divisione tra piu' frazioni
alex
1/2 : 3/2 : 2/4
Come è più corretto procedere?
Così...
1/2 * 2/3 : 2/4
1/4 : 2/4
1/4 * 4/2 = 1/2
oppure così... (prima di tutto si capovolgono TUTTE le frazioni)
1/2 * 2/3 * 4/2 = 1/2
Roberto Montaruli
Io, prima di tutto, semplificherei il 2/4 finale.
Poi come procedi e' lo stesso: essendo tutte moltiplicazioni, non ci
sono precedenze da rispettare, e valgono le proprieta' associativa e
commutativa.
Liverpool
> precedenze da rispettare, e valgono le proprieta' associativa e
> commutativa.
Non ne sarei tanto convinto. Provare per credere.
Roberto Montaruli
Hai ragione. Bisogna sempre partire da sinistra.
Tetis
> alex ha scritto:
> > abbiamo questa espessione
> > 1/2 : 3/2 : 2/4
> >
> > Cosě...
> > 1/2 * 2/3 : 2/4
> > 1/4 : 2/4
> > 1/4 * 4/2 = 1/2
> >
> > 1/2 * 2/3 * 4/2 = 1/2
>
> Io, prima di tutto, semplificherei il 2/4 finale.
>
> Poi come procedi e' lo stesso: essendo tutte moltiplicazioni, non ci
> sono precedenze da rispettare, e valgono le proprieta' associativa e
> commutativa.
Non sono sicuro di aver capito cosa intendi.
Le moltiplicazioni sono certamente associative,
ma le divisioni, per quanto possa sembrare strano,
no. La ragione č che ... una doppia negazione
afferma. (1/2 : 3/2) : (2/4) = 2/3
1/2 : (3/2 : 2/4) = 1/6
--------------------------------
Inviato via http://arianna.libero.it/usenet/
alex
> Hai ragione. Bisogna sempre partire da sinistra.
quindi è valido il primo metodo?
gnappa
> abbiamo questa espessione
> 1/2 : 3/2 : 2/4
> Come è più corretto procedere?
>
> Così...
> 1/2 * 2/3 : 2/4
> 1/4 : 2/4
ma qui hai fatto 1/2 * 2/3 = 1/4 ? Se intendevi 1/3 allora
> 1/4 * 4/2 = 1/2
è invece
1/3 * 4/2 = 2/3
che è corretto.
>
> oppure così... (prima di tutto si capovolgono TUTTE le frazioni)
> 1/2 * 2/3 * 4/2 = 1/2
No, la divisione non è associativa, quindi devi seguire l'ordine in cui
sono state scritte le operazioni:
( 1/2 : 3/2 ) : 2/4
poi per eseguirle *puoi* scriverle come moltiplicazioni, ma l'importante
è l'ordine.
ciao
--
GN/\PPA
"E' meglio accendere una candela che maledire l'oscurità"
http://amnestypiacenza.altervista.org
Errori nei test di ammissione alla SSIS
http://gnappa.netsons.org/quesitissis/index.php
alex
>afferma. (1/2 : 3/2) : (2/4) = 2/3
>1/2 : (3/2 : 2/4) = 1/6
però se non ci sono parentesi l'inversione credo che si possa fare in
un sol colpo... anche se magari è meglio procedere nel modo ufficiale
(da sinistra).
alex
<rmont...@yahoo.com> ha scritto:
>Liverpool ha scritto:
ma se invece di frazioni abbiamo a che fare con numeri che si fa?
Ad esempio abbiamo l'espressione
4*2*2:2
metodo 1 (si calcola tutta l'operazione in un colpo)
=8
metodo 2 (prima le moltiplicazioni poi le divisioni)
16:2=8
Quale metodo?
gnappa
>
> ma se invece di frazioni abbiamo a che fare con numeri che si fa?
le frazioni sono numeri.
gnappa
> alex ha scritto:
>
>>
>> oppure così... (prima di tutto si capovolgono TUTTE le frazioni)
>> 1/2 * 2/3 * 4/2 = 1/2
non mi ero accorta, qui è sbagliato, 1/2 * 2/3 * 4/2 = 1/3 * 2 = 2/3
che è il risultato che si ottiene eseguendo le divisioni nell'ordine
convenzionale.
