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Ex contradictione sequitur quodlibet
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JTS
Nov 28, 2019, 5:56:00 PM11/28/19
to
Il paradosso di Russel esiste. Cio' nonostante, anche prima che fosse
riconosciuto i matematici deducevano solo i "teoremi veri": perche'?
Per dedurre una proposizione da una contraddizione e' necessario usare
il principio di esplosione? Per poter dedurre "tutte le proposizioni" in
un sistema logico in cui esista una contraddizione in altre parole e'
necessario passare per la porta usando la contraddizione in maniera
palese o "deduzioni false" si possono infilare nel sistema logico
passando inosservate dalla finestra?
riconosciuto i matematici deducevano solo i "teoremi veri": perche'?
Per dedurre una proposizione da una contraddizione e' necessario usare
il principio di esplosione? Per poter dedurre "tutte le proposizioni" in
un sistema logico in cui esista una contraddizione in altre parole e'
necessario passare per la porta usando la contraddizione in maniera
palese o "deduzioni false" si possono infilare nel sistema logico
passando inosservate dalla finestra?
radica...@gmail.com
Dec 3, 2019, 6:21:28 AM12/3/19
to
Quello che posso dirti è che se un sistema assiomatico SA è
contraddittorio (ossia da esso si puo' dedurre il teorema T ed
il teorema non - T) allora qualsiasi T è deducibile da SA,
quindi quell' SA è inutile
Il difficile è capire se un SA è contraddittorio ! Quello si
che è un problema !
E qui si entra in un mondo interessantissimo. E difficile.
Molto molto difficile
Ciao :-)
JTS
Dec 3, 2019, 7:01:47 AM12/3/19
to
On 03.12.19 12:21, radica...@gmail.com wrote:
> Il giorno giovedì 28 novembre 2019 23:56:00 UTC+1, JTS ha scritto:
>> Il paradosso di Russel esiste. Cio' nonostante, anche prima che fosse
>> riconosciuto i matematici deducevano solo i "teoremi veri": perche'?
>> Per dedurre una proposizione da una contraddizione e' necessario usare
>> il principio di esplosione? Per poter dedurre "tutte le proposizioni" in
>> un sistema logico in cui esista una contraddizione in altre parole e'
>> necessario passare per la porta usando la contraddizione in maniera
>> palese o "deduzioni false" si possono infilare nel sistema logico
>> passando inosservate dalla finestra?
>
> tra porte e finestre francamente non ho capito granchè :-))
>
> Quello che posso dirti è che se un sistema assiomatico SA è
> contraddittorio (ossia da esso si puo' dedurre il teorema T ed
> il teorema non - T) allora qualsiasi T è deducibile da SA,
> quindi quell' SA è inutile
>
La mia domanda e': la deduzione di ulteriori proposizioni
> Il giorno giovedì 28 novembre 2019 23:56:00 UTC+1, JTS ha scritto:
>> Il paradosso di Russel esiste. Cio' nonostante, anche prima che fosse
>> riconosciuto i matematici deducevano solo i "teoremi veri": perche'?
>> Per dedurre una proposizione da una contraddizione e' necessario usare
>> il principio di esplosione? Per poter dedurre "tutte le proposizioni" in
>> un sistema logico in cui esista una contraddizione in altre parole e'
>> necessario passare per la porta usando la contraddizione in maniera
>> palese o "deduzioni false" si possono infilare nel sistema logico
>> passando inosservate dalla finestra?
>
> tra porte e finestre francamente non ho capito granchè :-))
>
> Quello che posso dirti è che se un sistema assiomatico SA è
> contraddittorio (ossia da esso si puo' dedurre il teorema T ed
> il teorema non - T) allora qualsiasi T è deducibile da SA,
> quindi quell' SA è inutile
>
contraddittorie o "assurde" (non preciso il significato di "assurdo") si
fa solo attraverso il principio di esplosione? Ovvero nella deduzione di
ulteriori contraddizioni siamo costretti ad usare apertamente la
contraddizione che abbiamo trovato? In questo caso la "porta per
l'inutilita' del sistema" sarebbe solo una, e basterebbe non prenderla
per tenere un sistema utile.
Riprendendo l'esempio del paradosso di Russell: mi sembra che derivi da
proposizioni ragionevoli, ma da queste proposizioni ragionevoli si
possono dedurre in maniera "apparentemente naturale" solo alcuni
paradossi, non tutti le proposizioni.
radica...@gmail.com
Dec 3, 2019, 7:21:58 AM12/3/19
to
ma vedi ... SE l' SA è contraddittorio ALLORA cè almeno un assioma
(gli assiomi sono le colonne portanti di ogni SA) che contraddice
uno (o piu) degli altri assiomi.
Ossia se S1, S2, ... Sn sono gli n assiomi dell' SA il sistema
(S1, S2, ... S3) è LUI STESSO contraddittorio !
In altre parole se riesci (con un colpo di reni perchè la cosa
come dicevo è tutt' altro che banale) a dedurre da questi assiomi
un teorema T ed il non - T ALLORA SAPPIAMO PER CERTO che tutti
quegli assiomi insieme non possono stare, perche' si contraddicono
tra loro
Il che (lo capirai) è devastante : l' SA va buttato o modificato
pesantemente perchè bisogna rivedere gli assiomi.
E una volta fatto questo siamo da capo a 12 : chi ci dice che il
nuovo SA non è contraddittorio ?
E allora si tenta di costruirne un modello. E qua andiamo sul
tosto ma tosto tosto tosto :-))
Non so se ho soddisfatto la tua curiosità
radica...@gmail.com
Dec 3, 2019, 7:52:09 AM12/3/19
to
semplificando (ma in realtà la situazione è perfettamente equivalente)
è come se avessi un assioma che dice :
per due punti passa una e una sola retta
e un altro che dice :
non è vero che per due punti passa una e una sola retta
!!!!
Ovvio che un sistema simile va buttato senza indugio
L' unica differenza tra questo esempio e i SA reali è che
in essi la contraddizione cè ma non è cosi lampante
Ok ?
JTS
Dec 3, 2019, 9:39:12 AM12/3/19
to
On Tuesday, December 3, 2019 at 1:21:58 PM UTC+1, radic...@gmail.com wrote:
>
> In altre parole se riesci (con un colpo di reni perchè la cosa
> come dicevo è tutt' altro che banale) a dedurre da questi assiomi
> un teorema T ed il non - T ALLORA SAPPIAMO PER CERTO che tutti
> quegli assiomi insieme non possono stare, perche' si contraddicono
> tra loro
>
(cut)
>
> In altre parole se riesci (con un colpo di reni perchè la cosa
> come dicevo è tutt' altro che banale) a dedurre da questi assiomi
> un teorema T ed il non - T ALLORA SAPPIAMO PER CERTO che tutti
> quegli assiomi insieme non possono stare, perche' si contraddicono
> tra loro
>
> Non so se ho soddisfatto la tua curiosità
Forse la soluzione e' questa: nei ragionamenti dei matematici fatti fino alla scoperta del paradosso l'assioma di c.n.r. e' sempre stato usato in forma limitata: cioe' magari si pensava che l'assioma fosse accettabile, ma poi quando lo si usava (non mi viene in mente un esempio di dimostrazione che usi questo assioma) si usava solo una parte dell'assioma (una forma meno potente che pero' non e' contraddittoria). Quindi per questo il sistema matematico ha sempre funzionato.
In aggiunta (ma adesso questo aspetto non ho voglia di approfondirlo) l'assioma di c.n.r e' uno solo: la contraddizione salta fuori solo se lo si usa assieme ad altri? E di quali altri assiomi ho bisogno per generare il paradosso di Russell?
JTS
Dec 3, 2019, 3:50:05 PM12/3/19
to
(mi ha sempre dato fastidio e credo questa sia la ragione).
Dal falso segue che qualunque implicazione e' vera, ma siccome non si
puo' usare il modus ponens, la conseguente dell'implicazione non e' provata.
