dire di poter sommare mele e pere.
Didatticamente, tutto questo è ad un livello di astrazione
inconcepibile per un ragazzino delle elementari (e anche oltre).
La vecchia storia del non sommare mele e pere mi starebbe bene purché
si chiarisse per bene il significato del termine sommare.
Giorgio
?manu*
> Scusate la banalità della domanda, ma è un luogo comune ripetere da
> parte dei maestri, fin dalle scuole elementari, che "non si possono
> sommare le pere con le mele"
Infatti quello che sommi sono il numero di pere e il numero di mele.
Quello che ottieni è il numero di elementi dell'insieme unione di pere e
mele che è un sottoinsieme dell'insieme dei frutti.
E.
Dalet
>Scusate la banalità della domanda, ma è un luogo comune ripetere da
>parte dei maestri, fin dalle scuole elementari, che "non si possono
>sommare le pere con le mele"
>Da un punto di vista della correttezza didattica mi sembra che questa
>informazione sia molto opinabile, specialmente se viene data a bambini
>delle elementari.
La nozione di dimensione in geometria (e poi in fisica) non
credo ci siano molte altre strade per darla, specie a un
bambino.
>Un problema del tipo:
"La mamma va al supermercato ed acquista 5 pere e 4 mele: quanti
>frutti ha comperato in tutto?" potrebbe apparire irrisolvibile, mentre
>ha una semplice risoluzione.
A contrario... e' proprio il totale "fanno otto frutti"
che mostra che in geometria e in fisica non sempre e'
esattamente uguale.
Si deve arrivare a mostrare che neppure dicendo "oggetti"
certe altre volte si puo' fare.
Esempio: tre sigarette + 4 calciatori della Roma quanto
fanno non lo puoi piu' fare come coi frutti, ed e' in salita
anche dire oggetti a Totti & C.
Ecco allora che si arriva: da una parte all'astrazione
della nozione di numero*, dall'altra a quella dell'omogeita'
delle grandezze, che serve per la geometria e per la fisica.
* se vuoi puoi arrischiarti anche a mostrare che i numeri
non hanno dimensione: nozione di quantita' adimensionali.
--
Saluti, Dalet
Siddharta
"Dalet" <da...@tiscali.it> ha scritto nel messaggio
news:slrnfkgb0v...@p915.tiscali.it...
> Il 23-11-2007, Dalgora Nulla dice:
>
>
> della nozione di numero*, dall'altra a quella dell'omogeita'
> delle grandezze, che serve per la geometria e per la fisica.
>
blasius
"MauroM" <Mr.Fe...@libero.it> ha scritto nel messaggio
news:47476bb2$0$17944$4faf...@reader1.news.tin.it...
Er Darke
<dalgor...@libero.it> wrote:
>Mi piacerebbe conoscere la vostra opinione in proposito, sperando di
>non creare troppo disturbo. Grazie.
sbagli, almeno dal mio punto di vista personale.
ancora ricordo la storia delle pere e delle mele, ed ancora la "uso".
nel caso dei frutti, tu non stai sommando pere e mele, ma stai
sommando "frutti". un insieme piu' grande.
come sommare interi positivi e negativi, che significa sommare numeri
relativi. i positivi ed i negativi, a meno che non introduci i
relativi Z, non si possono sommare. E' un insieme piu' grande.
il discorso dei maestri non e' sbagliato, tutt'altro. poi col tempo
uno ne impara le "sfumature". è logico che i maestri non possono fare
un discorso cosi' astratto come l'ho fatto io.
mi ricordo comunque una cosa: io, alle elementari, mi trovai in
difficolta' in un problema che riguardava una moltiplicazione tra due
quantita' non uniformi. me la ricordo ancora come "soldati diviso
tende".
il problema era piu' o meno questo: "ci sono 100 soldati, e sono
disponibili tende con una capienza di 20 soldati l'una. quante tende
ci vogliono?". e io non capivo come mai "tende" veniva da "soldati
diviso "tende". insomma non capivo bene questo discorso delle
quantita' diverse che "magicamente", moltiplicate l'una per l'altra,
facevano venire fuori una cosa. un po' come lo spazio diviso il tempo
fa venire fuori la velocita'. perche' 100km diviso 1h fa venire fuori
100 km all'ora? vabbè hai capito...
alle elementari non sono cose cosi' scontate e l'alunno ha bisogno di
impare a memoria e di fare tanto esercizio, e poi gli si crea in mente
una versione in cui ci sono tante altre spiegazioni...etc. etc.
ciao
Giovanni
sul piano meramente operativo, ma soprattutto concettuale, la
matematica con la fisica (seppure una fisica molto elementare).
Intanto la questione delle unità di misura o della qualificazione
delle grandezze non pertiene alla matematica in senso stretto: la
matematica si occupa di numeri, non di mele e pere.
Trattandosi quindi di matematica che viene rapportata ad un campo a
lei esterno, non strettamente numerico, il corretto rapporto è quello
di MODELLIZZAZIONE.
Non è che la matematica in sè diventa inadeguata o peggio errata,
queste qualificazioni vanno riferite solo al *particolare* modello
matematico che si usa.
Abbiamo dunque la situazione fisica di avere delle mele e delle pere,
l'operazione di conteggio di oggetti e vogliamo modellizzare il
passaggio fisico-mentale dal conteggio *separato* di mele e pere al
conteggio generalizzato di frutti.
Uno potrebbe tagliare il nodo gordiano di netto proponendo il semplice
modello aritmetico, "senza se e senza ma":
5 + 4 = 9
Un modello più aderente:
5p + 4m = 9f
(Da non confondere con la notazione algebrica ! In algebra le lettere
stanno al posto di numeri qui invece stanno al posto di oggetti, e
sono più propriamente da vedere come unità di misura)
Il problema è come inquadrare la cosa in una opportuna teoria in modo
che 9f risulti una conseguenza formale di 5p + 4m.
Un modello più raffinato invece può essere quello insiemistico-
aritmetico:
rappresentiamo le pere e le mele come due insiemi, rispett. di 5 e 4
elementi, i due insiemi li rappresentiamo come sottoinsiemi
dell'insieme dei frutti, e usiamo un operatore matematico che ci dà il
numero di elementi di un insieme applicandolo al soprainsieme dei
frutti, che ne è l'unione insiemistica.
Qui abbiamo la modellizzazione insiemistica del fatto intuitivo che
mele e pere sono frutti.
.
Ciao
Giovanni
Dalet
>Credo si tratti del problema del mischiare maldestramente, non solo
>sul piano meramente operativo, ma soprattutto concettuale, la
>matematica con la fisica (seppure una fisica molto elementare).
Pero' le dimensioni prima che in fisica sono definite in
geometria.
Mi dirai che la geometria puo' intendersi parte della
fisica, ma potrebbe anche dirsi il contrario: esempio
la geometrizzazione della meccanica in relativita'.
Pere e mele sono alla base della nozione di grandezze
omogenee... tu te la ricordi la def a memoria? se si',
allora vedi che la fisica non c'entra - se vuoi - nulla.
>Intanto la questione delle unità di misura o della qualificazione
>delle grandezze non pertiene alla matematica in senso stretto: la
>matematica si occupa di numeri, non di mele e pere.
Non sono d'accordo, proprio per niente: la geometria e'
matematica.
E poi le unita' di misura vengono dopo.
Un esempio che i numeri sono tutto: gli spazi vettoriali
astratti sono numeri e non c'entra niente la geometria, ne'
tanto meno la fisica.
Con essi si hanno dimensioni & grandezze omogenee fuori da
geometria (se vuoi) e fisica (senz'altro): uno scalare piu'
un vettore non si puo' fare, e' peggio di mele e pere!
Sul resto che dici, che non riporto, mi sembra che tu sia
un po' propenso ad escludere la geometria dalla matematica.
O mi sbaglio e ho inteso male io?
--
Saluti, Dalet
Tetis
> Dalgora Nulla wrote:
> > Scusate la banalità della domanda, ma è un luogo comune ripetere da
> > parte dei maestri, fin dalle scuole elementari, che "non si possono
> > sommare le pere con le mele"
> >
> > Da un punto di vista della correttezza didattica mi sembra che questa
> > informazione sia molto opinabile, specialmente se viene data a bambini
> > delle elementari.
> ...
> > Mi piacerebbe conoscere la vostra opinione in proposito, sperando di
> > non creare troppo disturbo. Grazie.
>
> Separerei due parti del problema, anche se collegate. Quello matematico
> e quello didattico.
>
> Dal punto di vista matematico il problema sta nel significato dell'
> "operazione" di "somma" tra mele e pere. Non esiste un' operazione di
> somma generica che sia definita su qualsiasi insieme ma si possono
> definire (eventualmente) tante diverse operazioni su insiemi diversi che
> possono avere le stesse proprietà formali e che possono quindi essere
> messe in relazione attraverso un' opportuna trasformazione da un
> insieme all' altro (omo o isomorfismi).
A livello di insiemi la somma è perfettamente definita
è l'unione insiemistica. Sono le qualità omogene a ciascun
insieme che se eterogenee fra gli insiemi iniziali che non si
distribuiscono. In parole semplici la mia maestra avrebbe spiegato:
un insieme di cinque mele e di quattro pere non è né un'insieme di
mele né un insieme di pere, quindi la somma di cinque mele e di quattro
pere non si scrive.
Fu obiettato che sono sempre cose e posso contare quante cose sono
nella borsa. La maestra rispose: non confondere, le cose hanno sempre
qualcosa in comune ma le caratteristiche distinte rimangono distinte.
Fu subito a tutti chiaro che la coppia di concetti chiave era
confondere-distinguere.
Quando contiamo anzitutto, senza riflettere assimiliamo delle cose a delle
altre: le dita della mano, infatti possiamo sommare gli elementi di
due insiemi, ma non possiamo dire di avere sommato pere a mele ma cose
a cose. Poco più avanti si parlava di frazioni e tornava
un discorso analogo: per sommare due frazioni occorre ricondurle
a denominatore comune.
Ed allora traduco in termini più astratti: se la
qualità originaria è una qualità omogenea è anche una qualità degli
elementi dell'insieme riunione: tutti senza distinzione. E' da notare che
nella matematica contemporanea la qualificazione degli elementi di un
insieme è una operazione logica piuttosto sofisticata.
> In pratica, anche sommare mele con mele non e' la stessa cosa che
> sommare numeri.: le mele sono oggetti del mondo fisico e i numeri no.
> Posso però definire una somma tra mele fisiche p.es. in termini di
> mettere insieme mele diverse appartenenti a casse diverse nella stessa
> cassa. A questo punto scopro che esiste un modo di associare alle casse
> di mele dei numeri naturali (la cardinalità dell' insieme delle mele in
> una cassa) e all' operazione di riversare il contenuto di due casse in
> una l' operazione di somma tra i numeri naturali di cui sopra.
>
> Se riesco a definire nel mondo fisico un' operazione di "somma" tra
> mele e pere che preservi le stesse proprita' formali della somma tra
> numeri, posso dire di poter sommare mele e pere.
No puoi dire di sommare delle mele a delle pere
ma non di ottenere mele-pere.
> Didatticamente, tutto questo è ad un livello di astrazione
> inconcepibile per un ragazzino delle elementari (e anche oltre).
Questo è più un problema della astrazione per l'appunto, quindi
non è tanto una difficoltà per dei bambini, quanto per degli adulti
che hanno consuetudine con idee astratte e linguaggi simbolici
e devono riflettere criticamente sulla genesi delle astrazioni
e delle regole.
> La vecchia storia del non sommare mele e pere mi starebbe bene purché
> si chiarisse per bene il significato del termine sommare.
Nei programmi moderni (ma anche secondo i programmi seguiti
dalla mia maestra) si insegnano i numeri a partire dagli insiemi,
circoletti, inclusione, intersezione, differenza simmetrica, unione.
Con questi presupposti è abbastanza semplice definire quella che
in termini avanzati è la somma alla Russell, ovvero i numeri come
classi di equivalenza per equipotenza, senza però scomodare queste
astrazioni.
> Giorgio
>
--------------------------------
Inviato via http://arianna.libero.it/usenet/
alessa...@yahoo.it
> Infatti quello che sommi sono il numero di pere e il numero di mele.
> Quello che ottieni è il numero di elementi dell'insieme unione di pere e
> mele che è un sottoinsieme dell'insieme dei frutti.
Concordo (ovviamente) e aggiungo che io bandirei dalla scuola dell'
obbligo certe scemenze di stampo insiemistico-bourbakista. Andrebbe
invece incrementato di molto il sano problem-solving in cui, a livello
di scuola elementare, e' essenziale chiarire e riflettere bene sul
significato delle operazioni. Ad esempio la sottrazione ha piu' di un
significato: c'e' quello di diminuzione/separazione (ho 5 mele e ne
mangio 3. Quante ne restano?), ma c'e' anche il significato di
confronto tra quantita' (ho 5 pere e 3 mele. Quante sono in piu' le
pere rispetto alle mele?).
Alessandro
alessa...@yahoo.it
> Nei programmi moderni (ma anche secondo i programmi seguiti
> dalla mia maestra) si insegnano i numeri a partire dagli insiemi,
> circoletti, inclusione, intersezione, differenza simmetrica, unione.
E i risultati sono sotto gli occhi di tutti:-<<
Alessandro
Giorgio Pastore
>> Dal punto di vista matematico il problema sta nel significato dell'
>> "operazione" di "somma" tra mele e pere. Non esiste un' operazione di
>> somma generica che sia definita su qualsiasi insieme ma si possono
>> definire (eventualmente) tante diverse operazioni su insiemi diversi che
>> possono avere le stesse proprietà formali e che possono quindi essere
>> messe in relazione attraverso un' opportuna trasformazione da un
>> insieme all' altro (omo o isomorfismi).
>
> A livello di insiemi la somma è perfettamente definita
> è l'unione insiemistica.
Che però non è la somma tra numeri, pur preservandone alcune
proprietà formali. O per te 3+5 è lo stesso che 3 U 5 :-)
> Sono le qualità omogene a ciascun
> insieme che se eterogenee fra gli insiemi iniziali che non si
> distribuiscono. In parole semplici la mia maestra avrebbe spiegato:
> un insieme di cinque mele e di quattro pere non è né un'insieme di
> mele né un insieme di pere, quindi la somma di cinque mele e di quattro
> pere non si scrive.
E così gli scolari non capiscono più niente: da un lato si può fare
l' unione di qualsiasi coppia di insiemi e dall' altra la somma di 5
mele e 4 pere non si fa (ma sei tu ad aver appena detto che la somma a
livello di insiemi è l' unione insiemistica).
> Fu obiettato che sono sempre cose e posso contare quante cose sono
> nella borsa. La maestra rispose: non confondere, le cose hanno sempre
> qualcosa in comune ma le caratteristiche distinte rimangono distinte.
> Fu subito a tutti chiaro che la coppia di concetti chiave era
> confondere-distinguere.
E infatti se non potessi distinquere le 5 mele non avresti un insieme
di 5 mele ma un insieme di solo una mela ({a,b}U{b,c} = {a,b,c} non
{a,b,b,c}) . Ma la conclusione della maestra mi sembra un non sequitur.
...
>> In pratica, anche sommare mele con mele non e' la stessa cosa che
>> sommare numeri.:
Concordo.
le mele sono oggetti del mondo fisico e i numeri no.
Non concordo sulla difficoltà: anche due forze sono oggetti del mondo
fisico e due elementi di uno spazio vettoriale no. Ma se definisco
attentamente le operazioni fisiche, posso verificare che l' operazione
fisica (somma fisica di 2 forze) ha tutte le proprietà della somma tra
elementi di uno spazio vettoriale e posso quiondi costruire un
isomorfismo tra oggetti fisici e oggetti matematici in modo che i
secondi siano una rappresentazione matematica delle relazioni fisiche
tra i primi.
Giorgio
Tetis
> Tetis wrote:
> > Il 24 Nov 2007, 08:25, Giorgio Pastore <pas...@units.it> ha scritto:
> ...
> >> Dal punto di vista matematico il problema sta nel significato dell'
> >> "operazione" di "somma" tra mele e pere. Non esiste un' operazione di
> >> somma generica che sia definita su qualsiasi insieme ma si possono
> >> definire (eventualmente) tante diverse operazioni su insiemi diversi
che
> >> possono avere le stesse proprietà formali e che possono quindi essere
> >> messe in relazione attraverso un' opportuna trasformazione da un
> >> insieme all' altro (omo o isomorfismi).
> >
> > A livello di insiemi la somma è perfettamente definita
> > è l'unione insiemistica.
>
> Che però non è la somma tra numeri, pur preservandone alcune
> proprietà formali. O per te 3+5 è lo stesso che 3 U 5 :-)
Neanche per idea. Ma tu parlavi di operazioni su insiemi...
ed ho fatto notare che a livello insiemistico l'unione può
essere interpretata come somma, interpretazione che
nelle scuole elementari nessuno si permetterebbe di
fare, o quanto meno: la mia maestra non confondeva unione
insiemistica e somma.
> > Sono le qualità omogene a ciascun
> > insieme che se eterogenee fra gli insiemi iniziali che non si
> > distribuiscono. In parole semplici la mia maestra avrebbe spiegato:
> > un insieme di cinque mele e di quattro pere non è né un'insieme di
> > mele né un insieme di pere, quindi la somma di cinque mele e di quattro
> > pere non si scrive.
>
> E così gli scolari non capiscono più niente: da un lato si può fare
> l' unione di qualsiasi coppia di insiemi e dall' altra la somma di 5
> mele e 4 pere non si fa (ma sei tu ad aver appena detto che la somma a
> livello di insiemi è l' unione insiemistica).
Non confondere :-) la somma insiemistica che è ammessa anche
fra insiemi eterogenei con la somma aritmetica che è ammessa solo
fra grandezze omogenee, e tantomeno con la somma vettoriale di cui
ha parlato qualcuno che è una somma fra classi di omogeneità. Ad
essere più rigorosi si povrebbe parlare di spazi vettoriali graduati.
> > Fu obiettato che sono sempre cose e posso contare quante cose sono
> > nella borsa. La maestra rispose: non confondere, le cose hanno sempre
> > qualcosa in comune ma le caratteristiche distinte rimangono distinte.
> > Fu subito a tutti chiaro che la coppia di concetti chiave era
> > confondere-distinguere.
>
> E infatti se non potessi distinquere le 5 mele non avresti un insieme
> di 5 mele ma un insieme di solo una mela ({a,b}U{b,c} = {a,b,c} non
> {a,b,b,c}) . Ma la conclusione della maestra mi sembra un non sequitur.
Non concordo, il discorso è molto logico, lo si può equivocare solo
in modo rettamente critico, ma non di meno polemico. Anche qui
occorre evitare di confondere livelli diversi di distinzione.
