probabilita condizionata esercizio v.a discreta funzione di una v.a continua

[sander]

Ho questo esercizio
sia X v.a. discreta t.c.
P(X=k| Y=y) = (y^k)/K!* e (-y)
con k che va da o a infinito
e y esponenziale negativa di paramentro c
fy(y) = c*e^-cy
calcolare P(X=k)

r. c/[(c+1)^k+1]

io ho pensato di procedere cosi
Fx(x|y) : d/dy(Fxy(x,y))/fy(y)
d/dy(Fxy(x,y))= Fx(x|y) *fy(y)

da cui integrando in dy a dx e sinistra ho

Fxy(x,y) = 1/c+1 [y^K-e^(-cy-y)*y^k]

Fx = Fxy(x, +oo)

e poi da qui non ne esco
la cosa strana è che se parto dalla definizione

P(X=k| Y=y)= P(X=k,Y=y)/ P(y=y)
arrivo ad un assurdo in quanto essendo y continua P(Y=y) è uguale a zero per
ogni Y.
Help me :)

[Giorgio Bibbiani]

sander ha scritto:

> sia X v.a. discreta t.c.
> P(X=k| Y=y) = (y^k)/K!* e (-y)
> con k che va da o a infinito
> e y esponenziale negativa di paramentro c
> fy(y) = c*e^-cy
> calcolare P(X=k)

(1) P(x = k) = int_{0}^{+oo} P(x = k| y = y) * fy(y) dy =
int_{0}^{+oo} y^k / k! * exp(-y) * c * exp(-c * y) dy =
c / k! * int_{0}^{+oo} y^k * exp(-a * y) dy

avendo posto a = c + 1, inoltre usando il teorema
di derivazione sotto il segno di integrale si ottiene:

(2) int_{0}^{+oo} y^k * exp(-a * y) dy =
(-1)^k * @^k/@a^k (int_{0}^{+oo} exp(-a * y) dy) =
(-1)^k * @^k/@a^k (1 / a) = k! / a^(k + 1)

allora sostituendo nella (1) si ha infine:

P(x = k) = c / k! * k! / a^(k + 1) = c / (c + 1)^(k + 1)

CVD

> la cosa strana è che se parto dalla definizione
>
> P(X=k| Y=y)= P(X=k,Y=y)/ P(y=y)
> arrivo ad un assurdo in quanto essendo y continua P(Y=y) è uguale a
> zero per ogni Y.

Quella formula vale solo se il termine P(Y = y) non e' nullo,
scrivendola diversamente:

P(X = k,Y = y) = P(X = k| Y = y) * P(Y = y)

si ottiene l'ovvia identita' 0 = 0.

Ciao
--
Giorgio Bibbiani