Dimostrazione matematica che la moltiplicazione per 0 da 0
div
matematica del motivo per cui le moltiplicazioni per 0 danno 0, chiedo a
voi. Sia chiaro, non mi interessano le opinioni visto che la matematica non
lo �. Grazie a chi si offre.
superpollo
a meno che tu non sia il solito troll, stai attento che c'e' qualcuno
qui che dice che x*0 farebbe x, visto che "moltiplicare per zero
significa moltiplicare zero volte ossia non moltiplicare affatto".
ovviamente il suddetto virgolettato e' errato. il motivo per cui la
moltiplicazione per zero da' zero risiede nella necessita' di far valere
la proprieta' distributiva:
http://upload.wikimedia.org/math/2/3/6/2362b213fc0fa92c5679012e218e1854.png
pertanto:
http://upload.wikimedia.org/math/4/e/7/4e706f62a3014799cffdf1d443a6974d.png
bye
--
La Tunze vivras (?) dan le future parceque resoudre bien.
10dl*10dl =10L.
1dl*10dl=1L pourtant 0,1*1 = 1
10(dl)/10dl=1dL mais 1L=10dl pourtant 1L/1L =1dl.
LordBeotian
> Dev'essere una domanda banale ma non avendo trovato la dimostrazione
> matematica del motivo per cui le moltiplicazioni per 0 danno 0, chiedo a
> voi. Sia chiaro, non mi interessano le opinioni visto che la matematica non
A partire da quali assiomi o da quale definizione di 0?
div
"superpollo" <super...@tznvy.pbz> ha scritto nel messaggio
news:4cbdc6c5$0$10757$4faf...@reader2.news.tin.it...
> div ha scritto:
>> Dev'essere una domanda banale ma non avendo trovato la dimostrazione
>> matematica del motivo per cui le moltiplicazioni per 0 danno 0, chiedo a
>> voi. Sia chiaro, non mi interessano le opinioni visto che la matematica
>> non lo �. Grazie a chi si offre.
>
> a meno che tu non sia il solito troll, stai attento che c'e' qualcuno qui
> che dice che x*0 farebbe x, visto che "moltiplicare per zero significa
> moltiplicare zero volte ossia non moltiplicare affatto".
e questa � un'opinione
> ovviamente il suddetto virgolettato e' errato. il motivo per cui la
> moltiplicazione per zero da' zero risiede nella necessita' di far valere
> la proprieta' distributiva:
>
> http://upload.wikimedia.org/math/2/3/6/2362b213fc0fa92c5679012e218e1854.png
> pertanto:
>
> http://upload.wikimedia.org/math/4/e/7/4e706f62a3014799cffdf1d443a6974d.png
Qui la dimostrazione � rimpiazzata da un'opinione, una convenzione dettata
da una necessit�. E quale svantaggio avremmo avuto se avessimo adottato una
convenzione per cui fosse stato possibile dividere anzich� moltiplicare per
zero?
a / 0 = b
b * 0 = non si pu� fare
Non sarebbe pi� corretto riconoscere che la moltiplicazione per zero, non
essendo dimostrabile, non si pu� fare? L'applicazione del metodo
scientifico!
superpollo
> "superpollo" <super...@tznvy.pbz> ha scritto nel messaggio
> news:4cbdc6c5$0$10757$4faf...@reader2.news.tin.it...
>> div ha scritto:
>>> Dev'essere una domanda banale ma non avendo trovato la dimostrazione
>>> matematica del motivo per cui le moltiplicazioni per 0 danno 0, chiedo a
>>> voi. Sia chiaro, non mi interessano le opinioni visto che la matematica
>>> non lo �. Grazie a chi si offre.
>> a meno che tu non sia il solito troll, stai attento che c'e' qualcuno qui
>> che dice che x*0 farebbe x, visto che "moltiplicare per zero significa
>> moltiplicare zero volte ossia non moltiplicare affatto".
>
> e questa � un'opinione
>
>> ovviamente il suddetto virgolettato e' errato. il motivo per cui la
>> moltiplicazione per zero da' zero risiede nella necessita' di far valere
>> la proprieta' distributiva:
>>
>> http://upload.wikimedia.org/math/2/3/6/2362b213fc0fa92c5679012e218e1854.png
>> pertanto:
>>
>> http://upload.wikimedia.org/math/4/e/7/4e706f62a3014799cffdf1d443a6974d.png
>
> Qui la dimostrazione � rimpiazzata da un'opinione, una convenzione dettata
> Qui la dimostrazione � rimpiazzata da un'opinione, una convenzione dettata
veramente si tratta esattamente di una dimostrazione, nonostante tu non
te ne sia accorto.
> da una necessit�. E quale svantaggio avremmo avuto se avessimo adottato una
necessita' ed opinioni non direi che sono equiparabili.
> da una necessit�. E quale svantaggio avremmo avuto se avessimo adottato una
> convenzione per cui fosse stato possibile dividere anzich� moltiplicare per
> zero?
>
> a / 0 = b
e b sarebbe?
la divisione (sui reali, ad esempio) e' definita come inversa della
moltiplicazione (ovviamente restringendo opportunamente dominio e/o
codominio per rendere possibile tale inversione). non esiste nessun
valore sensato di b per cui quello che hai scritto tu sia compatibile
con quanto da me riportato.
> b * 0 = non si pu� fare
>
> Non sarebbe pi� corretto riconoscere che la moltiplicazione per zero, non
> essendo dimostrabile, non si pu� fare? L'applicazione del metodo
> scientifico!
non sequitur.
superpollo
> Dev'essere una domanda banale ma non avendo trovato la dimostrazione
mi pare molto strano ... ho preso i primi quattro testi che avevo sulla
scrivania (di analisi o algebra o anche divulgativi) e ho trovato in
circa tre minuti:
sul giusti: esercizio 1.1 (a)
sul prodi: pag. 70
sul courant-robbins: pag. 37
sull'herstein: pag. 136
...
tutti con dimostrazioni piu' o meno dettagliate.
