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arctg1+arctg2+arctg3= pigreco

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jprintemps

unread,
Jan 17, 2016, 6:41:40 AM1/17/16
to
dimostrare..

ciao

Jacques

giannim...@gmail.com

unread,
Jan 17, 2016, 7:07:31 AM1/17/16
to
Il giorno domenica 17 gennaio 2016 12:41:40 UTC+1, jprintemps ha scritto:
> dimostrare..
>
> ciao
>
> Jacques

Guarda la figura
https://s.yimg.com/hd/answers/i/20bb447219254af583c9ccc3d738a0af_A.png?a=answers&mr=0&x=1453039481&s=038268dddf95cd3ca9f3f32d781aa34f

Kiuhnm Mnhuik

unread,
Jan 17, 2016, 7:10:53 AM1/17/16
to
On Sunday, January 17, 2016 at 12:41:40 PM UTC+1, jprintemps wrote:
> dimostrare..

Indico con arg(z) l'angolo formato dal vettore z.
Allora
atan1 + atan2 + atan3 = arg(1+i) + arg(1+2i) + arg(1+3i) =
arg((1+i)(1+2i)(1+3i)) = arg((-1+3i)(1+3i)) = arg(-10) = pi

BlueRay

unread,
Jan 17, 2016, 12:32:03 PM1/17/16
to
Il giorno domenica 17 gennaio 2016 12:41:40 UTC+1, jprintemps ha scritto:
> dimostrare..

Visto che Kiuhnm ha gia' usato il modo migliore, ne scrivo uno ... di serie B o C.
Sia x = atan(1) + atan(2) + atan(3).

Usando la formula di addizione della tangente:

tan (a+b) = [tan(a)+tan(b)/[1-tan(a)*tan(b)]

e ponendo: a = atan(1), b = atan(2), c = atan(3), si ha:

tan(x) = tan[atan(1) + atan(2) + atan(3)] = tan(a+b+c) = tan[(a+b)+c] =

= [tan(a+b) + tan(c)]/[1 - tan(a+b)*tan(c)]. (1)

ma:

tan (a+b) = [tan(a)+tan(b)/[1-tan(a)*tan(b)] = (1+2)/(1-2) = -3; tan(c) = 3

quindi l'ultimo termine della (1) fa: (-3+3)/(1+9) = 0

Cioe' tan(x) = 0. Ma x e' necessariamente maggiore di zero in quanto somma di angoli tutti positivi e maggiori di zero. Inoltre l'angolo piu' grande dei tre, ovvero atan(3), e' inferiore a 120° in quanto arcotangente di un numero positivo, percio' la somma dei tre angoli e' inferiore a 360°.
L'unico angolo maggiore di 0 ed inferiore di 360° la cui tangente e' nulla e' 180° ed e' quindi questo il valore x cercato.

--
BlueRay

jprintemps

unread,
Jan 17, 2016, 2:41:46 PM1/17/16
to
BlueRay <blupa...@alice.it> ha scritto:

> Il giorno domenica 17 gennaio 2016 12:41:40 UTC+1, jprintemps ha scritto:
> > dimostrare..
>
>
grazie a tutti. Mi e' piaciuto in modo particolare la dimostrazione di
giannimorlacchi
ciao
Jacques

El Filibustero

unread,
Jan 17, 2016, 3:43:42 PM1/17/16
to
On Sun, 17 Jan 2016 19:41:46 GMT, jprintemps wrote:

>grazie a tutti. Mi e' piaciuto in modo particolare la dimostrazione di
>giannimorlacchi

peccato, perche' *non* e' una dimostrazione. Ciao

jprintemps

unread,
Jan 18, 2016, 6:58:12 AM1/18/16
to
giannim...@gmail.com <giannim...@gmail.com> ha scritto:
puoi dirmi come hai fatto la figura..So che ci sono programmi (Cabri,
Geogebra ? ma non li ho mai utilizzati).
Quale mi consigli (per facilità di utilizzo ) ?
Grazie mille
ciao
Jacques

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