Da un lato e' infatti ovvio che 5
mele possono essere distinte in tutto __tranne nella qualità specificata__
"mele", come è vero, ma non ovvio, che cinque elementi di un insieme
possono essere distinti a livello astratto come copie di un medesimo
elemento se si assiomatizzatizza la nozione di copia, e che in qualche
modo si può anche assiomatizzare la nozione di rappresentazione...
ma a livello concreto le possibilità di sbagliarsi bisogna
cercarsele :-))) (e non dico che non possa essere istruttivo, dico solo
che non ha molto a che fare con la didattica).
> ...
> >> In pratica, anche sommare mele con mele non e' la stessa cosa che
> >> sommare numeri.:
>
> Concordo.
>
> le mele sono oggetti del mondo fisico e i numeri no.
>
> Non concordo sulla difficoltà: anche due forze sono oggetti del mondo
> fisico e due elementi di uno spazio vettoriale no. Ma se definisco
> attentamente le operazioni fisiche, posso verificare che l' operazione
> fisica (somma fisica di 2 forze) ha tutte le proprietà della somma tra
> elementi di uno spazio vettoriale e posso quiondi costruire un
> isomorfismo tra oggetti fisici e oggetti matematici in modo che i
> secondi siano una rappresentazione matematica delle relazioni fisiche
> tra i primi.
>
> Giorgio
>
--------------------------------
Inviato via http://arianna.libero.it/usenet/
Dalgora Nulla
>Due più due farà pure quattro, ma come la mettiamo con quanto Dalgora
>Nulla ha dichiarato su it.scienza.matematica in data 23-11-07 ?
>
Appunto!!! Come dire che, in fondo, anche la matematica, entro certi
limiti, può essere un'opinione...:-)
Infatti:
[cut]
>> Un problema del tipo:
>>
>> "La mamma va al supermercato ed acquista 5 pere e 4 mele: quanti
>> frutti ha comperato in tutto?" potrebbe apparire irrisolvibile, mentre
>> ha una semplice risoluzione.
>
>Non stai sommando pere e mele.
>Stai sommando frutti.
Però se io considero inizialmente l'insieme di pere, potrò associare
ad esso una serie di proprietà tra cui la cardinalità o il colore o
l'appartenenza al mondo vegetale o al genere "frutta".. Insomma, nel
definire l'insieme, sceglierò l'attributo che mi conviene: in questo
caso, sarà, ad esempio, un insieme "pere" con cardinalità 5. Lo stesso
ragionamento si potrà fare a proposito delle mele.
O sbaglio?
L'unione tra pere e mele non sarà dettata dal caso, ma risponderà
invece ad un intento preciso: vale a dire alla necessità di conoscere
la cardinalità di un nuovo insieme, più ampio e generale, quello dei
frutti.
In una parola, direi che l'insieme "frutti" emerge dalla finalità
dell'azione. O sbaglio?
Dalgora Nulla
wrote:
>
>"Dalgora Nulla" <dalgor...@libero.it> ha scritto nel messaggio
>news:40jek315bsjg7ts5e...@4ax.com...
>>
>> Un problema del tipo:
>>
>> "La mamma va al supermercato ed acquista 5 pere e 4 mele: quanti
>> frutti ha comperato in tutto?" potrebbe apparire irrisolvibile, mentre
>> ha una semplice risoluzione.
>
>Fai la somma diretta dello spazio vettoriale delle pere con quello delle
>mele e ottieni uno spazio vettoriale dove la somma è definita benissimo e
>puoi anche definire un applicazione lineare in |N numero totale.
In pratica, sommo la cardinalità?
>Questo vale se assumi che tutte le pere e le mele siano identiche altrimenti
>passi ai gruppi.
>Certo rimane la difficoltà di definire cosa diavolo vuol dire un numero
>negativo di pere o mele (e di spiegare tutto a dei bambini). :-)
Non è difficile far capire ai bambini i numeri negativi, basta
associare agli oggetti il senso della mancanza o il concetto di
debito.
Dalgora Nulla
wrote:
>Dalgora Nulla ha scritto:
>> Un problema del tipo:
>>
>> "La mamma va al supermercato ed acquista 5 pere e 4 mele: quanti
>> frutti ha comperato in tutto?" potrebbe apparire irrisolvibile, mentre
>> ha una semplice risoluzione.
>se prendi le pere e le mele in maniera distinta come appartenenti
>rispettivamente all'insieme delle pere e delle mele allora in quel caso
>non puoi sommarli. ma se allarghi il tutto e vedi i due insiemi distinti
>come sottininsiemi dell'insieme frutti allora all'interno di
>quest'ultimo è possibile sommarli.
Ma la definizione dell'insieme universo nasce in funzione di ciò che
mi occorre ottenere?
E in ogni caso, su un piano logico, la frase "non si possono sommare
le pere con le mele" la definireste vera o falsa?
Perché, secondo me, è falsa, a meno che non ci addentriamo nella
logica fuzzy. O sbaglio?
Poincarè
> On Fri, 23 Nov 2007 23:09:20 GMT, Peltio <pel...@twilight.zone> wrote:
> >Due più due farà pure quattro, ma come la mettiamo con quanto Dalgora
> >Nulla ha dichiarato su it.scienza.matematica in data 23-11-07 ?
>
> Appunto!!! Come dire che, in fondo, anche la matematica, entro certi
> limiti, può essere un'opinione...:-)
La matematica è opinione di chi la espone con argomentazioni nuove o
già accettate, sviluppata attraverso una serie di ragionamenti che
altri analizzano alla ricerca di qualche intoppo :o)
Comunque non sempre 2 + 2 = 4 ;-)
Ciao
Poincarè
Dalgora Nulla
wrote:
>Dal punto di vista matematico il problema sta nel significato dell'
>"operazione" di "somma" tra mele e pere. Non esiste un' operazione di
>somma generica che sia definita su qualsiasi insieme ma si possono
>definire (eventualmente) tante diverse operazioni su insiemi diversi che
>possono avere le stesse proprietà formali e che possono quindi essere
>messe in relazione attraverso un' opportuna trasformazione da un
>insieme all' altro (omo o isomorfismi).
>
Ok, questo è l'assioma di partenza?
>In pratica, anche sommare mele con mele non e' la stessa cosa che
>sommare numeri.: le mele sono oggetti del mondo fisico e i numeri no.
>Posso però definire una somma tra mele fisiche p.es. in termini di
>mettere insieme mele diverse appartenenti a casse diverse nella stessa
>cassa. A questo punto scopro che esiste un modo di associare alle casse
>di mele dei numeri naturali (la cardinalità dell' insieme delle mele in
>una cassa) e all' operazione di riversare il contenuto di due casse in
>una l' operazione di somma tra i numeri naturali di cui sopra.
Ma la cardinalità non è solo una delle tante proprietà del mondo
fisico? Voglio dire la cardinalità, in questo caso riferita alle pere,
non è una delle proprietà (come il colore, la forma...o...)
associabile ad alcuni oggetti o unità di misura appartenenti al mondo
fisico?
In effetti, l'inglese distingue (per l'uso dell'articolo) i
sostantivi che indicano enti numerabili (pera, mela, bambino...) da
quelli che invece indicano "quantità continue" (acqua, oro...) I
secondi, per essere numerabili, devono necessariamente essere misurati
(2 litri di acqua...1g di oro...)
>
>Se riesco a definire nel mondo fisico un' operazione di "somma" tra
>mele e pere che preservi le stesse proprita' formali della somma tra
>numeri, posso dire di poter sommare mele e pere.
Quindi la riduzione ad una "proprietà" comune? O ad una "qualità"
comune?
>
>Didatticamente, tutto questo è ad un livello di astrazione
>inconcepibile per un ragazzino delle elementari (e anche oltre).
>
>La vecchia storia del non sommare mele e pere mi starebbe bene purché
>si chiarisse per bene il significato del termine sommare.
Già, io conosco però persone adulte che occupano posti importanti e
che continuano a ripetere che "non si possono sommare le pere con le
mele".
Dalgora Nulla
>Fu obiettato che sono sempre cose e posso contare quante cose sono
>nella borsa. La maestra rispose: non confondere, le cose hanno sempre
>qualcosa in comune ma le caratteristiche distinte rimangono distinte.
>Fu subito a tutti chiaro che la coppia di concetti chiave era
>confondere-distinguere.
Confondere e distinguere sono due aspetti chiave, infatti, ma non
direi che l'unione mele-pere sia solo una "confusione": può essere la
scelta di un raggruppamento più complesso che perde in specificità, ma
acquista in ampiezza.
>
>Quando contiamo anzitutto, senza riflettere assimiliamo delle cose a delle
>altre: le dita della mano,
Be' questa è la corrispondenza simbolica che si stabilisce tra
elementi diversi. Un po' la stessa cosa che si stabilisce tra la
parola "pera" ed il frutto "pera" o un disegno e l'oggetto
rappresentato. Certo, però "La mappa non è il territorio".
Allo stesso modo, anche la cardinalità di un insieme, attraverso il
numero e la base numerica adottata, stabilisce una relazione con la
proprietà dell'insieme considerato.
>infatti possiamo sommare gli elementi di
>due insiemi, ma non possiamo dire di avere sommato pere a mele ma cose
>a cose.
Però possiamo dire di aver unito gli elementi dei due insieme in base
ad una proprietà comune. O sbaglio?
>Poco più avanti si parlava di frazioni e tornava
>un discorso analogo: per sommare due frazioni occorre ricondurle
>a denominatore comune.
Infatti, anche questo è un discorso molto interessante, a mio avviso:
il denominatore comune.
>
>Ed allora traduco in termini più astratti: se la
>qualità originaria è una qualità omogenea è anche una qualità degli
>elementi dell'insieme riunione: tutti senza distinzione. E' da notare che
>nella matematica contemporanea la qualificazione degli elementi di un
>insieme è una operazione logica piuttosto sofisticata.
E quest'ultimo è un aspetto matematico che a me interessa
particolarmente in quanto nella organizzazione di "gruppi umani" si ha
a che fare con elementi eterogenei che possono trovare un' unione solo
attraverso finalità e intenti comuni. Ma qui sforiamo nella sociologia
:-)
>Nei programmi moderni (ma anche secondo i programmi seguiti
>dalla mia maestra) si insegnano i numeri a partire dagli insiemi,
>circoletti, inclusione, intersezione, differenza simmetrica, unione.
>Con questi presupposti è abbastanza semplice definire quella che
>in termini avanzati è la somma alla Russell, ovvero i numeri come
>classi di equivalenza per equipotenza, senza però scomodare queste
>astrazioni.
Vuoi dire che nessuno più si sogna di dire, oggi come oggi, che "non
si possono sommare le pere con le mele"?
Dalgora Nulla
>Concordo (ovviamente) e aggiungo che io bandirei dalla scuola dell'
>obbligo certe scemenze di stampo insiemistico-bourbakista. Andrebbe
>invece incrementato di molto il sano problem-solving in cui, a livello
>di scuola elementare, e' essenziale chiarire e riflettere bene sul
>significato delle operazioni. Ad esempio la sottrazione ha piu' di un
>significato: c'e' quello di diminuzione/separazione (ho 5 mele e ne
>mangio 3. Quante ne restano?), ma c'e' anche il significato di
>confronto tra quantita' (ho 5 pere e 3 mele. Quante sono in piu' le
>pere rispetto alle mele?).
Concordo, ma sull'Andolfato il significato delle operazioni mi sembra
spiegato molto bene.
Dalgora Nulla
>Il 27 Nov 2007, 01:16, Giorgio Pastore <pas...@units.it> ha scritto:
>> >
>> > A livello di insiemi la somma è perfettamente definita
>> > è l'unione insiemistica.
>>
>> Che però non è la somma tra numeri, pur preservandone alcune
>> proprietà formali. O per te 3+5 è lo stesso che 3 U 5 :-)
>
>
>Neanche per idea. Ma tu parlavi di operazioni su insiemi...
>ed ho fatto notare che a livello insiemistico l'unione può
>essere interpretata come somma, interpretazione che
>nelle scuole elementari nessuno si permetterebbe di
>fare, o quanto meno: la mia maestra non confondeva unione
>insiemistica e somma.
Potrei avere un chiarimento in proposito? In cosa consisterebbe la
differenza?
>
>Non confondere :-) la somma insiemistica che è ammessa anche
>fra insiemi eterogenei con la somma aritmetica che è ammessa solo
>fra grandezze omogenee, e tantomeno con la somma vettoriale di cui
>ha parlato qualcuno che è una somma fra classi di omogeneità. Ad
>essere più rigorosi si povrebbe parlare di spazi vettoriali graduati.
Quindi, una matematica consente di unire le pere con le mele ed
un'altra matematica mi nega questa possibilità? Mi sembra strano,
perché la realtà è unica.
Dalgora Nulla
<pao...@NO.math.unifi.SPAM.it> wrote:
>Infatti quello che sommi sono il numero di pere e il numero di mele.
>Quello che ottieni è il numero di elementi dell'insieme unione di pere e
>mele che è un sottoinsieme dell'insieme dei frutti.
>
>E.
E' quello che pensavo anche io, ma mi hanno opposto varie difficoltà
e, da una ricerca effettuata, mi è risultata abbastanza accreditata
l'idea che pere e mele non si possano sommare.:-(
Dalgora Nulla
wrote:
>Si deve arrivare a mostrare che neppure dicendo "oggetti"
>certe altre volte si puo' fare.
>Esempio: tre sigarette + 4 calciatori della Roma quanto
>fanno non lo puoi piu' fare come coi frutti, ed e' in salita
>anche dire oggetti a Totti & C.
Forse bisogna passare ad un insieme ancora più generale..non so:
"enti"???:-)
Dalgora Nulla
wrote:
>
>"Dalet" <da...@tiscali.it> ha scritto nel messaggio
>news:slrnfkgb0v...@p915.tiscali.it...
>> Ecco allora che si arriva: da una parte all'astrazione
>> della nozione di numero*, dall'altra a quella dell'omogeita'
>> delle grandezze, che serve per la geometria e per la fisica.
>>
>Della serie esiste solo la fisiica...
>
Quindi? Si possono sommare o no le pere con le mele?:-)
Dalgora Nulla
wrote:
>
>Uno potrebbe tagliare il nodo gordiano di netto proponendo il semplice
>modello aritmetico, "senza se e senza ma":
>5 + 4 = 9
Questa è la soluzione proposta dal prof. Paolo Negrini del
Dipartimento di Matematica Università di Bologna
http://www.matematicainsieme.it/math/archivio/Numeri%20e%20misure.htm
>Un modello più aderente:
>5p + 4m = 9f
>(Da non confondere con la notazione algebrica ! In algebra le lettere
>stanno al posto di numeri qui invece stanno al posto di oggetti, e
>sono più propriamente da vedere come unità di misura)
Questa invece a me sembra del tutto sbagliata: pere e mele non possono
essere intese come unità di misura in quanto non vengono utilizzate
per rappresentare un rapporto di grandezza.
>Il problema è come inquadrare la cosa in una opportuna teoria in modo
>che 9f risulti una conseguenza formale di 5p + 4m.
>
>Un modello più raffinato invece può essere quello insiemistico-
>aritmetico:
>rappresentiamo le pere e le mele come due insiemi, rispett. di 5 e 4
>elementi, i due insiemi li rappresentiamo come sottoinsiemi
>dell'insieme dei frutti, e usiamo un operatore matematico che ci dà il
>numero di elementi di un insieme applicandolo al soprainsieme dei
>frutti, che ne è l'unione insiemistica.
>Qui abbiamo la modellizzazione insiemistica del fatto intuitivo che
>mele e pere sono frutti.
Infatti, questa mi appare la soluzione più aderente alla realtà e più
soddisfacente. Ma, adottandola, devo contraddire l'affermazione "non
si possono sommare le pere con le mele" in quanto l'operazione è nel
campo del possibile.
Dalgora Nulla
Concordo!;-)
?manu*
> <magn...@alice.it> wrote:
>>Comunque non sempre 2 + 2 = 4 ;-)
> Concordo!;-)
Io no!
E.
Poincarè
> >>Comunque non sempre 2 + 2 = 4 ;-)
> > Concordo!;-)
>
> Io no!
Opinioni :-)
Sia 2 una rappresentazione diversa di {vuoto, {vuoto}},
sia + una rappresentazione di somma disgiunta
2 + 2 = ?
Ciao
Poincarè
Tetis
> On Tue, 27 Nov 2007 01:30:11 GMT, lje...@yahoo.it (Tetis) wrote:
>
> >Il 27 Nov 2007, 01:16, Giorgio Pastore <pas...@units.it> ha scritto:
> >> >
> >> > A livello di insiemi la somma è perfettamente definita
> >> > è l'unione insiemistica.
> >>
> >> Che però non è la somma tra numeri, pur preservandone alcune
> >> proprietà formali. O per te 3+5 è lo stesso che 3 U 5 :-)
> >
> >
> >Neanche per idea. Ma tu parlavi di operazioni su insiemi...
> >ed ho fatto notare che a livello insiemistico l'unione può
> >essere interpretata come somma, interpretazione che
> >nelle scuole elementari nessuno si permetterebbe di
> >fare, o quanto meno: la mia maestra non confondeva unione
> >insiemistica e somma.
>
> Potrei avere un chiarimento in proposito? In cosa consisterebbe la
> differenza?
La somma aritmetica agisce su quantità omogenee
l'unione insiemistica non agisce su quantità ma su
insiemi. Questo per lo meno nell'aritmetica pratica.
Che poi ci sia anche un'aritmetica teorica in cui i numeri
astraggono dalle quantità è una questione secondaria
nel tempo.
> >
> >Non confondere :-) la somma insiemistica che è ammessa anche
> >fra insiemi eterogenei con la somma aritmetica che è ammessa solo
> >fra grandezze omogenee, e tantomeno con la somma vettoriale di cui
> >ha parlato qualcuno che è una somma fra classi di omogeneità. Ad
> >essere più rigorosi si povrebbe parlare di spazi vettoriali graduati.
>
> Quindi, una matematica consente di unire le pere con le mele ed
> un'altra matematica mi nega questa possibilità? Mi sembra strano,
> perché la realtà è unica.
La matematica ha diversi concetti, mica uno.
Giorgio Pastore
>> Che però non è la somma tra numeri, pur preservandone alcune
>> proprietà formali. O per te 3+5 è lo stesso che 3 U 5 :-)
>
>
> Neanche per idea. Ma tu parlavi di operazioni su insiemi...
> ed ho fatto notare che a livello insiemistico l'unione può
> essere interpretata come somma, interpretazione che
> nelle scuole elementari nessuno si permetterebbe di
> fare, o quanto meno: la mia maestra non confondeva unione
> insiemistica e somma.