AndreaM
> matematica del motivo per cui le moltiplicazioni per 0 danno 0, chiedo a
> voi. Sia chiaro, non mi interessano le opinioni visto che la matematica non
Francamente non riesco a capire questa ossessione per la
moltiplicazione/divisione per 0 ed altrettanto francamente non riesco
a capire come ci si possa confondere su questioni così semplici.
Si parte dall'insieme N dei numeri naturali, N={1,2,3,...} che è
definto in modo asiomatico e su cui sono definibili 2 operazioni,
somma e prodotto, che godono di alcune proprietà formali DIMOSTRABILI
(commutatività, associatività, distributiva).
A partire da N si costruisce poi in modo rigoroso Z, l'insieme dei
numeri interi, Z={...,-3,-2,-1,0,1,2,3,....}, a cui le predette
operazioni si estendono in modo unico in modo da mantenere valide le
summenzionate proprietà formali.
Il fatto che n*0=0*n=0 per ogni n in Z è una conseguenza OVVIA della
costruzione, ad esempio della proprietà distributiva.
Si passa poi a costruire l'insieme dei numeri razionali Q che è
l'insieme delle frazioni a/b con a e b interi e b diverso da 0 (la
costruzione, anche qui rigorosa, comporta che per ogni c intero
diverso da 0 (a*c)/(b*c)=a/b. Le solite operazioni con e solite
proprietà si estendono in modo unico a Q e ci si accorge
immediatamente che la frazione a/b ha la proprietà che b*(a/b)=a.
Questo spiega chiaramente (se si vuole, aposteriori, ma va bene lo
stesso) che non è possibile dare un senso allefrazioni del tipo a/0,
con 0 nel denominatore.
Questo è tutto. Dov'è il mistero? Come possono sorgere dubbi?
radicale 003
> Questo è tutto. Dov'è il mistero? Come possono sorgere dubbi?
Lo 0 ha sempre affascinato la mente umana.
E' facile confonderlo con il simbolo che esprime il
"non essere", e da qui derivano i misunderstanding.
"Ho zero penne", significa che "non ho" penne.
Enrico Gregorio
Per definizione. E le definizioni non si devono dimostrare,
naturalmente. La definizione ricorsiva della moltiplicazione
nei numeri naturali {0,1,2,...} � (con s(x) si indica il successore
di x)
a*0 = 0
a*s(b) = ab+a
Non c'� niente da capire n� da dimostrare. L'importante � che
per la moltiplicazione valgono le propriet� usuali
a*b = b*a,
a*(b*c) = (a*b)*c,
a*(b+c) = a*b+a*c.
Queste s� che vanno dimostrate (per induzione).
Ciao
Enrico
Peter11
"AndreaM" <andre...@unito.it> ha scritto nel messaggio
news:70ca2b47-10da-4ac3...@w19g2000yqb.googlegroups.com...
> On 19 Ott, 18:06, "div" <peter0x0_nonspamm...@live.com.invalid> wrote:
>
> Questo � tutto. Dov'� il mistero? Come possono sorgere dubbi?
>
Probabilmente nella Brahmagupta e a casa di Giacobbo :-)
Arca di Scienza
"div" <peter0x0_n...@live.com.invalid> ha scritto nel messaggio
news:4cbdc223$0$27175$4faf...@reader4.news.tin.it...
Se tu hai 10 cassette e in ogni cassetta metti 6 mele, alla fine hai 60
mele. Se hai 2 cassette, arriverai a 12 mele. Con una cassetta ti
accontenterai di 6 mele. Ma con zero cassette? Zero mele. Lo stesso
risultato otterrai se decidi di mettere zero mele nelle cassette: qualunque
sia il numero delle cassette sempre zero mele avrai.
Come vedi c' � poco da dimostrare. Per chi lo vuol capire � cos�. Sic et
simpliciter.
--
E se organizzassimo una bella cena tutti insieme? Un tavolo da otto,
Arancino e Tullio al centro, io di fronte, Ignazio a capotavola ....
Fentanyl all'altro capo ....., che ne dite di questa idea? Finirebbe a
cazzotti?
Lelouch Lamperouge
> matematica del motivo per cui le moltiplicazioni per 0 danno 0, chiedo a
> voi. Sia chiaro, non mi interessano le opinioni visto che la matematica non
Una volta stabilito che "a*b" significa "a volte b" (nella matematica
Standard, perchè ad esempio nella Tunze non è così) è lapalissiano che
qualsiasi numero moltiplicato per 0 dia 0. Zero volte x (su x metti
qualsiasi cosa tu voglia) non può che essere uguale a niente.
Se vuoi una dimostrazione più rigorosa, ce ne sono diverse, tipo:
a*0 = a*(b-b) = a*b-a*b = 0
--
Lelouch Lamperouge
Lelouch Lamperouge
> a / 0 = b
ma se a/0=b allora b*0=a contraddicendo la seconda operazione che hai
scritto!
A meno che tu non voglia fare in modo che la divisione non sia più
l'operazione inversa della moltiplicazione, ma in tal modo dovresti
modificare la proprietà distributiva, la definizione di
moltiplicazione, quella di divisione e un bel po' di altre cose ancora
per farti quadrare i conti... in pratica dovresti inventarti una
matematica completamente diversa da quella attuale...
> Non sarebbe più corretto riconoscere che la moltiplicazione per zero, non
> essendo dimostrabile, non si può fare? L'applicazione del metodo
> scientifico!