Dalla contraddizione invece si puo': prima si assume l'antecendente
falsa, stabilendo la verita' di qualunque implicazione, poi la si assume
vera e si applica il modus ponens. Questo modo di vedere la cosa
potrebbe essere identico al principio di esplosione, ma non so come fare
il collegamento fra le due cose.
radica...@gmail.com
Dec 4, 2019, 5:16:54 AM12/4/19
to
Il giorno martedì 3 dicembre 2019 15:39:12 UTC+1, JTS ha scritto:
> On Tuesday, December 3, 2019 at 1:21:58 PM UTC+1, radic...@gmail.com wrote:
>
> >
> > In altre parole se riesci (con un colpo di reni perchè la cosa
> > come dicevo è tutt' altro che banale) a dedurre da questi assiomi
> > un teorema T ed il non - T ALLORA SAPPIAMO PER CERTO che tutti
> > quegli assiomi insieme non possono stare, perche' si contraddicono
> > tra loro
> >
>
> (cut)
>
> > Non so se ho soddisfatto la tua curiosità
>
> Mi hai dato un buon principio di base (la contraddizione deve essere presente nel sistema di assiomi), ma ci devo pensare ancora. L'applicazione all'assioma di comprensione non ristretta (c.n.r., ho scoperto adesso che si chiama cosi') non mi e' chiara. L'assioma sembra innocente (per ogni proprieta', esiste un insieme formato dagli enti che soddisfano quella proprieta'), ma implica il paradosso di Russell
Conosco l' assioma, ma non sapevo che esso implicasse di per se il
> On Tuesday, December 3, 2019 at 1:21:58 PM UTC+1, radic...@gmail.com wrote:
>
> >
> > In altre parole se riesci (con un colpo di reni perchè la cosa
> > come dicevo è tutt' altro che banale) a dedurre da questi assiomi
> > un teorema T ed il non - T ALLORA SAPPIAMO PER CERTO che tutti
> > quegli assiomi insieme non possono stare, perche' si contraddicono
> > tra loro
> >
>
> (cut)
>
> > Non so se ho soddisfatto la tua curiosità
>
> Mi hai dato un buon principio di base (la contraddizione deve essere presente nel sistema di assiomi), ma ci devo pensare ancora. L'applicazione all'assioma di comprensione non ristretta (c.n.r., ho scoperto adesso che si chiama cosi') non mi e' chiara. L'assioma sembra innocente (per ogni proprieta', esiste un insieme formato dagli enti che soddisfano quella proprieta'), ma implica il paradosso di Russell
paradosso di Russel.
A me risultava (ma forse sbaglio) che il paradosso derivasse dal
fatto che si dice : prendiamo TUTTI gli insiemi e dividiamoli in
due categorie ecc ecc
Ebbene quel "tutti" implica che esiste un insieme che ha come
elementi tutti gli insiemi ma allora questi non sono "tutti",
perchè manca appunto l' insieme che li contiene.
So anche (mi par di ricordare) che un' altra magagna deriva dal
fatto che Russel ipotizzò l' esistenza di insiemi che contengono se
stessi come elemento
Infatti tentò di costruire (x eliminare il paradosso) una gerarchia
di insiemi per distinguerli ecc ecc
In ogni caso un assioma che dice :
"per ogni proprieta', esiste un insieme formato dagli enti che
soddisfano quella proprieta'"
E inoltre i matematici definiscono proprietà l' insieme degli oggetti
che la soddisfano. Ma allora che senso ha asserire che da una parte
ci sono proprietà e dall' altra insiemi se sono la stessa identica
cosa ?
MMMMMMMMMMMMMMMHHHHH ! PAURA :-)
> e quindi c'e' qualcosa che non va ... ma come e' che per accorgersi
> che qualcosa non va, c'e' stato bisogno di scoprire il paradosso di
> Russell?
interna al sistema. Ci vuole un genio. E Russel lo era.
> Forse la soluzione e' questa: nei ragionamenti dei matematici fatti
> fino alla scoperta del paradosso l'assioma di c.n.r. e' sempre stato
> usato in forma limitata: cioe' magari si pensava che l'assioma fosse
> accettabile, ma poi quando lo si usava (non mi viene in mente un esempio
> di dimostrazione che usi questo assioma) si usava solo una parte
> dell'assioma (una forma meno potente che pero' non e' contraddittoria).
> Quindi per questo il sistema matematico ha sempre funzionato.
che ho capito scornandomi con la logica ecc ecc) un sistema di assiomi
da cui si possono tirare fuori un sacco di teoremi interessanti piace
molto ai matematici per cui ci si buttano a corpo morto tendendo a
trascurare le insidie che puo' nascondere.
E se derivi teoremi su teoremi non ti puoi accorgere (per il fatto in se
e per se che derivi teoremi, a meno di avere una botta di culo incredibile
e casualmente tirare fuori un T e un non - T !) che il sistema è
contraddittorio.
Ci vuole una ricerca fatta proprio allo scopo, mirata. Nonchè un genio
fuori dal comune.
Prendi Godel : ai matematici quasi gli prendeva un coccolone quando ha
dimostrato che addirittura il SA dell' aritmetica è indecidibile oppure
contraddittorio !
radica...@gmail.com
Dec 4, 2019, 5:23:13 AM12/4/19
to
Il giorno martedì 3 dicembre 2019 21:50:05 UTC+1, JTS ha scritto:
> Am 28.11.2019 um 23:55 schrieb JTS:
> > Il paradosso di Russel esiste. Cio' nonostante, anche prima che fosse
> > riconosciuto i matematici deducevano solo i "teoremi veri": perche'?
> > Per dedurre una proposizione da una contraddizione e' necessario usare
> > il principio di esplosione? Per poter dedurre "tutte le proposizioni" in
> > un sistema logico in cui esista una contraddizione in altre parole e'
> > necessario passare per la porta usando la contraddizione in maniera
> > palese o "deduzioni false" si possono infilare nel sistema logico
> > passando inosservate dalla finestra?
> >
> >
>
>
> Collegato al tema, la "Ex falso sequitur quodlibet" va precisata
> IMHO (mi ha sempre dato fastidio e credo questa sia la ragione).
>
> Dal falso segue che qualunque implicazione e' vera, ma siccome non
> si puo' usare il modus ponens, la conseguente dell'implicazione
> non e' provata.
diciamolo meglio :
> Am 28.11.2019 um 23:55 schrieb JTS:
> > Il paradosso di Russel esiste. Cio' nonostante, anche prima che fosse
> > riconosciuto i matematici deducevano solo i "teoremi veri": perche'?
> > Per dedurre una proposizione da una contraddizione e' necessario usare
> > il principio di esplosione? Per poter dedurre "tutte le proposizioni" in
> > un sistema logico in cui esista una contraddizione in altre parole e'
> > necessario passare per la porta usando la contraddizione in maniera
> > palese o "deduzioni false" si possono infilare nel sistema logico
> > passando inosservate dalla finestra?
> >
> >
>
>
> Collegato al tema, la "Ex falso sequitur quodlibet" va precisata
> IMHO (mi ha sempre dato fastidio e credo questa sia la ragione).
>
> Dal falso segue che qualunque implicazione e' vera, ma siccome non
> si puo' usare il modus ponens, la conseguente dell'implicazione
> non e' provata.
dal falso segue qualunque asserzione (e quindi non necessariamente
segue una implicazione)
Quindi se A è falsa allora A => B è vera per ogni B e questo B
PUO' (ma non deve) essere anche una implicazione (tipo C => D)
Quando loro dicono "Ex falso sequitur quodlibet" intendono appunto
NON che il conseguente sia vero, ma che sia vera la A => B e non
è affatto la stessa cosa
Pero' si ... Hai ragione : se si spiegavano meglio non facevano un
danno :-)
> Dalla contraddizione invece si puo': prima si assume l'antecendente
> falsa, stabilendo la verita' di qualunque implicazione, poi la si assume
> vera e si applica il modus ponens. Questo modo di vedere la cosa
> potrebbe essere identico al principio di esplosione, ma non so come fare
> il collegamento fra le due cose.