Tetis
Comunque procedi il risultato non è 1/2 :-) ed in genere la
convenzione è lessicografica, siccome scriviamo
da sinistra a destra si eseguono da sinistra a destra,
eccetto che se sono presenti anche segni di somma e sottrazione
in tal caso hanno precedenza le moltiplicazioni e le divisioni,
come ha precedenza la linea di frazione sulle altre due,
infatti non potresti scrivere: 1/2/3/2/2/4 = 1/96.
Infine, se abbiamo una
catena di operazioni senza parentesi, adottando
la convenzione che si procede da sinistra a destra
si può dare la precedenza alle sottrazioni. Ad esempio
15+12-5-3-2+4+6-2 = 15+2+4+4 = 25.
27-5-3-2+4+6-2 = 22-3-2+4+6-2=19-2+4+6-2=17+4+6-2=21+6-2=27-2=25.
Lo stesso problema c'è con le torri di frazioni,
in quel caso si eseguono, forse, prima le divisioni
la cui linea di frazione è più piccola, poi quelle
la cui linea di frazione è più grande, ma questa
cosa me la ricordo per sentito dire, non mi ricordo
se l'ho letta su qualche manuale.
Enrico Gregorio
> Il 02 Ott 2007, 09:39, alex <1j94...@sneakemail.com.invalid> ha scritto:
> > Il Mon, 01 Oct 2007 18:47:51 GMT, lje...@yahoo.it (Tetis) ha scritto:
> >
> > >afferma. (1/2 : 3/2) : (2/4) = 2/3
> > >1/2 : (3/2 : 2/4) = 1/6
> >
> > però se non ci sono parentesi l'inversione credo che si possa fare in
> > un sol colpo... anche se magari è meglio procedere nel modo ufficiale
> > (da sinistra).
>
> Comunque procedi il risultato non è 1/2 :-) ed in genere la
> convenzione è lessicografica, siccome scriviamo
> da sinistra a destra si eseguono da sinistra a destra,
> eccetto che se sono presenti anche segni di somma e sottrazione
> in tal caso hanno precedenza le moltiplicazioni e le divisioni,
> come ha precedenza la linea di frazione sulle altre due,
> infatti non potresti scrivere: 1/2/3/2/2/4 = 1/96.
In mancanza di parentesi, la convenzione usuale è di associare a
sinistra. Se $ è il simbolo dell'operazione,
a $ b $ c
si interpreta come (a $ b) $ c, proprio come dici.
> Infine, se abbiamo una
> catena di operazioni senza parentesi, adottando
> la convenzione che si procede da sinistra a destra
> si può dare la precedenza alle sottrazioni. Ad esempio
>
> 15+12-5-3-2+4+6-2 = 15+2+4+4 = 25.
> 27-5-3-2+4+6-2 = 22-3-2+4+6-2=19-2+4+6-2=17+4+6-2=21+6-2=27-2=25.
La notazione algebrica normale prevede di interpretare il segno
"meno" come abbreviazione di "sommare l'opposto":
5 - 2 + 4 = 5 + (-2) + 4
e qui non c'è bisogno di parentesi perché l'addizione è associativa.
La tua espressione si può scrivere
15 + 12 - 5 - 3 - 2 + 4 + 6 - 2 =
15 + 12 + (-5) + (-3) + (-2) + 4 + 6 + (-2) = 25
e non c'è bisogno di "dare la precedenza alle sottrazioni". Lo stesso
si potrebbe fare con la divisione:
a : b : c = a * b^(-1) * c^(-1)
e, se ci si pensa un attimo, il risultato è esattamente quello
che si ottiene associando a sinistra. Funziona proprio perché
leggiamo da sinistra a destra, naturalmente.
> Lo stesso problema c'è con le torri di frazioni,
> in quel caso si eseguono, forse, prima le divisioni
> la cui linea di frazione è più piccola, poi quelle
> la cui linea di frazione è più grande, ma questa
> cosa me la ricordo per sentito dire, non mi ricordo
> se l'ho letta su qualche manuale.