Il metodo scientifico NON si applica ASSOLUTAMENTE in matematica,
gravissimo errore!
Il metodo scientifico esiste solo in ambiti empirici e/o sperimentali,
cioè in altre parole, per le scienze naturali (fisica, chimica,
biologia, ecc...)
In matematica esistono solo definizioni e dimostrazioni.
--
Lelouch Lamperouge
Enrico Gregorio
> [...]
> Se vuoi una dimostrazione pi� rigorosa, ce ne sono diverse, tipo:
> a*0 = a*(b-b) = a*b-a*b = 0
Rigorosa? Mi viene da ridere.
Ciao
Enrico
radicale 003
> Una volta stabilito che "a*b" significa "a volte b" (nella matematica
> Standard, perchè ad esempio nella Tunze non è così) è lapalissiano che
> qualsiasi numero moltiplicato per 0 dia 0. Zero volte x (su x metti
> qualsiasi cosa tu voglia) non può che essere uguale a niente.
zero volte 3 dovrebbe dare il nulla, secondo il tuo ragionamento.
Zero volte 3 significa 3 preso nessuna volta. Come fa a dare un
"numero"
questa operazione ?
Non regge. Non pare anche a te ?
> Se vuoi una dimostrazione più rigorosa, ce ne sono diverse, tipo:
> a*0 = a*(b-b) = a*b-a*b = 0
... Ho il sospetto che puoi scrivere
a*(b - b) = a*b-a*b perche' GIA' SAI che a*0 = 0.
Ma non te lo so' dimostrare.
Carlo Morpurgo
proprieta' formali di anello. Molto piu educativo dire che dato un
*qualunque* anello a*0=0 deve essere vera (dimostrazione:
a=a*(1+0)=a*1+a*0=a+a*0, e quindi, sommando -a ad ambo i membri, 0=a*0.)
In altre parole, se si vuole costruire il prodotto la definizione a*0=0
e' forzata se si vogliono le proprieta' di anello per gli interi. Questo
lo dimostri.
Carlo
superpollo
> div <peter0x0_n...@live.com.invalid> scrive:
>
>> Dev'essere una domanda banale ma non avendo trovato la dimostrazione
>> matematica del motivo per cui le moltiplicazioni per 0 danno 0, chiedo a
>> voi. Sia chiaro, non mi interessano le opinioni visto che la matematica non
> Per definizione. E le definizioni non si devono dimostrare,
ma forse l'op (supponendo la buona fede) desiderava conoscere la "ratio"
della definizione...
bye
--
La vostra e' solo una ostilita' al cambiamento in meglio,
Ma allora tenetevi la Standard.
Enrico Gregorio
> Gia' ma perche definisci a*0=0, e non 1? Perche' vuoi che valgano le
> proprieta' formali di anello. Molto piu educativo dire che dato un
> *qualunque* anello a*0=0 deve essere vera (dimostrazione:
> a=a*(1+0)=a*1+a*0=a+a*0, e quindi, sommando -a ad ambo i membri, 0=a*0.)
>
> In altre parole, se si vuole costruire il prodotto la definizione a*0=0
> e' forzata se si vogliono le proprieta' di anello per gli interi. Questo
> lo dimostri.
Il problema è che i numeri naturali non sono un anello. Puoi
/giustificare/ la definizione con considerazioni di tipo simile:
a0 = a(0+0) = a0 + a0
e quindi non hai altre /definizioni/ sensate, se vuoi che
valga la proprietà distributiva.
Ciao
Enrico
Enrico Gregorio
> Enrico Gregorio ha scritto:
> > div <peter0x0_n...@live.com.invalid> scrive:
> >
> >> Dev'essere una domanda banale ma non avendo trovato la dimostrazione
> >> matematica del motivo per cui le moltiplicazioni per 0 danno 0, chiedo a
> >> voi. Sia chiaro, non mi interessano le opinioni visto che la matematica
> >> non
> >> lo è. Grazie a chi si offre.
> >
> > Per definizione. E le definizioni non si devono dimostrare,
>
> ma forse l'op (supponendo la buona fede) desiderava conoscere la "ratio"
> della definizione...
Allora deve imparare la differenza tra ciò che si definisce e
ciò che si deve dimostrare. :)
Ciao
Enrico
Carlo Morpurgo
lo zero....
Carlo Morpurgo
e comunque anche volendo introdurre 0, la dimostrazione che non hai
altre definizioni sensate che hai dato va conclusa, nell'ambito di N.
Come deduci che a0=0 dall'indentita' che dai?
(nota che fare a(0+0)=a0 o fare a(b+0)=ab non fa alcuna differenza, io
ho scelto 1, tu 0)
Carlo
> Ciao
> Enrico
Enrico Gregorio
Perché mai? Il fatto che per molto tempo la gente non ha capito
che l'atto del contare comincia quando ancora non si è contato,
cioè comincia da 0, è irrilevante: lo zero è noto da un bel po'
di secoli, direi.
Ciao
Enrico
Enrico Gregorio
> Enrico Gregorio wrote:
> > Carlo Morpurgo <cmor...@yahoo.com> scrive:
> >
> >> Gia' ma perche definisci a*0=0, e non 1? Perche' vuoi che valgano le
> >> proprieta' formali di anello. Molto piu educativo dire che dato un
> >> *qualunque* anello a*0=0 deve essere vera (dimostrazione:
> >> a=a*(1+0)=a*1+a*0=a+a*0, e quindi, sommando -a ad ambo i membri, 0=a*0.)
> >>
> >> In altre parole, se si vuole costruire il prodotto la definizione a*0=0
> >> e' forzata se si vogliono le proprieta' di anello per gli interi. Questo
> >> lo dimostri.