JTS
Dec 4, 2019, 6:04:02 AM12/4/19
to
Am 04.12.2019 um 11:23 schrieb radica...@gmail.com:
>
>> Dalla contraddizione invece si puo': prima si assume l'antecendente
>> falsa, stabilendo la verita' di qualunque implicazione, poi la si assume
>> vera e si applica il modus ponens. Questo modo di vedere la cosa
>> potrebbe essere identico al principio di esplosione, ma non so come fare
>> il collegamento fra le due cose.
>
> non c' ho capito niente :-)
>
Supponiamo che T sia falsa e che T sia vera (come nei post sopra: una
>
>> Dalla contraddizione invece si puo': prima si assume l'antecendente
>> falsa, stabilendo la verita' di qualunque implicazione, poi la si assume
>> vera e si applica il modus ponens. Questo modo di vedere la cosa
>> potrebbe essere identico al principio di esplosione, ma non so come fare
>> il collegamento fra le due cose.
>
> non c' ho capito niente :-)
>
contraddizione).
Da T falsa deduco T->P per ogni P; poi uso "T vera" e applico il modus
ponens a T->P. Se T->P e T, allora P. Quindi da una contraddizione posso
dedurre qualunque proposizione.
La dimostrazione solita e' con il principio di esplosione
Se T e' vera, allora T v P e' vera. Successivamente, da "T falsa" e
T v P, deduciamo che P sia vera.
Non so pero' collegare le due dimostrazioni (ci ho pensato poco, ma non
vedo un modo).
radica...@gmail.com
Dec 4, 2019, 6:26:48 AM12/4/19
to
Il giorno mercoledì 4 dicembre 2019 12:04:02 UTC+1, JTS ha scritto:
> Supponiamo che T sia falsa e che T sia vera (come nei post sopra:
> una contraddizione).
>
> Da T falsa deduco T->P per ogni P; poi uso "T vera" e applico il
> modus ponens a T->P. Se T->P e T, allora P.
> Quindi da una contraddizione posso dedurre qualunque proposizione.
... Forse ho capito quello che cerchi. Le due dimostrazioni sono
> Supponiamo che T sia falsa e che T sia vera (come nei post sopra:
> una contraddizione).
>
> Da T falsa deduco T->P per ogni P; poi uso "T vera" e applico il
> modus ponens a T->P. Se T->P e T, allora P.
> Quindi da una contraddizione posso dedurre qualunque proposizione.
in realtà una sola. Ossia sono equivalenti. Basta ricordare che :
T -> P significa
non [T and (non P)]
ossia
(non T or P)
per cui a questo punto riporto quanto scritto da te papale papale :
> Se T e' vera, allora T v P e' vera. Successivamente, da "T falsa" e
> T v P, deduciamo che P sia vera.
JTS
Dec 4, 2019, 6:43:30 AM12/4/19
to
e' uguale alla seconda dimostrazione con i passi fatti al contrario. Mi
sento ancora confuso: ma devo riflettere un po' per capire dove e' la
sorgente della confusione. Magari scrivo di nuovo.
JTS
Dec 4, 2019, 6:50:55 AM12/4/19
to
Am 04.12.2019 um 11:16 schrieb radica...@gmail.com:
>
>> Forse la soluzione e' questa: nei ragionamenti dei matematici fatti
>> fino alla scoperta del paradosso l'assioma di c.n.r. e' sempre stato
>> usato in forma limitata: cioe' magari si pensava che l'assioma fosse
>> accettabile, ma poi quando lo si usava (non mi viene in mente un esempio
>> di dimostrazione che usi questo assioma) si usava solo una parte
>> dell'assioma (una forma meno potente che pero' non e' contraddittoria).
>> Quindi per questo il sistema matematico ha sempre funzionato.
>
> Perdonami ma non credo che funzioni cosi. Ti ripeto che (imho : da quello
> che ho capito scornandomi con la logica ecc ecc) un sistema di assiomi
> da cui si possono tirare fuori un sacco di teoremi interessanti piace
> molto ai matematici per cui ci si buttano a corpo morto tendendo a
> trascurare le insidie che puo' nascondere.
>
> E se derivi teoremi su teoremi non ti puoi accorgere (per il fatto in se
> e per se che derivi teoremi, a meno di avere una botta di culo incredibile
> e casualmente tirare fuori un T e un non - T !) che il sistema è
> contraddittorio.
>
Oppure stai usando meno di quello che hai: derivi teoremi "buoni" che
>
>> Forse la soluzione e' questa: nei ragionamenti dei matematici fatti
>> fino alla scoperta del paradosso l'assioma di c.n.r. e' sempre stato
>> usato in forma limitata: cioe' magari si pensava che l'assioma fosse
>> accettabile, ma poi quando lo si usava (non mi viene in mente un esempio
>> di dimostrazione che usi questo assioma) si usava solo una parte
>> dell'assioma (una forma meno potente che pero' non e' contraddittoria).
>> Quindi per questo il sistema matematico ha sempre funzionato.
>
> Perdonami ma non credo che funzioni cosi. Ti ripeto che (imho : da quello
> che ho capito scornandomi con la logica ecc ecc) un sistema di assiomi
> da cui si possono tirare fuori un sacco di teoremi interessanti piace
> molto ai matematici per cui ci si buttano a corpo morto tendendo a
> trascurare le insidie che puo' nascondere.
>
> E se derivi teoremi su teoremi non ti puoi accorgere (per il fatto in se
> e per se che derivi teoremi, a meno di avere una botta di culo incredibile
> e casualmente tirare fuori un T e un non - T !) che il sistema è
> contraddittorio.
>
potresti derivare anche con assiomi meno potenti, che non sono
contraddittori. Ma sto lavorando con la fantasia :-)
radica...@gmail.com
Dec 4, 2019, 6:51:51 AM12/4/19
to
Il giorno mercoledì 4 dicembre 2019 12:43:30 UTC+1, JTS ha scritto:
> Am 04.12.2019 um 12:26 schrieb radica...@gmail.com:
> > Il giorno mercoledì 4 dicembre 2019 12:04:02 UTC+1, JTS ha scritto:
> >
> >> Supponiamo che T sia falsa e che T sia vera (come nei post sopra:
> >> una contraddizione).
> >>
> >> Da T falsa deduco T->P per ogni P; poi uso "T vera" e applico il
> >> modus ponens a T->P. Se T->P e T, allora P.
> >> Quindi da una contraddizione posso dedurre qualunque proposizione.
> >
> > ... Forse ho capito quello che cerchi. Le due dimostrazioni sono
> > in realtà una sola. Ossia sono equivalenti. Basta ricordare che :
> >
> > T -> P significa
> >
> > non [T and (non P)]
> >
> > ossia
> >
> > (non T or P)
> >
> > per cui a questo punto riporto quanto scritto da te papale papale :
> >
> >> Se T e' vera, allora T v P e' vera. Successivamente, da "T falsa" e
> >> T v P, deduciamo che P sia vera.
> >
> > Visto ? :-)
> >
> >
> >
>
>
> Ok, grazie, credo di avere fatto un passo avanti.
beh, mi fa piacere
> Am 04.12.2019 um 12:26 schrieb radica...@gmail.com:
> > Il giorno mercoledì 4 dicembre 2019 12:04:02 UTC+1, JTS ha scritto:
> >
> >> Supponiamo che T sia falsa e che T sia vera (come nei post sopra:
> >> una contraddizione).
> >>
> >> Da T falsa deduco T->P per ogni P; poi uso "T vera" e applico il
> >> modus ponens a T->P. Se T->P e T, allora P.
> >> Quindi da una contraddizione posso dedurre qualunque proposizione.
> >
> > ... Forse ho capito quello che cerchi. Le due dimostrazioni sono
> > in realtà una sola. Ossia sono equivalenti. Basta ricordare che :
> >
> > T -> P significa
> >
> > non [T and (non P)]
> >
> > ossia
> >
> > (non T or P)
> >
> > per cui a questo punto riporto quanto scritto da te papale papale :
> >
> >> Se T e' vera, allora T v P e' vera. Successivamente, da "T falsa" e
> >> T v P, deduciamo che P sia vera.
