Liquido contenuto in un cilindro posto orizzontalmente
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[][4m|cO][]
quale formula è possibile calcolare la quantità di liquido in esso
contenuta, se il cilindro è posto orizzontalmente (cioè con l'altezza
parallela al piano terra), e misurando l'altezza massima di liquido in esso
contenuta?
--
[][4m|cO][]
ICQ #: 76564655
1° e-mail: war4...@yahoo.no
2° e-mail: alem...@libero.it
Web Page: http://4m1c0*netfirms*com
My crime is that of curiosity
Assunta Quarenghi
[][4m|cO][] <alem...@libero.it> wrote in message
LTtf7.4196$i9.2...@news.infostrada.it...
> Conoscendo le dimensioni di un cilindro (raggio di base e altezza), con
> quale formula è possibile calcolare la quantità di liquido in esso
> contenuta, se il cilindro è posto orizzontalmente (cioè con l'altezza
> parallela al piano terra), e misurando l'altezza massima di liquido in
esso
> contenuta?
Alessandro, anche io ho 14 anni, ho appena finito la 3 media.
Mi sembra un problemino semplice.
Mettiti di fronte alla base del cilindro in modo da vedere solo il cerchio.
Disegna questo cerchio. Disegna una corda orizzontale che corrisponde
all'altezza dell'acqua ( in scala ).
Dividi la parte del cerchio che contiene l'acqua in tante strisce
orizzontali di spessore S uguale ( almeno una ventina, ma non è importante
il numero ).
Ogni striscia di cerchi ha una forma che può essere paragonata ad un
rettangolo. Non fare caso ai lati curvi, tanto sono piccoli.
Misura la base di ciascun rettangolino e moltiplicalo per S.
Somma tutte le piccole aree ottenute; avrai l'area di quella parte di
cerchio coperto d'acqua.
Moltiplica poi per l'H del cilindro per avere il volume.
Se tuo padre non è contento dell'approssimazione, digli di dividere, anzichè
in 20, in 20 000 parti.
Però fallo fare a lui.
Penso anche che ci deve essere un modo per sapere la somma delle basi dei
triangolini senza misurale, ma adesso non mi viene.
Tu che scuola farai a settembre?
Assunta
Assunta Quarenghi
> quale formula è possibile calcolare la quantità di liquido in esso
> contenuta, se il cilindro è posto orizzontalmente (cioè con l'altezza
> parallela al piano terra), e misurando l'altezza massima di liquido in
esso
> contenuta?
Aspetta Alessandro.
Forse c'è un modo più veloce.
Disegna sempre il cerchio e la corda del pelo dell'acqua.
Immagino che il pelo dell'acqua superi il centro.
Unisci gli estremi della corda con il centro del cerchio.
Misura l'angolo > 180° (a) formato dai due raggi.
L'area del cerchio coperto dall'acqua è la somma di un settore circolare che
puoi calcolare con una proporzione con gli angoli ( 360: Pi r^2=a:X ), e di
un triangolo
isoscele di cui puoi trovare subito la base con il teorema di Pitagora.
Se tuo padre non è contento dell'approssimazione, digli di comprarti un
goniometro più preciso.
Così ho fatto un esercizio
Assunta
Jojo
> Conoscendo le dimensioni di un cilindro (raggio di base e altezza), con
> quale formula è possibile calcolare la quantità di liquido in esso
> contenuta, se il cilindro è posto orizzontalmente (cioè con l'altezza
> parallela al piano terra), e misurando l'altezza massima di liquido in esso
> contenuta?
Sia R il raggio del cilindro, L la sua altezza e H l'altezza massima del
liquido nella cisterna.
Osservando la cisterna "di lato", immaginala come una circonferenza.
Considerando il livello dell'acqua come una corda che taglia la
circonferenza ci basta conoscere un determinato angolo "alfa", che è
pari alla metà dell'angolo al centro che insiste sulla corda e che
calcoliamo facilmente nel seguente modo:
alfa = arccos[ ( R - H ) / R ]
La superficie racchiusa delimitata dalla corda e dall'arco di
circonferenza corrispndente è data dalla differenza tra l'area S del
settore circolare e l'area T del triangolo isoscele formato dalla corda
e dai due raggi.
S = alfa * R
T = ( R - H ) * R * sen(alfa)
Il volume di liquido è quindi:
V = L * ( S - T )
--
Giovanni Velardita
È meglio un panino o l'eterna felicità? Un panino.
Perché niente è meglio dell'eterna felicità...
... Ma un panino è sempre meglio di niente!
Assunta Quarenghi
Assunta Quarenghi <asquar...@tin.it> wrote in message
AGuf7.17281$KX2.1...@news2.tin.it...
>
> [][4m|cO][] <alem...@libero.it> wrote in message
> LTtf7.4196$i9.2...@news.infostrada.it...
> > Conoscendo le dimensioni di un cilindro (raggio di base e altezza), con
> > quale formula è possibile calcolare la quantità di liquido in esso
> > contenuta, se il cilindro è posto orizzontalmente (cioè con l'altezza
> > parallela al piano terra), e misurando l'altezza massima di liquido in
> esso
> > contenuta?
Ciao Alessandro.
Ancora io.
Senti, prima ti ho detto di disegnare e misurare, ma questo non piace ai
matematici, e non hanno torto, perché non è certo che le loro formule
valgano nella realtà.
La parte difficile del tuo problema è calcolare l'area compresa tra una
corda distante d dal centro di un cerchio ed un diametro 2r parallelo alla
corda stessa.
Dividiamo d in tante parti uguali s e prendiamo i quasi rettangolini di
prima, partendo dal diametro.
Il primo ha base 2r
Il secondo ha base 2 ( rad ( r^2 - s^2 ))
Il terzo ha base 2 ( rad ( r^2 - (2s)^2 ))
e dovremmo fare questo fino ad arrivare a d.
L'area cercata è la somma di tutte queste basi * s
La cosa strana è che quando s è davvero piccolo avremmo davvero l'area
giusta. Qui c'è una cosa che non capisco; come farebbe a comparire
magicamente Pi?
Assunta
Adam Atkinson
>Conoscendo le dimensioni di un cilindro (raggio di base e altezza), con
>quale formula è possibile calcolare la quantità di liquido in esso
>contenuta, se il cilindro è posto orizzontalmente (cioè con l'altezza
>parallela al piano terra), e misurando l'altezza massima di liquido in esso
>contenuta?
Vedo questo problemi qui e in altri newsgroup matematici _troppo_
spesso.
Di' al tuo fantomatico "padre che vuole metterci alla prova" di
imparare ad usare dejanews. O, piu' verosimilmente, non inventare
fantomatici "padri che vogliono metterci alla prova" quando chiedi
a noi di fare i tuoi compiti per te. E impara tu ad usare dejanews.
--
Adam Atkinson (gh...@mistral.co.uk)
When we declare an alien species to be raman, it does not mean that
_they_ have passed a threshold of moral maturity. It means that we have.
Adam Atkinson
>Vedo questo problemi qui e in altri newsgroup matematici _troppo_
>spesso.
oops "problema"
--
Adam Atkinson (gh...@mistral.co.uk)
It is a sobering thought, for example, that when Mozart was my age, he had
been dead for two years. (T. Lehrer)
[][4m|cO][]
352.630T978T...@mistral.co.uk...
> On 18-Aug-01 20:50:05, Adam Atkinson said:
>
> >Vedo questo problemi qui e in altri newsgroup matematici _troppo_
> >spesso.
>
> oops "problema"
Ti giuro che è stato mio padre a porvelo, e poi nn ho compiti di skuola...
Che tu mi voglia credere o no stà a te..
Cmq byez
[][4m|cO][]
[][4m|cO][]
AGuf7.17281$KX2.1...@news2.tin.it...
> Alessandro, anche io ho 14 anni, ho appena finito la 3 media.
scusa...ho sbagliato, tanta è l'abitudine...ho 15 anni, compiti il 9 agosto,
frequento già il 1 anno di liceo scientifico
> Mi sembra un problemino semplice.
Beata te, io non ho studiato il cilindro a scuola...non ne abbiamo avuto il
tempo...ma che voti hai in matematica??Mi sa che 6 un pikkolo genio ;)) Io
preferisco stare su internet..(frequento molto gli ng riguardanti programmi
warez crack e hack...)
> Tu che scuola farai a settembre?
Il 2 liceo scientifiko.. ;)
Byez
[][4m|cO][]
[][4m|cO][]
>
> Vedo questo problemi qui e in altri newsgroup matematici _troppo_
> spesso.
???
> Di' al tuo fantomatico "padre che vuole metterci alla prova" di
> imparare ad usare dejanews..O, piu' verosimilmente, non inventare
> fantomatici "padri che vogliono metterci alla prova" quando chiedi
> a noi di fare i tuoi compiti per te.
...se non vuoi nn credermi...visto che non avete nessuna fiducia nella gente
vorrà dire che se vi è di disturbo non posterò più su questo ng...
Porgo le mie scuse a tutti
E impara tu ad usare dejanews.
Ma cos'è??
Byez
[][4m|cO][]
[][4m|cO][]
> Aspetta Alessandro.
> Forse c'è un modo più veloce.
> Disegna sempre il cerchio e la corda del pelo dell'acqua.
> Immagino che il pelo dell'acqua superi il centro.
> Unisci gli estremi della corda con il centro del cerchio.
> Misura l'angolo > 180° (a) formato dai due raggi.
> L'area del cerchio coperto dall'acqua è la somma di un settore circolare
che
> puoi calcolare con una proporzione con gli angoli ( 360: Pi r^2=a:X ), e
di
> un triangolo
> isoscele di cui puoi trovare subito la base con il teorema di Pitagora.
> Se tuo padre non è contento dell'approssimazione, digli di comprarti un
> goniometro più preciso.
> Così ho fatto un esercizio
> Assunta
Mio padre: Ti ringrazio per la soluzione che è apprezzabile per una
ragazzina della tua età.
Cmq io chiedevo una soluzione rigorosa del problema, possibile soltanto a
chi ha nozioni matematiche di carattere superiore a quelle della scuola
media.
Grazie, ti saluto.
[][4m|cO][]
> liquido nella cisterna.
>
> Osservando la cisterna "di lato", immaginala come una circonferenza.
>
> Considerando il livello dell'acqua come una corda che taglia la
> circonferenza ci basta conoscere un determinato angolo "alfa", che è
> pari alla metà dell'angolo al centro che insiste sulla corda e che
> calcoliamo facilmente nel seguente modo:
>
> alfa = arccos[ ( R - H ) / R ]
>
> La superficie racchiusa delimitata dalla corda e dall'arco di
> circonferenza corrispndente è data dalla differenza tra l'area S del
> settore circolare e l'area T del triangolo isoscele formato dalla corda
> e dai due raggi.