Interpretare non significa la stessa cosa di essere, Concordo con la tua
maestra che unione insiemistica e somma aritmetica sono due cose diverse.
... la somma aritmetica che è ammessa solo
> fra grandezze omogenee,...
La somma aritmetica per me è solo quella tra numeri. Sommare due
segmenti non è la stessa cosa (le operazioni concettuali sono diverse)
da sommare due numeri, due aree o due angoli. Sono tante somme
diverse. E in principio andrebbero battezzate diveramente. Siccome
però condividono molte proprietà formali è ragionevole chiamere tutte
queste operazioni somme (con la qualificazione: tra...) ma è ovvio
(matematicamente) che si sta parlando di operazioni isomorfe e non della
*stessa* operazione. L' esempio fatto altrove in qesto thread è
significativo: nessuno pretenderebbe di sommare un vettore ad uno scalare.
Giorgio
Giorgio Pastore
...
> Quindi, una matematica consente di unire le pere con le mele ed
> un'altra matematica mi nega questa possibilità? Mi sembra strano,
> perché la realtà è unica.
concettuali. Solo dopo che ho definito le cose di cui sto parlando
(somma, insiemi, numeri, etc ) e le loro relazioni mutue posso
chiedermi se e come posso usarli come modello della realtà. Nulla vieta
di avere modelli diversi della stessa realtà.
Il cuore della questione sta tutto nelle definizioni. La frase "non
posso sommare mele con pere" non è né vera né falsa finché non so
dare un significato alla parola sommare (immagino di sapere cosa intendo
per pere e mele).
*Se* per sommare intendo l' unione di due insiemi posso farlo anche con
insiemi di pere e mele in quanto l' unione di insiemi è sempre definita.
*Se° per sommare intendo sommare le cardinalità dei due insiemi posso
anche farlo a partie da una definizione di somma delle cardinalità che
si rifà all' unione degli insiemi.
*Se* restringo l' unione di due insiemi ai soli sottoinsiemi di un dato
insieme (quello di delle sole pere o delle sole mele) allora l' insieme
unione di pere e mele non è un sottoinsieme di sole mele (o pere) e
dico che non posso realizzare l' unione secondo qesta definizione.
Come vedi posso dire se l' affermazione originale è vero o falsa solo
dopo che ne ho specificato il significato. Questo d'altra parte on è un
concetto nuovo in matematica. Anche in geometria abbiamo gemetrie
diverse a seconda che ammettiamo o meno la validità di alcuni dei
postulati fondamentali. Ma le geometrie non hanno niente a che vedere
con la *realtà*. Per fare connessione con la realtà devo decidee
empiricamente quale geometria meglio si adatta alla realtà dopo che ho
esplicitamente spiegato come identifico gli enti astratti della
geometria con enti fisici reali.
Giorgio
?manu*
> On 27 Nov, 17:02, ?manu* <paol...@NO.math.unifi.SPAM.it> wrote:
>
>
>>>>Comunque non sempre 2 + 2 = 4 ;-)
>>>
>>>Concordo!;-)
>>
>>Io no!
>
> Opinioni :-)
Io sono convinto che la matematica non č un'opinione... (tanto per
rimanere ai luoghi comuni).
E.
Dalgora Nulla
<pao...@NO.math.unifi.SPAM.it> wrote:
>Poincarè wrote:
>> On 27 Nov, 17:02, ?manu* <paol...@NO.math.unifi.SPAM.it> wrote:
>>
>>
>>>>>Comunque non sempre 2 + 2 = 4 ;-)
>>>>
>>>>Concordo!;-)
>>>
>>>Io no!
>>
>> Opinioni :-)
>
>Io sono convinto che la matematica non è un'opinione... (tanto per
>rimanere ai luoghi comuni).
>
Possiamo accordarci con un "dipende"?:-)
Un esempio è stato portato già da Poincarè e spesso si fa riferimento
all'unione di due insiemi che conduce ad un unico insieme (1U1=1)
Si può obiettare che 1 insieme di 2 pere unito ad un altro insieme di
2 pere mi dà 1 insieme la cui cardinalità è somma delle precedenti
(2+2=4), ma 1U1=1 (e anche questa non è un'opinione, o sbaglio?:-)
(Non ho parlato di insiemi di pere e mele al fine di evitare ulteriori
complicazioni!:-)
Giovanni
> >Un modello più aderente:
> >5p + 4m = 9f
> >(Da non confondere con la notazione algebrica ! In algebra le lettere
> >stanno al posto di numeri qui invece stanno al posto di oggetti, e
> >sono più propriamente da vedere come unità di misura)
> Questa invece a me sembra del tutto sbagliata: pere e mele non possono
> essere intese come unità di misura in quanto non vengono utilizzate
> per rappresentare un rapporto di grandezza.
Nel link che mi avevi dato si considerano questo tipo di aggiunte
letterali ai numeri come "pro-memoria", per ricordare che un certo
numero si riferisce a qualcosa. Mi sembra corretto.
Ma se ci pensi la cosa funziona proprio allo stesso modo delle unità
di misura.
Quando scrivo 5 Km intendo ricordare che 5 è una quantità di
chilometri, ma che differenza c'è con scrivere 5 m per ricordarsi
che 5 è una quantità di mele ?
Come funziona una misurazione ?
Una misura esprime quante volte ci stà l'entità presa come *unità di
misura* in ciò che stiamo misurando.
Così quando misuriamo una cassetta di mele vediamo quante volte 1 mela
(unità di misura) ci sta nella cassetta.
Se, per es., facciamo un grafico delle automobili che transitano ad un
incrocio in funzione del tempo, le automobili non sono forse l'unità
di misura di un asse del grafico ?
Se facessimo lo stesso grafico, ma riferito alle automobili che
transitano in tutta Italia ad ogni istante, allora, scaleremmo l'unità
di misura, da 1 auto, a 1000 o 100.000 auto.
Che differenza c'è ? Non è lo stesso per 1 metro e 1000 metri = 1 Km ?
Che differenza funzionale c'è quindi tra mele, chilometri e
automobili ?
In matematica tutto è permesso purchè lo si faccia in modo chiaro e
coerente.
Dobbiamo solo stabilire delle regole.
Stabiliamo che, per ogni X e per ogni Y, Xp + Ym = (X + Y)f
Potremmo perfezionare maggiormente usando una apposita notazione per
quando si usa p e m (mele e pere) per distinguere tali lettere da
quelle usate solitamente in algebra.
> >Un modello più raffinato invece può essere quello insiemistico-
> >aritmetico:
> >rappresentiamo le pere e le mele come due insiemi, rispett. di 5 e 4
> >elementi, i due insiemi li rappresentiamo come sottoinsiemi
> >dell'insieme dei frutti, e usiamo un operatore matematico che ci d� il
> >numero di elementi di un insieme applicandolo al soprainsieme dei
> >frutti, che ne � l'unione insiemistica.
> >Qui abbiamo la modellizzazione insiemistica del fatto intuitivo che
> >mele e pere sono frutti.
> Infatti, questa mi appare la soluzione più aderente alla realtà e più
> soddisfacente. Ma, adottandola, devo contraddire l'affermazione "non
> si possono sommare le pere con le mele" in quanto l'operazione è nel
> campo del possibile.
Ogni affermazione va sempre contestualizzata.
Credo che l'affermazione "non si possono sommare le pere con le mele"
si riferisca al fatto per es. di non poter sommare cose come Km e Kg,
ossia unità di misura diverse.
In generale ciò è vero.
In parte è vero anche per le mele e le pere, in tal caso abbiamo la
scappatoia della frutta, ma a sommare qualunque altre cose a caso,
tipo Decibel e Ettari o prendi qualunque altro di accoppiamento a
caso ?!
Il fatto che con mele e pere c'è la scappatoia è un pò come
l'eccezione che conferma la regola.
Se vuoi è solo un esempio poco felice della regola generale.
.
Ciao
Giovanni
Dalgora Nulla
Passando al piano didattico, io credo che l'errore fondamentale sia
quello di usare spesso la forma grafica e bidimensionale per
rappresentare i concetti, tralasciando completamente l'esperienza
pratica da cui quei concetti sono stati estrapolati.
Voglio dire che non è l'insiemistica che deve essere messa sotto
accusa, ma il metodo di insegnamento della stessa.
Qui si è fatto riferimento al "problem solving" come elemento di
partenza. Il Dienes parla di "variabilità percettiva" come uno degli
strumenti indispensabili per poter trasferire concetti astratti
dall'insegnante all'allievo. Seymour Papert parla dei suoi giochi
infantili con gli "ingranaggi" da cui trasse i concetti matematici più
importanti.
Giocare con le mani è un passo che non può essere ignorato. Solo
successivamente si può passare alla rappresentazione grafica e
simbolica.
Ps. Scusatemi, non mi sono presentata. Non sono una maestra: mi occupo
di scienze cognitive e, in ogni caso, ringrazio tutti per le
interessanti risposte.
Dalgora Nulla
wrote:
>La realtà è unica ma non vieta di operare su diversi livelli
>concettuali. Solo dopo che ho definito le cose di cui sto parlando
>(somma, insiemi, numeri, etc ) e le loro relazioni mutue posso
>chiedermi se e come posso usarli come modello della realtà. Nulla vieta
>di avere modelli diversi della stessa realtà.
>
Concordo su questa affermazione.
>Il cuore della questione sta tutto nelle definizioni. La frase "non
>posso sommare mele con pere" non è né vera né falsa finché non so
>dare un significato alla parola sommare (immagino di sapere cosa intendo
>per pere e mele).
>
>*Se* per sommare intendo l' unione di due insiemi posso farlo anche con
> insiemi di pere e mele in quanto l' unione di insiemi è sempre definita.
>
>*Se° per sommare intendo sommare le cardinalità dei due insiemi posso
>anche farlo a partire da una definizione di somma delle cardinalità che
>si rifà all' unione degli insiemi.
>
>*Se* restringo l' unione di due insiemi ai soli sottoinsiemi di un dato
>insieme (quello di delle sole pere o delle sole mele) allora l' insieme
>unione di pere e mele non è un sottoinsieme di sole mele (o pere) e
>dico che non posso realizzare l' unione secondo qesta definizione.
>
Ecco, mi hai definito molto bene il problema e ne condivido
l'impostazione, però secondo me la frase " non si possono sommare le
pere con le mele", proprio perché espressa in modo assoluto, è falsa
in quanto la "non-possibilità" esclude logicamente il fatto che
esistano casi di possibilità.
Mi rendo conto che si entra nell'ambito della filosofia del
linguaggio, ma affermare che un evento "è possibile" non significa che
esso debba esserlo sempre e in tutte le circostanze.
Tuttavia concordo con il fatto che in ogni caso è più esauriente
definire i limiti di queste affermazioni.
Per chiarire il senso del mio discorso ricorro ad un esempio non
matematico: se dico "non si può andare da Roma a Milano" la mia
affermazione è falsa quando non definisco l'ambito in cui questa
affermazione è "relativamente" vera. (per esempio: non si può andare
da Roma a Milano via mare, con nave:-)
Se dico "si può andare da Roma a Milano" indico che la possibilità
esiste e sarà poi mia cura trovare il mezzo per attuare l'azione.
(però non sono certa certa..eh.. potrei sbagliare...:-))
>Come vedi posso dire se l' affermazione originale è vero o falsa solo
>dopo che ne ho specificato il significato. Questo d'altra parte non è un
>concetto nuovo in matematica. Anche in geometria abbiamo gemetrie
>diverse a seconda che ammettiamo o meno la validità di alcuni dei
>postulati fondamentali. Ma le geometrie non hanno niente a che vedere
>con la *realtà*. Per fare connessione con la realtà devo decidere
>empiricamente quale geometria meglio si adatta alla realtà dopo che ho
>esplicitamente spiegato come identifico gli enti astratti della
>geometria con enti fisici reali.
Penso che riporterò una parte di questo discorso in qualche gruppo di
filosofia. Concordo con il fatto che il mezzo (in questo caso la
matematica) deve essere scelta in base alle finalità che intendo
perseguire.
Ciao e grazie!:-)
Dalgora
Dalgora Nulla
>Il 27 Nov 2007, 15:56, Dalgora Nulla <dalgor...@libero.it> ha scritto:
>>
>> Potrei avere un chiarimento in proposito? In cosa consisterebbe la
>> differenza?
>
>La somma aritmetica agisce su quantità omogenee
>l'unione insiemistica non agisce su quantità ma su
>insiemi. Questo per lo meno nell'aritmetica pratica.
>Che poi ci sia anche un'aritmetica teorica in cui i numeri
>astraggono dalle quantità è una questione secondaria
>nel tempo.
...ehmm... così mi si confondono ancora di più le idee..:-)
Dalgora Nulla
wrote:
>Tetis wrote:
>... la somma aritmetica che è ammessa solo
>> fra grandezze omogenee,...
>
>La somma aritmetica per me è solo quella tra numeri. Sommare due
>segmenti non è la stessa cosa (le operazioni concettuali sono diverse)
> da sommare due numeri, due aree o due angoli. Sono tante somme
>diverse.
Be' io posso sommare due segmenti facendo riferimento alla misura
della loro lunghezza (mi limito a questo esempio) e quindi da due
segmenti (AB e CD) che misurano rispettivamente cm 5 e cm 6 potrò
ottenere un segmento somma AD lungo cm 11.
Più ragiono su queste cose, però, più mi sembra che in fondo anche i
numeri siano strumenti di misura: in una parola, in un insieme di pere
con cardinalità 5, il numero 5 mi misura la potenza di quell'insieme.
Non confonderei invece pere e mele con il concetto di quantità e,
quindi, di misura. Pere e mele mi indicano solo il genere di frutto,
una qualità, non una quantità e, quindi, non una "grandezza".
Escluderei perciò il riferimento a "grandezze omogenee" parlando di
pere e mele, mentre condivido la definizione se parliamo di cm (o
altre unità di misura)
>E in principio andrebbero battezzate diveramente. Siccome
>però condividono molte proprietà formali è ragionevole chiamare tutte
>queste operazioni somme (con la qualificazione: tra...) ma è ovvio
>(matematicamente) che si sta parlando di operazioni isomorfe e non della
>*stessa* operazione. L' esempio fatto altrove in qesto thread è
>significativo: nessuno pretenderebbe di sommare un vettore ad uno scalare.
L'esempio che hai evidenziato (vettore e scalare) infatti è
interessante, ma credo che la differenza sia ben più sostanziale.
Devo pensarci.:-)
Tetis
Come scrivi altrove: dal punto di vista pratico la nozione astratta
di misura, che è citata in uno dei link segnalati in questo thread,
si riduce a quanto segue:
stabilito un criterio di omogeneità e l'unità si associano dei numeri
alle quantità e quindi si procede con operazioni su numeri che sono
adimensionali.
L'indicazione pratica di non sommare mele con pere si ritrova,
a livello di teoria della misura nella seguente circostanza: la misura
del numero di mele contenute in un insieme è insensibile al numero
di pere e viceversa. E' essenziale il criterio di omogeneità adottato.
Quando si riguardano gli stessi oggetti in vista di un'altra finalità,
come dicevi, che può essere quella di contare il numero complessivo
di frutti, come diceva Peltio, si verifica che a partire da due misure
caratteristiche, la prima per le mele, la seconda per le pere possiamo
costruire una nuova misura che non fa più riferimento alle une nè alle
altre, ma che può essere costruita andando a sommare le due misure
iniziali, per via della fortunata circostanza che le caratteristiche del
nostro esempio sono mutuamente esclusive.
N_(di cose che sono mele o pere) ( Insieme) = N_mele (Insieme) +
N_pere(Insieme).
a questo livello stiamo infatti solamente sommando numeri e
non riunendo quantità eterogenee sotto un'etichetta che le somma.
Stiamo in pratica sfruttando due circostanze: le mele e le pere
individualmente
rientrano fra le cose che sono mele o pere, e non esistono cose che sono
al tempo stessa l'una e l'altra.
E' quindi evidente da un lato che la qualità è distinta dalla quantità,
e che quando usiamo i numeri per indicare quantità omogenee
dobbiamo attaccare un indicativo che è l'unità di misura e che
prende il nome dalla qualità omogenea considerata, ma non è
più una qualità. Per questa ragione mele e pere possono rimanere
qualità distinte e le unità di misura correlate rimangono unità di
misura isomorfe ad altre, ma distinte da quelle.
In conclusione ribadisco: in aritmetica pratica sommare
mele e pere non si scrive per la stessa ragione per la quale non ha
significato sommare metri lineari a metri quadrati circostanza che non
esclude la possibilità di definire delle misure che coincidano con una
misura lineare in una regione di spazio e con una misura di superficie
in un altra regione di spazio.
?manu*
> On Wed, 28 Nov 2007 08:03:14 +0100, ?manu*
> <pao...@NO.math.unifi.SPAM.it> wrote:
>
>>Poincarè wrote:
>>
>>>On 27 Nov, 17:02, ?manu* <paol...@NO.math.unifi.SPAM.it> wrote:
>>>
>>>
>>>
>>>>>>Comunque non sempre 2 + 2 = 4 ;-)
>>>>>
>>>>>Concordo!;-)
>>>>
>>>>Io no!
>>>
>>>Opinioni :-)
>>
>>Io sono convinto che la matematica non è un'opinione... (tanto per
>>rimanere ai luoghi comuni).
>
> Possiamo accordarci con un "dipende"?:-)
> Un esempio è stato portato già da Poincarè e spesso si fa riferimento
> all'unione di due insiemi che conduce ad un unico insieme (1U1=1)
>
> Si può obiettare che 1 insieme di 2 pere unito ad un altro insieme di
> 2 pere mi dà 1 insieme la cui cardinalità è somma delle precedenti
> (2+2=4), ma 1U1=1 (e anche questa non è un'opinione, o sbaglio?:-)
Ma un insieme di 2 pere non è uguale a 2. E l'unione non è la somma. C'è
unanimità nel significato dei simboli 2, + e = e nella validità
dell'equazione 2+2=4. Questo è il bello della matematica, è un peccato
non riconoscerlo!
E.
Poincarè
> C'è unanimità nel significato dei simboli 2, + e = e nella validità
> dell'equazione 2+2=4.
Equazione? Dove sarebbe questa unanimità?
Mi togli una curiosità ma sei uno studente?
Ciao
Poincarè
Dalgora Nulla
wrote:
>Quando scrivo 5 Km intendo ricordare che 5 è una quantità di
>chilometri, ma che differenza c'è con scrivere 5 m per ricordarsi
>che 5 è una quantità di mele ?
>Come funziona una misurazione ?
>Una misura esprime quante volte ci stà l'entità presa come *unità di
>misura* in ciò che stiamo misurando.