> >
> > Visto ? :-)
> >
> >
> >
>
>
> Ok, grazie, credo di avere fatto un passo avanti.
> La prima dimostrazione e' uguale alla seconda dimostrazione con i
> passi fatti al contrario.
usare prima T e poi non T oppure non T e poi T
> Mi sento ancora confuso: ma devo riflettere un po' per capire dove
> e' la sorgente della confusione. Magari scrivo di nuovo.
confuso. Io pure che ti credi ? Che sono un esperto ? Proprio no.
Fammi sapere
radica...@gmail.com
Dec 4, 2019, 6:59:50 AM12/4/19
to
un assioma o cè o NON cè.
Ossia non è che puoi far derivazioni usando un "pezzetto" di assioma,
per capirci.
Dunque è sufficiente anche una sola dimostrazione che lo usa per
incasinare tutto.
Per cui l' unica possibilità è fare un botto di dimostrazioni
SENZA MAI far uso di quell' assioma. Il che è improbabile.
Anche perchè lo renderebbe inutile il che non ha senso : se cè è
perchè serve.
JTS
Dec 4, 2019, 9:03:09 AM12/4/19
to
On Wednesday, December 4, 2019 at 12:59:50 PM UTC+1, radic...@gmail.com wrote:
> Il giorno mercoledì 4 dicembre 2019 12:50:55 UTC+1, JTS ha scritto:
> Il giorno mercoledì 4 dicembre 2019 12:50:55 UTC+1, JTS ha scritto:
> > Am 04.12.2019 um 11:16 schrieb rad...@gmail.com:
> >
> > >
> > >> Forse la soluzione e' questa: nei ragionamenti dei matematici fatti
> > >> fino alla scoperta del paradosso l'assioma di c.n.r. e' sempre stato
> > >> usato in forma limitata: cioe' magari si pensava che l'assioma fosse
> > >> accettabile, ma poi quando lo si usava (non mi viene in mente un esempio
> > >> di dimostrazione che usi questo assioma) si usava solo una parte
> > >> dell'assioma (una forma meno potente che pero' non e' contraddittoria).
> > >> Quindi per questo il sistema matematico ha sempre funzionato.
> > >
> > > Perdonami ma non credo che funzioni cosi. Ti ripeto che (imho : da quello
> > > che ho capito scornandomi con la logica ecc ecc) un sistema di assiomi
> > > da cui si possono tirare fuori un sacco di teoremi interessanti piace
> > > molto ai matematici per cui ci si buttano a corpo morto tendendo a
> > > trascurare le insidie che puo' nascondere.
> > >
> > > E se derivi teoremi su teoremi non ti puoi accorgere (per il fatto in se
> > > e per se che derivi teoremi, a meno di avere una botta di culo incredibile
> > > e casualmente tirare fuori un T e un non - T !) che il sistema è
> > > contraddittorio.
> > >
> >
> >
> > Oppure stai usando meno di quello che hai: derivi teoremi "buoni" che
> > potresti derivare anche con assiomi meno potenti, che non sono
> > contraddittori. Ma sto lavorando con la fantasia :-)
>
> attenzione
>
> un assioma o cè o NON cè.
>
> Ossia non è che puoi far derivazioni usando un "pezzetto" di assioma,
> per capirci.
>
Invece si puo' :-) Magari devo precisare la mia affermazione, ma credo che l'idea vada bene. La seguente dovrebbe essere un'analogia esatta. Supponi di avere dimostrato un teorema usando una data ipotesi: puo' essere che tu abbia usato invece un'ipotesi piu' debole, ma non te ne sei accorto.
> >
> > >
> > >> Forse la soluzione e' questa: nei ragionamenti dei matematici fatti
> > >> fino alla scoperta del paradosso l'assioma di c.n.r. e' sempre stato
> > >> usato in forma limitata: cioe' magari si pensava che l'assioma fosse
> > >> accettabile, ma poi quando lo si usava (non mi viene in mente un esempio
> > >> di dimostrazione che usi questo assioma) si usava solo una parte
> > >> dell'assioma (una forma meno potente che pero' non e' contraddittoria).
> > >> Quindi per questo il sistema matematico ha sempre funzionato.
> > >
> > > Perdonami ma non credo che funzioni cosi. Ti ripeto che (imho : da quello
> > > che ho capito scornandomi con la logica ecc ecc) un sistema di assiomi
> > > da cui si possono tirare fuori un sacco di teoremi interessanti piace
> > > molto ai matematici per cui ci si buttano a corpo morto tendendo a
> > > trascurare le insidie che puo' nascondere.
> > >
> > > E se derivi teoremi su teoremi non ti puoi accorgere (per il fatto in se
> > > e per se che derivi teoremi, a meno di avere una botta di culo incredibile
> > > e casualmente tirare fuori un T e un non - T !) che il sistema è
> > > contraddittorio.
> > >
> >
> >
> > Oppure stai usando meno di quello che hai: derivi teoremi "buoni" che
> > potresti derivare anche con assiomi meno potenti, che non sono
> > contraddittori. Ma sto lavorando con la fantasia :-)
>
> attenzione
>
> un assioma o cè o NON cè.
>
> Ossia non è che puoi far derivazioni usando un "pezzetto" di assioma,
> per capirci.
>
Esempio, preso dal libro di Analisi Matematica di Enrico Giusti. Una funzione continua in un'intervallo chiuso e limitato ha minimo: esaminando la dimostrazione ci si rende conto che l'ipotesi "continua" non la usiamo, usiamo l'ipotesi "semicontinua inferiormente" (non ho in mente i dettagli, do per buono di avere scritto cose giuste).
Elio Fabri
Dec 4, 2019, 3:00:33 PM12/4/19
to
JTS ha scritto:
Premetto che la logica non è proprio il mio forte, ma fin qui forse ci
arrivo :-)
Però non mi è chiaro in che ambito stai ragionando.
Se pensi alla logica medievale, mi tiro fuori, perché non ne so
praticamente niente.
Se invece vuoi ragionare nel moderno calcolo delle proposizioni, posso
provare.
Io interpreterei "ex falso sequitur quodlibet" come segue: se P è un
teorema, allora (-P) > Q è un teorema qualunque sia Q.
(Notazioni: - sta per NOT, > sta per IMPLIES, v sta per OR).
La dim. va come appresso:
1. P teorema
2. -P ipotesi
3. r > (r v s) assioma
4. P > (P v Q) sostituzione in 3
5. r = -(-r) teorema
6. P > ((-(-P)) v Q) equivalenza 5 in 4
7. r > s = (-r) v s definizione
8. P > ((-P) > Q) equivalenza 7 in 6
9. (-P) > Q modus ponens da 1 e 4
(3) lo do per dimostrato.
--
Elio Fabri
> Supponiamo che T sia falsa e che T sia vera (come nei post sopra:
> una contraddizione).
> ...
> una contraddizione).
Premetto che la logica non è proprio il mio forte, ma fin qui forse ci
arrivo :-)
Però non mi è chiaro in che ambito stai ragionando.
Se pensi alla logica medievale, mi tiro fuori, perché non ne so
praticamente niente.
Se invece vuoi ragionare nel moderno calcolo delle proposizioni, posso
provare.
Io interpreterei "ex falso sequitur quodlibet" come segue: se P è un
teorema, allora (-P) > Q è un teorema qualunque sia Q.
(Notazioni: - sta per NOT, > sta per IMPLIES, v sta per OR).
La dim. va come appresso:
1. P teorema
2. -P ipotesi
3. r > (r v s) assioma
4. P > (P v Q) sostituzione in 3
5. r = -(-r) teorema
6. P > ((-(-P)) v Q) equivalenza 5 in 4
7. r > s = (-r) v s definizione
8. P > ((-P) > Q) equivalenza 7 in 6
9. (-P) > Q modus ponens da 1 e 4
(3) lo do per dimostrato.