>
> S = alfa * R
>
> T = ( R - H ) * R * sen(alfa)
>
> Il volume di liquido è quindi:
>
> V = L * ( S - T )
Mio padre: Ti darò una risposta non appena avrò verificato la correttezza
del procedimento che hai adottato.
A presto.
Ciao
[][4m|cO][]
>
> ...se non vuoi nn credermi...visto che non avete nessuna fiducia nella
gente
> vorrà dire che se vi è di disturbo non posterò più su questo ng...
> Porgo le mie scuse a tutti
>
> E impara tu ad usare dejanews.
>
Ops...questa doveva essere intesa come tua frase...gli avevo cancellato la >
affianko...
Kimba
"[][4m|cO][]" <alem...@libero.it> ha scritto nel messaggio
news:LTtf7.4196$i9.2...@news.infostrada.it...
> Conoscendo le dimensioni di un cilindro (raggio di base e altezza), con
> quale formula è possibile calcolare la quantità di liquido in esso
> contenuta, se il cilindro è posto orizzontalmente (cioè con l'altezza
> parallela al piano terra), e misurando l'altezza massima di liquido in
esso
> contenuta?
Scusami, sarebbe questo il problema difficile? (non per dire... ma leggendo
qua e la in questo ng ne ho visti moooolto più complicati, quindi se si
tratta di una sfida credo che non possa avere alcun effetto).
Ciao
Kimba
> quale formula è possibile calcolare la quantità di liquido in esso
> contenuta, se il cilindro è posto orizzontalmente (cioè con l'altezza
> parallela al piano terra), e misurando l'altezza massima di liquido in
esso
> contenuta?
Ora che ci penso bene questo problema mi ricorda quello di una famosa
leggenda metropolitana universitaria, nella quale il professore chiede
all'esaminando di calcolare quanta aria entra dal finestrino in un treno in
corsa (ovviamente senza specificare la morfologia del treno, l'ambiente
circostante, la velocità ed altri dettagli lasciati all'immaginazione... :-)
[][4m|cO][]
lvMf7.45194$SV4.2...@news1.tin.it...
> Ora che ci penso bene questo problema mi ricorda quello di una famosa
> leggenda metropolitana universitaria, nella quale il professore chiede
> all'esaminando di calcolare quanta aria entra dal finestrino in un treno
in
> corsa (ovviamente senza specificare la morfologia del treno, l'ambiente
> circostante, la velocità ed altri dettagli lasciati all'immaginazione...
:-)
...io non l'ho neanche letto e non ho l'intenzione di farlo...è mio padre
che ha voluto esporlo...boh..
Byez
[][4m|cO][]
Elio Fabri
> Senti, prima ti ho detto di disegnare e misurare, ma questo non piace ai
> matematici, e non hanno torto, perché non è certo che le loro formule
> valgano nella realtà.
pratico di misura.
In sostanza il problema che hai fronte e' questo: se conosco la
lunghezza di una corda, come trovo l'angolo al centro?
C'e' anche il problema inverso: dato l'angolo al centro, trovare la
lunghezza della corda.
La soluzione ai due problemi sono le cosiddette "funzioni circolari" e
le loro inverse: se il cerchio ha raggio 1, la corda e' il seno
dell'angolo (piu' esattamente, la corda e' il doppio del seno della
meta' dell'angolo). E l'angolo e' l'arcoseno della corda (piu'
esattamente, l'angolo e' il doppio dell'arcoseno di meta' della corda.
Non ci sono formule per esprimere queste funzioni. Ma se hai a portata
di mano una calcolatrice scientifica, vedrai un tasto "sin" e un tasto
"sin^(-1)". Sono loro...
La tua seconda soluzione e' molto piu' interessante: io non so se stai
inventando tutto da sola, o hai letto qualcosa che va al di la' della
matematica di scuola media. Posso dire questo: con idee come
> Dividiamo d in tante parti uguali s e prendiamo i quasi rettangolini di
> prima, partendo dal diametro.
> ...
> L'area cercata è la somma di tutte queste basi * s
ha cominciato Archimede, poi secoli dopo hanno lavorato Torricelli,
Cavalieri, poi tanti altri, ed e' nato il calcolo integrale.
Tu stai appunto cercando di calcolare l'integrale di rad(r^2 - s^2).
> La cosa strana è che quando s è davvero piccolo avremmo davvero l'area
> giusta.
Infatti: l'integrale e' definito come limite di quella somma quando gli
intervallini tendono a zero.
> Qui c'è una cosa che non capisco; come farebbe a comparire
> magicamente Pi?
Magicamente? Potremmo usare questo calcolo, esteso a tutto il cerchio,
come definizione di pi. Tu ne conosci un'altra: si tratterebbe di
dimostrare che vano d'accordo.
Non so se sono stato sufficientemente chiaro.
--
Elio Fabri
Dip. di Fisica "Enrico Fermi" - Univ. di Pisa
Sez. Astronomia e Astrofisica
------------------------------------
Assunta Quarenghi
Elio Fabri <fa...@df.unipi.it> wrote in message
3B80C400...@df.unipi.it...
...
> > L'area cercata è la somma di tutte queste basi * s
> ha cominciato Archimede, poi secoli dopo hanno lavorato Torricelli,
> Cavalieri, poi tanti altri, ed e' nato il calcolo integrale.
> Tu stai appunto cercando di calcolare l'integrale di rad(r^2 - s^2).
Non so se sono stato sufficientemente chiaro.
> --
> Elio Fabri
> Dip. di Fisica "Enrico Fermi" - Univ. di Pisa
> Sez. Astronomia e Astrofisica
> ------------------------------------
Provo a vedere se ho capito.
Prendo un quadrato di lato L ,che è più semplice.
Per calcolare l'area potrei dividere un lato in tante parti s e dire che:
area = ( L+L+L per infinite volte )*s infinitamente piccolo.
questa operazione mi deve dare L^2.
E' un metodo fantastico: è come svolgere un gomitolo di un filo
sottilissimo. Il filo ricopre, o riempie la figura e noi lo svolgiamo.
Se possiamo avere un filo che più sottile non si può, non sopportiamo
nessuna approssimazione.
Mi sembra logico che il prodotto tra un numero infinitamente grande ed un
altro infinitamente piccolo possa dare un numero normale ( né zero né
infinito ).
Se si conoscesse il modo di fare questa operazione ( senza sapere prima il
risultato ) si potrebbero calcolare le aree ed i volumi di tutte le figure,
anche di una bottiglietta di coca cola, anche di un filo d'erba.
Certo che questa operazioni integrali con cose così grandi o così piccole
devono essere strane.
Grazie
Assunta
Elio Fabri
> Provo a vedere se ho capito.
> Prendo un quadrato di lato L ,che è più semplice.
> Per calcolare l'area potrei dividere un lato in tante parti s e dire che:
> area = ( L+L+L per infinite volte )*s infinitamente piccolo.
> questa operazione mi deve dare L^2.
Se le "fettine" sono in numero di n, sara' s = L/n.
L'area di una fettina e' L*s, ci sono n fettine, quindi area totale
n*(L*s) = L^2.
In questo caso e' piuttosto banale; prova pero' un caso appena piu'
complicato: un triangolo rettangolo isoscele, affettato parallelamente a
un lato.
> Mi sembra logico che il prodotto tra un numero infinitamente grande ed un
> altro infinitamente piccolo possa dare un numero normale ( né zero né
> infinito ).
Si', con un po' di cautele, perche' quando si ragiona con l'infinito
l'intuizione puo' fare brutti scherzi...
> Se si conoscesse il modo di fare questa operazione ( senza sapere prima il
> risultato ) si potrebbero calcolare le aree ed i volumi di tutte le figure,
> anche di una bottiglietta di coca cola, anche di un filo d'erba.
Infatti gli integrali servono a questo (e a molte altre cose).
Un'altra volta ti raccontero' come ha fatto Archimede, con ragionamenti
del genere, a trovare il volume della sfera.
Roi Dechu
integrale doppio....qualcuno può farlo che io sono appena tornato dalle
vacanze(e sono un po' rintronato)?
[][4m|cO][] <alem...@libero.it> wrote in message
LTtf7.4196$i9.2...@news.infostrada.it...
Assunta Quarenghi
>
prova però un caso appena piu'
> complicato: un triangolo rettangolo isoscele, affettato parallelamente a
un lato.
> Elio Fabri
> Dip. di Fisica "Enrico Fermi" - Univ. di Pisa
> Sez. Astronomia e Astrofisica
> ------------------------------------
Va bene, ci provo.
Se ti va bene lo stesso, prendo solo la metà del triangolo isoscele, che è
un triangolo rettangolo,
perchè è più facile.
Mettiamo il triangolo in modo che la base B e l'altezza H siano due cateti.
Lo affetto con parallele a B, cioè divido l'altezza in n parti.
Ogni parte è lunga H/n.
Guardo i quasi rettangolini: è facile calcolare la base di ogni rettangolino
perchè ho disegnato tanti triangoli simili e si fa con le proporzioni.
Il primo ha base B.
Il secondo ha base B(1-1/n) perchè (secondo):B=(H-H/n):H
Il terzo ha base B(1-2/n)
etc
Allora l'area del triangolo è
(B((1-1/n)+(1-2/n)+ etc + (1-n/n)))*H/n
siccome so che l'area deve essere B*H/2 dovrebbe essere, se n è davvero
grande,
((1-1/n)+(1-2/n)+ etc + (1-n/n))*1/n = 1/2
Si però, se non lo sapevo già prima chi me lo diceva che tutta quella roba
faceva 1/2 ?
Ciao
Assunta
Duccio Pappadopulo
> Si però, se non lo sapevo già prima chi me lo diceva che tutta quella roba
> faceva 1/2 ?
Beh, basta che tu provi a rimaneggiare un po' la cosa:
1/n*(n-(1+2+3+...n)/n), immagino che tu sappia che la somma dei primi n
numeri naturali è n(n+1)/2, quindi applicando la cosa dentra la parentesi,
si ottiene 1/n*(n-(n+1)/2), adesso, moltiplicando il tutto, per quell'1/n
che sta fuori, si ottiene 1-1/2(1+1/n). Se n è grande, anche solo in maniera
intuitiva 1/n sarà piccolo (in pratica se n tende all'infinito 1/n tende a
zero), quindi considerando l'espressione nel suo complesso, se n tende
all'infinito1-1/2(1-1/n) tende a 1/2.
Elio Fabri
> Beh, basta che tu provi a rimaneggiare un po' la cosa:
Peccato che tu abbia avuto fretta di dare la soluzione...
Avrei voluto che Assunta ci arrivasse da sola, con piccoli suggerimenti.