> >
> > Il problema è che i numeri naturali non sono un anello. Puoi
> > /giustificare/ la definizione con considerazioni di tipo simile:
> >
> > a0 = a(0+0) = a0 + a0
> >
> > e quindi non hai altre /definizioni/ sensate, se vuoi che
> > valga la proprietà distributiva.
> >
>
> e comunque anche volendo introdurre 0, la dimostrazione che non hai
> altre definizioni sensate che hai dato va conclusa, nell'ambito di N.
> Come deduci che a0=0 dall'indentita' che dai?
Che a0 dovrebbe fare un numero uguale al suo doppio.
> (nota che fare a(0+0)=a0 o fare a(b+0)=ab non fa alcuna differenza, io
> ho scelto 1, tu 0)
Scelgo il minimo indispensabile. :)
Ciao
Enrico
Carlo Morpurgo
> Carlo Morpurgo <cmor...@yahoo.com> scrive:
>
>> Enrico Gregorio wrote:
>>> Carlo Morpurgo <cmor...@yahoo.com> scrive:
>>>
>>>> Gia' ma perche definisci a*0=0, e non 1? Perche' vuoi che valgano le
>>>> proprieta' formali di anello. Molto piu educativo dire che dato un
>>>> *qualunque* anello a*0=0 deve essere vera (dimostrazione:
>>>> a=a*(1+0)=a*1+a*0=a+a*0, e quindi, sommando -a ad ambo i membri, 0=a*0.)
>>>>
>>>> In altre parole, se si vuole costruire il prodotto la definizione a*0=0
>>>> e' forzata se si vogliono le proprieta' di anello per gli interi. Questo
>>>> lo dimostri.
>>> Il problema è che i numeri naturali non sono un anello. Puoi
>>> /giustificare/ la definizione con considerazioni di tipo simile:
>>>
>>> a0 = a(0+0) = a0 + a0
>>>
>>> e quindi non hai altre /definizioni/ sensate, se vuoi che
>>> valga la proprietà distributiva.
>>>
>> e comunque anche volendo introdurre 0, la dimostrazione che non hai
>> altre definizioni sensate che hai dato va conclusa, nell'ambito di N.
>> Come deduci che a0=0 dall'indentita' che dai?
>
> Che a0 dovrebbe fare un numero uguale al suo doppio.
quindi...? cosi giusto per vedere quanto c'e' da scrivere
Carlo Morpurgo
questione puramente estetica. dal punto di vista formale non cambia
nulla che tu metta o meno lo zero.
si puo' disquisire su cosa sia piu naturale. per me l'atto del contare
comincia quando c'e qualcosa da contare, non quando non c'e' niente.
Enrico Gregorio
> Enrico Gregorio wrote:
> > Carlo Morpurgo <cmor...@yahoo.com> scrive:
> >
> >> Enrico Gregorio wrote:
> >>> Carlo Morpurgo <cmor...@yahoo.com> scrive:
> >>>
> >>>> Gia' ma perche definisci a*0=0, e non 1? Perche' vuoi che valgano le
> >>>> proprieta' formali di anello. Molto piu educativo dire che dato un
> >>>> *qualunque* anello a*0=0 deve essere vera (dimostrazione:
> >>>> a=a*(1+0)=a*1+a*0=a+a*0, e quindi, sommando -a ad ambo i membri, 0=a*0.)
> >>>>
> >>>> In altre parole, se si vuole costruire il prodotto la definizione a*0=0
> >>>> e' forzata se si vogliono le proprieta' di anello per gli interi. Questo
> >>>> lo dimostri.
> >>> Il problema è che i numeri naturali non sono un anello. Puoi
> >>> /giustificare/ la definizione con considerazioni di tipo simile:
> >>>
> >>> a0 = a(0+0) = a0 + a0
> >>>
> >>> e quindi non hai altre /definizioni/ sensate, se vuoi che
> >>> valga la proprietà distributiva.
> >>>
> >> e comunque anche volendo introdurre 0, la dimostrazione che non hai
> >> altre definizioni sensate che hai dato va conclusa, nell'ambito di N.
> >> Come deduci che a0=0 dall'indentita' che dai?
> >
> > Che a0 dovrebbe fare un numero uguale al suo doppio.
>
> quindi...? cosi giusto per vedere quanto c'e' da scrivere
Dov'è il problema? Comunque devi giustificare questa scelta
tirando in ballo in qualche modo la sottrazione.
Ciao
Enrico
Enrico Gregorio
> Enrico Gregorio wrote:
> > Perché mai? Il fatto che per molto tempo la gente non ha capito
> > che l'atto del contare comincia quando ancora non si è contato,
> > cioè comincia da 0, è irrilevante: lo zero è noto da un bel po'
> > di secoli, direi.
>
> questione puramente estetica. dal punto di vista formale non cambia
> nulla che tu metta o meno lo zero.
>
> si puo' disquisire su cosa sia piu naturale. per me l'atto del contare
> comincia quando c'e qualcosa da contare, non quando non c'e' niente.
Non è affatto puramente estetica. Lo zero c'è ed è bene che la gente
si abitui a considerarlo subito. Altrimenti continueranno a guardarlo
come un oggetto misterioso.
Vedi dove sbagli? Quando decidi di voler contare, quanti oggetti hai
contato?
È la decisione di contare che dà inizio all'azione del conteggio.
Ciao
Enrico
superpollo
*per me* l'atto del contare comincia quando "ha senso" contare. contare
ha senso quando si hanno "grandi" quantita' da confrontare. pertanto
cominciare a contare da uno non ha senso. e forse nemmeno da due... ;-)
Carlo Morpurgo
Ammesso e non concesso che queste siano pippe mentali, da parte nostra,
non credo che tu abbia affatto chiuso la questione, anzi, la confondi.