--
Elio Fabri
JTS
Dec 4, 2019, 3:51:36 PM12/4/19
to
On 04.12.19 20:55, Elio Fabri wrote:
>
> Io interpreterei "ex falso sequitur quodlibet" come segue: se P è un
> teorema, allora (-P) > Q è un teorema qualunque sia Q.
>
E' proprio questa la cosa che mi e' stata finalmente chiara da qualche
>
> Io interpreterei "ex falso sequitur quodlibet" come segue: se P è un
> teorema, allora (-P) > Q è un teorema qualunque sia Q.
>
mese. Si puo' dedurre (-P) > Q ma non si puo' dedurre Q. Per dedurre Q
ci vuole la contraddizione.
Grazie per la dimostrazione, e' possibile che ti chieda un chiarimento
ma ci devo ancora pensare su.
Elio Fabri
Dec 5, 2019, 3:04:02 AM12/5/19
to
JTS ha scritto:
Riporto la dim. completa:
1. P teorema
2. -P ipotesi
3. r > (r v s) assioma
4. P > (P v Q) sostituzione in 3
5. r = -(-r) teorema
6. P > ((-(-P)) v Q) equivalenza 5 in 4
7. r > s = (-r) v s definizione
8. P > ((-P) > Q) equivalenza 7 in 6
9. (-P) > Q modus ponens da 1 e 4
10. Q modus ponens da 2 e 9
(3) lo do per dimostrato.
In parole: assumo che P sia un teorema, quindi -P è una prop. falsa.
Assumendo -P *dimostro* Q.
--
Elio Fabri
> E' proprio questa la cosa che mi e' stata finalmente chiara da
> qualche mese. Si puo' dedurre (-P) > Q ma non si puo' dedurre Q. Per
> dedurre Q ci vuole la contraddizione.
Ma no, è che ho saltato una riga :-(
> qualche mese. Si puo' dedurre (-P) > Q ma non si puo' dedurre Q. Per
> dedurre Q ci vuole la contraddizione.
Riporto la dim. completa:
1. P teorema
2. -P ipotesi
3. r > (r v s) assioma
4. P > (P v Q) sostituzione in 3
5. r = -(-r) teorema
6. P > ((-(-P)) v Q) equivalenza 5 in 4
7. r > s = (-r) v s definizione
8. P > ((-P) > Q) equivalenza 7 in 6
9. (-P) > Q modus ponens da 1 e 4
(3) lo do per dimostrato.
Assumendo -P *dimostro* Q.
--
Elio Fabri
JTS
Dec 5, 2019, 4:23:35 AM12/5/19
to
radica...@gmail.com
Dec 5, 2019, 4:47:36 AM12/5/19
to
Il giorno mercoledì 4 dicembre 2019 15:03:09 UTC+1, JTS ha scritto:
> Invece si puo' :-) Magari devo precisare la mia affermazione, ma credo che l'idea vada bene. La seguente dovrebbe essere un'analogia esatta. Supponi di avere dimostrato un teorema usando una data ipotesi: puo' essere che tu abbia usato invece un'ipotesi piu' debole, ma non te ne sei accorto.
>
> Esempio, preso dal libro di Analisi Matematica di Enrico Giusti. Una funzione continua in un'intervallo chiuso e limitato ha minimo: esaminando la dimostrazione ci si rende conto che l'ipotesi "continua" non la usiamo, usiamo l'ipotesi "semicontinua inferiormente" (non ho in mente i dettagli, do per buono di avere scritto cose giuste).
uh
> Invece si puo' :-) Magari devo precisare la mia affermazione, ma credo che l'idea vada bene. La seguente dovrebbe essere un'analogia esatta. Supponi di avere dimostrato un teorema usando una data ipotesi: puo' essere che tu abbia usato invece un'ipotesi piu' debole, ma non te ne sei accorto.
>
> Esempio, preso dal libro di Analisi Matematica di Enrico Giusti. Una funzione continua in un'intervallo chiuso e limitato ha minimo: esaminando la dimostrazione ci si rende conto che l'ipotesi "continua" non la usiamo, usiamo l'ipotesi "semicontinua inferiormente" (non ho in mente i dettagli, do per buono di avere scritto cose giuste).
forse hai ragione :-)
radica...@gmail.com
Dec 5, 2019, 9:12:56 AM12/5/19
to
Il giorno giovedì 5 dicembre 2019 10:23:35 UTC+1, JTS ha scritto:
> Quindi hai assunto P e hai assunto -P: hai bisogno della contraddizione.
cmq 'sta roba è affascinante, non trovi ?
> Quindi hai assunto P e hai assunto -P: hai bisogno della contraddizione.
Per es
se hai un gruppo di assiomi non contraddittorio G = (A1,A2, ...An)
allora An+1 è INDIPENDENTE da G se G unito ad An+1 è ancora non
contraddittorio E SE (non basta) G unito a NOT An+1 è ancora non
contraddittorio
Per es. se T è un teorema di G allora G unito a T è ancora non
contradditorio (seppur ridondante) ma T non è indipendente da G
(difatti è deducibile) tant' è vero che G unito a NOT T è
contraddittorio !
In altre parole non cè (come vedi) una differenza funzionale tra
teoremi ed assiomi : i primi possono essere trattati come i secondi
Ed i secondi come i primi, almeno a certe condizioni. Ossia puoi
mettere un certo teorema T come assioma e cosi rendere un certo Aj
deducibile da (A1,...An,T)
radica...@gmail.com
Dec 5, 2019, 9:18:40 AM12/5/19
to
ho studiato questa roba SPINTO (con violenza !) dalla lettura di
un libro affascinante di Admir Aczel
Elio Fabri
Dec 5, 2019, 10:13:27 AM12/5/19
to
JTS ha scritto:
Io userei il termine "contraddizione" come proprietà di un sistema
assiomatico in cui sia possibile dimostrare P e -P.
Ma non è ciò che ho fatto: il calcolo delle poposizioni (cdp) non è
contraddittorio.
Non ho "assunto" P: P è un teorema e non ha niente di speciale, serve
solo per dare significato al termine "falso".
Se voglio interpretare nel cdp il termine "falso" (nota che "vero" e
"falso" li ho spesso visti usare in ambito semantico, ma io la
semantica non l'ho mai capita) non vedo altro modo che questo:
- chiamo falsa una proposizione che sia negazione di un teorema (o di
un assioma).
Un ragionamento che parte da una premessa falsa è quindi un tentativo
di dimostrazione che oltre gli assiomi (sottintesi) e quanti si
vogliano teoremi, faccia uso della negazione di uno di essi.
Ecco perché sono partito da un qualsivoglia teorema P e dalla sua
negazione, e ho costruito una catena valida d'inferenze che termina
con Q.
Questa è una dimostrazione di Q che usa tutte le "verità" del calcolo
(assiomi, teoremi) più una singola "falsità" (-P).
Mi pare la più fedele traduzione di "ex falso sequitur quodlibet", che
tradotto alla buona vorrebbe dire: se tu argomenti usando una premessa
falsa, puoi dimostrare qualunque cosa.
--
Elio Fabri
> Quindi hai assunto P e hai assunto -P: hai bisogno della
> contraddizione.
Può darsi che la divergenza sia solo terminologica.
> contraddizione.
Io userei il termine "contraddizione" come proprietà di un sistema
assiomatico in cui sia possibile dimostrare P e -P.
Ma non è ciò che ho fatto: il calcolo delle poposizioni (cdp) non è
contraddittorio.
Non ho "assunto" P: P è un teorema e non ha niente di speciale, serve
solo per dare significato al termine "falso".
Se voglio interpretare nel cdp il termine "falso" (nota che "vero" e
"falso" li ho spesso visti usare in ambito semantico, ma io la
semantica non l'ho mai capita) non vedo altro modo che questo:
- chiamo falsa una proposizione che sia negazione di un teorema (o di
un assioma).