E allora, Assunta, cimentati con un problema un po' piu' complicato: il
volume del cono.
Affetta il cono con piani paralleli alla base ... e il resto sai come
farlo.
Per ora, un solo sugggerimento: ti conviene numerare le fette a partire
dal vertice, non dalla base.
Facci vedere di che cosa sei capace ;-)
Assunta Quarenghi
> E allora, Assunta, cimentati con un problema un po' piu' complicato: il
> volume del cono.
> Affetta il cono con piani paralleli alla base ... e il resto sai come
> farlo.
................-
> Elio Fabri
> Dip. di Fisica "Enrico Fermi" - Univ. di Pisa
> Sez. Astronomia e Astrofisica
> ------------------------------------
Ciao
Il raggio di base è R
L'altezza è H, le n fette sono quasi cilindretti di spessore S=H/n
Parto dal vertice
la prima fetta ha area di base 0
la seconda ha area Pi ((R/H)*(H/n))^2= Pi (R/n)^2
la terza ha area Pi (2R/n)^2
la quarta ha area Pi (3R/n)^2
L'ultima ha area Pi (nR/n)^2=Pi R^2 e questo vuol dire che è giusto.
Alla fine V=Pi*(R^2)*H*(1/n^2+4/n^2+9/n^2 etc + 1 ) * 1/n , se n davvero
grande.
Però qui ho lo stesso problema dell'altra volta perchè non so calcolare
(1/n^2+4/n^2+9/n^2 etc + 1 ) * 1/n
Forse è meglio far diventare i numeri piccoli piuttosto che grandi.
Allora lascio S lo spessore piccolo dei cilindretti.
Il primo cilindretto ha area di base Pi*(R/H*S)^2=Pi*R^2/H^2*S^2
Il secondo Pi*R^2/H^2*(2S)^2
etc
Allora
Volume=Pi*R^2/H^2*(((1,2,3,4,5,... fino ad H)S)^2)S
Però se S è davvero piccolo, facendo ( 1,2,3,4 fino ad H)*S io tocco tutti i
punti di H
Allora posso scrivere
Volume=Pi*R^2/H^2*((tutti i punti di H)^2)*S
In pratica, a parte i numeri davanti le parentesi, bisogna prendere tutti i
punti di H, fare il quadrato e
sommarli tutti. Il risultato va poi moltiplicato per uno spessore davvero
piccolo.
Non lo so fare nemmeno così
Però logicamente la scrittura : *((tutti i punti di H)^2)*S
dovrebbe dare: ( qualcosa )*H^3 perché diventa un volume.
Assunta
Serial # 19781010
wrote:
>Conoscendo le dimensioni di un cilindro (raggio di base e altezza), con
>quale formula è possibile calcolare la quantità di liquido in esso
>contenuta, se il cilindro è posto orizzontalmente (cioè con l'altezza
>parallela al piano terra), e misurando l'altezza massima di liquido in esso
>contenuta?
La formula per il calcolo del volume parziale di un cilindro in
posizione orizzontale ti e' gia' stata indicata e comunque la riscrivo
qui di seguito:
V = L [ R*R * arcos ( (R-H)/R) - (R-H)* Sqrt (R*R- (R-H)^2) ]
esempio:
d=100 cm
L=200 cm
H= 0
dh = 10 cm
risultati:
H V (litri)
10 82
20 224
30 396
40 587
50 785
60 984
70 1174
80 1347
90 1489
100 1571
Per il cono in posizione orizzontale la formula e' piu' complessa
Esempio:
Diametro del serbatoio D= 100 cm
Lunghezza del serbatoio L = 200 cm
Livello iniziale del liquido H = 0 cm
Incremento di livello dh = 10 cm
Risultati
H = V= (litri)
10 6,4
20 34,1
30 87,7
40 166,0
50 261,8
60 357,6
70 435,9
80 489,5
90 517,2
100 523,6
ciao Cosimo
Elio Fabri
Dunque, sei arrivata a
> Però qui ho lo stesso problema dell'altra volta perchè non so calcolare
> (1/n^2+4/n^2+9/n^2 etc + 1 ) * 1/n
Facciamo un passetto ulteriore: raccogli il denominatore comune dentro
la prentesi, e trovi
(1 + 4 + 9 + ... + n^2) / n^3.
Il problema ora e' il seguente: trovare la somma dei quadrati dei primi
n interi.
Naturalmente e' cosa ben nota, ma vediamo se ci arrivi. Ci sono parecchi
modi; pensaci un po', e speriamo che nel frattempo qualcuno non voglia
fare il bravo e dare la risposta (a meno che non sia al massimo in prima
L. Sc. ).
--
Assunta Quarenghi
> .............
(1 + 4 + 9 + ... + n^2) / n^3.
> Il problema ora e' il seguente: trovare la somma dei quadrati dei primi
> n interi.
> Elio Fabri
> Dip. di Fisica "Enrico Fermi" - Univ. di Pisa
> Sez. Astronomia e Astrofisica
> ------------------------------------
Ciao
Senti, non ci riesco.
Perň a noi non interessa la somma dei quadrati dei primi n interi: a noi
interessa questa somma quando n č molto grande.
Allora faccio un trucco
L'altra persona mi ha detto che la somma dei primi n numeri ( alla 1 ) č
n(n+1)/2. In questa somma quando n č davvero grande l'1 non conta niente.
Allora la somma č (n^2)/2.
Il trucco č scrivere che la somma dei quadrati č (n^3)/3 perché le scritture
si assomigliano.
Faccio la prova cercando la somma dei primi numeri elevati alla zero: cioč n
volte 1=n
La scrittura che si assomiglia č (n^1)/1 che vale n, e quindi il trucco
funziona.
La somma dei primi n numeri, ciascuno a stessa potenza E, risulta
(n^(E+1))/E+1
ATTENZIONE perň: Questo vale solo se n davvero grande !
Che bella!
La cosa strana č che č piů facile fare questo conto con n davvero grande che
con n normale.
Secondo te, fare questi trucchi č come barare o no? Sembra facile
comportarsi cosě. Ma siamo sicuri che il risultato sia giusto ad esempio per
E= 6?
Assunta
Elio Fabri
> Senti, non ci riesco.
Non ti arrendere tropo presto! Del resto sapevo che non ci potevi
riuscire: volevo solo che ci pensassi un po' su. Piu' avanti ti do
qualche altro suggerimento per arrivarci.
> Allora faccio un trucco
> L'altra persona mi ha detto che la somma dei primi n numeri ( alla 1 ) è
> n(n+1)/2. In questa somma quando n è davvero grande l'1 non conta niente.
> Allora la somma è (n^2)/2.
Per prima cosa: tu non sai neppure perche' la somma dei primi n interi
e' n(n+1)/2 ? Conosci la storiella di Gauss?
Pare che quando Gauss aveva 9 anni, il maestro per tener buona la classe
diede per compito di fare la somma dei numeri da 1 a 100. Lui
naturalmente intendeva che i bambini facessero: 1+2=3, 3+3=6, 6+4=10,
ecc.
Ma Gauss penso' questo:
scrivo i numeri uno dopo l'altro:
1 2 3 4 ... 99 100
e sotto ce li scrivo in ordine inverso:
100 99 ... 4 3 2 1.
Ora per sommarli tutti osservo che 100+1=101, 99+2=101, ecc.
Anche se non sei Gauss, scommetto che a questo punto sai andare avanti
da sola.
Dopo tre minuti, Gauss porto' il foglio al maestro, con scritto 5050.
Per la somma dei quadrati si puo' usare un trucco del genere, pero e'
piu' complicato, e non te lo dico subito. Chi va piano...
Torniamo al discorso di n grande. Per quanto riguarda la somma degli
interi che e' circa (n^2)/2 hai ragione. E' quello che i matematici
chiamano "comportamento asintotico".
Poi tu azzardi una congettura: che la somma dei quadrati abbia andamento
asintotico (n^3)/3. E qui ti debbo dire due cose:
a) che ci hai preso
b) che pero' ragionare cosi' e' molto pericoloso.
Infatti e' vero anche per una potenza qualsiasi:
> La somma dei primi n numeri, ciascuno a stessa potenza E, risulta
> (n^(E+1))/E+1
Il problema e' che non hai nessuna ragione valida per dirlo, salvo
un'audace estrapolazione da due soli casi che conosci.
Pensa se io dicessi: 3, 5, 7 sono numeri primi, quindi tutti i numeri
dispari sono primi. E mi sono dimenticato 9...
Non ti voglio dire che non si deve ragionare cosi', ma solo a scopo
"euristico", che vuol dire "come possibile guida per immaginare il
risultato". ("Eurisko" in greco vuol dire "trovo"; da qui il famoso
"eureka" di Archimede).
Poi pero' bisogna *dimostrare*...
Anche perche' un'estrapolazione di puo' sempre fare in piu' modi. Per
es. tu hai (n^1)/1 per l'esponente 0, (n^2)/2 per l'esponente 1. Perche'
la formula generale non potrebbe essere (n^(E+1))/(2^E) ? O infinite
altre che potrei inventare?
Ti lascio con un disegnino: indovina tu che cosa significa!
oxxxxx
ooxxxx
oooxxx
ooooxx
ooooox
Assunta Quarenghi
Ciao
Volevo prima dirti una cosa personale.
Ho letto che sei all'ultimo anno di insegnamento e quindi sei un professore
anziano.
Allora ti dico
1 - Sei proprio carinissimo a dedicarmi del tempo
2 - Se vuoi continuare ad insegnare qualcosa, con me avrai da fare per
ancora trenta anni; io sono qui
3 - Perché non ci vediamo, se capita? Io abito ad Ancona. Se credi che ciò
non vada bene per la differenza delle nostre età, ti rimando la TUA frase:
"Non so quanto conosci il mondo dei NG, ma il bello e' questo: che si
possono incontrare le persone più diverse. E se le trovi, vuol dire che
hanno voglia di starci... "
Azzardo questa congettura: "si possono eliminare le parole " dei NG "
continuando ad ottenere una frase vera". Tu che ne pensi?
^__^
Poi dico, parlando di matematica:
Ho capito che la somma dei primi n interi è n/2 volte la somma tra il primo
e l'ultimo
termine = tra il secondo ed il penultimo= etc=(n+1).
Qui funziona perché abbiamo i numeri interi che, a due a due, danno la
stessa somma.
Con i quadrati non è così semplice.
Però: se noi pensiamo a tutti i triangoli rettangoli che hanno
l'ipotenusa sul diametro n di un cerchio, e l'altro vertice sulla
circonferenza, abbiamo che i loro cateti si allungano e si accorciano ma la
somma dei loro quadrati da sempre ( n^2 ).