>Così quando misuriamo una cassetta di mele vediamo quante volte 1 mela
>(unità di misura) ci sta nella cassetta.
Non condivido...Io non sto misurando la cassetta: le mele non vengono
usate come unità di misura per definire la capienza della cassetta.
Se rifletti, ti accorgi che togliendo la cassetta tu puoi avere
benissimo 5 mele e, in questo caso, il 5 misura unicamente la
cardinalità dell'insieme "mele".
E' vero che si possono anche utilizzare degli oggetti ( piede,
braccio, pertica, pollice...) per misurare, ad esempio, un'estensione,
ma allora deve essere chiarita la funzione che quell'oggetto assume.
In una parola, mi sembra che l'uso della mela come unità di misura
possa essere inteso solo come un caso particolare.
>Se, per es., facciamo un grafico delle automobili che transitano ad un
>incrocio in funzione del tempo, le automobili non sono forse l'unità
>di misura di un asse del grafico ?
>Se facessimo lo stesso grafico, ma riferito alle automobili che
>transitano in tutta Italia ad ogni istante, allora, scaleremmo l'unità
>di misura, da 1 auto, a 1000 o 100.000 auto.
>Che differenza c'è ? Non è lo stesso per 1 metro e 1000 metri = 1 Km ?
>Che differenza funzionale c'è quindi tra mele, chilometri e
>automobili ?
Dipende dalla funzione che si attribuisce all'oggetto. Ma se io ho una
cassetta con 5 mele e ne mangio 2, l'estensione della cassetta non
varia anche se di mele ne sono rimaste solo 3. In pratica, la cassetta
di 5 mele è diventata una cassetta di 3 mele, ma l'area e il volume
della cassetta non sono variate. Di qui io escludo che per la mela si
possa parlare di un'untà di misura.
Tu passi poi a considerare la rappresentazione grafica di un fenomeno
ma mi sembra un discorso diverso.
>
>In matematica tutto è permesso purchè lo si faccia in modo chiaro e
>coerente.
>Dobbiamo solo stabilire delle regole.
>Stabiliamo che, per ogni X e per ogni Y, Xp + Ym = (X + Y)f
>Potremmo perfezionare maggiormente usando una apposita notazione per
>quando si usa p e m (mele e pere) per distinguere tali lettere da
>quelle usate solitamente in algebra.
In questo caso p ed m, cosa indicherebbero? Unicamente i sottoinsiemi
di f
>
>> >Un modello più raffinato invece può essere quello insiemistico-
>> >aritmetico:
[cut]
>> Infatti, questa mi appare la soluzione più aderente alla realtà e più
>> soddisfacente. Ma, adottandola, devo contraddire l'affermazione "non
>> si possono sommare le pere con le mele" in quanto l'operazione è nel
>> campo del possibile.
>
>Ogni affermazione va sempre contestualizzata.
>Credo che l'affermazione "non si possono sommare le pere con le mele"
>si riferisca al fatto per es. di non poter sommare cose come Km e Kg,
>ossia unità di misura diverse.
Vedi? E' qui che secondo me c'è confusione!
Km e Kg sono unità di misura e si riferiscono a grandezze diverse. In
questo caso si pretenderebbe di sommare proprietà diverse (estensione
+ peso!). Il caso pere e mele, invece è diverso: pere e mele non sono
grandezze, anche se possono essere misurate in base a diversi
parametri come il peso, il volume, l'altezza..che sono grandezze.
>In generale ciò è vero.
>In parte è vero anche per le mele e le pere, in tal caso abbiamo la
>scappatoia della frutta, ma a sommare qualunque altre cose a caso,
>tipo Decibel e Ettari o prendi qualunque altro di accoppiamento a
>caso ?!
Vedi? Stai parlando di unità di misura di grandezze!!!
>Il fatto che con mele e pere c'è la scappatoia è un pò come
>l'eccezione che conferma la regola.
>Se vuoi è solo un esempio poco felice della regola generale.
No, io credo che non sia un'eccezione che conferma la regola. Io credo
che ci sia solo confusione tra grandezze ed oggetti. Gli oggetti non
sono grandezze.
Giovanni
Volevo solo mettere in campo una questione.
Forse la dialettica importante non è tanto grandezze / oggetti,
ma grandezze continue / grandezze discrete come unità di misura.
Per ora mi viene solo un altro esempio.
Che dire per es. del BIT come unità di misura dell'informazione, è
certamente una grandezza discreta.
.
Ciao
Giovanni
?manu*
> On 28 Nov, 15:32, ?manu* <paol...@NO.math.unifi.SPAM.it> wrote:
>
>
>>C'è unanimità nel significato dei simboli 2, + e = e nella validità
>>dell'equazione 2+2=4.
>
>
> Equazione?
Preferisci uguaglianza?
> Dove sarebbe questa unanimità?
> Mi togli una curiosità ma sei uno studente?
Le proprietà dell'addizione sono note a tutti quelli che hanno
frequentato profiquamente le elementari.
E.
?manu*
> (per esempio: non si può andare
> da Roma a Milano via mare, con nave:-)
OT: Una volta si poteva!
E.
Poincarè
> >>C'è unanimità nel significato dei simboli 2, + e = e nella validità
> >>dell'equazione 2+2=4.
> Le proprietà dell'addizione sono note a tutti quelli che hanno
> frequentato profiquamente le elementari.
Il punto è che io do significati diversi a seconda del campo di
applicazione, sintatticamente è lo stesso simbolo.
Forse è qui il malinteso, anche se non credo.
1 per me rappresenta molte cose, a volte è un semplice numero altre
volte un'intera struttura, così anche per gli altri simboli. Ad
esempio + non è solo operatore di numeri.
La nostra non è una disquisizione su opinioni differenti centrata su
una banalità come 2 + 2 = 4? :-)
Ciao
Poincarè
P.S. Scusate se sono uscito troppo dal seminato delle pere e delle
mele. :o)
Giorgio Pastore
>> segmenti non è la stessa cosa (le operazioni concettuali sono diverse)
>> da sommare due numeri, due aree o due angoli. Sono tante somme
>> diverse.
>
> Be' io posso sommare due segmenti facendo riferimento alla misura
> della loro lunghezza (mi limito a questo esempio) e quindi da due
> segmenti (AB e CD) che misurano rispettivamente cm 5 e cm 6 potrò
> ottenere un segmento somma AD lungo cm 11.
Non va tanto bene: chi ti dice che la somma di due segmenti sia ancora
un segmento ? Di nuovo , dipende da come defnisci la somma. Ma se la
somma non è un segmento, allora devi definire a parte cosa intendi per
lunghezza della somma.
>
> Più ragiono su queste cose, però, più mi sembra che in fondo anche i
> numeri siano strumenti di misura: in una parola, in un insieme di pere
> con cardinalità 5, il numero 5 mi misura la potenza di quell'insieme.
Ovviamente dipende da come definisci i numeri naturali :-)
..
> Escluderei perciò il riferimento a "grandezze omogenee" parlando di
> pere e mele, mentre condivido la definizione se parliamo di cm (o
> altre unità di misura)
E qui occorrerebbe una definizione precisa di omogeneità di
grandezze... Perché 3 cm dovrebbe essere omogeneo a 5 cm e 3 pere non
omgeneo a 5 pere ?
Scusa se insisto ma in matematica, e anche in filosofia seria, non si
va da nessuna parte se non si parte da definizioni non ambigue.
Giorgio
?manu*
> On 28 Nov, 18:52, ?manu* <paol...@NO.math.unifi.SPAM.it> wrote:
>
> Il punto è che io do significati diversi a seconda del campo di
> applicazione, sintatticamente è lo stesso simbolo.
> Forse è qui il malinteso, anche se non credo.
Sì, il punto è questo. Però se gli dai significati diversi devi fare in
modo che sia chiaro il contesto. Secondo me dire che "non sempre 2+2=4"
è un modo di darsi la zappa sui piedi. Mi ricordo di un mio coetaneo
filosofo che voleva che gli si spiegasse in quale contesto 1+1=0 (lui
confondeva la rappresentazione binaria con le operazioni modulo 2) per
poter usare questa argomentazione nelle sue disquisizioni. Beh, secondo
me la matematica deve distinguersi dalla filosofia. In filosofia ci sono
opinioni, in matematica invece c'è sempre accordo sulla validità o meno
di un teorema. Quindi non dobbiamo farci tirare in questo tranello... e
dobbiamo affermare con certezza che 2+2=4.
E.
Poincarè
> > Il punto è che io do significati diversi a seconda del campo di
> > applicazione, sintatticamente è lo stesso simbolo.
> > Forse è qui il malinteso,
>
> Sì, il punto è questo. Però se gli dai significati diversi devi fare in
> modo che sia chiaro il contesto. Secondo me dire che "non sempre 2+2=4"
> è un modo di darsi la zappa sui piedi.
Beh, se non si spazia con i ricordi di studio sono d'accordo con te.
Ma forse ho troppo sintetizzato con quella frase, in fondo questo non
è luogo accademico.
Mi ricordo di un mio coetaneo
> filosofo che voleva che gli si spiegasse in quale contesto 1+1=0 (lui
> confondeva la rappresentazione binaria con le operazioni modulo 2) per
> poter usare questa argomentazione nelle sue disquisizioni. Beh, secondo
> me la matematica deve distinguersi dalla filosofia.
Infatti non a caso questo è un ng di matematica non di filosofia,
comunque c'è filosofo e filosofo......
Parere personale meglio la matematica ci si diverte di più :o)
In filosofia ci sono
> opinioni, in matematica invece c'è sempre accordo sulla validità o meno
> di un teorema.
Se ti limiti ai teoremi è vero, invece se si parla di intere teorie si
formano correnti di pensiero ognuna con le proprie ragioni. Non faccio
esempi perchè li conosci anche tu.
La mia prima affermazione si riferiva alla creazione di nuova
matematica, teorema, teoria, altro. Ad esempio la dimostrazione di
Wiles, Le idee di Galois, il paradiso di Cantor e tanti altri. Pensavo
fosse chiaro......
------
Ciao
Poncarè
Giovanni
> On Wed, 28 Nov 2007 00:49:12 -0800 (PST), Giovanni <stla...@alice.it>
> wrote:
> >Quando scrivo 5 Km intendo ricordare che 5 � una quantit� di
> >chilometri, ma che differenza c'� con scrivere 5 m per ricordarsi
> >che 5 � una quantit� di mele ?
> >Come funziona una misurazione ?
> >Una misura esprime quante volte ci st� l'entit� presa come *unit� di
> >misura* in ci� che stiamo misurando.
> >Cos� quando misuriamo una cassetta di mele vediamo quante volte 1 mela
> >(unit� di misura) ci sta nella cassetta.
> Non condivido...Io non sto misurando la cassetta: le mele non vengono
> usate come unit� di misura per definire la capienza della cassetta.
Mi sono espresso male.
Diciamo che valutiamo il *contenuto* della cassetta, non tanto la
cassetta in sè.
Ed è naturale, se contiene delle mele, esprimersi in termini di
QUANTITA' di mele.
E' indubbio che possa venir riferito a quell'insieme di mele una
GRANDEZZA e che la sua UNITA' DI MISURA sia la mela.
Avendo definito *unità di misura* quell'entità fisica che viene
riportata n volte nella grandezza da misurare.
(vedi http://143.225.250.10/Utenti/clandi/Appunti%20MEL/fondamenti_della_misurazione.pdf
pag. 2, paragrafo 1.5, alla voce: Grandezze numeriche: "L’unità di
misura è il singolo oggetto")
Comunque sia, al di là da ogni significato, ciò che facciamo con le
mele è operazionalmente identico a ogni altra misurazione.
> E' vero che si possono anche utilizzare degli oggetti ( piede,
> braccio, pertica, pollice...) per misurare, ad esempio, un'estensione,
> ma allora deve essere chiarita la funzione che quell'oggetto assume.
> In una parola, mi sembra che l'uso della mela come unit� di misura
> possa essere inteso solo come un caso particolare.
Infatti, di solito si usa per mangiare ... ; - )
> >Se, per es., facciamo un grafico delle automobili che transitano ad un
> >incrocio in funzione del tempo, le automobili non sono forse l'unit�
> >di misura di un asse del grafico ?
> >Se facessimo lo stesso grafico, ma riferito alle automobili che
> >transitano in tutta Italia ad ogni istante, allora, scaleremmo l'unit�
> >di misura, da 1 auto, a 1000 o 100.000 auto.
> >Che differenza c'� ? Non � lo stesso per 1 metro e 1000 metri = 1 Km ?
> >Che differenza funzionale c'� quindi tra mele, chilometri e
> >automobili ?
> Dipende dalla funzione che si attribuisce all'oggetto. Ma se io ho una
> cassetta con 5 mele e ne mangio 2, l'estensione della cassetta non
> varia anche se di mele ne sono rimaste solo 3. In pratica, la cassetta
> di 5 mele � diventata una cassetta di 3 mele, ma l'area e il volume
> della cassetta non sono variate. Di qui io escludo che per la mela si
> possa parlare di un'unt� di misura.
v. sopra
> Tu passi poi a considerare la rappresentazione grafica di un fenomeno
> ma mi sembra un discorso diverso.
> >
> >In matematica tutto � permesso purch� lo si faccia in modo chiaro e
> >coerente.
> >Dobbiamo solo stabilire delle regole.
> >Stabiliamo che, per ogni X e per ogni Y, Xp + Ym = (X + Y)f
> >Potremmo perfezionare maggiormente usando una apposita notazione per
> >quando si usa p e m (mele e pere) per distinguere tali lettere da
> >quelle usate solitamente in algebra.
> In questo caso p ed m, cosa indicherebbero? Unicamente i sottoinsiemi
> di f
No, rappresentano quello che è scritto e basta (e un puro algoritmo).
Segui solo e soltanto la regola: ogni volta che incontri un numero con
p e uno con m, se vuoi, puoi sommarli e mettere a destra del risulato
numerico la lettera f.
> >
> >> >Un modello pi� raffinato invece pu� essere quello insiemistico-
> >> >aritmetico:
> [cut]
> >> Infatti, questa mi appare la soluzione pi� aderente alla realt� e pi�
> >> soddisfacente. Ma, adottandola, devo contraddire l'affermazione "non
> >> si possono sommare le pere con le mele" in quanto l'operazione � nel
> >> campo del possibile.
> >
> >Ogni affermazione va sempre contestualizzata.
> >Credo che l'affermazione "non si possono sommare le pere con le mele"
> >si riferisca al fatto per es. di non poter sommare cose come Km e Kg,
> >ossia unit� di misura diverse.
> Vedi? E' qui che secondo me c'� confusione!
> Km e Kg sono unit� di misura e si riferiscono a grandezze diverse. In
> questo caso si pretenderebbe di sommare propriet� diverse (estensione
> + peso!). Il caso pere e mele, invece � diverso: pere e mele non sono
> grandezze, anche se possono essere misurate in base a diversi
> parametri come il peso, il volume, l'altezza..che sono grandezze.
No, il caso di mele e pere si può considerare quello delle *Grandezze
numeriche*
(Vedi il link sopra)
> Io credo che ci sia solo confusione tra grandezze ed oggetti. Gli oggetti non
> sono grandezze.
Come dicevi bene sopra, DIPENDE dall'uso che fai degli oggetti, nel
nostro caso le mele e le pere,
visto l'uso che ne facciamo, *funzionano come* unità di misura per
misurare la grandezza di un insieme di mele e/o di pere.
.
Ciao
Giovanni
Tetis
> Dalgora Nulla wrote:
> > On Wed, 28 Nov 2007 00:12:38 +0100, Giorgio Pastore <pas...@units.it>
> ... Sommare due
> >> segmenti non è la stessa cosa (le operazioni concettuali sono diverse)
> >> da sommare due numeri, due aree o due angoli. Sono tante somme
> >> diverse.
> >
> > Be' io posso sommare due segmenti facendo riferimento alla misura
> > della loro lunghezza (mi limito a questo esempio) e quindi da due
> > segmenti (AB e CD) che misurano rispettivamente cm 5 e cm 6 potrò
> > ottenere un segmento somma AD lungo cm 11.
>
> Non va tanto bene: chi ti dice che la somma di due segmenti sia ancora
> un segmento ?
Mi sembra che non sia quello che intendesse. Stava dicendo che
può costruire un segmento di misura 11 cm da due segmenti
più brevi ed intendere quello come somma dei due. E' in effetti
un passo importante nella costruzione della nozione di somma
vettoriale, ma senza arrivare a Varignon già Euclide propose questa
metodica di concatenazione lungo una retta, suddivisione in parti
uguali e confronto fra segmenti concatenati, a fondamento della teoria
dei razionali.
Di nuovo , dipende da come defnisci la somma. Ma se la
> somma non è un segmento, allora devi definire a parte cosa intendi per
> lunghezza della somma.
Anche questo però non è l'esempio ideale per illustrare la tua tesi
filosofica
perchè mi sembra che tutti abbiano un riferimento molto preciso, fin dalla
scuola elementare circa la concatenazione di segmenti, la suddivisione in
parti uguali, il loro confronto fra le parti e spesso persino sul metodo di
esaustione, nel senso che hanno visto almeno una volta la circonferenza come
poco distinguibile da un poligono regolare con moltissimi lati.
> > Più ragiono su queste cose, però, più mi sembra che in fondo anche i
> > numeri siano strumenti di misura: in una parola, in un insieme di pere
> > con cardinalità 5, il numero 5 mi misura la potenza di quell'insieme.
>
>
> Ovviamente dipende da come definisci i numeri naturali :-)
Ma scusa non potrebbe essere che invece il modo in cui nel
tempo sono stati definiti i numeri naturali rifletta una classe di
problemi ricondubibili, con diversi gradi di consapevolezza, al
confronto fra classi di omogeneità discrete? Fondamentalmente
dal conteggio degli oggetti alla suddivisione di continui in parti
mi sembra che questa esigenza pratica sia antica come l'uomo.
> > Escluderei perciò il riferimento a "grandezze omogenee" parlando di
> > pere e mele, mentre condivido la definizione se parliamo di cm (o
> > altre unità di misura)
>
> E qui occorrerebbe una definizione precisa di omogeneità di
> grandezze... Perché 3 cm dovrebbe essere omogeneo a 5 cm e 3 pere non
> omgeneo a 5 pere ?
Qui c'è un'inesattezza non è la misura ad essere omogenea ad un'altra
misura. E' il criterio soggiacente alla costruzione della misura ad essere
omogeneo nello spazio. In pratica la costruzione di un numero richiede
sempre, come fondamento, la possibilità di considerare elementi distinti
(ad esempio di una topologia) come omogenee nei confronti. Persino
nella teoria astratta in termini di funzionali la misura gode di una
proprietà
di indifferenza mutuata dalla struttura omogenea di base che è lo spazio
vettoriale. Il criterio di omogeneità è intrinseco al fatto che il
funzionale che
definisce la misura può agire indifferentemente su ogni vettore dello
spazio.