Quelle cose appaiono solo nei testi di scuola media inferiore
come tortura per i poveri studenti. :-(
Ciao
Enrico
?manu*
> Lo stesso problema c'č con le torri di frazioni,
> in quel caso si eseguono, forse, prima le divisioni
> la cui linea di frazione č piů grande, ma questa
> cosa me la ricordo per sentito dire, non mi ricordo
> se l'ho letta su qualche manuale.
Direi che e' buona norma, quando si scrive una frazione, fare una linea
piu' larga sia del numeratore che del denominatore. Di conseguenza, per
leggere una frazione, si ha la regola che tu ricordi.
E.
alex
> alex ha scritto:
>>
>> ma se invece di frazioni abbiamo a che fare con numeri che si fa?
>
> le frazioni sono numeri.
>
eppure io sono abbituato ad esempio a vedere risolvere 3*2:3
direttamente a 2.
Ma se la divisione viene prima della moltiplicazione si fa allo stesso modo?
Cioč 3:3*4=1*4=4?
alex
> ma qui hai fatto 1/2 * 2/3 = 1/4 ? Se intendevi 1/3 allora
hai ragione
> è invece
> 1/3 * 4/2 = 2/3
>
> che è corretto.
hai ragione
> No, la divisione non è associativa, quindi devi seguire l'ordine in cui
> sono state scritte le operazioni:
>
> ( 1/2 : 3/2 ) : 2/4
>
> poi per eseguirle *puoi* scriverle come moltiplicazioni, ma l'importante
> è l'ordine.
>
> ciao
ok
Roberto Montaruli
Si. Sempre da sinistra verso destra.
--
questo articolo e` stato inviato via web dal servizio gratuito
http://www.newsland.it/news segnala gli abusi ad ab...@newsland.it
gnappa
> alex ha scritto:
>
>> gnappa ha scritto:
>>> alex ha scritto:
>>>> ma se invece di frazioni abbiamo a che fare con numeri che si fa?
>>> le frazioni sono numeri.
>>>
>
>> eppure io sono abbituato ad esempio a vedere risolvere 3*2:3
dividere per 3 equivale a moltiplicare per 1/3, quindi quando hai tutte
moltiplicazioni:
3*2*1/3
puoi applicare la proprietą associativa e la commutativa e calcolare
nell'ordine:
(3*1/3)*2
dove le parentesi indicano l'operazione da svolgere prima.
Sapendo questo puoi gestire direttamente le divisioni e sapere che
(3*2):3 = (3:3)*2
l'importante č *non* calcolare
3*(2:3)
ciao
--
GN/\PPA
"E' meglio accendere una candela che maledire l'oscuritą"
alex
> dividere per 3 equivale a moltiplicare per 1/3, quindi quando hai tutte
> moltiplicazioni:
ok, cmq a livello di calcolo partendo da sinistra il risultato è sempre
quello, sia che si faccia prima la molt. e poi la divis., sia che si
facciano tutte e due direttamente.
Però quello che voglio sapere è:
Se vogliamo essere ordinati, se vogliamo essere chiari, se vogliamo fare
le cose per bene, se vogliamo curare l'estetica, è meglio:
2*2:2=2
oppure
2*2:2=4:2=2
C'è anche da notare che se ad esempio abbiamo una sequenza di addizioni
e sottrazioni, in genere queste si fanno direttamente
2+2-2=2
mentre, fosse mi sbaglio, ma nessuno fa in questo modo
2+2-2=4-2=2
Se poi ci sono delle frazioni si calcola il mcm dei denominatori di
tutte le frazioni (non solo quello delle prime due).
gnappa
> Però quello che voglio sapere è:
> Se vogliamo essere ordinati, se vogliamo essere chiari, se vogliamo fare
> le cose per bene, se vogliamo curare l'estetica, è meglio:
> 2*2:2=2
> oppure
> 2*2:2=4:2=2
In matematica di solito viene considerato "più bello" un procedimento
che privilegi la sintesi e la semplicità, e possibilmente la creatività,
riducendo al massimo i passaggi meccanici.