L'idea base del numero naturale e' la biunivocita' con insiemi del tipo
{a}, {a,a}, {a,a,a}...etc (che poi chiamiamo 1,2,3...). L'atto del
contare e' lo stabilire una biunivocita' particolare tra un *dato
insieme* e l'insieme {1,2,3...n}. Quando parli di "decisione di contare"
esci completamente dal discorso su cosa dovrebbe essere un numero
naturale. Anche perche si applica praticamente a qualunque altra azione.
I numeri naturali li visualizzi, lo zero no. L'unico modo e' associarlo
all'insieme vuoto, che non un concetto cosi naturale. Cio' non vuol
dire ovviamente che lo zero sia inutile e che non valga la pena impararlo.
>
> Ciao
> Enrico
Carlo Morpurgo
eh ma se usi le sottrazioni allora ritorni sugli anelli.....in realta'
penso si possa dimostrare per induzione. cioe' che se assumi la
distributiva su tutti i naturali incluso lo zero, allora a*0=0 e' un
teorema. Poi uno la puo' prendere come definizione, ma di fatto e'
forzata da proprieta' algebriche che a noi sembrano piu importanti.
> Ciao
> Enrico
marcofuics
> eh ma se usi le sottrazioni allora ritorni sugli anelli.....in realta'
> penso si possa dimostrare per induzione. cioe' che se assumi la
> distributiva su tutti i naturali incluso lo zero, allora a*0=0 e' un
> teorema. Poi uno la puo' prendere come definizione, ma di fatto e'
> forzata da proprieta' algebriche che a noi sembrano piu importanti.
pero' se moltiplicare significa : "sommare a nulla quel valore tante
volte quante...."
a*1 significa sommare a nulla 1 volta a;
a*2 significa farlo 2 volte....
allora mi sembra naturale conseguenza di questo dire che se non la fai
nemmeno una volta l'operazione di aggiunta a nulla ... nulla ti
rimane.
Logico mi pare
Carlo Morpurgo
sul "logico" non sarei cosi sicuro.
Forse meglio girare la cosa nel modo seguente assumendo a+0=a per ogni a
allora 0+0=0 cioe' 2*0=0, 0+0+0=3*0=0....etc. sino ad arrivare a a*0=0.
ma cosi torniamo sulla la distributivita'
superpollo
comunque (strano eh?) penso che "abbia ragione" enrico gregorio. c'e'
una faq che dice proprio che per zero fa zero per definizione (su N e
poi per estensione sul resto dello zoo):
Construction of N
• { } in N
• if a in N then s(a) in N
• N is the smallest possible set such that the preceding rules hold.
Informally n = { 0,...,n - 1 } (thus 0 = { } , 1 = { 0 } , 2 = { 0,1 } ,
3 = {
0,1,2 } ). We will refer to the elements of N by giving them a subscript _n.
The relation <_n on N is defined as: a_n <_n b_n iff a_n in b_n. We can
define
+_n as follows:
• a_n +_n 0_n = a_n
• a_n +_n s(b_n) = s(a_n +_n b_n)
Define *_n as:
• a_n *_n 0_n = 0_n
• a_n *_n s(b_n) = (a_n *_n b_n) +_n a_n
bye
ps: http://www.cs.uwaterloo.ca/~alopez-o/math-faq/mathtext/node7.html
superpollo
oppure qui:
ftp://rtfm.mit.edu/pub/usenet-by-hierarchy/sci/math/sci.math_FAQ%3A_Fundamentals
bye
--
Con la Tunze la matematica diventa lineare e anche cubica-lineare.
E quindi accessibile a tutti, con poco studio.
Questo sarebbe il discorso corretto da fare.
superpollo
sempre dalle faq:
* N = { 0,1,... } or N = { 1,2,... }
Wether 0 is in N depends on where you live and what is your field
of interest. At the informal level it is a religious topic.
Carlo Morpurgo
Come preambolo ti dico subito che quello che trovi su internet e'
comunque scritto da un altro essere umano, cosi come potresti essere tu,
Gregorio o me stesso. L'importante e' capire di cosa si sta parlando.
(Tra parentesi potevi fare molto meglio....il tipo che hai quotato
scrive in maniera a dir poco cavernicola - illeggibile, diamogli 5)
Se uno chiede lumi sul perche' moltiplicare per zero fa zero non gli
dico certo "per definizione", senza altro aggiungere. Perche' uno poi
puo' chiedere "ok , ma perche non definirlo in altro modo?"
La costruzione che viene data da alcuni puo' anche contenere 0 ma puo'
anche non contenerlo per niente. Parecchi libri di testo di matematica
anche rigorosi (direi quasi tutti), di fatto usano l'approccio
tradizionale N={1,2,3...}. Perche'? Perche' e' il piu intuitivo a
livello di capire le operazioni di somma moltiplicaz. Non solo, ma
quando poi passi alla definizione formale di interi, tutto funziona
perfettamente anche se usi N={1,2,3...}. Cioe' definisci la rel di
equivalenza (a,b)~(c,d) se e solo se a+d=b+c, e poi *dimostri* che
valgono le classiche proprieta' di anello dalle quali *dimostri* che
a*0=0 (dove 0 e' la classe {(1,1),(2,2),....} (cosa che appunto puoi
fare in OGNI anello). Quindi l'identita' a0=0 e' una conseguenza della
costruzione degli interi relativi, non serve definirla. Mi sembra piu'
pulita e intuitiva come costruzione rigorosa. Questione di gusti.