Nella definizione di Hausdorf questa nozione di omogeneità soggiacente
è particolarmente evidente, al punto
che si fa può fare esplicito ricorso alla nozione di intorno.
Ma anche nelle definizioni di misura fondate sulle algebre di insiemi
le nozioni di base sono quelle mutuate da una struttura di reticolo
in virtù della quale ci possiamo muovere in uno spazio in virtù di due
operazioni fondamentali: distinguere ed assimilare, per cui dati due
elementi a, b si possono costruire il loro join ed il loro meet.
Un frammento di opinione che ho, del tutto personale ,
è poi che se le nostre abilità cognitive hanno
questa polarizzazione è perchè la nostra abilità cognitiva è analoga,
ovvero basata sulle medesime cause, del mondo che rappresenta,
e contiene in sé un principio universale.
> Scusa se insisto ma in matematica, e anche in filosofia seria, non si
> va da nessuna parte se non si parte da definizioni non ambigue.
Io devo dire che apprezzo questa insistenza almeno per il valore che
ha di invito al lavoro. E' chiaro che senza studio ed applicazione non
si va da nessuna parte, ma non sono sicuro di condividere invece
per intero lo spirito specifico che potrebbero tradire. Cioè, mi sembra,
l'esigenza di definire e catalogare è basata su esigenze concrete
e quadri problematici concreti che sono tanto più cogenti, quanto
meno lasciano spazio, dopo un'attenta considerazione, ad eventuali
ambiguità. Questo significa che non sono le definizioni ad essere
la vera premessa di un'argomentazione seria, ma semmai lo studio che
conduce alla formulazione di queste definizioni, e che se lo studio è
condotto con l'adeguato grado di completezza il margine per le ambiguità
e per le contraddizioni deve assottigliarsi.
> Giorgio
Dalgora Nulla
wrote:
>Forse la dialettica importante non è tanto grandezze / oggetti,
>ma grandezze continue / grandezze discrete come unità di misura.
>
Ma grandezze continue e grandezze discrete sono appunto grandezze
diverse e quindi rientriamo nel discorso per cui la somma è consentita
solo tra grandezze omogenee. O sbaglio?
>Per ora mi viene solo un altro esempio.
>Che dire per es. del BIT come unità di misura dell'informazione, è
>certamente una grandezza discreta.
Sì, e allora? E' un unità di misura.
Dalgora Nulla
wrote:
>Non va tanto bene: chi ti dice che la somma di due segmenti sia ancora
>un segmento ?
Che cosa potrebbe essere?
Se parliamo della somma di 3 segmenti, effettivamente potremmo
trovarci di fronte al perimetro di un triangolo. Ma due? Bah, non mi
viene in mente nulla: illuminami!:-)
> Di nuovo , dipende da come defnisci la somma.
Intendi dire che si deve definire se sommo le lunghezze o unisco i
segmenti?
>Ma se la
>somma non è un segmento, allora devi definire a parte cosa intendi per
>lunghezza della somma.
Forse sarebbe meglio parlare di somma delle lunghezze? Oppure? Puoi
farmi un esempio più chiaro, per favore?:-)
>
>>
>> Più ragiono su queste cose, però, più mi sembra che in fondo anche i
>> numeri siano strumenti di misura: in una parola, in un insieme di pere
>> con cardinalità 5, il numero 5 mi misura la potenza di quell'insieme.
>
>
>Ovviamente dipende da come definisci i numeri naturali :-)
Il fatto è che io parto da come gli esseri umani siano pervenuti a
questi concetti astratti. Ad esempio, c'è un popolo (i Piraha) che sa
contare soltanto fino a 2...:-)
http://www.corriere.it/Primo_Piano/Scienze_e_Tecnologie/2004/08_Agosto/21/piranha.shtml
e poi gli Egiziani, Pitagora...Euclide... vabbé, siamo andando fuori
campo...:-)
>
>..
>> Escluderei perciò il riferimento a "grandezze omogenee" parlando di
>> pere e mele, mentre condivido la definizione se parliamo di cm (o
>> altre unità di misura)
>
>E qui occorrerebbe una definizione precisa di omogeneità di
>grandezze... Perché 3 cm dovrebbe essere omogeneo a 5 cm e 3 pere non
>omgeneo a 5 pere ?
Io vorrei capire che cosa si intende per "grandezza" e per unità di
misura. Mi sembra che, nel link che ho postato, se ho ben capito, il
prof. Negrini precisi proprio che pere e mele sono oggetti e non unità
di misura. Io concordo con lui.
Perché voi intendete che sono unità di misura? Come ho già risposto a
Giovanni, in un altro post, l'unità di misura è tale perché un oggetto
assume la funzionalità di "misurare" e con tale funzionalità viene
convenzionalmente accettato. Ma pere e mele, nell'accezione comune,
non mi pare che assumano questa funzionalità.
>
>Scusa se insisto ma in matematica, e anche in filosofia seria, non si
>va da nessuna parte se non si parte da definizioni non ambigue.
>
Bart Kosko non sarebbe d'accordo.:-)
Tuttavia a me interessa molto capire il vostro punto di vista: ti
confesso che il mio dubbio è che si tratti di un vecchio detto
popolare ("non si possono sommare le pere con le mele"), nato da
un'esperienza contadina (le pere e le mele maturano in tempi diversi
dell'anno), il quale detto sarebbe poi entrato nel linguaggio
matematico più comune, guarda caso alle elementari, passando dall' uso
proverbiale a regola, con tutte le incongruenze che si incontrano.
Ma è solo un'ipotesi e può darsi che stia sbagliando del tutto!:-)
Dalgora Nulla
Il tempo (presente) definisce però già i limiti all'interno dei quali questa
affermazione è vera.:-)
Giorgio Pastore
> On Thu, 29 Nov 2007 00:04:34 +0100, Giorgio Pastore <pas...@units.it>
> wrote:
>
>
>> Non va tanto bene: chi ti dice che la somma di due segmenti sia ancora
>> un segmento ?
>
> Che cosa potrebbe essere?
> Se parliamo della somma di 3 segmenti, effettivamente potremmo
> trovarci di fronte al perimetro di un triangolo. Ma due? Bah, non mi
Esempio di "vita vissuta". Sugli appunti di geometria di mio figlio
(scientifico) c'e' scritto: "si definisce lunghezza di un segmento la
distanza dei punti estremi". Cosa può essere la somma di due segmenti ?
Dipende da come la definiamo. Una possibilità ragionevole che salva
tutto è la costruzione di Euclide in cui si trasporta uno dei due
segmenti in modo che il segmento trasportato sia adiacente (sulla stesa
retta e con estremo coincedente col primo). A questo punto la somma è
un segmento e la definizione di distanza non fa una piega.
Ma chi ci impedisce di definire "somma di sue segmenti la spezzata
costituita trasportando paralelamente il secondo segmento in modo che
sia consecutivo al primo (un estremo coincidente ma non allineati) ?
E' chiaro pero' che con questa definizione di somma la lunghezza
della somma come "distanza tra gli estremi (di che?, della spezzata ?)
non funziona più o per lo meno non come ci si aspetterebbe.
Questo, al di là dellla regionevolezza o meno delle definizioni, per
dare un esempio dei problemi legati ad una definizione non esplicita.
...
...
>
> Io vorrei capire che cosa si intende per "grandezza" e per unità di
> misura. Mi sembra che, nel link che ho postato, se ho ben capito, il
> prof. Negrini precisi proprio che pere e mele sono oggetti e non unità
> di misura. Io concordo con lui.
>
> Perché voi intendete che sono unità di misura? Come ho già risposto a
> Giovanni, in un altro post, l'unità di misura è tale perché un oggetto
> assume la funzionalità di "misurare" e con tale funzionalità viene
> convenzionalmente accettato. Ma pere e mele, nell'accezione comune,
> non mi pare che assumano questa funzionalità.
Io preferisco non parlare di unità di misura. Secondo me in tutto
questo discorso fa solo confusione.
E' sufficiente parlare di somma e di cosa si intende con questo.
>> Scusa se insisto ma in matematica, e anche in filosofia seria, non si
>> va da nessuna parte se non si parte da definizioni non ambigue.
>>
>
> Bart Kosko non sarebbe d'accordo.:-)
>
Dubito che la logica fuzzy possa fondarsi con defniznioni fuzzy :-)))
Ma di questo non so molto.
> Tuttavia a me interessa molto capire il vostro punto di vista: ti
> confesso che il mio dubbio è che si tratti di un vecchio detto
> popolare ("non si possono sommare le pere con le mele"), nato da
> un'esperienza contadina (le pere e le mele maturano in tempi diversi
> dell'anno), il quale detto sarebbe poi entrato nel linguaggio
> matematico più comune, guarda caso alle elementari, passando dall' uso
> proverbiale a regola, con tutte le incongruenze che si incontrano.
>
> Ma è solo un'ipotesi e può darsi che stia sbagliando del tutto!:-)
Sull' etimologia non saprei. Sospetto che faccia riferimento ad un
ambito ben noto (una volta!) per restringere l' applicabilità di
estensioni del concetto di somma a situazioni che potrebbero generare,
errori.
Io non lo prenderei come un detto popolare ma come una prescrizione
"ingegneristica" nel senso di dare una linuea guida restrittiva ma che
evita di scontrarsi con difficoltà concettuali.
Giorgio
?manu*
> On 29 Nov, 08:29, ?manu* <paol...@NO.math.unifi.SPAM.it> wrote:
>
>>Sì, il punto è questo. Però se gli dai significati diversi devi fare in
>>modo che sia chiaro il contesto. Secondo me dire che "non sempre 2+2=4"
>>è un modo di darsi la zappa sui piedi.
>
> è luogo accademico.
A maggior ragione! Appena dici una cosa del genere c'è il Sorrentino di
turno che se ne appropria per giustificare chissà quale teoria strampalata.
E.
Dalgora Nulla
<pao...@NO.math.unifi.SPAM.it> wrote:
>Poincarè wrote:
>> Ma forse ho troppo sintetizzato con quella frase, in fondo questo non
>> è luogo accademico.
>
>A maggior ragione! Appena dici una cosa del genere c'è il Sorrentino di
>turno che se ne appropria per giustificare chissà quale teoria strampalata.
>
Ah, ah... ce l'avete con il Sorrentino!!!:-))
Non temete, io non sono lui e la mia osservazione era molto meno
ambiziosa...
Dalgora Nulla
wrote:
>Ed è naturale, se contiene delle mele, esprimersi in termini di
>QUANTITA' di mele.
>E' indubbio che possa venir riferito a quell'insieme di mele una
>GRANDEZZA e che la sua UNITA' DI MISURA sia la mela.
>Avendo definito *unità di misura* quell'entità fisica che viene
>riportata n volte nella grandezza da misurare.
>(vedi http://143.225.250.10/Utenti/clandi/Appunti%20MEL/fondamenti_della_misurazione.pdf
>pag. 2, paragrafo 1.5, alla voce: Grandezze numeriche: "L’unità di
>misura è il singolo oggetto")
Purtroppo non riesco ad aprire il link, ma credo di aver compreso il
senso del tuo discorso: vuoi dire che le pere o le mele rappresentano
simbolicamente le singole unità.
Resta il fatto che, se vogliamo dare una regola generale, mentre non è
assolutamente possibile sommare "sic et simpliciter" Kg con Km, è
possibile invece sommare le pere con le mele in un problema banale del
tipo da me proposto. Così come è possibile stabilire equivalenze e
confronti tra oggetti diversi.
Quindi una differenza ci deve essere. Qual è?
>Come dicevi bene sopra, DIPENDE dall'uso che fai degli oggetti, nel
>nostro caso le mele e le pere,
>visto l'uso che ne facciamo, *funzionano come* unità di misura per
>misurare la grandezza di un insieme di mele e/o di pere.
Sei sicuro che le pere e le mele non servano unicamente per definire
la distinzione tra i due insiemi mentre è la cardinalità che "misura"
la potenza degli insiemi?:-)
marcofuics
> Ah, ah... ce l'avete con il Sorrentino!!!:-))
> Non temete, io non sono lui e la mia osservazione era molto meno
> ambiziosa...
Io sarei pure di Sorrento..... ma... :))
secondo me 5 mele + 4 pere si possono sommare, e perche' no?
Ti dico:
5 mele + 4 pere fanno esattamente 5 mele e 4 pere, niente di meno e
niente di piu'.
Giovanni
> On Thu, 29 Nov 2007 02:13:57 -0800 (PST), Giovanni <stla...@alice.it>
> wrote:
>
> >Ed � naturale, se contiene delle mele, esprimersi in termini di
> >QUANTITA' di mele.
> >E' indubbio che possa venir riferito a quell'insieme di mele una
> >GRANDEZZA e che la sua UNITA' DI MISURA sia la mela.
> >Avendo definito *unit� di misura* quell'entit� fisica che viene
> >riportata n volte nella grandezza da misurare.
> >(vedi http://143.225.250.10/Utenti/clandi/Appunti%20MEL/fondamenti_della_misurazione.pdf
> >pag. 2, paragrafo 1.5, alla voce: Grandezze numeriche: "L�unit� di
> >misura � il singolo oggetto")
> Purtroppo non riesco ad aprire il link,
Ho riprovato il link dal tuo stesso post di risposta e a me funziona,
anche se un pò lento.
Peccato perchè è un articolo interessante e dettagliato.
S'intitola proprio "ELEMENTI DI TEORIA DELLA MISURAZIONE"
Ti riporto il paragrafo che ci interessa:
Il termine *grandezza* viene usato per indicare ogni quantità,
proprietà, condizione usata per descrivere fenomeni e valutabile in
termini di unità di misura. Come esempi si possono indicare la
resistenza elettrica di un dato conduttore o la durata di un impulso.
Il termine *specie di grandezza* si utilizza per indicare l’insieme
delle grandezze valutabili con lo stesso metodo di misurazione o con
metodi di misurazione omologhi. Grandezze della stessa specie si
dicono omogenee e possono essere valutate in base alla stessa unità di
misura. L’essere valutate usando unità di misura aventi lo stesso nome
o dotate delle stesse dimensioni non è però condizione sufficiente a
che le grandezze siano della stessa specie.
Considerando il modo di esprimere e collegare i valori assunti dalle
grandezze, esse possono essere classificate in diversi tipi.
• Grandezze razionali. Sono grandezze i cui valori sono espressi da
numeri razionali.
• Grandezze numeriche (o numerali). Sono grandezze concernenti la
misurazione di oggetti o eventi individuati singolarmente, i cui
valori sono espressi da numeri interi positivi.
L'UNITA' DI MISURA E' IL SINGOLO OGGETTO o evento.
Come esempio si può citare il numero di abitanti di una certa regione.
Da notare che il numero di abitanti per kilometro quadrato è invece
una grandezza razionale.
• Grandezze complesse. Sono grandezze il cui valore è espresso
mediante un insieme ordinato di numeri relativi, presupponendo un
sistema di riferimento. I singoli elementi dell’insieme si dicono
componenti. L’intero insieme costituisce, in senso generalizzato, un
numero complesso. Come esempi si possono citare tutte le grandezze
vettoriali o tensoriali.
(Il maiuscolo è mio)
> ma credo di aver compreso il
> senso del tuo discorso: vuoi dire che le pere o le mele rappresentano
> simbolicamente le singole unità.
>
> Resta il fatto che, se vogliamo dare una regola generale, mentre non è
> assolutamente possibile sommare "sic et simpliciter" Kg con Km, è
> possibile invece sommare le pere con le mele in un problema banale del
> tipo da me proposto. Così come è possibile stabilire equivalenze e
> confronti tra oggetti diversi.
>
> Quindi una differenza ci deve essere. Qual è?
La differenza è che le mele e le pere, oltre che funzionare da unità,
possono funzionare da oggetti concreti.
Ma lostesso dicasi, come nel tuo esempio, di piedi, pollici e pertiche
(come unità di lunghezza).
Magari è un pò più facile raccogliere in un contenitore delle pertiche
piuttosto che dei piedi e pollici (solo se vogliamo evitare il
macabro :-)) )
Ma, se ci pensi, possiamo anche capovolgere le cose, e far diventare
le stesse mele e pere delle unità di lunghezza o di volume o di peso !
(Basta considerare le loro dimiensioni medie e standarizzarle).
Una mela è un oggetto, una pertica è un oggetto, possiamo forse
sommarle ?
Magari usando la classe degli oggetti o simili.
Ma allora trovando il soprainsieme giusto possiamo sommare cavoli e
merende, qualunque coppia di cose :-))
Ma, a ben vedere, a rigore, nemmeno mele e pere DI PER SE' possiamo
sommarle !!!
In realtà, TU SOMMI 4 frutti e 5 frutti, ma non 4 mele e 5 pere !!!
A rigore, 4m + 5p = 4m + 5p e non vai oltre.
Quando poni il quesito:
"La mamma va al supermercato ed acquista 5 pere e 4 mele: quanti
frutti ha comperato in tutto?"
Alla fine si parla di FRUTTI, le mele e le pere spariscono.
Nel momento che si parla di frutti, tu RIGUARDI le mele e le pere e le
vedi in una veste nuova, diventano qualitativamente indistinguibili.
C'è un vero e proprio TRUCCO:
tu la fai passare come una somma di grandezze eterogenee (mele, pere)
quando invece tu sommi grandezze omogenee: frutti !
E' come se ti tirassi la zappa sui piedi.
Il senso che non si può sommare mele e pere è perchè sono eterogenee,
infatti tu stesso per sommarle le rendi prima omogenee vedendole
entrambi i tipi come frutti:
cioè non fai che ribadire e rinforzare ciò che volevi contraddire.
Infatti, quando non c'è *la scappatoia* del soprainsieme comune, la
somma non la fai.
Insomma, tu NON SOMMI mele e pere, perchè prima di sommarle le
trasformi in frutti.
Lo so anch'io che frutti lo erano fin dall'inizio, ma la matematica
rende tutto alla luce del sole, esplicita tutto, il passaggio lo devi
dare esplicitamente !
Ne matematicamente, ne logicamente, puoi sommare mele e pere, tu sommi
solo
x frutti + y frutti.
In matematica conta solo ciò che è *logicamente necessario*, ossia ciò
che è sempre vero in tutte le condizioni.
4 + 5 = 9 è sempre vero, è necessario (tecnicamente: è un teorema,
deriva dagli assiomi dell'aritmetica (Assiomi di Peano)).
4m + 5p = 9f non è una verità necessaria.
solo 4m + 5p = 4m + 5p è una verità necessaria (anche tutte le
possibili trasformazioni algebriche, assimilando m e p come lettere
algebriche standard).