Un ragionamento che parte da una premessa falsa è quindi un tentativo
di dimostrazione che oltre gli assiomi (sottintesi) e quanti si
vogliano teoremi, faccia uso della negazione di uno di essi.
Ecco perché sono partito da un qualsivoglia teorema P e dalla sua
negazione, e ho costruito una catena valida d'inferenze che termina
con Q.
Questa è una dimostrazione di Q che usa tutte le "verità" del calcolo
(assiomi, teoremi) più una singola "falsità" (-P).
Mi pare la più fedele traduzione di "ex falso sequitur quodlibet", che
tradotto alla buona vorrebbe dire: se tu argomenti usando una premessa
falsa, puoi dimostrare qualunque cosa.
--
Elio Fabri
JTS
Dec 7, 2019, 4:10:02 PM12/7/19
to
On Thursday, December 5, 2019 at 4:13:27 PM UTC+1, Elio Fabri wrote:
>
> Mi pare la più fedele traduzione di "ex falso sequitur quodlibet", che
> tradotto alla buona vorrebbe dire: se tu argomenti usando una premessa
> falsa, puoi dimostrare qualunque cosa.
>
Oppure dal falso *assunto vero* discendono tutti i risultati.
>
> Mi pare la più fedele traduzione di "ex falso sequitur quodlibet", che
> tradotto alla buona vorrebbe dire: se tu argomenti usando una premessa
> falsa, puoi dimostrare qualunque cosa.
>
Qui pero' ripropongo la domanda iniziale.
Un punto cruciale della dimostrazione di Q e'
-P -> Q
e la dimostrazione generale e' che questo e', applicando la definizione di implicazione (- (-P)) v Q
Ma, diciamo, qui giochiamo a carte scoperte (usiamo P e quindi sappiamo che -P e' falsa). La cosa che mi vorrei chiarire e' se la dimostrazione di Q in generale puo' essere "perfida", cioe' se nella dimostrazione di -P > Q la proposizione P puo' essere usata di soppiatto senza che ce ne accorgiamo. Senno' e' vero che riusciamo a dimostrare qualunque cosa, ma sappiamo facilmente anche che la dimostrazione non e' valida.
Elio Fabri
Dec 12, 2019, 6:05:17 AM12/12/19
to
JTS ha scritto:
> ...
Non capisco bene quello che hai in mente.
Sarei indotto a sospettare che intendiamo due cose diverse quando
parliamo di dimostrazione.
Io intendo sempre e solo "dimostrazione formale", ossia una sequenza
di stringhe di caratteri dotate di certi requisiti sintattici (quelle
che in gergo si chiamano WFF (well-formed formulas) e la cui
concatenazione è "corretta" secondo precise "regole di derivazione"
stabilite nella descrizione del sistema formale.
In sostanza la validità di una tale dimostrazione può anche essere
affidata a un computer (che è cosa diversa dal "trovare" la
dimostrazione di una data proposizione).
Chiedo scusa, ho anticipato un concetto che non avevo definito.
La sequenza di stringhe, se valida nel senso detto, costituisce la
*dimostrazione* della stringa terminale.
Stando così le cose, quello che dici è impossibile: non si può usare
qualcosa "di soppiatto".
Ciò che usi *deve* essere dichiarato, altrimenti la dim. non è valida,
nel senso che trasgredisce le regole di derivazione.
Mentre non è vero, come hai scritto, che "la dim. non è valida" perché
usa P e -P.
La dim., in quanto deduzione da certe premesse, *è* valida.
Solo che è inutile, proprio perché permette di dimostrare qualsiasi
cosa.
E' per questo che un sistema assiomatico non deve essere
contraddittorio: non per altro, ma solo perché è inutile, dimostra
troppo!
--
Elio Fabri
> ...
> La cosa che mi vorrei chiarire e' se la dimostrazione di Q in
> generale puo' essere "perfida", cioe' se nella dimostrazione di
> -P > Q la proposizione P puo' essere usata di soppiatto senza che ce
> ne accorgiamo. Senno' e' vero che riusciamo a dimostrare qualunque
> cosa, ma sappiamo facilmente anche che la dimostrazione non e'
> valida.
Scusa il ritardo, ma sono un po' ingolfato.
> generale puo' essere "perfida", cioe' se nella dimostrazione di
> -P > Q la proposizione P puo' essere usata di soppiatto senza che ce
> ne accorgiamo. Senno' e' vero che riusciamo a dimostrare qualunque
> cosa, ma sappiamo facilmente anche che la dimostrazione non e'
> valida.
Non capisco bene quello che hai in mente.
Sarei indotto a sospettare che intendiamo due cose diverse quando
parliamo di dimostrazione.
Io intendo sempre e solo "dimostrazione formale", ossia una sequenza
di stringhe di caratteri dotate di certi requisiti sintattici (quelle
che in gergo si chiamano WFF (well-formed formulas) e la cui
concatenazione è "corretta" secondo precise "regole di derivazione"
stabilite nella descrizione del sistema formale.
In sostanza la validità di una tale dimostrazione può anche essere
affidata a un computer (che è cosa diversa dal "trovare" la
dimostrazione di una data proposizione).
Chiedo scusa, ho anticipato un concetto che non avevo definito.
La sequenza di stringhe, se valida nel senso detto, costituisce la
*dimostrazione* della stringa terminale.
Stando così le cose, quello che dici è impossibile: non si può usare
qualcosa "di soppiatto".
Ciò che usi *deve* essere dichiarato, altrimenti la dim. non è valida,
nel senso che trasgredisce le regole di derivazione.
Mentre non è vero, come hai scritto, che "la dim. non è valida" perché
usa P e -P.
La dim., in quanto deduzione da certe premesse, *è* valida.
Solo che è inutile, proprio perché permette di dimostrare qualsiasi
cosa.
E' per questo che un sistema assiomatico non deve essere
contraddittorio: non per altro, ma solo perché è inutile, dimostra
troppo!
--
Elio Fabri
radica...@gmail.com
Dec 12, 2019, 6:35:06 AM12/12/19
to
Il giorno sabato 7 dicembre 2019 22:10:02 UTC+1, JTS ha scritto:
> On Thursday, December 5, 2019 at 4:13:27 PM UTC+1, Elio Fabri wrote:
>
> >
> > Mi pare la più fedele traduzione di "ex falso sequitur quodlibet", che
> > tradotto alla buona vorrebbe dire: se tu argomenti usando una premessa
> > falsa, puoi dimostrare qualunque cosa.
> >
>
>
> Oppure dal falso *assunto vero* discendono tutti i risultati.
ma nei sistemi assiomatici non cè falso e vero. Non cè. (Il
> On Thursday, December 5, 2019 at 4:13:27 PM UTC+1, Elio Fabri wrote:
>
> >
> > Mi pare la più fedele traduzione di "ex falso sequitur quodlibet", che
> > tradotto alla buona vorrebbe dire: se tu argomenti usando una premessa
> > falsa, puoi dimostrare qualunque cosa.
> >
>
>
> Oppure dal falso *assunto vero* discendono tutti i risultati.
falso ed il vero è applicabile ai modelli, non ai sistemi
assiomatici)
ma solo dimostrabile o non dimostrabile a partire dagli assiomi
(anch' essi ne veri ne falsi. Semplicemente assunti)
il concetto di vero e falso è TOTALMENTE ASSENTE nei sistemi
assiomatici
> proposizione P puo' essere usata di soppiatto senza che ce ne
> accorgiamo.
Avrebbe vita molto breve, credimi. Vedi la risposta di Fabri
JTS
Dec 12, 2019, 7:04:34 AM12/12/19
to
On Thursday, December 12, 2019 at 12:05:17 PM UTC+1, Elio Fabri wrote:
> JTS ha scritto:
> > ...
> > La cosa che mi vorrei chiarire e' se la dimostrazione di Q in
> > generale puo' essere "perfida", cioe' se nella dimostrazione di
> > -P > Q la proposizione P puo' essere usata di soppiatto senza che ce
> > ne accorgiamo. Senno' e' vero che riusciamo a dimostrare qualunque
> > cosa, ma sappiamo facilmente anche che la dimostrazione non e'
> > valida.