I cateti di un triangolo in un semicerchio sono coppie di numeri che hanno
la stessa somma dei quadrati.
Ma non va bene pesche due interi si rifiutano quasi sempre di essere quei
due cateti
Però, circa come Gauss, posso scrivere i numeri in tre ordini diversi e
chiedermi;
Esiste un modo di fare questi tre ordini per cui la somma dei quadrati del
primo numero di ciascun ordine è uguale alla somma dei quadrati del secondo
numero di ciascun ordine, etc ?
Se si trova questa somma di quadrati (Sn) che rimane uguale, quello che
cerco vale Sn*n/3.
Ma è troppo difficile immaginarlo. Non si sa l'ordine, non si sa la somma,
ti girano davanti le cose che sembra una slot machine.
Il tuo disegno è meglio per ragionare.
Il disegno è la somma dei primi n numeri interi.
Ogni x è un nodo della rete e conta 1.
Il numero di nodi = (n+1)n/2
Per n grande è l'area di un triangolo (n^2)/2
Per vedere se ho capito ti dico che la somma degli interi da k a n vale
(n+k)(n-k+1)/2
La somma dei quadrati per n grande è il volume di una piramide: n^3\3
PS. Hai ragione sul metodo euristico. Ho capito!
( volevo dire: hai spiegato bene )
Assunta
Assunta Quarenghi
.............................
> > La somma dei primi n numeri, ciascuno a stessa potenza E, risulta
> > (n^(E+1))/E+1
> Il problema e' che non hai nessuna ragione valida per dirlo, salvo
> un'audace estrapolazione da due soli casi che conosci.
>
> Pensa se io dicessi: 3, 5, 7 sono numeri primi, quindi tutti i numeri
> dispari sono primi. E mi sono dimenticato 9...
..............>
> Anche perche' un'estrapolazione di puo' sempre fare in piu' modi. Per
> es. tu hai (n^1)/1 per l'esponente 0, (n^2)/2 per l'esponente 1. Perche'
> la formula generale non potrebbe essere (n^(E+1))/(2^E) ? O infinite
> altre che potrei inventare?
> Elio Fabri
> Dip. di Fisica "Enrico Fermi" - Univ. di Pisa
> Sez. Astronomia e Astrofisica
> ------------------------------------
Ciao
Prima ti ho detto di aver capito questo concetto, ma ora mi accorgo che non
è così. ( Allora hai insegnato male ^__^ )
Perché mi fai notare che ho estrapolato da solo due casi?
Se i casi fossero stati cento, cosa sarebbe cambiato?
Tu avresti comunque trovato una formula, diversa da
(n^(E+1))/E+1 che dia per tutti gli n fino a cento lo stesso risultato di
(n^(E+1))/E+1 ma risultato diverso per n=101.
( deve essere difficile, ma certo possibile, anzi, tu mi dici, è possibile
con infiniti modi diversi )
Se gli interi sono infiniti, 1, 100 o centomila contano lo stesso.
Però tu mi dici " non hai nessuna ragione valida per dirlo "
Faccio un altro esempio; se conto, mi accorgo che dopo un munero pari viene
uno dispari e che dopo uno dispari viene una pari, almeno per i numeri che
ho contato. Tu dirai che questo fatto non basta per dire " dopo un qualunque
numero pari viene uno dispari ", ma che devo avere una ragione valida per
dire questo. Allora io ti posso dire che se sommo 1 ad ogni numero pari
ottengo un numero che diviso per 2 da resto 1, quindi dispari. Però forse tu
mi dirai che non ho una ragione valida per dire che questo succeda per ogni
n.
Insomma; devi definire le parole che hai usato
Che si intende, in matematica, per " ragione valida"?
Senza questa definizione non si può andare avanti.
Siccome, tra noi due, il professore sei tu, a questa domanda la risposta
spetta a te.
Sunta
PS: Mio padre è tornato oggi e stasera andiamo al mare per sette giorni. Mi
spiace, perché era bello questo parlare di numeri.
Però, anche se non posso con il computer, al mare mi porto il cervello.
Riciao
Paola Pannuti
> PS: Mio padre è tornato oggi e stasera andiamo al mare per sette giorni. Mi
> spiace, perché era bello questo parlare di numeri.
> Però, anche se non posso con il computer, al mare mi porto il cervello.
> Riciao
Divertiti. Comunque, anche al mare ci saranno le postazioni Internet,
da cui puoi continuare a scrivere qui... e magari trovare la famosa
"ragione valida" ;-) che ti viene chiesta. Ciao, piccola
Paola
Elio Fabri
> Il tuo disegno č meglio per ragionare.
> ...
> Il numero di nodi = (n+1)n/2
> Per vedere se ho capito ti dico che la somma degli interi da k a n vale
> (n+k)(n-k+1)/2
> La somma dei quadrati per n grande č il volume di una piramide: n^3\3
Si', ma vorremmo la somma per n qualsiasi, anche non grande...
Guarda quest'altro disegno: costruisci una piramide che ha base
xoooo
ooooo
ooooo
ooooo
ooooo
poi al primo piano
xooo
oooo
oooo
oooo
poi al secondo
xoo
ooo
ooo
eccetera.
Disponi i piani in modo che le x siano una sopra l'altra.
Il numero di mattoni e' la somma cercata.
Ora dovresti vedere se ti riesce, con tre di queste piramidi, di
costruire *esattamente* un parallelepipedo rettangolo (non un cubo!).
Vedrai che ti manca qualcosa, ma e' facile calcolare quanti mattoni
mancano.
La difficolta' e' vedere la cosa in 3 dimensioni. Magari potresti
aiutarti con Lego o roba del genere.
> Perché mi fai notare che ho estrapolato da solo due casi?
> Se i casi fossero stati cento, cosa sarebbe cambiato?
Hai perfettamente ragione.
> Faccio un altro esempio; se conto, mi accorgo che dopo un munero pari viene
> uno dispari e che dopo uno dispari viene una pari, almeno per i numeri che
> ho contato. Tu dirai che questo fatto non basta per dire " dopo un qualunque
> numero pari viene uno dispari ", ma che devo avere una ragione valida per
> dire questo. Allora io ti posso dire che se sommo 1 ad ogni numero pari
> ottengo un numero che diviso per 2 da resto 1, quindi dispari. Perň forse tu
> mi dirai che non ho una ragione valida per dire che questo succeda per ogni
> n.
Invece qui la ragione valida c'e': Se n e' pari, e' divisibile per 2,
quindi esiste un k tale che n=2k. Allora n+1=2k+1, e questo dimostra che
se divido n+1 per 2, ho quoziente k e resto 1. Quindi n+1 e' dispari.
Quella che ho chiamata "ragione valida" non e' che una "dimostrazione".
Ma ti dico di piu': esiste una tecnica per dimostrare una proprieta' dei
numeri interi, che si chiama "induzione". Te la spiego sull'esempio che
abbiamo gia' studiato: la somma dei primi n interi.
Supponiamo che in un modo qualunque (per via euristica, perche' l'hai
appresa in sogno, o quello che vuoi) ti sia venuta in mente la formula
S(n)=n(n+2)/2. Vuoi sapere se e' vera o no.
Verifichi subito che e' vera per n=1 (anche per n=2, ma non occorre).
Allora dici: supponiamo che la fomula sia valida per un certo n; vediamo
se la posso dimostrare valida per n+1. Voglio dunque verificare se
S(n+1)=(n+1)(n+2)/2.
Ma S(n+1) = (per definizione) S(n) + (n+1) = n(n+1)/2 + (n+1) =
(n+1)(n/2 + 1) =
(n+1)(n+2)/2. Fatto!
Siccome c'e' un valore di n (n=1) per il quale so che la formula e'
giusta, ne segue che e' giusta per n=2, quindi per n=3, quindi per
qualsiasi n.
La cosa importante e' che il ragionamento per induzione e' perfettamente
rigoroso, a differenza dell'estrapolazione.
Per vedere se hai capito, ti propongo un esercizio: dimostra che
2^0 + 2^1 + ... + 2^n = 2^(n+1) - 1.
P.S. La mia figlia maggiore vive ad Ancona. Non ci capito spesso, ma
puo' darsi.
--
Assunta Quarenghi
Paola Pannuti <g.pa...@netvalley.it> wrote in message
3B893C83...@netvalley.it...
| Divertiti. Comunque, anche al mare ci saranno le postazioni Internet,
| da cui puoi continuare a scrivere qui... e magari trovare la famosa
| "ragione valida" ;-) che ti viene chiesta.
Grazie. E' un buon consiglio. Purtroppo l'ho letto tardi
Ciao, piccola
| Paola
Mi sta bene che mi chiami piccola.
Perň dovresti dirmi quale mia caratteristica o attributo ha dimensioni cosě
ridotte da giustificare l'aggettivo.
:-)
Assunta
Assunta Quarenghi
...................
| > La somma dei quadrati per n grande è il volume di una piramide: n^3\3
| Si', ma vorremmo la somma per n qualsiasi, anche non grande...
| La difficolta' e' vedere la cosa in 3 dimensioni. Magari potresti
| aiutarti con Lego o roba del genere.
Obbedisco, mio Generale!
Io ci vedo:
S=1/3((n^2)(n+1)+1/2n(n+1)),
che forse è più bello scrivere come
S=1/3*n(n+1)(n+1/2)=1\6*n(n+1)(2n+1)
| La cosa importante e' che il ragionamento per induzione e' perfettamente
| rigoroso, a differenza dell'estrapolazione.
In pratica, se dimostro:
a- che se un numero è verde anche il suo successivo è verde
b- che 1 è verde
ho dimostrato che tutti i numeri sono verdi.
| Per vedere se hai capito, ti propongo un esercizio: dimostra che
| 2^0 + 2^1 + ... + 2^n = 2^(n+1) - 1.
a - vedo che
2^0 + 2^1 + ... + 2^n + 2^(n+1) = 2^(n+1) + 2^(n+1) - 1 = 2*2^(n+1) -1
= 2^(n+1+1) - 1, cioè che la stessa formula valida per n vale per n+1
b - Vale per 1 ( facile )
Dunque ho dimostrato in generale la formula che hai scritto
Ho capito. E' così semplice che sono stata stupida a non arrivarci da sola.
Adesso provo con la formola della somma dei quadrati degli interi.
Però ho ancora dei dubbi che ti dico più avanti
| Quella che ho chiamata "ragione valida" non e' che una "dimostrazione".
Quando ti ho chiesto di definire "ragione valida" già pensavo che parlavi di
"dimostrazione".
Allora devi definire "dimostrazione ".
La domanda era un po' più ampia. Non ho le idee chiare, ma adesso ci provo:
Tu mi dici che posso dimostrare rigorosamente una affermazione attraverso
l'induzione.