Infatti, 4f + 5f = 9f anche questa è necessaria.
Questa sì, ma non 4m + 5p = 9f
> >Come dicevi bene sopra, DIPENDE dall'uso che fai degli oggetti, nel
> >nostro caso le mele e le pere,
> >visto l'uso che ne facciamo, *funzionano come* unit� di misura per
> >misurare la grandezza di un insieme di mele e/o di pere.
> Sei sicuro che le pere e le mele non servano unicamente per definire
> la distinzione tra i due insiemi mentre è la cardinalità che "misura"
> la potenza degli insiemi?:-)
La cardinalità non guarda che cosa c'è dentro nell'insieme, diciamo
che *astrae* dal tipo di enti che contiene.
Certo che puoi sommare la cardinalità dell'insieme delle mele e
dell'insieme delle pere, ma questo lo puoi fare allora anche per
sommare cavoli e merende e per sommare qualunque cosa.
In tal caso, proprio perchè la cardinalità astrae dall'essere
dell'oggetto, anche in questo caso tu finisci che non sommi più mele e
pere ma SOMMI NUMERI puri !
Con la cardinalità non sommi mele e pere ma numeri: 4 e 5.
Non puoi dire che sei riuscito a sommare mele con pere, ma che sommi 4
con 5, che è diverso.
.
Ciao
Giovanni
Dalgora Nulla
[cut]
>Io devo dire che apprezzo questa insistenza almeno per il valore che
>ha di invito al lavoro. E' chiaro che senza studio ed applicazione non
>si va da nessuna parte, ma non sono sicuro di condividere invece
>per intero lo spirito specifico che potrebbero tradire. Cioè, mi sembra,
>l'esigenza di definire e catalogare è basata su esigenze concrete
>e quadri problematici concreti che sono tanto più cogenti, quanto
>meno lasciano spazio, dopo un'attenta considerazione, ad eventuali
>ambiguità. Questo significa che non sono le definizioni ad essere
>la vera premessa di un'argomentazione seria, ma semmai lo studio che
>conduce alla formulazione di queste definizioni, e che se lo studio è
>condotto con l'adeguato grado di completezza il margine per le ambiguità
>e per le contraddizioni deve assottigliarsi.
Grazie per tutti i chiarimenti che mi hai dato e di cui farò tesoro!
Dalgora Nulla
<marco...@netscape.net> wrote:
>On 30 Nov, 09:17, Dalgora Nulla <dalgora_nu...@libero.it> wrote:
>
>> Ah, ah... ce l'avete con il Sorrentino!!!:-))
>> Non temete, io non sono lui e la mia osservazione era molto meno
>> ambiziosa...
>
>Io sarei pure di Sorrento..... ma... :))
...tu però non sei... "socratico"!:-))
>secondo me 5 mele + 4 pere si possono sommare, e perche' no?
>Ti dico:
>5 mele + 4 pere fanno esattamente 5 mele e 4 pere, niente di meno e
>niente di piu'.
Allora siamo alla fase iniziale! Hai letto il problema dato?
Tu non lo risolveresti con una somma per ottenere frutti?
Dalgora Nulla
wrote:
>Dalgora Nulla ha scritto:
>> Purtroppo non riesco ad aprire il link,
>
>Ho riprovato il link dal tuo stesso post di risposta e a me funziona,
>anche se un pò lento.
>Peccato perchè è un articolo interessante e dettagliato.
Grazie, sei molto gentile: ci sono riuscita anche io con un
aggiornamento dell'Acrobat...Ben 68 pagine!!!
>L'UNITA' DI MISURA E' IL SINGOLO OGGETTO o evento.
[cut]
>La differenza è che le mele e le pere, oltre che funzionare da unità,
>possono funzionare da oggetti concreti.
Ecco, appunto!
>C'è un vero e proprio TRUCCO:
>tu la fai passare come una somma di grandezze eterogenee (mele, pere)
>quando invece tu sommi grandezze omogenee: frutti !
No, allora non ci siamo capiti!!! Io escludo che pere e mele
rappresentino delle *grandezze* e ritengo che la metafora usata dai
maestri "non si possono sommare le pere con le mele" sia inadatta, a
livello cognitivo e didattico, per trasferire negli studenti il
concetto di impossibilità di somma tra grandezze eterogenee.
Quanto più mi addentro nella discussione su usenet, mi rendo sempre
più conto che questa affermazione, che a mio avviso è solo una
metafora, è diventata una verità assoluta nella nostra cultura, mentre
è molto imprecisa a livello comunicativo.
>
>E' come se ti tirassi la zappa sui piedi.
>Il senso che non si può sommare mele e pere è perchè sono eterogenee,
>infatti tu stesso per sommarle le rendi prima omogenee vedendole
>entrambi i tipi come frutti:
>cioè non fai che ribadire e rinforzare ciò che volevi contraddire.
>Infatti, quando non c'è *la scappatoia* del soprainsieme comune, la
>somma non la fai.
Non condivido affatto: il soprainsieme comune non è una scappatoia, è
ciò che unisce sempre gli oggetti e gli eventi nell'universo.
Per questo motivo parlare di "impossibilità" in termini assoluti di
somma o di unione o di raggruppamento tra oggetti o eventi diversi è,
a mio avviso, sbagliato.
>Ne matematicamente, ne logicamente, puoi sommare mele e pere, tu sommi
>solo
>x frutti + y frutti.
No, guarda, qui c'è confusione: Negrini chiarisce bene che se usiamo
lettere m o p per indicare mele o pere è solo per un pro-memoria dei
*dati* e non si tratta di una notazione algebrica.
>
>In matematica conta solo ciò che è *logicamente necessario*, ossia ciò
>che è sempre vero in tutte le condizioni.
>4 + 5 = 9 è sempre vero, è necessario (tecnicamente: è un teorema,
>deriva dagli assiomi dell'aritmetica (Assiomi di Peano)).
>4m + 5p = 9f non è una verità necessaria.
>solo 4m + 5p = 4m + 5p è una verità necessaria (anche tutte le
>possibili trasformazioni algebriche, assimilando m e p come lettere
>algebriche standard).
>
Mi convinci sempre di più che la storia che "non si possono sommare le
pere con le mele" produce grandi confusioni a livello di correttezza
della conoscenza! :-)
>La cardinalità non guarda che cosa c'è dentro nell'insieme, diciamo
>che *astrae* dal tipo di enti che contiene.
>Certo che puoi sommare la cardinalità dell'insieme delle mele e
>dell'insieme delle pere, ma questo lo puoi fare allora anche per
>sommare cavoli e merende e per sommare qualunque cosa.
Sicuro! Dipende dalla finalità che mi sono data, appunto.
>
>In tal caso, proprio perchè la cardinalità astrae dall'essere
>dell'oggetto, anche in questo caso tu finisci che non sommi più mele e
>pere ma SOMMI NUMERI puri !
>Con la cardinalità non sommi mele e pere ma numeri: 4 e 5.
>Non puoi dire che sei riuscito a sommare mele con pere, ma che sommi 4
>con 5, che è diverso.
Quindi se io ho una confezione di 4 pere e ne acquisto un'altra di 5
pere ottenendo 9 pere in tutto, secondo te io ho sommato le pere e non
i numeri puri?:-)
marcofuics
> Allora siamo alla fase iniziale! Hai letto il problema dato?
> Tu non lo risolveresti con una somma per ottenere frutti?
e perche' dovrei?
La somma e' "mettere insieme".... non sta scritto da nessuna parte che
bisogna fare cose <<non richieste>>.
Se io mi metto insieme ad una donna ottengo 2 persone, ma sempre un
uomo ed una donna, ma ottengo anche una coppia...
Sotto sotto la domanda vuole sapere:
<<presi elementi di natura diversa, a quale livello di astrazione devo
arrivare per poter unificarli ad una unica classe ontologica di
appartenenza cosi' da poterli trattare allo stesso modo e darne una
somma, intesa come elementi di un unico concetto?>>
Ecco,
5 mele e 4 pere sono 9 frutti, sono anche 5 mele e 4 pere.
E poi, se io tu chiedessi 5 mele + 4 pere + 3 patate?
Farebbe
9 frutti + 3 tuberi = 12 vegetali; ecco!
Giovanni
> >C'� un vero e proprio TRUCCO:
> >tu la fai passare come una somma di grandezze eterogenee (mele, pere)
> >quando invece tu sommi grandezze omogenee: frutti !
> No, allora non ci siamo capiti!!! Io escludo che pere e mele
> rappresentino delle *grandezze*
Una cesta di mele contiene una certa quantità di mele, la quantità di
mele è una grandezza, e 1 mela è la sua unità di misura. Così come la
popolazione dell'Italia è una quantità di persone e 1 persona è
l'unità di misura.
> >Ne matematicamente, ne logicamente, puoi sommare mele e pere, tu sommi
> >solo
> >x frutti + y frutti.
> No, guarda, qui c'è confusione: Negrini chiarisce bene che se usiamo
> lettere m o p per indicare mele o pere è solo per un pro-memoria dei
> *dati* e non si tratta di una notazione algebrica.
L'ho ribadito pure io più volte che le lettere hanno una funzione
diversa da quella algebrica solita.
Funzionano come funzionano le unità di misura nei calcoli.
> >In matematica conta solo ciò che è *logicamente necessario*, ossia ciò
> >che è sempre vero in tutte le condizioni.
> >4 + 5 = 9 è sempre vero, è necessario (tecnicamente: è un teorema,
> >deriva dagli assiomi dell'aritmetica (Assiomi di Peano)).
> >4m + 5p = 9f non è una verità necessaria.
> >solo 4m + 5p = 4m + 5p è una verità necessaria (anche tutte le
> >possibili trasformazioni algebriche, assimilando m e p come lettere
> >algebriche standard).
> >
>
> Mi convinci sempre di pi� che la storia che "non si possono sommare le
> pere con le mele" produce grandi confusioni a livello di correttezza
> della conoscenza! :-)
> >In tal caso, proprio perch� la cardinalit� astrae dall'essere
> >dell'oggetto, anche in questo caso tu finisci che non sommi pi� mele e
> >pere ma SOMMI NUMERI puri !
> >Con la cardinalit� non sommi mele e pere ma numeri: 4 e 5.
> >Non puoi dire che sei riuscito a sommare mele con pere, ma che sommi 4
> >con 5, che � diverso.
> Quindi se io ho una confezione di 4 pere e ne acquisto un'altra di 5
> pere ottenendo 9 pere in tutto, secondo te io ho sommato le pere e non
> i numeri puri?:-)
Sì, così come se sommi 4 Km e 5 Km, ottieni 9 Km
e 4,5 e 9 sono chilometri e non numeri puri !
Se invece fai 4p / 5p ottieni 4/5 che è un numero puro.
E ancora.
Se fai 0,001 Km + 1 m ottieni 2 m (o 0,002 Km)
e non 1,001 come sommando i numeri puri !
(La stessa cosa se fossero 0,001 kmele + 1 mela).
Si tratta di *calcolo dimensionale*.
.
Ciao
Giovanni
Dalet
>On 30 Nov, 14:35, Dalgora Nulla <dalgora_nu...@libero.it> wrote:
>>Allora siamo alla fase iniziale! Hai letto il problema dato?
>>Tu non lo risolveresti con una somma per ottenere frutti?
>e perche' dovrei?
>La somma e' "mettere insieme".... non sta scritto da nessuna parte che
>bisogna fare cose <<non richieste>>.
Quoto.
Rinforzo anche dicendo che a livello elementare - e non
solo - l'addizionare indica aggiungere, come la sottrazione
indica il togliere.
Quanto fanno 3 mele + 2 mele? si puo' o deve leggere anche:
cosa ottengo se a 3 mele aggiungo 2 mele? risposta: 5 mele.
Cosa ottengo se a 3 mele aggiungo 2 pere? risposta ottengo
3 mele e 2 pere.
Ma: quanti frutti ottengo se a 3 mele aggiungo 2 pere? e'
scorretto, o almeno pericoloso senza allargare il discorso
(vedi dopo).
Cosa ottengo se da 3 mele ne tolgo 1? 2 mele, e se invece
da 3 mele tolgo 1 pera? non posso farlo, non posso toglierla
perche' non ce n'e' neanche 1.
E mo' prova un po' tu a togliere da 3 frutti-mela 1 frutto
pera! da questo si dovrebbe quindi capire il ruolo e l'
importanza delle grandezze omogenee e delle dimensioni,
perche' una volta etichettati come "frutti" non ha piu'
neppur senso qualsiasi distinzione: puoi togliere 1 frutto
non 1 pera.
Cmq: tu invece dici che il bimbo non ci capisce niente... bah.
--
Saluti, Dalet
perlana
Sommi quantità la cui unità di misura è ...
la scelta dell'unità di misura è correlata
alla raccolta di elementi eterogenei in una
collezione, omogenea rispetto alla misura,
con lo scopo ultimo di tradurre la quantità
in numero e quindi sommare numeri.
L'esempio che hai scelto è brillante, una
semplice riflessione induce a riflettere che
può anche verificarsi l'impossibilità di sommare
pere a pere. Ad esempio se il problema pratico
è quantificare il prezzo, occorre tenere distinto
il primo numero dal secondo. 4 mele Golden Delicious,
rispetto a 5 mele renetta, ma persino 4 mele Golden
comprate al negozio rispetto a 5 mele Golden comprate
al supermarket possono appartenere a classi di omogeneità
differenti. In tal caso è inopportuno sommarle.
Comprendere questo nonostante la specificità del
detto è senz'altro uno dei numerosi viatici da superare
nell'apprendimento, tuttavia non concordo sull'arbitrarietà
del detto, o sul fatto che debba costituire un vano ostacolo
alla conoscenza.
Altri celebri esempi vengono
dalla numerologia. Quando si dice che il tre è
numero perfetto a cosa ci si riferisce? Non certo
alla circostanza che il numero tre è uguagliato
dalla somma dei propri divisori, che è la definizione
corrente. Forse alla numerosità ideale di un nucleo familiare?
forse alla teologia cristiana? forse alla mistica epistemologica
massonica? Forse ad un lascito della mistica pitagorica?
Semplicemente ad un detto popolare divenuto celebre?
Forse alla triskele celtica, o a quella asiatica?
Forse alle tre dimensioni dello spazio? O forse solamente
al minimo numero di pietre necessarie per sostenere una
pentola su un focolare e sufficienti per evitarne l'instabilità?
In quest'ultimo caso dovremmo supporre che non esista una mistica
del tre nelle culture che precedono la scoperta del fuoco?
Evidentemente tutti possono convincersi del fatto che
per tre punti passa uno ed un sol piano, il che non è un
caso, è nella struttura stessa dell'universo ed è anche utile
a sapersi, ad esempio quando si voglia costruire un tavolo
da campagna, oltre che dilettevole a pensarsi :-)))
Dalgora Nulla
<marco...@netscape.net> wrote:
>On 30 Nov, 14:35, Dalgora Nulla <dalgora_nu...@libero.it> wrote:
>
>> Allora siamo alla fase iniziale! Hai letto il problema dato?
>> Tu non lo risolveresti con una somma per ottenere frutti?
>
>e perche' dovrei?
>La somma e' "mettere insieme".... non sta scritto da nessuna parte che
>bisogna fare cose <<non richieste>>.
Ma la richiesta c'č: hai un problema da risolvere.
>Se io mi metto insieme ad una donna ottengo 2 persone, ma sempre un
>uomo ed una donna, ma ottengo anche una coppia...
>Sotto sotto la domanda vuole sapere:
><<presi elementi di natura diversa, a quale livello di astrazione devo
>arrivare per poter unificarli ad una unica classe ontologica di
>appartenenza cosi' da poterli trattare allo stesso modo e darne una
>somma, intesa come elementi di un unico concetto?>>
Veramente io sono partita da un presupposto diverso: mi interessa
l'aspetto cognitivo e didattico della questione. Quando i maestri
dicono ai propri alunni: "non si possono sommare le pere con le mele"
danno un'informazione vera o falsa?
Se vuoi riprendiamo la discussione in filosofia.
>
>Ecco,
>5 mele e 4 pere sono 9 frutti, sono anche 5 mele e 4 pere.
>
>E poi, se io tu chiedessi 5 mele + 4 pere + 3 patate?
>
>Farebbe
>9 frutti + 3 tuberi = 12 vegetali; ecco!
>
Sono d'accordissimo. Ma allora la proposizione "non si possono sommare
le pere con le mele" č vera o falsa?
marcofuics
> Sono d'accordissimo. Ma allora la proposizione "non si possono sommare
> le pere con le mele" è vera o falsa?
Sipende dal cosa significa "sommare" :)
Se sommare significa "aggiungere" allora e' falsa, se invece sommare
significa "aggiungere e trasformare in un'unica entita' " allora e'
vera.
Devi prima chiarire il sommare.
A 7 anni si sommano 3 anni = 10 anni? Si o No? :))
Si, se gli anni sono sempre di Antonio Esposito;
No se i primi sette sono di Antonio e i restanti 3 miei...... Allora
Somma --> 7 anni + 3 anni fanno <<<<Sicuramente>>>> 7 anni e 3 anni,
ma se vuoi sapere di piu' allora devi specificare di piu'.
Nessuna conclusione apporta piu' informazioni di quanta informazione
sia contenuta nelle premesse. (e mi sono sbilanciato)
Poincarè
> "La mamma va al supermercato ed acquista 5 pere e 4 mele: quanti
> frutti ha comperato in tutto?" potrebbe apparire irrisolvibile, mentre
> ha una semplice risoluzione.
Mi piacciono i diagrammi :) prendendo tutte le informazione che mi da
il problema:
_________________
| |
P ---> N--- |
| \ |
| \ |
(? , + ) N -----> F
| / |
| / |
M --> N --- |
|________________ |
P = Pere
M = Mele
F = Frutta
N = Naturali
Attraverso trasformazioni (sono tutte freccie, ad esempio P -----> F)
concettuali (astrazione/concretezza) che il bambino usa senza
rendersene conto, scoprirà più avanti i dettagli, intanto si mangia la
frutta :o)
Ciao
Poincarè
Poincarè
> Mi piacciono i diagrammi :)
Si, ma vengono una schifezza......
Dalgora Nulla
wrote:
>Ma chi ci impedisce di definire "somma di sue segmenti la spezzata
>costituita trasportando paralelamente il secondo segmento in modo che
>sia consecutivo al primo (un estremo coincidente ma non allineati) ?
>E' chiaro pero' che con questa definizione di somma la lunghezza
>della somma come "distanza tra gli estremi (di che?, della spezzata ?)
> non funziona più o per lo meno non come ci si aspetterebbe.
>
>Questo, al di là dellla regionevolezza o meno delle definizioni, per
>dare un esempio dei problemi legati ad una definizione non esplicita.