> Scusa il ritardo, ma sono un po' ingolfato.
> Non capisco bene quello che hai in mente.
> Sarei indotto a sospettare che intendiamo due cose diverse quando
> parliamo di dimostrazione.
Puo' darsi che io sia completamente confuso (so di non capire alcune parti, potrebbero esserci delle altre parti che non capisco senza accorgermene).
> JTS ha scritto:
> > ...
> > La cosa che mi vorrei chiarire e' se la dimostrazione di Q in
> > generale puo' essere "perfida", cioe' se nella dimostrazione di
> > -P > Q la proposizione P puo' essere usata di soppiatto senza che ce
> > ne accorgiamo. Senno' e' vero che riusciamo a dimostrare qualunque
> > cosa, ma sappiamo facilmente anche che la dimostrazione non e'
> > valida.
> Scusa il ritardo, ma sono un po' ingolfato.
> Non capisco bene quello che hai in mente.
> Sarei indotto a sospettare che intendiamo due cose diverse quando
> parliamo di dimostrazione.
Il problema che vedo e' il seguente. Non lo so esporre in maniera formale, e magari e' proprio per questo che a me sembra un problema (e magari non lo e')
Russell ha mostrato che definire il concetto di insieme come "collezione di oggetti che soddisfano una proprieta'" non va bene perche' porta ad una contraddizione; questo implica che se uno ha in mente questa definizione, dovrebbe poter dimostrare qualunque cosa.
D'altra parte, ho l'impressione che gli insiemi siano stati definiti come come "collezione di oggetti che soddisfano una proprieta'" da secoli; pero' dagli stessi secoli i matematici hanno dimostrato i teoremi "al solito modo", non hanno dimostrato "tutti i teoremi".
Discutendo con Radicale mi e' venuto in mente la seguente possibile ragione: nessuno ha mai usato nelle dimostrazioni la definizione "insieme = collezione di oggetti che soddisfano una proprieta'", ma definizioni piu' "deboli", che non sono soggette al paradosso.
Cosa ne pensi (cosa ne pensa il ng)?
JTS
Dec 12, 2019, 7:09:45 AM12/12/19
to
On Thursday, December 12, 2019 at 12:05:17 PM UTC+1, Elio Fabri wrote:
> Scusa il ritardo, ma sono un po' ingolfato.
A questo proposito, apprezzo molto la risposta.
> Scusa il ritardo, ma sono un po' ingolfato.
JTS
Dec 12, 2019, 7:13:34 AM12/12/19
to
On Thursday, December 12, 2019 at 12:35:06 PM UTC+1, radic...@gmail.com wrote:
> Il giorno sabato 7 dicembre 2019 22:10:02 UTC+1, JTS ha scritto:
> > On Thursday, December 5, 2019 at 4:13:27 PM UTC+1, Elio Fabri wrote:
> >
> > >
> > > Mi pare la più fedele traduzione di "ex falso sequitur quodlibet", che
> > > tradotto alla buona vorrebbe dire: se tu argomenti usando una premessa
> > > falsa, puoi dimostrare qualunque cosa.
> > >
> >
> >
> > Oppure dal falso *assunto vero* discendono tutti i risultati.
>
> ma nei sistemi assiomatici non cè falso e vero. Non cè. (Il
> falso ed il vero è applicabile ai modelli, non ai sistemi
> assiomatici)
>
Non ho capito ma per il momento preferisco lasciare da parte questo ramo della discussione (non ce la faccio), a meno che tu non mi dica che e' essenziale per capire il resto.
> Il giorno sabato 7 dicembre 2019 22:10:02 UTC+1, JTS ha scritto:
> > On Thursday, December 5, 2019 at 4:13:27 PM UTC+1, Elio Fabri wrote:
> >
> > >
> > > Mi pare la più fedele traduzione di "ex falso sequitur quodlibet", che
> > > tradotto alla buona vorrebbe dire: se tu argomenti usando una premessa
> > > falsa, puoi dimostrare qualunque cosa.
> > >
> >
> >
> > Oppure dal falso *assunto vero* discendono tutti i risultati.
>
> ma nei sistemi assiomatici non cè falso e vero. Non cè. (Il
> falso ed il vero è applicabile ai modelli, non ai sistemi
> assiomatici)
>
radica...@gmail.com
Dec 12, 2019, 7:21:11 AM12/12/19
to
formale che t' ha proposto Fabri
in una dimostrazione formale (tipica dei sistemi assiomatici) non cè
alcuna possibilità di introdurre formule di soppiatto. Alcuna. E'
impossibile.
E nelle dimostrazioni formali il concetto di vero e falso è totalmente
assente
JTS
Dec 12, 2019, 7:26:17 AM12/12/19
to
radica...@gmail.com
Dec 12, 2019, 7:48:45 AM12/12/19
to
https://groups.google.com/forum/?hl=it&fromgroups#!topic/it.scienza.matematica/ufNxvDnNtQY
ovviamente sto scherzando, ma ho davvero bisogno di aiuto
JTS
Dec 12, 2019, 11:07:19 AM12/12/19
to
radica...@gmail.com
Dec 13, 2019, 4:15:39 AM12/13/19
to
Il giorno giovedì 12 dicembre 2019 17:07:19 UTC+1, JTS ha scritto:
> Con un po' di tempo posso cercare un esempio di intorni tali
> per cui tutti i razionali (in R) sono punti interni, sospetto
> che l'unico caso possibile sia "tutti gli insiemi sono aperti".
> Ma ci devo pensare e so gia' che, se questo e' vero, non capiro'
> perche' :-)
E se non lo capisci tu figurati io :-))))
> Con un po' di tempo posso cercare un esempio di intorni tali
> per cui tutti i razionali (in R) sono punti interni, sospetto
> che l'unico caso possibile sia "tutti gli insiemi sono aperti".
> Ma ci devo pensare e so gia' che, se questo e' vero, non capiro'
> perche' :-)
JTS
Dec 13, 2019, 7:50:57 AM12/13/19
to
On 12.12.19 17:07, JTS wrote:
>
> Con un po' di tempo posso cercare un esempio di intorni tali per cui tutti i razionali (in R) sono punti interni, sospetto che l'unico caso possibile sia "tutti gli insiemi sono aperti". Ma ci devo pensare e so gia' che, se questo e' vero, non capiro' perche' :-)
>
Se esistono, devono "violare" l'ordinamento solito dei numeri reali. Se
>
> Con un po' di tempo posso cercare un esempio di intorni tali per cui tutti i razionali (in R) sono punti interni, sospetto che l'unico caso possibile sia "tutti gli insiemi sono aperti". Ma ci devo pensare e so gia' che, se questo e' vero, non capiro' perche' :-)
>
consideriamo solo insiemi tali che se due punti vi appartengono, vi
appartengono anche i punti compresi fra loro, allora mi pare che i
razionali possono essere punti interni di intorni solo se la topologia
e' formata da tutti gli insiemi.
Elio Fabri
Dec 14, 2019, 6:01:54 AM12/14/19
to
JTS ha scritto:
Ricordati la riserva che ho posto nel mio post del 4 c.m.: non sono
gran che come logica, in pratica mi muovo decentemente solo nel
calcolo delle proposizioni (speriamo...).
Se capisco bene ti stai riferendo al famoso paradosso di Russell, ma
non mi pare che abbia a che fare con quello che dici.
(C'è un termine per il problema che poni: la relazione tra insiemi e
proprietà. però non lo ricordo.)
Io enuncerei come segue il par. di Russell, in modo puramente
insiemistico.
Ci sono (forse) insiemi X tali che X€X (in parole, X è un elemento di
se stesso; e altri tali che -(X€X) ossia X non è elemento di se
stesso.
Indichiamo con U l'insieme di tutti gli insiemi del secondo genere:
U = {X: -(X€X)}. (1)
La domanda è: U è del primo o del secondo genere?