Ma anche la frase "il ragionamento per induzione porta a dimostrazioni
rigorose" è un'affermazione come un'altra. Allora:
- O esistono delle frasi che sono vere senza essere dimostrate vere
. O devi dimostrare che il ragionamento per induzione è valido, e senza
utilizzare il ragionamento stesso e senza usare estrapolazioni.
Nel primo caso mi sembra strano che esistano delle verità che nessuno ( che
non sia pazzo ) potrà mai mettere in discussione. Sarebbe bello averne
l'elenco
Nel secondo caso mi pare che non si finisce mai. Per dimostrare qualcosa, usi
dei modi di ragionare che devi dimostrare validi etc
Oppure ( terzo caso ): esiste un elenco di metodi ( in cui l'induzione è uno
di questi ) che tutti si sono messi d'accordo nel considerare validi, senza
discuterli più ?
Come stanno le cose?
Quando un ragionamento è una dimostrazione rigorosa?
Altro dubbio:
Se io dimostro:
a - che se un numero è verde anche il suo antecedente è verde
b - che più un numero è grande più tende al verde
ho dimostrato che tutti i numeri sono verdi?
--------------------------------------
Io ho pensato qualcosa a proposito del calcolo della aree e dei volumi da cui
siamo partiti
La fantasia ( piuttosto pasticciona ) è questa
1° congettura:
Se tolgo lo spazio tra un numero naturale e l'altro ottengo i punti di un
segmento; cioè: qualsiasi segmento è la rappresentazione in scala infinita
della retta dei numeri interi.
Se è così le formule degli interi grandi si possono tradurre in formule
analoghe sui punti del segmento
Idea:
Prendo un segmento lungo L, lo metto su una retta con lo zero su un estremo.
Penso ad una Regola R che traduce, come in una tabella a due colonne, tutti
i punti del segmento in altra cosa; posso chiamare questa traduzione -
RsuL -
Per esempio nel caso del cono, "Regola" traduce tutti i punti di H nell'area
del giusto cerchio con centro nel punto h di H. La regola può essere
qualunque, ad esempio moltiplicare per 10 i valori dei punti di L, o farne il
cubo, o
dire che per un tratto di L si deve moltiplicare per 2 e per l'altro tratto
dividere, etc
Scrivo un'operazione che somma RsuL per tutti i punti di L
- SOMMA RsuL per ogni punto di L -
Moltiplico il risultato per un pezzetto davvero piccolo di L ( lungo come un
punto di L ) che chiamo pL ( piccolissimo L )
Allora:
((SOMMA RsuL per ogni punto di L)*pL) è il risultato di tutti i problemi di
volume in qualsiasi numero di dimensioni, purché sappia RsuL e sappia L.
2° congettura
Se la somma dei primi numeri interi ad esponente E è n^(E+1)/E+1 allora
((SOMMA RsuL per ogni punto di L)*pL) =
L^(E+1)/E+1 se RsuL=(tutti i punti di L)^E
Cioè si può calcolare il risultato quando la Regola trasforma ogni punto di L
in l^E
Per esempio mi torna tutto bene per il volume del cono
Il risultato non vale per tutte le forme, perchè non tutte le R sono di
elevamento a
potenza ( ad esempio il profilo di una bottiglia di Coca Cola non è così )
Dimostrazioni rigorose:
mi prendo due mesi per pensarci.
A proposito: che libri devo leggere?
P.S. Una cosa però l'ho capita.
Siamo partiti con le aree ed i volumi e ora siamo con i n. interi e domani
saremo da un'altra parte.,
La matematica è come un Luna Park dove, in qualsiasi padiglione tu entri, ti
trovi sempre sull'otto volante. Vai su e giù ed hai sempre le vertigini.
UUUUAAAOOOOO !!!!
| P.S. La mia figlia maggiore vive ad Ancona. Non ci capito spesso, ma puo'
darsi.
| --
| Elio Fabri
| Dip. di Fisica "Enrico Fermi" - Univ. di Pisa
| Sez. Astronomia e Astrofisica
| ------------------------------------
Ti mando il mio indirizzo sulla tua email
Grazie
Assunta
Lorenzo Lodi
[cut]
>
>Obbedisco, mio Generale!
>Io ci vedo:
>S=1/3((n^2)(n+1)+1/2n(n+1)),
>che forse è più bello scrivere come
>S=1/3*n(n+1)(n+1/2)=1\6*n(n+1)(2n+1)
>In pratica, se dimostro:
>a- che se un numero è verde anche il suo successivo è verde
>b- che 1 è verde
>ho dimostrato che tutti i numeri sono verdi.
>Ma anche la frase "il ragionamento per induzione porta a dimostrazioni
>rigorose" è un'affermazione come un'altra. Allora:
>- O esistono delle frasi che sono vere senza essere dimostrate vere
>. O devi dimostrare che il ragionamento per induzione è valido, e senza
>utilizzare il ragionamento stesso e senza usare estrapolazioni.
>1° congettura:
[...]
Ciao, ho seguito i tuoi post e volevo solo dire che sono rimasto molto
colpito dai ragionamenti che fai e dalla tua "forma mentis";
se hai davvero l'eta' che dici di avere e ci sei arrivata da sola (non che
abbia un particolare motivo per dubitarne) allora almeno per i miei
parametri sei davvero eccezionalmente BRAVA, veramente notevole. continua
cosi' e vedrai che non rimarrai delusa.
Ciao, Lorenzo
Paola Pannuti
>>
> Ciao, piccola
> | Paola
>
> Mi sta bene che mi chiami piccola.
> Perň dovresti dirmi quale mia caratteristica o attributo ha dimensioni cosě
> ridotte da giustificare l'aggettivo.
> :-)
> Assunta
Solo l'eta': devi sapere che io ho ... 97 anni ... ;-)
Paola
A. Mirra
| Solo l'eta': devi sapere che io ho ... 97 anni ... ;-)
| Paola
Ciao
E' possibile che dio pensi alla retta dei numeri interi in una scala in cui i
numeri primi siano egualmente spaziati tra loro.
Tu sei giusto solo al 21-esimo compleanno-primo.
In quella scala, la tua età è solo quattro volte maggiore della mia e tra
quattro o cinque anni tenderà a diventare solo tre volte maggiore.
Allora non darti tante arie da vecchia.
:-)
Assunta
Elio Fabri
Assunta ha scritto:
> Io ci vedo:
> S=1/3((n^2)(n+1)+1/2n(n+1)),
> che forse è più bello scrivere come
> S=1/3*n(n+1)(n+1/2)=1\6*n(n+1)(2n+1)
Giusto, pero' non mi hai spiegato come hai fatto.
> Dunque ho dimostrato in generale la formula che hai scritto
> Ho capito. E' così semplice che sono stata stupida a non arrivarci da sola.
Non te la prendere :) Succede spesso, e non e' un brutto segno: vuol
dire che stai prendendo familiarita' con una cosa che prima ti era
sconosciuta.
> Quando ti ho chiesto di definire "ragione valida" già pensavo che parlavi di
> "dimostrazione".
> Allora devi definire "dimostrazione ".
> La domanda era un po' più ampia. Non ho le idee chiare, ma adesso ci provo:
> Tu mi dici che posso dimostrare rigorosamente una affermazione attraverso
> l'induzione.
> Ma anche la frase "il ragionamento per induzione porta a dimostrazioni
> rigorose" è un'affermazione come un'altra. Allora:
> - O esistono delle frasi che sono vere senza essere dimostrate vere
> . O devi dimostrare che il ragionamento per induzione è valido, e senza
> utilizzare il ragionamento stesso e senza usare estrapolazioni.
>
> Nel primo caso mi sembra strano che esistano delle verità che nessuno ( che
> non sia pazzo ) potrà mai mettere in discussione. Sarebbe bello averne
> l'elenco
> Nel secondo caso mi pare che non si finisce mai. Per dimostrare qualcosa, usi
> dei modi di ragionare che devi dimostrare validi etc
>
> Oppure ( terzo caso ): esiste un elenco di metodi ( in cui l'induzione è uno
> di questi ) che tutti si sono messi d'accordo nel considerare validi, senza
> discuterli più ?
>
> Come stanno le cose?
> Quando un ragionamento è una dimostrazione rigorosa?
Accidenti che domande :-))
Sai che cosa mi piacerebbe molto? Assistere invisibile alle lezioni di
mat nella classe che frequenterai fra poco...
A seconda del/della prof che ti capitera', potrai essere per lui/lei una
gioia o un incubo...
In ogni caso, e' da escludere che la classe possa tenere il tuo passo,
per cui posso solo augurarti che ti capiti una persona abbastanza
intelligente da saperti suggerire del lavoro autonomo.
(Comunque c'e' sempre questo NG, dove troverai pane per i tuoi denti,
per quanto affilati :-) Immagino che tu stia anche leggendo altri
thread, e avrai visto che c'e' da divertirsi a tutti i livelli...)
Tornando alla tua serie di domande, stai ponendo questioni che
riguardano i fondamenti della matematica, non poco. Io non sono neppure
in grado di dare risposte del tutto esaurienti, e forse neppure del
tutto giuste (ricordati che sono un fisico) ma ci provo.
Cominciando dall'induzione, potrei dire questo. Se hai dimostrato per
induzione, per esempio, che la somma dei quadrati e' n(n+1)(2n+1)/6,
questo vuol dire la cosa seguente. Supponiamo che tu voglia trovare la
somma dei quadrati fino a 100. Allora: parti da 1, e la somma fa 1. La
dimostrazione per induzione ti assicura che percio' la formula va bene
per n=2; poi ti assicura che va bene per n=3; ... proseguendo, in un
numero *finito* di passi arrivi a dimostrare che va bene per n=100. E lo
stesso per qualunque n che ti venga in mente.
In altre parole, la dim. per induzione e' una specie di riassunto di
qualunque dimostrazione dettagliata, e ti permette percio' di evitare di
ripetere tutte queste dimostrazioni.
In realta', dicendo questo, siamo appena agli inizi del problema, ovvero
siamo al punto in cui erano i matematici piu' o meno un secolo fa.
Infatti su questo problema, e sui problemi che poni dopo, i matematici
(e anche i logici, i filosofi) si sono affaticati per secoli. Non sono
neppure sicuro che si sia oggi raggiunto un accordo unanime, ma almeno
si sono chiarite molte cose.
Conosci la storia del postulato delle parallele? Molto e' cominciato da
li', oltre due secoli fa.
Ma anche in questo NG sono problemi che si ripresentano continuamente.
Ti riporto per es. un brano dal thread intitolato "Infinitesimi attuali
in fisica: Leibnitz redivivo":
>>Forse questo e' il punto: un fisico credo che abbia automaticamente un
>>atteggiamento nel vedere gli oggetti matematici come "distaccati da ogni
>>legame con il soggetto riflettente" (platonismo);
>>..