In questo caso, la spezzata definirebbe un angolo? La somma delle due
lunghezze, però, dovrebbe essere sempre la medesima.
>> Bart Kosko non sarebbe d'accordo.:-)
>>
>
>Dubito che la logica fuzzy possa fondarsi con defniznioni fuzzy :-)))
>Ma di questo non so molto.
Sì, hai ragione: leggendo Kosko si può avere un'idea che tutto sia
solo fuzzy, ma in realtà anche questo rappresenta solo un punto di
vista.
>Io non lo prenderei come un detto popolare ma come una prescrizione
>"ingegneristica" nel senso di dare una linea guida restrittiva ma che
>evita di scontrarsi con difficoltà concettuali.
Ma da un punto di vista strettamente matematico o logico, non mi
sembra una definizione rigorosa.
Dalgora Nulla
<marco...@netscape.net> wrote:
>On 30 Nov, 17:10, Dalgora Nulla <dalgora_nu...@libero.it> wrote:
>
>> Sono d'accordissimo. Ma allora la proposizione "non si possono sommare
>> le pere con le mele" è vera o falsa?
>
>Dipende dal cosa significa "sommare" :)
>Se sommare significa "aggiungere" allora e' falsa, se invece sommare
>significa "aggiungere e trasformare in un'unica entita' " allora e'
>vera.
>
>Devi prima chiarire il sommare.
Mi piace molto questa tua definizione, però la interpreterei in modo
diverso: se sommo o, meglio, unisco oggetti diversi ottengo sempre una
trasformazione, ma l'unione non è impossibile.
>
>A 7 anni si sommano 3 anni = 10 anni? Si o No? :))
>
>Si, se gli anni sono sempre di Antonio Esposito;
>No se i primi sette sono di Antonio e i restanti 3 miei...... Allora
>
>Somma --> 7 anni + 3 anni fanno <<<<Sicuramente>>>> 7 anni e 3 anni,
>ma se vuoi sapere di piu' allora devi specificare di piu'.
Questo esempio però rischia di fare più confusione: sei passato alla
dimensione tempo e non stai sommando oggetti. E' un po' come dire che
vuoi sommare la velocità di un'automobile a quella di un'altra.
>
>Nessuna conclusione apporta piu' informazioni di quanta informazione
>sia contenuta nelle premesse. (e mi sono sbilanciato)
In un ragionamento logico-deduttivo.
E in quello intuitivo o in quello abduttivo?:-))
Dalgora Nulla
<magn...@alice.it> wrote:
>On 30 Nov, 18:06, "Poincarč" <magnit...@alice.it> wrote:
>
>> Mi piacciono i diagrammi :)
>
>Si, ma vengono una schifezza......
Vabbé, ho apprezzato moltissimo l'impegno!:-)
Giorgio Pastore
...
> In questo caso, la spezzata definirebbe un angolo? La somma delle due
> lunghezze, però, dovrebbe essere sempre la medesima.
Delle lunghezze sì, ma il punto che volevo fare è che a meno di non
specificare bene cosa si intende per somma di segmenti, la somma di
questi può significativamente e non artificialmente essere una cosa
diversa da un segmento.
Che ribadisce l' inutilità di cercare di dare un valore di verità ad
una frase in cui non sia chiaro cosa significano i termini. Altrimenti
dovremmo discutere se sia vero o falso che "Non si possono puffare le
mele con le pere".
Giorgio
Giovanni
Non sono daccordo sul tuo diagramma.
Secondo me è:
P --> F , M --> F
F --> N , F --> N
N,N --> N
N --> F
A parole:
Trasformiamo pere e mele in frutti.
Ora che abbiamo entità omogenee, possiamo sommare la loro numerosità.
Infine riattribuiamo la qualificazione di frutta al numero-somma.
Nel tuo diagramma, quando fai la somma, dai per implicito che ci sia
omogeneità tra i due termini.
In ciò che ho rappresentato io invece, la somma viene solo DOPO che i
termini sono stati omogeneizzati, sicchè è esplicita, palese, la
possibilità della somma.
Inoltre, nella mia rappresentazione, risulta evidente che tu sommi in
realtà dei FRUTTI e non pere e mele.
.
Ciao
Giovanni
Dalgora Nulla
wrote:
>
>Non sono daccordo sul tuo diagramma.
>Secondo me è:
>
>P --> F , M --> F
>F --> N , F --> N
>N,N --> N
>N --> F
>
>A parole:
>Trasformiamo pere e mele in frutti.
>Ora che abbiamo entità omogenee, possiamo sommare la loro numerosità.
>Infine riattribuiamo la qualificazione di frutta al numero-somma.
Probabilmente, in entrambi i casi, si tratta solo di
un'interpretazione del fenomeno. L'interpretazione è sempre alla base
di ogni nostra percezione e frequentemente dà risultati ambigui.
Un esempio: Vedi una giovane ragazza o una vecchia signora in questa
illustrazione?
http://sviluppopersonale.modellidicomunicazione.com/illusioni_ottiche_giovane_o_vecchia_sc_263.htm
>
>Nel tuo diagramma, quando fai la somma, dai per implicito che ci sia
>omogeneità tra i due termini.
>In ciò che ho rappresentato io invece, la somma viene solo DOPO che i
>termini sono stati omogeneizzati, sicchè è esplicita, palese, la
>possibilità della somma.
>
Sta di fatto che siamo nel campo del "possibile". Se un'insegnante
dicesse, in modo assoluto e categorico, ai propri allievi che "non
si possono sommare due frazioni con denominatore diverso",
l'informazione sarebbe ambigua e incompleta e, quindi, didatticamente
errata.
La possibilità di unione emerge sulla base di un "denominatore
comune".
>Inoltre, nella mia rappresentazione, risulta evidente che tu sommi in
>realtà dei FRUTTI e non pere e mele.
Secondo me, la qualità "frutti" emerge prioritaria nel momento
dell'unione che richiede di ottenere "frutti", ma potremmo averne
altre.
Se il problema dato recitasse: "La mamma va al supermercato ed
acquista 5 pere, 4 mele ed 1 quaderno." e la domanda fosse "quanti
frutti ha nel carrello?" dovremmo escludere il quaderno dalla somma,
mentre con la domanda "quanti oggetti ha nel carrello?" il quaderno
verrebbe incluso. In una parola, è la finalità che determina o meno
anche la possibilità di unione, a mio avviso.
Dalgora Nulla
wrote:
>Dalgora Nulla wrote:
Ho seguito con grande interesse il tuo discorso e ti ringrazio per i
chiarimenti che mi hai dato: mi hai fatto comprendere molto bene il
carattere di ambiguità che è presente nell'affermazione "non si
possono sommare le pere con le mele".
Riconducendo l'affermazione a quella relativa alla somma tra frazioni
con diverso denominatore, mi sono resa conto che un'espressione del
tipo "non si possono sommare due frazioni con denominatore diverso" è
falsa se do il senso di impossibilità assoluta al discorso (mai e in
nessun modo) e vera se il significato che attribuisco a quel "non si
possono" è relativa ad una condizione statica e immodificata del
denominatore. La trasformazione in due frazioni equivalenti e con
denominatore comune mi consente invece l'operazione.
Credo che l'inghippo sia tutto qui.
Mentre però, agendo sui numeri, la cosa è evidente, quando si agisce
sugli oggetti la confusione è maggiore e meno districabile.
Molti restano convinti che un'operazione del tipo "unire pere e mele"
sia del tutto eretica e contraddica i principi della matematica.
Dalgora Nulla
>Comprendere questo nonostante la specificità del
>detto è senz'altro uno dei numerosi viatici da superare
>nell'apprendimento, tuttavia non concordo sull'arbitrarietà
>del detto, o sul fatto che debba costituire un vano ostacolo
>alla conoscenza.
Mi sembra che proprio l'ambiguità di cui abbiamo parlato anche con
Giorgio, renda problematico l'uso della frase che spesso viene usata
come metafora di "impossibiltà" in un discorso "persuasivo"
L'altro giorno, mentre noi eravamo nel pieno della discussione, mio
figlio mi ha raccontato che il suo professore di astrofisica,
spiegando, aveva detto "non si possono sommare le pere con le mele":-)
Ciò conferma che il detto è talmente diffuso nella nostra cultura da
essere usato metaforicamente in ambiente scientifico anche se non
privo di ambiguità.
>In quest'ultimo caso dovremmo supporre che non esista una mistica
>del tre nelle culture che precedono la scoperta del fuoco?
>Evidentemente tutti possono convincersi del fatto che
>per tre punti passa uno ed un sol piano, il che non è un
>caso, è nella struttura stessa dell'universo ed è anche utile
>a sapersi, ad esempio quando si voglia costruire un tavolo
>da campagna, oltre che dilettevole a pensarsi :-)))
Vox populi vox Dei?:-)
alessa...@yahoo.it
> Voglio dire che non è l'insiemistica che deve essere messa sotto
> accusa, ma il metodo di insegnamento della stessa.
Mah. Puo' anche essere come dici: io non sono certo un esperto in
materia. Resto comunque dell' idea che un insegnamento formale dell'
insiemistica a questo livello scolastico sia piu' dannoso che utile. E
vorrei che qualcuno mi spiegasse l' utilita' del fare teoria degli
insiemi alle elementari: permette di ricavare nuova conoscenza (non
tautologica) mediante connessioni e deduzioni logiche? O restano solo
nomi, definizioni e procedure?
>Qui si è fatto riferimento al "problem solving" come elemento di
> partenza. Il Dienes parla di "variabilità percettiva" come uno degli
> strumenti indispensabili per poter trasferire concetti astratti
> dall'insegnante all'allievo.
Che cosa significa?
L' unico libro che conosco attinente alla matematica elementare e al
suo insegnamento e': Liping Ma "Knowing and teaching elementary
mathematics" (http://www.amazon.com/Knowing-Teaching-Elementary-
Mathematics-Understanding/dp/0805829091).
L' ho letto in USA dove ne ho sentito parlare per la prima volta da un
amico e collega fisico israeliano, che ha conosciuto l' autrice
quando, dopo l' uscita del libro, fu invitata a tenere una conferenza
al Technion di Haifa.
Si tratta di un libro particolare, che ha suscitato un grande
interesse in varie parti del mondo, ma credo che in Italia sia quasi
sconosciuto. Una delle review su Amazon, intitolata "clear discussion
of why math teaching in Asia is so good" spiega bene di che si tratta:
"With exceptional clarity, Ma compares American and Chinese teachers
by discussing their responses to four teaching situations. The Chinese
teachers, despite less formal education, have a much deeper
understanding of the elementary mathematics they are teaching. Ma
explores the components of what she calls "profound understanding of
fundamental mathematics," and also the professional conditions that
encourage it".
Qui ti ho trovato due recensioni approfondite:
http://www.aft.org/pubs-reports/american_educator/fall99/amed1.pdf
http://www.ams.org/notices/199908/rev-howe.pdf
> Giocare con le mani è un passo che non può essere ignorato. Solo
> successivamente si può passare alla rappresentazione grafica e
> simbolica.
Un buon veicolo non e' detto che vada alla giusta meta. Dipende da chi
lo guida, cioe' dall' insegnante. Anche di questo si parla del libro
della Ma.
Alessandro
Giorgio Pastore
> On 30 Nov, 14:35, Dalgora Nulla <dalgora_nu...@libero.it> wrote:
>
>> Allora siamo alla fase iniziale! Hai letto il problema dato?
>> Tu non lo risolveresti con una somma per ottenere frutti?
>
> e perche' dovrei?
> La somma e' "mettere insieme".... non sta scritto da nessuna parte che
> bisogna fare cose <<non richieste>>.
> Se io mi metto insieme ad una donna ottengo 2 persone, ma sempre un
> uomo ed una donna, ma ottengo anche una coppia...
> Sotto sotto la domanda vuole sapere:
> <<presi elementi di natura diversa, a quale livello di astrazione devo
> arrivare per poter unificarli ad una unica classe ontologica di
> appartenenza cosi' da poterli trattare allo stesso modo e darne una
> somma, intesa come elementi di un unico concetto?>>
Però in questo modo il problema diventa immediatamente mal definito
visto che "mettere insieme" può avere diverse accezioni: 5 mele e 4
pere possono essere interpretate come 9 frutti ma anche come 1
macedonia o 300g di marmellata mista....
Giorgio
Giorgio Pastore
...
> Quanto più mi addentro nella discussione su usenet, mi rendo sempre
> più conto che questa affermazione, che a mio avviso è solo una
> metafora, è diventata una verità assoluta nella nostra cultura, mentre
> è molto imprecisa a livello comunicativo.
Vorrei prendere spunto dalla tua frase per lasciare un po' da parte l'
aspetto matematico rigoroso della questione e guardarla dal punto di
vista che mi sembra ti interessa di più: la frase vista come metafora
dei limiti del concetto di somma e la sua opportunità didattica.
Tanto per cominciare si tratta di un modo di dire presente in diversi
linguaggi (almeno) occidentali in diverse varianti (oltre alle mele e
pere ci sono accostamenti diversi e piu' esotici: mele e arance, mele
e cavoli, mele e cavalli mele e banane, patate e cavoli, mucche e
paate,....). Google è un ottimo strumento per queste verifiche.
A livello discorsivo non matematico il contesto è invariabilmente
quello in cui si vuol sottolineare la difficoltà o l' assurdità di
sommare (mettere insieme enti eterogenei). Di fatto si rimanda
esplicitamente o implicitamente ad una tradizione didattica della
matematica in cui la prescrizione era data, in fascia di età di prima
scolarizzazione, in modo acritico ma efficace per guidare nell'
utilizzo di "numeri" che rappresentano misure di grandezze.
Personalmente, ricordo bene che alle elementari la mia maestra usava la
frase in questione quando voleva evitare che si sommassero lunghezze in
cm e altre in m. Il tutto in epoca abbondantemente pre-insiemistica :-)
E forse qui è il punto chiave. Se la frase viene presentata in un
contesto scolastico attuale, dopo che si è introdotta l' unione di
insiemi come sinonimo di "mettere insieme", "sommare" (che a stretto
rigore è un' estensione scorretta del termine, cfr. miei post
precedenti), può suonare in contrasto con l' apparente libertà dell'
unione tra insiemi.
Tuttavia non mi sentirei di bandirla. Magari meglio usare oggetti più
eterogenei di pere e mele (contadini e mele vanno già meglio). Ma se
permette di radicare un sano principio di "sospetto" di fronte a somme
eterogenee, perché no?
Certamente non è una soluzione che soddisfi le richieste di rigore
della matematica contemporanea. Ma non è neanche pensabile di far
comprendere queste richieste di rigore ad un bambino di 7-8 anni.
Allora se si parte dal sano principio che ogni età dovrebbe avere la
matematica che riesce a comprendere e padroneggiare, nella fascia della
prima scolarizzazione credo che la frase faccia più bene che male. E
se poi un novello Gauss trovasse da ridire, ben venga una discussione
che gli apra nuovi orizzonti!
Giorgio
Tetis
> On Fri, 30 Nov 2007 16:05:14 GMT, lje...@yahoo.it (perlana) wrote:
>
>
> >Comprendere questo nonostante la specificità del
> >detto è senz'altro uno dei numerosi viatici da superare
> >nell'apprendimento, tuttavia non concordo sull'arbitrarietà
> >del detto, o sul fatto che debba costituire un vano ostacolo
> >alla conoscenza.
>
> Mi sembra che proprio l'ambiguità di cui abbiamo parlato anche con
> Giorgio, renda problematico l'uso della frase che spesso viene usata
> come metafora di "impossibiltà" in un discorso "persuasivo"
Mi sembra però di cogliere più un disagio per l'uso a volte prepotente
di luoghi comuni, che vale per la gran parte dei luoghi comuni, piuttosto
che non una intenzione analitica del contenuto culturale profondo del
detto, il quale sta alla base della sua diffusione. Se il primo
atteggiamento
non esclude il secondo rimane certo un ulteriore problema, che forse, spero
di avere interpretato correttamente, è il cuore della tua indagine critica:
quali sono i problemi correlati con un uso indiscriminato ed acritico di
questo luogo comune? E magari più oltre: quali sono i rimedi comunicativi
che con efficacia simbolica equipollente si potrebbero associare?
> L'altro giorno, mentre noi eravamo nel pieno della discussione, mio
> figlio mi ha raccontato che il suo professore di astrofisica,
> spiegando, aveva detto "non si possono sommare le pere con le mele":-)
Sai dipende da come la frase viene detta, suppongo,
sapendo che fa appello ad un background culturale
ben definito, oppure no. Se un professore universitario
mi usa questa frase, in anni tanto lontani da quelli dello
studio dell'aritmetica, quello che penso è che voglia indirizzare
con una battuta il pensiero verso argomenti dimensionali.
Se la dice un insegnante elementare consapevole di
suscitare una reazione problematica e questo insegnante è
capace poi di utilizzare adeguatamente l'onda problematica
può trattarsi comunque di uno strumento efficace. Ma in questo
mi posso avvalere solo di un'esperienza soggettiva e non degli
adeguati strumenti psicologici che servono per indagare criticamente
questa teoria. Non mi stupirei di apprendere che si tratta di un
inganno e che gli inganni sono didatticamente da evitare, ma
certamente mi aspetterei anche che questo argomento venisse poi
sviluppato con un corredo di esperienze didattiche alternative e più
efficaci, o tanto quanto efficaci, nello stimolare l'attenzione critica.
> Ciò conferma che il detto è talmente diffuso nella nostra cultura da
> essere usato metaforicamente in ambiente scientifico anche se non
> privo di ambiguità.
E' un tema interessante quello che implicitamente sollevi: cioè
che esistano delle metafore prive di ambiguità potenziali. Ad esempio,
per rimanere in tema, forse una frase come non mischiare capre
e cavoli è più efficace? Da un lato è chiaro che siccome le capre
potrebbero mangiare i cavoli non sarebbe una buona idea, ma
cosa significa a livello pratico? Nel caso delle dimensioni ad
esempio c'è un fenomeno simile: se si mescolano insiemi con
dimensioni di Hausdorf differenti l'insieme che ha dimensione
più alta tende a cancellare l'informazione sulla dimensione più
bassa. Però non è tassativamente vietato, anzi in pratica è davvero
utile, considerare insiemi che hanno una stratificazione di dimensioni
frattali e c'è un metodo analitico molto potente per evidenziarle, che è
il metodo del punto di sella. In altre parole il mischiare capre e cavoli
può essere inopportuno fino a quando non si sia interessati a vedere
se ed in che modo le capre mangiano i cavoli. C'è quindi un riferimento
semantico necessario.
> >In quest'ultimo caso dovremmo supporre che non esista una mistica
> >del tre nelle culture che precedono la scoperta del fuoco?