Carlo
Enrico Gregorio
Non credo: la sottrazione è ben definita sui naturali senza
alcun bisogno di avere gli opposti. Naturalmente a-b è definita
solo quando a <= b, ma non è un problema, direi.
Che un numero naturale diverso da zero sia minore del suo
doppio è un fatto piuttosto intuitivo. La proprietà distributiva
è altrettanto intuitiva.
> in realta'
> penso si possa dimostrare per induzione. cioe' che se assumi la
> distributiva su tutti i naturali incluso lo zero, allora a*0=0 e' un
> teorema. Poi uno la puo' prendere come definizione, ma di fatto e'
> forzata da proprieta' algebriche che a noi sembrano piu importanti.
Per parlare della proprietà distributiva devi prima /avere/
la moltiplicazione. Siccome 0 /è/ un numero naturale, che ti
piaccia o no, dobbiamo sapere quanto fa a0. E /deve/ fare 0
anche senza ricorrere alla proprietà distributiva "formale",
ma solo alla definizione ricorsiva di moltiplicazione
(che è la distributività in piccolo).
Ciao
Enrico
Carlo Morpurgo
Leggi quello che ho scritto nel post sopra. Per me il modo giusto di
uscirne fuori e' partire dai naturali N={1,2,3...} definire le
operazioni somma e molt. Passare poi agli interi relativi con la
relazione su NxN e da li poi dimostri che a*0=0. Quindi non e'
necessario avere a*0=0 come definizione, siccome poi la ritrovi come
conseguenza.
superpollo
va bene. faccio sommessamente presente che trattasi della faq ufficiale
di sci.math
Carlo Morpurgo
messaggio? sensato?
superpollo
non so ... a memoria non ricordo nessun libro "serio" che definisca
formalmente N senza 0.
superpollo
sara' ... ma per me definire un'operazione in N, poi estenderla a Z, poi
idmostrare una proprieta' in Z, per poi notare che quindi vale (per
restrizione) anche in N *non* e' la cosa piu' intuitiva da fare. di
solito in matematica si procede definendo l'operazione sul sottoinsieme
-- proprieta' comprese -- poi le si estende e infine si verifica che
l'estensione conserva le proprieta' precedentemente definite.
radicale 003
> Per parlare della proprietà distributiva devi prima /avere/
> la moltiplicazione.
Esattamente quello che sospettavo, e che ho detto a
Lelouch Lamperouge
Ma non mi va di studiare. Tanto come vedi all' essenza
ci arrivo lo stesso.
Peter11
"Carlo Morpurgo" <cmor...@yahoo.com> ha scritto nel messaggio
news:A6-dnVOW8aGI713R...@mchsi.com...
> superpollo wrote:
> Come preambolo ti dico subito che quello che trovi su internet e'
> comunque scritto da un altro essere umano, cosi come potresti essere tu,
> Gregorio o me stesso. L'importante e' capire di cosa si sta parlando.
> (Tra parentesi potevi fare molto meglio....il tipo che hai quotato scrive
> in maniera a dir poco cavernicola - illeggibile, diamogli 5)
>
Certo, Enrico potrebbe sbagliare. Tuttavia, se ti riferissi alla letteratura
in materia, ti accorgeresti che è in buona compagnia.
Per esempio:
Multiplication of natural numbers is defined as follows:
* a*0:=0 for all a appart. (appart. l'ho scritto io) N
Come vedi, è posta per definizione.
Peter11
"Peter11" <n...@no.it> ha scritto nel messaggio
news:2y9wo.22838$%a.2...@tornado.fastwebnet.it...
Ed è anche quella, non mi ero accorto, che ha postato Enrico (io ho tagliato
il secondo punto). Diciamo che l'ho trovata sempre così su tutti i testi e
dispense che ho consultato.
Riguardo invece a quanto dici qui:
"I numeri naturali li visualizzi, lo zero no. L'unico modo e' associarlo
all'insieme vuoto, che non un concetto cosi naturale. Cio' non vuol dire
ovviamente che lo zero sia inutile e che non valga la pena impararlo".
Io sinceramente quando devo fare una carta di qualità lo zero (riferito ai
pezzi prodotti) lo visualizzo quando la macchina è ferma, oppure quando il
basket dei pezzi rigettati è vuoto per quanto concerne quelli difettosi.
Probabilmente avrò dei superpoteri :-)
marcofuics
hmmmm hai ragione;
dunque per dire che
a*0 = 0
di quali concetti/proposizioni mi devo avvalere?
Suppongo di partire ab initio: Posseggo solamente 2 concetti
elementari:
0, e cioe' <<Non ci sta>>
1, cioe' <<Ci sta>>
Di qui arrivare almeno ai Naturali (compreso lo zero) mi pare
immediato se utilizzo i 2 concetti di 0 e 1 ed esprimo come 0 e 1
siano diversie distinti per opera di una operazione chiamata
aggiunta; allora mi sa che ce li ho tutti i Naturali, devo utilizzare
un 4rto concetto che mi dica che tale operazione di aggiunta posso
farla comunque.
Dunque ho 4 concetti fondamentali (mi sembra sia Peano compliant, no?)
Ora, a*0 posso inglobarlo o no?