>>Invece per un formalista estremo la frase e' del tutto priva di senso
>>perche' utilizza termini che non sono mai stati definiti in maniera
>>soddisfacente: la matematica e' esclusivamente una collezione di sistemi
>>formali utilmente applicabili all'esperienza.
>
>La filosofia della matematica è estremamente articolata e non mi
>pare imponga una scelta netta tra platonismo e formalismo: ci
>sono molte altre scuole di pensiero.
>Nè mi pare siano fondate e dimostrabili le identificazioni
>fisici-platonismo, matematici-formalismo.
>Personalmente ritengo del tutto insostenibile e insoddisfacente
>l'atteggiamento platonico, condiviso peraltro da celebri
>matematici come il francese Alain Connes, e condivido largamente
>il punto di vista convenzionalista di Poincarè.
Non importa molto che ti dica come la vedo io (sono piu' vicino al
secondo che scrive) ma importa la comparsa di termini filosofici:
formalismo, platonismo, convenzionalismo. Capisci in che ginepraio ci
stiamo cacciando?
Per non lasciarti del tutto al buio, ti do un'idea "divulgativa" di che
cosa s'intende in mat per "formalismo".
Gli oggetti della mat sono arbitrari e privi di significato "esterno":
ne ricevono solo dall'uso che se ne fa.
Esistono oggetti "primitivi", non definiti, ed esistono proposizioni
ritenute "vere" per convenzione (gli "assiomi"). Esistono poi dei
procedimenti, anche questi dati per convenzione, che permettono di
ricavare proposizioni vere da altre: sono le "regole di deduzione", e
l'uso di queste regole e' una "dimostrazione". Una proposizione dedotta
per deduzione dagli assiomi, usando le regole, e' un "teorema".
Dimenticavo: gli assiomi sono arbitrari, ma con una condizione: non
debbono essere "contraddittori". Ossia non deve essere possibile
dimostrare una proposizione e al tempo stesso la sua negazione.
(Altrimenti si puo' vedere che qualunque proposizione e' dimostrabile,
ossia e' un teorema.)
Al primo incontro, questo approccio formalista sembra semplicemente
folle: gli assiomi sono arbitrari, le regole pure, tutto non ha
significato... E a che diavolo puo' servire?
A parte che uno lo puo' trovare divertente (in fondo, a che serve
giocare a scacchi?) il vero grande problema e' che tutto questo invece
serve, per es. per spiegare il mondo, attraverso la fisica.
Ecco perche' ci sono molti che non sono soddisfatti di una posizione
cosi' "rinunciataria", e preferiscono pensare che invece le verita'
matematiche esistano indipendentemente da noi, in certo senso "al di
sopra" di noi, e che noi non facciamo altro che "scoprirle". Anzi: esse
sono la vera realta', di cui il mondo reale ci da' solo un pallido
riflesso...
Questo si chiama "platonismo", ovviamente da Platone, che per primo 2500
anni fa, ha espresso idee del genere.
Tuttavia il formalismo ha delle buone ragioni, derivanti soprattutto
dall'insuccesso dei tentativi di dare significato agli oggetti
matematici.
Tornando un po' coi piedi per terra, in pratica nella grandissima parte
dei casi la situazione sta come l'hai descritta tu:
> Oppure ( terzo caso ): esiste un elenco di metodi ( in cui l'induzione è uno
> di questi ) che tutti si sono messi d'accordo nel considerare validi, senza
> discuterli più ?
Ho scritto "nella grandissima parte dei casi" perche' ci sono cose su
cui ancora si discute, e ci sono persone che coltivano punti di vista
divergenti; ma il grosso del lavoro matematico si svolge con questo
accordo.
Altrimenti, non si potrebbero scrivere ne' leggere libri, non si
potrebbe insegnare e neppure parlare fra persone diverse...
E per oggi basta su questo tema: avrai tempo e modo per ripensarci
sopra, man mano che imparerai di piu'.
> Altro dubbio:
> Se io dimostro:
> a - che se un numero è verde anche il suo antecedente è verde
> b - che più un numero è grande più tende al verde
> ho dimostrato che tutti i numeri sono verdi?
Direi proprio di no. In sostanza, stai tentando una "induzione
all'indietro", ma sei stata costretta a introdurre un'espressione "tende
a" ed e' quella che compromette tutto.
Mi viene in mente un esempio, forse non molto appropriato: quando n e'
grande, e' sempre piu' raro che sia primo. Vuol dire allora che non
esistono numeri primi?
> Prendo un segmento lungo L, lo metto su una retta con lo zero su un estremo.
> Penso ad una Regola R che traduce, come in una tabella a due colonne, tutti
> i punti del segmento in altra cosa; posso chiamare questa traduzione -
> RsuL -
Bene: questa si chiama una funzione.
> ...
> Scrivo un'operazione che somma RsuL per tutti i punti di L
> - SOMMA RsuL per ogni punto di L -
> Moltiplico il risultato per un pezzetto davvero piccolo di L ( lungo come un
> punto di L ) che chiamo pL ( piccolissimo L )
Questo e' l'integrale su L della funzione.
> Allora:
> ((SOMMA RsuL per ogni punto di L)*pL) è il risultato di tutti i problemi di
> volume in qualsiasi numero di dimensioni, purché sappia RsuL e sappia L.
Giusto. E naturalmente anche dei problemi di area, per cominciare.
> Se la somma dei primi numeri interi ad esponente E è n^(E+1)/E+1 allora
> ((SOMMA RsuL per ogni punto di L)*pL) =
> L^(E+1)/E+1 se RsuL=(tutti i punti di L)^E
La notazione corrente per esprimere questo e':
integrale da 0 a L di x^E dx = L^(E+1)/(E+1)
dove "integrale da 0 a L" si scrive con una specie di grande S
allungata, con sotto 0 e sopra L...
> Il risultato non vale per tutte le forme, perchè non tutte le R sono di
> elevamento a potenza ( ad esempio il profilo di una bottiglia di Coca Cola non è
> così )
Il risultato vale per tutte le forme, a condizione che tu conosca la
regola (la funzione) e sappia calcolare l'integrale.
> A proposito: che libri devo leggere?
Domanda sacrosanta, ma non e' facile risponderti (spero in qualche
contributo di altri).
Un libro classico, che ha molti anni ma viene ancora consigliato (io
pero' non l'ho mai letto) e' quello di Courant e Robbins, "Che cos'e' la
matematica" (ed. Boringhieri, mi pare).
> La matematica è come un Luna Park dove, in qualsiasi padiglione tu entri, ti
> trovi sempre sull'otto volante. Vai su e giù ed hai sempre le vertigini.
> UUUUAAAOOOOO !!!!
Allora ti invito in un altro padiglione: sai che cos'e' un numero
irrazionale? Conosci la storia di Pitagora e della diagonale del
quadrato?
Pero' la prossima volta ti voglio raccontare di Archimede e del volume
della sfera.
Paola Pannuti
Caspiterina! Ma sei sicura di avere solo 14 anni?
Io, alla tua eta', non ero mica cosi' abile a rispondere a tono!
;-) Ah, beata gioventu'...
Paola
misto fritto
[...]
> Esistono oggetti "primitivi", non definiti, ed esistono proposizioni
> ritenute "vere" per convenzione (gli "assiomi"). Esistono poi dei
> procedimenti, anche questi dati per convenzione, che permettono di
> ricavare proposizioni vere da altre: sono le "regole di deduzione", e
> l'uso di queste regole e' una "dimostrazione". Una proposizione
> dedotta per deduzione dagli assiomi, usando le regole, e' un
> "teorema". Dimenticavo: gli assiomi sono arbitrari, ma con una
> condizione: non debbono essere "contraddittori". Ossia non deve essere
> possibile dimostrare una proposizione e al tempo stesso la sua
> negazione. (Altrimenti si puo' vedere che qualunque proposizione e'
> dimostrabile, ossia e' un teorema.)
tanto per amor di discussione, cito en passant che nella logica fuzzy
(non e' che sono fissato con la fuzzy, e' che ci lavoro :),
limitatamente all'appartenenza ad un insieme, si puo' avere questo caso
per definizione, dato
mu(X, x) = p
allora
mu (non-X, x) = 1 - p
dato a appartenente ad A con valore 0.5,
mu(A, a) = 0.5
esso appartiene all'insieme non-A con valore
mu(non-A, a) = 1 - mu(A, a) = 0.5
ed e' quindi
mu(A, a) = mu(non-A, a)
questo e' il caso ad esempio dei barbieri che radono solo chi non si
rade da se', di chi afferma "io sto mentendo", e via dicendo
il significato di questa assunzione, ovviamente, e' che l'elemento e'
"indecidibile" secondo la logica aristotelica, e si trova "sul confine"
dei due insiemi. Sembrerebbe un risultato poco utile, ma invece
permette di generalizzare i formalismi di calcolo anche a casi che
trattati con una logica aristotelica sarebbero intrattabili
in questo, la logica fuzzy *assomiglia* piu' alla meccanica
quantistica, che alla logica aristotelica
ad esempio, un fotone puo' attraversare una o l'altra delle due
fenditure del famoso esperimento sulle frange di diffrazione con
probabilita' 0.5, e quindi potremmo dire che appartiene
all'insieme dei fotoni passati dalla fenditura A con valore 0.5, e a
quelli passati dall'altra (non-A) con valore 1 - 0.5, cioe' lo stesso,
e infatti le frange di diffrazione si hanno anche facendo passare i
fotoni uno ad uno.
cio' in meccanica classica sarebbe impossibile, ma considerato il
dualismo onda particella e tutto il resto, il risultato e' proprio
quello
Elio Fabri
> tanto per amor di discussione, cito en passant che nella logica fuzzy
notizia, non per aprire una discussione, debbo dire che non ho mai
capito che cosa possa avere di interessante.
Ma una cosa posso dirla:
> in questo, la logica fuzzy *assomiglia* piu' alla meccanica
> quantistica, che alla logica aristotelica
rifarti a un classico lavoro di Birkhoff e von Neumann, degli anni '30,
che andava in tutt'altra direzione. Non mi pare che pero' abbia avuto
sviluppi, almeno niente che sia servito alla fisica.
> ad esempio, un fotone puo' attraversare una o l'altra delle due
> fenditure del famoso esperimento sulle frange di diffrazione con
> probabilita' 0.5, e quindi potremmo dire che appartiene
> all'insieme dei fotoni passati dalla fenditura A con valore 0.5, e a
> quelli passati dall'altra (non-A) con valore 1 - 0.5, cioe' lo stesso,
> e infatti le frange di diffrazione si hanno anche facendo passare i
> fotoni uno ad uno.