> >Evidentemente tutti possono convincersi del fatto che
> >per tre punti passa uno ed un sol piano, il che non è un
> >caso, è nella struttura stessa dell'universo ed è anche utile
> >a sapersi, ad esempio quando si voglia costruire un tavolo
> >da campagna, oltre che dilettevole a pensarsi :-)))
>
> Vox populi vox Dei?:-)
I matematici Dehn e Drinfeld sarebbero forse
in moderato disaccordo con il fatto che per
tre punti passa uno ed un sol piano sia una frase priva di
ambiguità, eppure difficilmente troverai qualcuno che non
si inchini di fronte all'apparente aura di certezza matematica di una
tale affermazione.
Anche in questo caso la riflessione critica
sull'icastica affermazione può condurre ad una estensione
significativa della comprensione delle potenzialità dell'intelletto e
sulla sfaccettata natura degli enti del mondo concreto.
Proprio come riflettere sulla frase "non si sommano mele a pere"
ci ha portati a riflettere su una molteplicità di livelli in compresenza.
crxor 666
> Ma un insieme di 2 pere non è uguale a 2. E l'unione non è la somma. C'è
> unanimità nel significato dei simboli 2, + e = e nella validità
> dell'equazione 2+2=4. Questo è il bello della matematica, è un peccato
> non riconoscerlo!
Tuttavia se sei in Z_3, per dire, 2 è sempre 2, + si indica con +, ma 2
+ 2 = 1.
E' una segaccia da algebristi, eh, se prendiamo 2 + 2.
Se pensiamo però che l'aritmetica senza segno di un computer si comporta
precisamente con le regole dell'addizione in un Z_n con n pari a 2^n con
n tipicamente 16, 32 o 64...
--
blog: http://www.akropolix.net/rik0/blogs | Uccidete i filosofi,
site: http://www.akropolix.net/rik0/ | tenetevi riso e
forum: http://www.akropolix.net/forum/ | bacchette per voi.
Dalgora Nulla
>L' unico libro che conosco attinente alla matematica elementare e al
>suo insegnamento e': Liping Ma "Knowing and teaching elementary
>mathematics"
(http://www.amazon.com/Knowing-Teaching-Elementary-Mathematics-Understanding/dp/0805829091).
>L' ho letto in USA dove ne ho sentito parlare per la prima volta da un
>amico e collega fisico israeliano, che ha conosciuto l' autrice
>quando, dopo l' uscita del libro, fu invitata a tenere una conferenza
>al Technion di Haifa.
>Si tratta di un libro particolare, che ha suscitato un grande
>interesse in varie parti del mondo, ma credo che in Italia sia quasi
>sconosciuto.
Infatti, non lo conosco e ti ringrazio molto per la segnalazione sia
del libro sia delle recensioni: avevo sentito dire però che in Cina
l'insegnamento della matematica è effettivamente molto avanzato
Dalgora Nulla
wrote:
>marcofuics wrote:
>> Sotto sotto la domanda vuole sapere:
>> <<presi elementi di natura diversa, a quale livello di astrazione devo
>> arrivare per poter unificarli ad una unica classe ontologica di
>> appartenenza cosi' da poterli trattare allo stesso modo e darne una
>> somma, intesa come elementi di un unico concetto?>>
>
>Però in questo modo il problema diventa immediatamente mal definito
>visto che "mettere insieme" può avere diverse accezioni: 5 mele e 4
>pere possono essere interpretate come 9 frutti ma anche come 1
>macedonia o 300g di marmellata mista....
>
Infatti... questo esempio chiarisce bene la necessità delle
definizioni!:-)
?manu*
> ?manu* <pao...@NO.math.unifi.SPAM.it> wrote:
>
>
>>Ma un insieme di 2 pere non è uguale a 2. E l'unione non è la somma. C'è
>>unanimità nel significato dei simboli 2, + e = e nella validità
>>dell'equazione 2+2=4. Questo è il bello della matematica, è un peccato
>>non riconoscerlo!
>
>
> Tuttavia se sei in Z_3, per dire, 2 è sempre 2, + si indica con +, ma 2
> + 2 = 1.
Ma 1=4 (mod 3). Quindi 2+2=4 è comunque vero. Comunque ad essere precisi
2 non è un elemento di Z_3.
E.
Dalgora Nulla
wrote:
>Dalgora Nulla wrote:
>...
>> Quanto più mi addentro nella discussione su usenet, mi rendo sempre
>> più conto che questa affermazione, che a mio avviso è solo una
>> metafora, è diventata una verità assoluta nella nostra cultura, mentre
>> è molto imprecisa a livello comunicativo.
>...
>
>Vorrei prendere spunto dalla tua frase per lasciare un po' da parte l'
> aspetto matematico rigoroso della questione e guardarla dal punto di
>vista che mi sembra ti interessa di più: la frase vista come metafora
>dei limiti del concetto di somma e la sua opportunità didattica.
>
>Tanto per cominciare si tratta di un modo di dire presente in diversi
>linguaggi (almeno) occidentali in diverse varianti (oltre alle mele e
>pere ci sono accostamenti diversi e piu' esotici: mele e arance, mele
>e cavoli, mele e cavalli mele e banane, patate e cavoli, mucche e
>paate,....). Google è un ottimo strumento per queste verifiche.
Sì, mi hai dato un imput importante. Infatti, su Wikipedia ho trovato
una discreta analisi sui vari modi di dire nei paesi occidentali, il
che è molto interessante per comprendere la genesi o il significato
della frase stessa, che mi risulta venga soprattutto usata nel senso
di non confrontare cose diverse.
In effetti, io accetterei maggiormente l'uso comunicativo della frase
se essa suonasse in italiano come "non si devono confondere le pere
con le mele", mentre invece mi crea disagio l'uso del linguaggio
matematico "non si possono sommare" perché impone un rigore operativo
mediante un'espressione che, a mio avviso, non è affatto rigorosa.
Vedo però che su Wikipedia questo aspetto viene sottolineato nel
paragrafo : "Apples and oranges in teaching the use of units" là dove
è scritto: "The admonition is really more of a mnemonic, since in
general counts of objects have no intrinsic unit and, for example, a
number count of apples may be dimensionless or have dimension "fruit"
in either of these two cases, apples and oranges may indeed be added."
Condivido abbastanza il fatto che la frase abbia soprattutto un valore
mnemonico, mentre l'idea che si possa giustificarla ricorrendo ad una
dimensione "frutta" mi appare quasi un escamotage dettato da un uso
così consuetudinario dell'espressione da non ammetterne la rinuncia.
(potrei però essere anche io la vittima di una trappola mentale!:-)
http://en.wikipedia.org/wiki/Apples_and_oranges
[cut]
>E forse qui è il punto chiave. Se la frase viene presentata in un
>contesto scolastico attuale, dopo che si è introdotta l' unione di
>insiemi come sinonimo di "mettere insieme", "sommare" (che a stretto
>rigore è un' estensione scorretta del termine, cfr. miei post
>precedenti), può suonare in contrasto con l' apparente libertà dell'
> unione tra insiemi.
Il fatto è che proprio i piccoli Gauss, a cui tu fai riferimento
successivamente, sono quelli che colgono le contraddizioni, ma i loro
dubbi vengono spesso tacitati sulla base di un principio di autorità
che di fatto uccide l'approccio corretto nei confronti della
matematica che è disciplina non mnemonica, ma basata sul ragionamento.
Io credo che sarebbe più opportuno, quindi, evitare di "confondere le
pere con le mele".. :-)...cioè il rigore matematico con il
pressapochismo di espressioni popolari che di fatto introducono un
paradosso.
Ritengo che i bambini abbiano delle capacità cognitive maggiori di
quanto noi pensiamo in genere e, in ogni caso, bisognerebbe sempre
dare loro informazioni non contraddittorie. Forse il problema riguarda
maggiormente la nostra cultura e la nostra mente che difficilmente
potranno rinunciare ad un'espressione così diffusa ed usata a livello
mondiale.
Grazie ancora!
Dalgora Nulla
>Il 01 Dic 2007, 11:20, Dalgora Nulla <dalgor...@libero.it> ha scritto:
>> Mi sembra che proprio l'ambiguità di cui abbiamo parlato anche con
>> Giorgio, renda problematico l'uso della frase che spesso viene usata
>> come metafora di "impossibiltà" in un discorso "persuasivo"
>
>Mi sembra però di cogliere più un disagio per l'uso a volte prepotente
>di luoghi comuni, che vale per la gran parte dei luoghi comuni, piuttosto
>che non una intenzione analitica del contenuto culturale profondo del
>detto, il quale sta alla base della sua diffusione.
Non è in discussione il divieto di sommare grandezze eterogenee! E' in
discussione l'uso di questa specifica metafora per rappresentare il
divieto.
In una parola, io trovo inopportuno che, per definire un criterio di
rigore nell'applicazione dell'operazione "somma", si faccia appello ad
un'immagine che non è affatto rigorosa.
La metafora è un'identità posta tra due termini di cui uno appartiene
al contesto di cui si parla e l'altro appartiene ad un'esperienza
comune. Ed è espediente usato nella comunicazione proprio per dare un
maggior valore persuasivo al discorso In questo caso l'identità
sarebbe posta tra "grandezze eterogenee" e pere e mele.
>Se il primo
>atteggiamento
>non esclude il secondo rimane certo un ulteriore problema, che forse, spero
>di avere interpretato correttamente, è il cuore della tua indagine critica:
>quali sono i problemi correlati con un uso indiscriminato ed acritico di
>questo luogo comune? E magari più oltre: quali sono i rimedi comunicativi
>che con efficacia simbolica equipollente si potrebbero associare?
Hai centrato perfettamente il problema!
>
>> L'altro giorno, mentre noi eravamo nel pieno della discussione, mio
>> figlio mi ha raccontato che il suo professore di astrofisica,
>> spiegando, aveva detto "non si possono sommare le pere con le mele":-)
>
>Sai dipende da come la frase viene detta, suppongo,
>sapendo che fa appello ad un background culturale
>ben definito, oppure no. Se un professore universitario
>mi usa questa frase, in anni tanto lontani da quelli dello
>studio dell'aritmetica, quello che penso è che voglia indirizzare
>con una battuta il pensiero verso argomenti dimensionali.
Sì, sì: infatti mio figlio non criticava il suo prof di cui aveva
compreso benissimo il discorso... :-)
>Se la dice un insegnante elementare consapevole di
>suscitare una reazione problematica e questo insegnante è
>capace poi di utilizzare adeguatamente l'onda problematica
>può trattarsi comunque di uno strumento efficace.
E' qui che io ho dei dubbi: non credo che gli insegnanti siano
consapevoli della mancanza di rigore implicita in questra espressione.
[cut]
>In altre parole il mischiare capre e cavoli
>può essere inopportuno fino a quando non si sia interessati a vedere
>se ed in che modo le capre mangiano i cavoli. C'è quindi un riferimento
>semantico necessario.
Non riesco a seguirti nel discorso, perché conosco poco Hausdorff , ma
il detto cui fai riferimento è nato sicuramente in ambiente non
matematico ed ha un significato molto semplice: se mai è affascinante
scoprire come la matematica sia così vicina a rappresentare il mondo
in tutte le sue sfaccettature.
>
>I matematici Dehn e Drinfeld sarebbero forse
>in moderato disaccordo con il fatto che per
>tre punti passa uno ed un sol piano sia una frase priva di
>ambiguità, eppure difficilmente troverai qualcuno che non
>si inchini di fronte all'apparente aura di certezza matematica di una
>tale affermazione.
>
>Anche in questo caso la riflessione critica
>sull'icastica affermazione può condurre ad una estensione
>significativa della comprensione delle potenzialità dell'intelletto e
>sulla sfaccettata natura degli enti del mondo concreto.
>Proprio come riflettere sulla frase "non si sommano mele a pere"
>ci ha portati a riflettere su una molteplicità di livelli in compresenza.
Ti ringrazio ancora per il contributo di conoscenze che mi hai voluto
dare e per la pazienza che hai avuto..:-)
crxor 666
> Ma 1=4 (mod 3). Quindi 2+2=4 è comunque vero.
Dipende, se stiamo scrivendo equazioni in Z_3 strettamente parlando non
possiamo scrivere '4', poichè non è parte della struttura. Sono
d'accordo invece sull 1 = 4 (mod 3), che è sintatticamente accettabile.
> Comunque ad essere precisi 2 non è un elemento di Z_3.
Non più di quanto non lo sia di N. Il tutto dipende da come dai le
definizioni. In particolare la classica definizione di ST cui
attribuiamo il simbolo 2 è accettabile sia in Z che in Z_3, non vedo
perchè considerare accettabile un uso del simbolo e non l'altro.
crxor 666
> Non più di quanto non lo sia di N. Il tutto dipende da come dai le
> definizioni. In particolare la classica definizione di ST cui
> attribuiamo il simbolo 2 è accettabile sia in Z che in Z_3, non vedo
> perchè considerare accettabile un uso del simbolo e non l'altro.
Sono stato poco preciso io. Tipicamente tenendo conto di come è
costruito Z_3 quello che indichiamo con '2' non è il classico insieme
che indichiamo con 2 in Z.
Tuttavia potrei costruire una struttura isomorfa a Z_3 usando appunto un
sottoinsieme di Z e definendo ad hoc la somma. A questo punto mi
sembrerebbe strano chiamare 2 uno e non l'altro.
Poincarè
> > > "La mamma va al supermercato ed acquista 5 pere e 4 mele: quanti
> > > frutti ha comperato in tutto?" potrebbe apparire irrisolvibile, mentre
> > > ha una semplice risoluzione.
> > Attraverso trasformazioni (sono tutte freccie, ad esempio P -----> F)
> > concettuali (astrazione/concretezza) che il bambino usa senza
> > rendersene conto, scoprirà più avanti i dettagli,
> Non sono daccordo sul tuo diagramma.
Ma io non ho scritto che sia corretto, ho solo delineato un tipo di
ragionamento che potrebbe fare un bambino alle elementari, non
dimentichiamo che vi sono bambini da 6 a 10 anni. Non penso che
problemini simili si facciano oltre la scuola primaria.
La precisazione finale del problema "...quanti frutti ha comperato in
tutto?" é fondamentale per il bambino per capire dove deve arrivare,
oggetti di nome frutta. Quello che volevo rappresentare era che il
piccolo risolutore prende i vari numeri degli oggetti ne esegue la
somma e poi gli da il nome che deve essere uguale per tutti. Si chiede
perchè devo prima pensarli come oggetti dello stesso tipo? Questo
passo lo faccio alla fine.
Pensate che nessun bambino faccia un ragionamento del genere?
In realtà già li pensa come oggetti finali.
Poi dopo aver risolto un esercizio del genere si sente dire: "non si
possono sommare le pere con le mele."
(e con pensiero da esperto della materia si dice: "Certo che è strana
la maestra." ;-)
Ciao
Poincarè
?manu*
> crxor 666 <ri...@despammed.com> wrote:
>
> Tuttavia potrei costruire una struttura isomorfa a Z_3 usando appunto un
> sottoinsieme di Z e definendo ad hoc la somma. A questo punto mi
> sembrerebbe strano chiamare 2 uno e non l'altro.
Allora io potrei definire "Babbo Natale=5" e "esiste = è un numero
primo" e affermare con certezza che
"Babbo Natale esiste".
E.
Dalgora Nulla
<magn...@alice.it> wrote:
>La precisazione finale del problema "...quanti frutti ha comperato in
>tutto?" é fondamentale per il bambino per capire dove deve arrivare,
>oggetti di nome frutta. Quello che volevo rappresentare era che il
>piccolo risolutore prende i vari numeri degli oggetti ne esegue la
>somma e poi gli da il nome che deve essere uguale per tutti. Si chiede
>perchè devo prima pensarli come oggetti dello stesso tipo? Questo
>passo lo faccio alla fine.
>Pensate che nessun bambino faccia un ragionamento del genere?
>In realtà già li pensa come oggetti finali.
Infatti, questo è proprio il ragionamento che avrei fatto io da
bambina. E tutto sommato lo trovo più corretto e più pratico:
l'operazione nasce da una finalità che intendo perseguire con la mia
azione.
Andando oltre negli studi, si opera a livelli sempre più astratti, ma
inizialmente la matematica nasce come esigenza pratica e così viene
percepita dal bambino. L'astrazione è un passo successivo e la
difficoltà che si incontra nell'apprendimento è data proprio da questa
perdita progressiva del rapporto con la realtà.
Io ricordo ancora che in terza elementare, di fronte ad un problema
che mi appariva complesso, cercai di rappresentarmi la situazione
mediante alcuni oggetti che avevo sul banco e solo analizzando le
azioni che avrei dovuto compiere giunsi alla trascrizione delle
operazioni corrette e alla risoluzione del problema che per altri miei
compagni fu invece irrisolvibile.
A mio avviso, una delle differenze sostanziali che esiste tra
linguaggio comune e linguaggio matematico consiste proprio nel fatto
che, pur essendo entrambi simbolici, il primo rende esplicito più a
lungo il suo rapporto con il mondo reale cosicché la recitazione o la
lettura anche di un canto complesso della Divina Commedia consentono
di immaginare più facilmente gli eventi narrati e di attribuire ad
essi sempre un significato che può variare da quello semplicemente
letterale a quello allegorico per favorire quindi una interpretazione
critica.
Il linguaggio matematico, invece, decolla quasi subito verso
l'astrazione senza approfondire adeguatamente, nelle scuole primarie,
le relazioni esistenti con il mondo reale.
>
>Poi dopo aver risolto un esercizio del genere si sente dire: "non si
>possono sommare le pere con le mele."
>
>(e con pensiero da esperto della materia si dice: "Certo che è strana
>la maestra." ;-)
E' proprio quanto sostengo: la relazione con la realtà non può
esemplificarsi mediante una metafora che è una trasposizione
(meta-fero) basata su una identità di termini quando non tutti i
termini coincidono.
http://en.wikipedia.org/wiki/Apples_and_oranges
Nel link che ho postato, al paragrafo "Variants" viene riportata una
variante del detto usata in Colombia: "a similar (though more rude)
version is common: "confundir la mierda con la pomada" - literally, to
confuse shit with ointment."
L'espressione, benché molto volgare, a mio avviso, rispetto a quella
usata da noi ("non si possono sommare le pere con le mele) è più
corretta sul piano logico in quanto fa uso del verbo "confondere" e
non del verbo "sommare".
E qui mi tornano in mente le parole di quella maestra che richiamava
l'attenzione sulla differenza tra "confondere" e "distinguere".
Può apparire strano, ma proprio l'uso del termine "sommare" può
"confondere" le idee...(e consentitemi il gioco di parole!:-))