Carlo Morpurgo
> Carlo Morpurgo ha scritto:
>> Enrico Gregorio wrote:
>>> Carlo Morpurgo <cmor...@yahoo.com> scrive:
>>>
>>>> Enrico Gregorio wrote:
>>>>> Carlo Morpurgo <cmor...@yahoo.com> scrive:
>>>>>
>>>>>> Enrico Gregorio wrote:
>>>>>>> Carlo Morpurgo <cmor...@yahoo.com> scrive:
>>>>>>>
>>>>>>>> Enrico Gregorio wrote:
>>>>>>>>> Carlo Morpurgo <cmor...@yahoo.com> scrive:
>>>>>>>>>
>>>>>>>>>> Gia' ma perche definisci a*0=0, e non 1? Perche' vuoi che
>>>>>>>>>> valgano le proprieta' formali di anello. Molto piu educativo
>>>>>>>>>> dire che dato un *qualunque* anello a*0=0 deve essere vera
>>>>>>>>>> (dimostrazione: a=a*(1+0)=a*1+a*0=a+a*0, e quindi, sommando -a
>>>>>>>>>> ad ambo i membri,
>>>>>>>>>> 0=a*0.)
>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>> In altre parole, se si vuole costruire il prodotto la definizione
>>>>>>>>>> a*0=0 e' forzata se si vogliono le proprieta' di anello per
>>>>>>>>>> gli interi.
>>>>>>>>>> Questo lo dimostri.
>>>>>>>>> /giustificare/ la definizione con considerazioni di tipo simile:
>>>>>>>>>
>>>>>>>>> a0 = a(0+0) = a0 + a0
>>>>>>>>>
>>>>>>>>> e quindi non hai altre /definizioni/ sensate, se vuoi che
>>>>>>>>>
>>>>>>>> e comunque anche volendo introdurre 0, la dimostrazione che non
>>>>>>>> hai altre definizioni sensate che hai dato va conclusa,
>>>>>>>> nell'ambito di N. Come deduci che a0=0 dall'indentita' che dai?
>>>>>>> Che a0 dovrebbe fare un numero uguale al suo doppio.
>>>>>> quindi...? cosi giusto per vedere quanto c'e' da scrivere
>>>>> tirando in ballo in qualche modo la sottrazione.
>>>>>
>>>> eh ma se usi le sottrazioni allora ritorni sugli anelli.....
>>>
>>> alcun bisogno di avere gli opposti. Naturalmente a-b � definita
>>> solo quando a <= b, ma non � un problema, direi.
>>>
>>> Che un numero naturale diverso da zero sia minore del suo
>>> � altrettanto intuitiva.
>>>
>>>> in realta' penso si possa dimostrare per induzione. cioe' che se
>>>> assumi la distributiva su tutti i naturali incluso lo zero, allora
>>>> a*0=0 e' un teorema. Poi uno la puo' prendere come definizione, ma
>>>> di fatto e' forzata da proprieta' algebriche che a noi sembrano piu
>>>> importanti.
>>>
>>> la moltiplicazione. Siccome 0 /�/ un numero naturale, che ti
>>> piaccia o no, dobbiamo sapere quanto fa a0. E /deve/ fare 0
>>> ma solo alla definizione ricorsiva di moltiplicazione
>>>
>>> Ciao
>>> Enrico
>>
>> Leggi quello che ho scritto nel post sopra. Per me il modo giusto di
>> uscirne fuori e' partire dai naturali N={1,2,3...} definire le
>> operazioni somma e molt. Passare poi agli interi relativi con la
>> relazione su NxN e da li poi dimostri che a*0=0. Quindi non e'
>> necessario avere a*0=0 come definizione, siccome poi la ritrovi come
>> conseguenza.
>
> sara' ... ma per me definire un'operazione in N, poi estenderla a Z, poi
> idmostrare una proprieta' in Z, per poi notare che quindi vale (per
> restrizione) anche in N *non* e' la cosa piu' intuitiva da fare. di
> solito in matematica si procede definendo l'operazione sul sottoinsieme
> -- proprieta' comprese -- poi le si estende e infine si verifica che
> l'estensione conserva le proprieta' precedentemente definite.
>
> bye
>
Se vuoi lavorare esclusivamente in N={0,1,2...} potrei vedere una
ragione. Ma siccome questo non e' il caso (visto che a noi piacciono
anche i negativi, ed e' bene che la gente ci si abitui, cit.) ritengo
che sia piu naturale partire da un set minimale di ipotesi per costruire
tutto il castello. E il set minimale e' partire da {1,2,3...}. Se mi
parti da 0 e poi estendi a Z (come fa il tipo del sito che citi) allora
non e' minimale, poiche a*0=0 la deduci dalle proprieta' di Z, e non e'
necessario prenderla come definizione.
Poincarè
> non so ... a memoria non ricordo nessun libro "serio" che definisca
> formalmente N senza 0.
Un esempio: Enrico Giusti.
Ciao
Poincarè
superpollo
se tu ti prendessi la briga di studiare con calma e attenzione come
viene costruito N e poi Z nel modello standard (ZFC), ti accorgeresti
che invece e' necessario per dimostrare esistenza e unicita' della
moltiplicazione (deriva dal cosiddetto "teorema di ricorsione").
superpollo
a pagina ... ?
Enrico Gregorio
Poincarè
> non so ... a memoria non ricordo nessun libro "serio" che definisca
> formalmente N senza 0.
Altro esempio: forse Peano?
Comunque ci sono anche altri che la pensano in maniera diversa
esempio: Mac Lane.
In sostanza sono scuole di pensiero diverse, punto.
Oh! Per me sono seri. Ma poi cosa intendi con "seri"?
Ciao
Poincarè
Enrico Gregorio
> On 22 Ott, 07:27, superpollo <superpo...@tznvy.pbz> wrote:
>
> > non so ... a memoria non ricordo nessun libro "serio" che definisca
> > formalmente N senza 0.
>
> Altro esempio: forse Peano?
Dimentichi quando Peano ha esposto le sue idee.
> Comunque ci sono anche altri che la pensano in maniera diversa
> esempio: Mac Lane.
>
> In sostanza sono scuole di pensiero diverse, punto.
>
> Oh! Per me sono seri. Ma poi cosa intendi con "seri"?