No. La prob. in mq e' tutt'altra storia. Non e' in realta' una struttura
probabilistica, come e' mostrato proprio dall'esistenza
dell'interferenza (non la diffrazione) nell'esper. delle due fenditure.
Non e' solo che non si sa (o non si puo' prevedere) dove passa il
fotone; e' che il fotone passa per entrambe le fenditure, pur senza
dividersi.
Naturalmente a questo punto siamo OT, ma la precisazione era necessaria.
misto fritto
> Io della logica fuzzy so poco piu' di quello che hai scritto. Solo per
> notizia, non per aprire una discussione, debbo dire che non ho mai
> capito che cosa possa avere di interessante.
il fatto che possa esprimere i concetti di "MOLTO", "POCO", in maniera
comprensibile ad un computer, e che un sistema fuzzy, interfacciato ad
una rete neurale, ha imparato a parcheggiare un camion con rimorchio
(cosa che fa anche la sola rete neurale), ma ha poi anche spiegato in
base a quali regole ha agito (cosa che la rete neurale non fa),
permettendo di valutare come apprendono le reti neurali.
ne' e' rislutato un insieme di regole "normali" come
"se il rimorchio e' a destra, gira a destra"
(che si puo' anche trasformare in "se il rimorchio e' MOLTO a destra,
gira MOLTO a destra, e similmente con poco)
ma anche altre a cui normalmente non si pensa, tipo
"se sei lontano dal parcheggio, vai verso il parcheggio"
"se sei lontano dal parcheggio, usa poco lo sterzo"
e via dicendo...
> No. La prob. in mq e' tutt'altra storia. Non e' in riffrealta' una
> struttura probabilistica, come e' mostrato proprio dall'esistenza
> dell'interferenza (non la diffrazione) nell'esper. delle due
> fenditure. Non e' solo che non si sa (o non si puo' prevedere) dove
> passa il fotone; e' che il fotone passa per entrambe le fenditure, pur
> senza dividersi.
che e' esattamente quello che significa il 0.5 di appartenenza. forse
non essendo un fisico, mi sono espresso male.
> Naturalmente a questo punto siamo OT, ma la precisazione era
> necessaria.
no, perche', stiamo sempre discutendo di logica, no?
Assunta Quarenghi
Mio padre si è accorto della passione per la matematica che mi è scoppiata
questa estate.
Essenzialmente perché pasticcio le formule sui margini delle riviste e perché
mi sono messa a consultare ( lui ha detto: devastare ) la sua biblioteca.
Mio padre fa il progettista di macchine.
Abbiamo parlato un po' di questo fatto della mia matematica.
Alla fine mi ha convinto che ho bisogno di studiare libri con metodo e con una
guida continua.
Mi ha detto che, " poiché siamo tutti dei nani, per guardare lontano dobbiamo
metterci sulle spalle dei giganti ". ( deve essere una frase detta da uno dei
suoi clienti )
Cioè prima di pensare di scoprire qualcosa, devo conoscere tutto quello che i
Grandi hanno già scoperto, e partire da lì.
Più ci penso e più questo mi sembra davvero giusto; ed io che già mi vedevo
genio matematico.
Allora voglio ringraziare te, che, pur sapendo perfettamente come stanno le
cose, non me lo ha detto, e mi ha fatto fare comunque parecchi giri sull'otto
volante. Pur avendo tu altre cose più serie da fare.
Mio padre mi ha anche detto che è normale che una ragazza della mia età si
innamori del proprio insegnante, soprattutto se virtuale. Anche qui: io che
pensavo di essere un po' speciale .
^__^
Incontrerò, al Liceo, altri professori come te?
Spero di poter, qualche volta, continuare ad utilizzarti ( la parola sembra
offensiva, ma tu sai che non è così: e a me pare quella giusta ).
Allora: Grazie!
PS ( rimanga tra noi ): ho trafugato dalla eterogenea biblioteca di mio padre
tutti i ( pochi ) libri di matematica esistenti, che adesso sono in camera
mia:
- Luigi Amerio, Analisi Matematica, Vol 1 e 2
- Luigi Amerio, Complementi di analisi Matematica
- Luigi Amerio, Equazioni differenziali alle derivate parziali (?)
- Vincenzo Manca, Logica Matematica ( questo libro deve essere stato comprato
per sbaglio, perché non è mai stato aperto )
- Angelo Gatti, Algebra delle matrici ( strano testo che somma e moltiplica le
tabelle tra loro )
- Paul Choen, La teoria degli insiemi e l'ipotesi del continuo ( sembra un
romanzo giallo )
- Umberto Forti, Trigonometria ( questo è un libro divertente sugli angoli di
triangoli rettangoli, con tante figure )
- G.H Hardy e E.M. Wright, Introduzione alla teoria dei numeri ( questo è un
libro che sembra una bomba )
Che ne dici?
In particolare il libro di Manca ( che pure è a Pisa e che forse tu conosci )
mi sembra interessante. Finora ho letto fino a pagina 20 e ho capito tutto.
Elio Fabri <fa...@df.unipi.it> wrote in message
3B9356F4...@df.unipi.it...
|
| Assunta ha scritto:
| > Io ci vedo:
| > S=1/3((n^2)(n+1)+1/2n(n+1)),
| > che forse è più bello scrivere come
| > S=1/3*n(n+1)(n+1/2)=1\6*n(n+1)(2n+1)
| Giusto, pero' non mi hai spiegato come hai fatto.
Il fatto è che è una cosa visiva.
Secondo la costruzione solida che hai suggerito, abbiamo una specie di
piramide di base n*n e di altezza n ( come un angolo di muro diroccato )
Se prendo 2 di queste piramidi e le incastro (con la seconda rovesciata),
formo un parallelepipedo di ingombro n,n,n+1
La terza piramide entra solo ( nello stesso ingombro ) se posso far
compenetrare alcuni cubetti.
I cubetti compenetrati sono 1 per il primo strato, 2 per il secondo etc
In tutto la somma dei primi n, cioè 1/2n(n+1).
I cubetti compenetrati contano 2 nel calcolo del volume
Il volume del parallelepipedo, considerando i cubetti compenetrati è
(n^2)(n+1)+1/2n(n+1).
Divido poi per 3.
....................
Se hai dimostrato per
| induzione, per esempio, che la somma dei quadrati e' n(n+1)(2n+1)/6,
| questo vuol dire la cosa seguente. Supponiamo che tu voglia trovare la
| somma dei quadrati fino a 100. Allora: parti da 1, e la somma fa 1. La
| dimostrazione per induzione ti assicura che percio' la formula va bene
| per n=2; poi ti assicura che va bene per n=3; ... proseguendo, in un
| numero *finito* di passi arrivi a dimostrare che va bene per n=100. E lo
| stesso per qualunque n che ti venga in mente.
D'accordo. Però non mi hai convinto.
Per farlo avresti dovuto anche dimostrare:
a - che non esiste nessun numero che abbia due successivi diversi
b - che non esiste nessun numero per cui il successivo sia uguale a qualche
suo precedente ( se no la dimostrazione si mette a girare ed esclude qualche
n )
c - che 1 sia il più piccolo numero intero
d - che tutti i numeri interi hanno almeno un successivo
e - che non esiste nessun numero senza un antecedente
e - forse altre cose ancora
Voglio però dirti che per "convincermi di non essere convinta" ci ho messo del
tempo.
| > Altro dubbio:
| > Se io dimostro:
| > a - che se un numero è verde anche il suo antecedente è verde
| > b - che più un numero è grande più tende al verde
| > ho dimostrato che tutti i numeri sono verdi?
| Direi proprio di no. In sostanza, stai tentando una "induzione
| all'indietro", ma sei stata costretta a introdurre un'espressione "tende
| a" ed e' quella che compromette tutto.
| Mi viene in mente un esempio, forse non molto appropriato: quando n e'
| grande, e' sempre piu' raro che sia primo. Vuol dire allora che non
| esistono numeri primi?
Per i numeri primi non si può dimostrare che se un numero è primo il suo
antecedente è primo.
Non mi viene nessun esempio per convincermi che l'indizione al contrario non
sia giusta; ovviamente ciò non significa che è giusta.
| Allora ti invito in un altro padiglione: sai che cos'e' un numero
| irrazionale? Conosci la storia di Pitagora e della diagonale del
| quadrato?
Quello che so è che la divisione tra due interi può generare soltanto numeri o
decimali o periodici ( detti frazionari o razionali ).
Siccome posso facilmente pensare ad un numero che non sia nè decimale nè
periodico ( es: 0,123456789101112131415 ... ) esistono numeri che non derivano
dalla divisione tra interi.
Questi numeri si chiamano irrazionali.
Quello che penso è che gli irrazionali siano di più degli interi.
Infatti se io cambio la prima cifra al numero di prima con tutti gli interi
0.22345... ; 0.32345... ; 0.42345 ... ) ottengo tanti numeri quanti sono gli
interi. Poi però posso pensarne di altri aggiuntivi ( esempio gli stessi
numeri senza la cifra 7 ) e posso farlo in infiniti modi. Anzi in
infiniti*infiniti*..etc ...*infiniti modi
I numeri razionali sono la punta piccolissima di un iceberg gigantesco.
Allora, se mi dici che la diagonale di un quadrato non è razionale, la cosa
non mi meraviglia. A furia di giocare con i razionali si doveva arrivare a
schizzare fuori. Non so pero dimostrarlo.
Per dimostrare che rad2 non è razionale bisognerebbe dimostrare che non
esisistono due interi AeB per cui (A^2/B^2)=2 oppure che non esiste una
frazione che è il doppio della sua inversa
A/B=2B/A
Mi sembra abbastanza difficile dimostrare che qualcosa non esiste.
Mi ricorda una gita scolastica in cui l'insegnante ha gridato " State zitti
perchè prima di partire devo scrivere i nomi di chi c'è ed i nomi di chi non
c'è !" Quel " nomi di chi non c'è " poteva inchiodarci lì ancora adesso.
| Pero' la prossima volta ti voglio raccontare di Archimede e del volume
| della sfera.
| --
| Elio Fabri
| Dip. di Fisica "Enrico Fermi" - Univ. di Pisa
| Sez. Astronomia e Astrofisica
| ------------------------------------
Assunta
Paola Pannuti
Paola
Elio Fabri
niente.
La rispsta su radice di 2 l'hai avuta, e posso solo proporti un
problemino appena un po' piu' difficile: dimostrare che se l'intero n
non e' un quadrato, la sua radice quadrata e' irrazionale.
> Alla fine mi ha convinto che ho bisogno di studiare libri con metodo e con una
> guida continua.