Da questo punto di vista, nel tuo esempio, scrivere:
2*2:2 = 1*2 = 2
oppure
2*2:2 = 4:2 = 2
è la stessa cosa, e la scelta dipende dalla comodità personale di chi
svolge il calcolo.
Diverso sarebbe se la sequenza di calcoli fosse più lunga, e
riarrangiare l'ordine delle operazioni semplificasse i calcoli
attraverso delle semplificazioni che permetterebbo di evitare numeri
troppo grandi. Ma nel tuo esempio, nella prima riga c'è un passaggio in
meno perché non hai scritto un passaggio fatto a mente, non perché il
procedimento sia più breve. Quindi in questo caso i due metodi sono
equivalenti, secondo me.
>
> C'è anche da notare che se ad esempio abbiamo una sequenza di addizioni
> e sottrazioni, in genere queste si fanno direttamente
> 2+2-2=2
> mentre, fosse mi sbaglio, ma nessuno fa in questo modo
> 2+2-2=4-2=2
Come detto prima, non sono due procedimenti diversi, nel primo hai solo
sottointeso il passaggio esplicitato sotto. E' chiaro che se devi
insegnare queste cose a qualcuno che non ne sa niente, è meglio mostrare
tutti i passaggi, mentre se devi fare dei calcoli per te, puoi saltare
tutti i passaggi che riesci a gestire a mente; se devi comunicare il
calcolo a qualcuno con la tua esperienza, devi sottointendere solo i
passaggi veramente immediati a mente (come il 2+2 dell'esempio sopra),
ma capisci che se il discrimine è la comodità e le capacità degli
interlocutori, non ci possono essere regole precise.
> Se poi ci sono delle frazioni si calcola il mcm dei denominatori di
> tutte le frazioni (non solo quello delle prime due).
Anche questa è una scelta personale, io potrei preferire:
5/2 - 7/3 + 1/36 = (15-14)/6 + 1/36 = (6+1)/36 = 7/36
a:
5/2 - 7/3 + 1/36 = (90-84+1)/36 = 7/36
perché nel primo caso ho dei numeri più piccoli con cui riesco a fare
calcoli più in fretta.
ciao
--
GN/\PPA
"E' meglio accendere una candela che maledire l'oscurità"
gnappa
> attraverso delle semplificazioni che /permetterebbo/ di evitare numeri
> troppo grandi.
bellissimo :-)
ho cancellato e riscritto più volte dei pezzi di frase ed è saltato
fuori così :-)
fm2766
> C'č anche da notare che se ad esempio abbiamo una sequenza di addizioni
> 2+2-2=2
> mentre, fosse mi sbaglio, ma nessuno fa in questo modo
> 2+2-2=4-2=2
Anche se non č ovvio, considera le operazioni nell'insieme dei numeri
naturali. Se non esistessero le regole per la precedenza delle
operazioni, la sottrazione 5 - 2 + 3, invece del modo corretto:
5 - 2 + 3 = 3 + 3 = 6
potrebbe essere svolta cosě:
5 - 2 + 3 = 5 - 5 = 0
Ricorda che, nell'insieme dei numeri naturali, il numero "-2" non
esiste; il segno "-" indica solo le sottrazioni, non i numeri negativi.
Pertanto, se svolgessi prima le addizioni e poi le sottrazioni (come
spesso erroneamente si fa fare, anche in N) si giunge al risultato
sbagliato.
fm2766
Posso suggerire una lettura sull'aritmetica postfissa (o RPN, reverse
polish notation)?
http://twiki.di.uniroma1.it/twiki/viewfile/Programmazione2ad/WebHome?rev=4;filename=ValPostfissa.pdf
http://h41111.www4.hp.com/calculators/it/it/articles/rpn.html
http://en.wikipedia.org/wiki/Reverse_Polish_notation
Cosě, giusto per introdurre altri tipi di convenzioni (e per confondere
un po' le idee :-) )