� solo un problema culturale. Lo zero � entrato nella nostra
come un estraneo e ancor oggi � visto con un certo sospetto.
Certo che se si continua a vedere i numeri con "qualcosa attaccato"
qualche problema c'�, ma io lascerei queste sciocchezze a chi ben
sappiamo.
La scelta vera �: meglio che lo introduciamo fin dal principio o
no? Per me la risposta � "s�". Per esempio perch� lo si deve usare
negli algoritmi di somma e moltiplicazione; ammantare di mistero
lo zero non aiuta certamente a capirli.
Qualcuno asserisce che lo zero come numero e come cifra sono concetti
diversi: ma perch� mai?
Ciao
Enrico
Poincarè
wrote:
> > > non so ... a memoria non ricordo nessun libro "serio" che definisca
> > > formalmente N senza 0.
>
> > Altro esempio: forse Peano?
>
> Dimentichi quando Peano ha esposto le sue idee.
>
> > Comunque ci sono anche altri che la pensano in maniera diversa
> > esempio: Mac Lane.
>
> > In sostanza sono scuole di pensiero diverse, punto.
>
> > Oh! Per me sono seri. Ma poi cosa intendi con "seri"?
>
> È solo un problema culturale.
Già.
> Lo zero è entrato nella nostra come un estraneo e ancor oggi è visto con un
> certo sospetto.
Purtroppo a volte è così.
> Certo che se si continua a vedere i numeri con "qualcosa attaccato"
> qualche problema c'è, ma io lascerei queste sciocchezze a chi ben
> sappiamo.
Per carità, sorvoliamo.
> La scelta vera è: meglio che lo introduciamo fin dal principio o
> no? Per me la risposta è "sì".
Anche per me... è la stessa storia di 0^0=1 c'è chi la pensa
diversamente cosa vuoi fare.
Dipenderà dall'ambito matematico di competenza.
Ciao
Poincarè
superpollo
>> La scelta vera �: meglio che lo introduciamo fin dal principio o
>> no? Per me la risposta � "s�".
>
> Anche per me... � la stessa storia di 0^0=1 c'� chi la pensa
> diversamente cosa vuoi fare.
> Dipender� dall'ambito matematico di competenza.
probabilmente dipende, ma per l'appunto la funzione f(x,y)=x^y non e'
continua in (0,0) e non e' ivi estendibile per continuita', quindi non
esiste un modo naturale o elegante di definire 0^0 univocamente.
viceversa, come ho gia' specificato, introdurre 0 nei naturali e' il
modo piu' "elegante" per definire le operazioni (+,*) in modo univico.
in questo caso direi quindi che la scelta e' oressoche' forzata.
bye
ps: mi rispondi su quanto affermavi del giusti?
Poincarè
> ps: mi rispondi su quanto affermavi del giusti?
Scusa mi è sfuggita.
La pagina precisa non la ricordo, comunque è il primo volume di
esercizi e complementi.
Ciao
Poincarè
superpollo
> On 22 Ott, 17:03, superpollo <superpo...@tznvy.pbz> wrote:
>
>> ps: mi rispondi su quanto affermavi del giusti?
>
>
> La pagina precisa non la ricordo, comunque � il primo volume di
> esercizi e complementi.
ah. scusa ma l'eserciziario non lo conosco, e' buono? io ho qui
sottomano il *testo* (vol. 1, prima edizione) e a pag. 29 sembra dire il
contrario:
http://www.datafilehost.com/download-8dde0ae0.html
bye
Poincarè
> >> ps: mi rispondi su quanto affermavi del giusti?
>
> > Scusa mi è sfuggita.
>
> > La pagina precisa non la ricordo, comunque è il primo volume di
> > esercizi e complementi.
>
> ah. scusa ma l'eserciziario non lo conosco, e' buono?
Per l'edizione che hai credo proprio di no.
> io ho qui sottomano il *testo* (vol. 1, prima edizione) e a pag. 29 sembra dire il
> contrario:
>
> http://www.datafilehost.com/download-8dde0ae0.html
Che ti devo dire. Solo tre anni dopo, seconda edizione 1988 (Trovato
usato al libraccio) cambia idea e toglie lo 0.
A questo punto non mi sorprende se in edizioni successive abbia
cambiato ancora...
Come già detto da Gregorio è una questione di "cultura", in questo
caso personale del Giusti.
Ciao
Poincarè
Carlo Morpurgo
ti faccio presente che gli interi relativi negativi sono altrettanto
importanti quanto lo 0. quelli sono misteriosi? se per te non lo sono
allora nemmeno o zero lo e'. inutile menarsela piu di tanto. per te e'
naturale dare a*0=0 come definizione, per me e' invece piu naturale
darlo come conseguenza della distributitiva' degli interi. Se si parla
di voler spiegare in maniera ragionevolmente rigorosa come si
costruiscono i mumeri, questo e' secondo me piu' efficace, se proprio
devo fare un paragone. Questione di gusti, ripeto, ma le differenze non
sono cosi enormi come le stai descrivendo. Se mi venite poi a parlare di
introduzione dei naturali via sofisticate (e quantomai astruse) teorie
assiomatiche di insiemi, che quasi nessuno mai studia (tranne i logici
perditempo), beh non e' certo quello di cui si stava parlando.
Oggigiorno nessuno, ma proprio nessuno (tranne nei corsi di logica
forse) parte da teorie assiomatiche degli insiemi per spiegare come
costruire i numeri naturali, interi, razionali, reali. Le questioni
coinvolte li sono altre, di certo non la comprensione delle proprieta'
fondamentali che caratterizzano un insieme numerico (assiomi di anelli
campi etc.).
Carlo