Russell con un ragionamento *non formale* fa vedere che assumendo che
U sia del primo genere si dimostra che è del secondo.
E questo non sarebbe un problema, ma solo una dim. per assurdo: sa da
un'ipotesi ricaviamo una contraddizione, abbiamo dimostrato che
l'ipotesi è falsa.
Dunque U è del secondo genere... Ma si dimostra facilmente che se U è
del secondo genere allora è del primo, e questa è una vera
contraddizione.
Per uscire dall'impasse Russell inventò la teoria dei tipi.
Un'altra via d'uscita è l'assiomatica di Zermelo-Fraenkel, in cui
esiste l'assioma di specificazione (più esattamente lo schema di
assiomi) che ha proprio lo scopo di vietare scritture come la (1).
(Non mi chiedere di più, perché ho praticamente ripetuto a pappagallo
quello che si trova in wikipedia.)
> D'altra parte, ho l'impressione che gli insiemi siano stati definiti
> come come "collezione di oggetti che soddisfano una proprieta'" da
> secoli; pero' dagli stessi secoli i matematici hanno dimostrato i
> teoremi "al solito modo", non hanno dimostrato "tutti i teoremi".
Vero, ma per secoli nessuno ha concepito rigorosi sistemi assiomatici
e dimostrazioni formali.
Quindi era perfettamente possibile che situazioni limite come il par.
di Russell sfuggissero.
Senza contare che il paradosso di Epimenide cretese risale a qualcosa
come 2600 anni... (però è considerato un paradosso semantico).
> Discutendo con Radicale mi e' venuto in mente la seguente possibile
> ragione: nessuno ha mai usato nelle dimostrazioni la definizione
> "insieme = collezione di oggetti che soddisfano una proprieta'",
> ma definizioni piu' "deboli", che non sono soggette al paradosso.
>
> Cosa ne pensi (cosa ne pensa il ng)?
Non saprei.
Mi pare però che il fatto centrale sia che nessuno scrive
dimostrazioni formali.
Ci andarono vicini, un secolo fa, Russell e Whitehead nei "Principia
Mathematica". Però in 3 volumi arrivarono appena ai reali o poco più.
Si tratta di un'opera praticamente illeggibile (ricordo che provai a
guardarlo quando ero molto giovane...) e per di più non andò esente da
critiche anche gravi.
Se vuoi saperne di più, leggi la voce relativa su wikipedia (inglese,
mi raccomando).
--
Elio Fabri
> Russell ha mostrato che definire il concetto di insieme come
> "collezione di oggetti che soddisfano una proprieta'" non va bene
> perche' porta ad una contraddizione; questo implica che se uno ha in
> mente questa definizione, dovrebbe poter dimostrare qualunque cosa.
Cerco di risponderti come so e posso.
> "collezione di oggetti che soddisfano una proprieta'" non va bene
> perche' porta ad una contraddizione; questo implica che se uno ha in
> mente questa definizione, dovrebbe poter dimostrare qualunque cosa.
Ricordati la riserva che ho posto nel mio post del 4 c.m.: non sono
gran che come logica, in pratica mi muovo decentemente solo nel
calcolo delle proposizioni (speriamo...).
Se capisco bene ti stai riferendo al famoso paradosso di Russell, ma
non mi pare che abbia a che fare con quello che dici.
(C'è un termine per il problema che poni: la relazione tra insiemi e
proprietà. però non lo ricordo.)
Io enuncerei come segue il par. di Russell, in modo puramente
insiemistico.
Ci sono (forse) insiemi X tali che X€X (in parole, X è un elemento di
se stesso; e altri tali che -(X€X) ossia X non è elemento di se
stesso.
Indichiamo con U l'insieme di tutti gli insiemi del secondo genere:
U = {X: -(X€X)}. (1)
La domanda è: U è del primo o del secondo genere?
Russell con un ragionamento *non formale* fa vedere che assumendo che
U sia del primo genere si dimostra che è del secondo.
E questo non sarebbe un problema, ma solo una dim. per assurdo: sa da
un'ipotesi ricaviamo una contraddizione, abbiamo dimostrato che
l'ipotesi è falsa.
Dunque U è del secondo genere... Ma si dimostra facilmente che se U è
del secondo genere allora è del primo, e questa è una vera
contraddizione.
Per uscire dall'impasse Russell inventò la teoria dei tipi.
Un'altra via d'uscita è l'assiomatica di Zermelo-Fraenkel, in cui
esiste l'assioma di specificazione (più esattamente lo schema di
assiomi) che ha proprio lo scopo di vietare scritture come la (1).
(Non mi chiedere di più, perché ho praticamente ripetuto a pappagallo
quello che si trova in wikipedia.)
> D'altra parte, ho l'impressione che gli insiemi siano stati definiti
> come come "collezione di oggetti che soddisfano una proprieta'" da
> secoli; pero' dagli stessi secoli i matematici hanno dimostrato i
> teoremi "al solito modo", non hanno dimostrato "tutti i teoremi".
e dimostrazioni formali.
Quindi era perfettamente possibile che situazioni limite come il par.
di Russell sfuggissero.
Senza contare che il paradosso di Epimenide cretese risale a qualcosa
come 2600 anni... (però è considerato un paradosso semantico).
> Discutendo con Radicale mi e' venuto in mente la seguente possibile
> ragione: nessuno ha mai usato nelle dimostrazioni la definizione
> "insieme = collezione di oggetti che soddisfano una proprieta'",
> ma definizioni piu' "deboli", che non sono soggette al paradosso.
>
> Cosa ne pensi (cosa ne pensa il ng)?
Mi pare però che il fatto centrale sia che nessuno scrive
dimostrazioni formali.
Ci andarono vicini, un secolo fa, Russell e Whitehead nei "Principia
Mathematica". Però in 3 volumi arrivarono appena ai reali o poco più.
Si tratta di un'opera praticamente illeggibile (ricordo che provai a
guardarlo quando ero molto giovane...) e per di più non andò esente da
critiche anche gravi.
Se vuoi saperne di più, leggi la voce relativa su wikipedia (inglese,
mi raccomando).
--
Elio Fabri
JTS
Dec 14, 2019, 4:13:21 PM12/14/19
to
On 14.12.19 11:59, Elio Fabri wrote:
> JTS ha scritto:
>> Russell ha mostrato che definire il concetto di insieme come
>> "collezione di oggetti che soddisfano una proprieta'" non va bene
>> perche' porta ad una contraddizione; questo implica che se uno ha in
>> mente questa definizione, dovrebbe poter dimostrare qualunque cosa.
> Cerco di risponderti come so e posso.
Ho cercato su Internet e ho trovato questa domanda di StackExchange:
> JTS ha scritto:
>> Russell ha mostrato che definire il concetto di insieme come
>> "collezione di oggetti che soddisfano una proprieta'" non va bene
>> perche' porta ad una contraddizione; questo implica che se uno ha in
>> mente questa definizione, dovrebbe poter dimostrare qualunque cosa.
> Cerco di risponderti come so e posso.
https://math.stackexchange.com/questions/24507/why-did-mathematicians-take-russells-paradox-seriously/24516
Le risposte sembrano interessanti.
>
>> D'altra parte, ho l'impressione che gli insiemi siano stati definiti
>> come come "collezione di oggetti che soddisfano una proprieta'" da
>> secoli; pero' dagli stessi secoli i matematici hanno dimostrato i
>> teoremi "al solito modo", non hanno dimostrato "tutti i teoremi".
> Vero, ma per secoli nessuno ha concepito rigorosi sistemi assiomatici
> e dimostrazioni formali.
> Quindi era perfettamente possibile che situazioni limite come il par.
> di Russell sfuggissero.
>
Sintetizzando, le dimostrazioni non formali "resistono" alla presenza
dei paradossi, mentre un sistema formale viene reso inutile. Che cosa
misteriosa :-)
(La pagina StackExchange la ho solo scorsa, puo' darsi che ci siano
informazioni anche su questo).
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