> Mi ha detto che, " poiché siamo tutti dei nani, per guardare lontano dobbiamo
> metterci sulle spalle dei giganti ". ( deve essere una frase detta da uno dei
> suoi clienti )
Io questa frase la conosco come attribuita a Newton, in una forma
leggermente diversa: "se ho visto piu' lontano di altri, e' perche'
stavo sulle spalle di giganti". E Newton non era precisamente un nano...
> Cioè prima di pensare di scoprire qualcosa, devo conoscere tutto quello che i
> Grandi hanno già scoperto, e partire da lì.
Questo e' sicuro, pero' guarda che c'e' anche il piacere di riscoprire
da se' le cose, anche se si sa che altri le hanno gia' scoperte, magari
2000 anni prima.
Tra l'altro, e' un esercizio utilissimo.
La guida ci vuole: ricordi quello che scrivevo in un post precedente,
circa il ruolo del tuo futuro prof? Non credere che sara' un ruolo
facile: dovra' darti stimoli per pensare da sola, e al tempo stesso
convincerti a studiare con metodo.
> Più ci penso e più questo mi sembra davvero giusto; ed io che già mi vedevo
> genio matematico.
Quanto al genio, se son rose fioriranno... Per ora divertiti.
I libri che mi citi non li conosco, ma sono ovviamente testi
universitari, tranne credo quello di Forti. Quello di Cohen dal titolo
potebbe anche essere un libro divulgativo.
Conosco invece di fama Hardy e Wright: e' un caposaldo nel campo della
teoria dei numeri, ma non l'ho mai letto, anche se un pezzo che mi
propongo di farlo.
Tra i vari campi della matematica, la teoria dei numeri ha un fascino
speciale, forse perche' porta a problemi anche assi difficili, molti
ancora non risolti, partendo da cose cosi' semplici come i numeri
interi. Per cui accade di poter enunciare problemi facilissimi da
capire, e forse insolubili.
Ne vuoi uno?
Ovviamente sai che cos'e' un numero primo, e accade che ci siano primi
che differiscono di due (si chiamano primi gemelli). Esempi: 3-5, 11-13,
107-109...
Domanda: le coppie di primi gemelli sono infinite? Credo che nessuno
ancora lo sappia.
Invece un problema alla tua portata e': perche' non esistono terne di
gemelli dopo 3-5-7? Per es. 11-13-15 non va, 107-109-111 neppure...
> D'accordo. Però non mi hai convinto.
> Per farlo avresti dovuto anche dimostrare:
> a - che non esiste nessun numero che abbia due successivi diversi
> b - che non esiste nessun numero per cui il successivo sia uguale a qualche
> suo precedente ( se no la dimostrazione si mette a girare ed esclude qualche
> n )
> c - che 1 sia il più piccolo numero intero
> d - che tutti i numeri interi hanno almeno un successivo
> e - che non esiste nessun numero senza un antecedente
> e - forse altre cose ancora
Va bene, ma davvero hai pensato queste cose da sola? Ci credo poco...
D'altra parte con tutti quei libri, gli assiomi di Peano li avrai visti
di certo: sono piu' o meno quelli che dici.
In sostanza: nessuno puo' "dimostrare" tutto, e in particolare non si
puo' dimostrare quelle a) ... e), senza partire da qualcos'altro. Ossia:
qualunque teoria matematica ha bisogno di assiomi (l'avevo gia' scritto,
mi pare). La scelta degli assiomi e' largamente arbitraria, in due
sensi:
1) A seconda di che assiomi prendi avrai teorie (pezzi di matematica)
diverse.
2) Anche per una stessa teoria (per es. l'aritmetica degli interi) puoi
scegliere assiomi diversi ma equivalenti, nel senso che gli assiomi del
sistema B si dimostrano a partire dal sistema A, e viceversa.
Da circa un secolo e' corrente fondare l'aritmetica sugli assiomi di
Peano.
Eccotene una versione:
a) 1 e' un numero
b) Per ogni numero n esiste un numero n', successore di n.
c) Per ogni n, n' e' diverso da 1.
d) Se m' = n' allora m = n.
e) Se P(n) e' una proprieta' definita sui numeri (in logica, si chiama
piu' esattamente "predicato") tale che:
- P(1) e' vera
- se P(n) e' vera, lo e' anche P(n+1)
allora P(n) e' vera per ogni n.
(Riconoscerai nel quinto assioma la legge d'induzione.)
Visto che non sono sicuro del tuo nome, ne' di dove vivi veramente,
supponiamo che tu viva a Cuneo: allora l'anno prossimo andresti in un
L.Sc. intitolato appunto a Giuseppe Peano, che infatti nacque a Cuneo
(ci sono stato).
Ad Ancona di L.Sc. ce ne saranno 3 o 4, ma non li conosco.
Si puo' anche includere nei numeri (naturali) lo 0: basta sostiuire
dovunque negli assiomi 0 al posto di 1. Le differenze si vedono dopo,
per es. quando si va a definire l'addizione. Ma mi fermo qui, perche'
voglio invece passare agli irrazionali.
> Quello che so è che la divisione tra due interi può generare soltanto numeri o
> decimali o periodici ( detti frazionari o razionali ).
> Siccome posso facilmente pensare ad un numero che non sia nè decimale nè
> periodico ( es: 0,123456789101112131415 ... ) esistono numeri che non derivano
> dalla divisione tra interi.
> Questi numeri si chiamano irrazionali.
Quello che scrivi va bene, ma ti faccio un'obiezione. Facendo cosi',
fondi l'idea degli irrazionali sulla rappresentazione decimale dei
numeri. Ora questa e' una scoperta relativamente tarda: era sconosciuta
ai greci antichi.
Per gli interi mi pare sia una scoperta della mat indiana, poi passata
agli arabi, e importata in Europa da Leonardo Fibonacci (pisano) di due
secoli piu' vecchio del piu' famoso Leonardo da Vinci.
Confesso pero' che non so quando sia stata introdotta, e da chi, la
rappr. decimale dei numeri non interi.
Viceversa, come abbiamo visto, gia' Pitagora, 2500 anni fa, conosceva
l'esistenza degli irrazionali, per la strada della diagonale del
quadrato ecc.
Fu uno choc per quel tempo: voleva dire che esistono infiniti segmenti
che non possono essere in rapporto razionale con uno dato (asymmetra, in
greco: non misurabili insieme).
> Quello che penso è che gli irrazionali siano di più degli interi.
> Infatti se io cambio la prima cifra al numero di prima con tutti gli interi
> 0.22345... ; 0.32345... ; 0.42345 ... ) ottengo tanti numeri quanti sono gli
> interi. Poi però posso pensarne di altri aggiuntivi ( esempio gli stessi
> numeri senza la cifra 7 ) e posso farlo in infiniti modi. Anzi in
> infiniti*infiniti*..etc ...*infiniti modi
> I numeri razionali sono la punta piccolissima di un iceberg gigantesco.
E i razionali sono di piu' degli interi, oppure no? Attenta al
trabocchetto...
Altra domanda: d'accordo, gli irrazionali sono molti di piu' degli
interi e dei razionali. Pero' se consideri per es. l'intervallo tra 0 e
1, quanti razionali ci sono? come sono distribuiti? Voglio dire: ci sono
dei "buchi"? E gli irrazionali?
Poi: gli interi sono infiniti, i razionali sono infiniti, gli
irrazionali anche: che vuol dire che questi sono di piu' di quelli?
> Mi sembra abbastanza difficile dimostrare che qualcosa non esiste.
E invece si puo': hai visto anche come.
La tecnica piu' comune e' appunto la dimostrazione per assurdo, sulla
quale ci sarebbe qualcosa da dire, ma per oggi ho scritto abbastanza...
Assunta Quarenghi
| Allora, ripartiamo dal tuo post di martedi', come se non fosse successo
| niente.
| La risposta su radice di 2 l'hai avuta, e posso solo proporti un
| problemino appena un po' piu' difficile: dimostrare che se l'intero n
| non e' un quadrato, la sua radice quadrata e' irrazionale.
Ho trovato sul libro la dimostrazione che se radn non è un intero è
irrazionale.
Inutile riscriverla qui, anche perchè, dopo che le hai capite, queste
dimostrazioni sembrano così semplici.
..........................
| Questo e' sicuro, pero' guarda che c'e' anche il piacere di riscoprire
| da se' le cose, anche se si sa che altri le hanno gia' scoperte, magari
| 2000 anni prima.
| Tra l'altro, e' un esercizio utilissimo.
Però così si va molto lentamente
| I libri che mi citi non li conosco, ma sono ovviamente testi
| universitari, tranne credo quello di Forti. Quello di Cohen dal titolo
| potebbe anche essere un libro divulgativo.
| Conosco invece di fama Hardy e Wright: e' un caposaldo nel campo della
| teoria dei numeri, ma non l'ho mai letto, anche se un pezzo che mi
| propongo di farlo.
Mi ha colpito che alcuni di questi testi universitari partono dichiarando che
non sono richieste precedenti conoscenze.
Chissà se è cosi?
| Ovviamente sai che cos'e' un numero primo, e accade che ci siano primi che
differiscono di due (si chiamano primi gemelli). Esempi: 3-5, 11-13,
107-109...
| Domanda: le coppie di primi gemelli sono infinite? Credo che nessuno ancora
lo sappia.
| Invece un problema alla tua portata e': perche' non esistono terne di
| gemelli dopo 3-5-7? Per es. 11-13-15 non va, 107-109-111 neppure...
Queste cose mi fanno morire!
Senti questa:
Divido il primo numero A della terna per 2,3,...,A-1.
Le divisioni daranno resti R2,R3,...,RA-1.
Questi resti non possono essere zero se A è primo
Divido il secondo numero della terna B=A+2 per 2,3, , B-1.
I resti di queste divisioni sono legati ai resti delle divisione di prima a
meno di +2.
I resti di B non devono essere 0 nè essere 2
I resti di C non devono essere 0, nè 2,nè 4
Perchè un numero possa essere il terzo termine di una serie continua di numeri
primi, i resti delle divisioni per 2,3, .. , C-1 non devono mai essere 0,2,4.
Questa proprietà vale solo per il numero 7
Perchè? Bo! Dimmi almeno se sono sulla buona strada.....
Parlando di B, perchè le coppie di gemelli siano infinite, si dovrebbe poter
dimostrare che dato un B ( secondo termine, ovvero un numero che diviso per
tutti gli interi suoi minori, non dia mai resto 0 nè 2 ) ne esiste almeno un
altro tra B e (B!+1)!+1 ( Congettura!)
(!=Fattoriale)
Siccome ho visto la dimostrazione che i numeri primi sono infiniti ( la cosa
più bella e fantastica che finora ho incontrato in matematica ) penso per
analogia ...
...........................
| E i razionali sono di piu' degli interi, oppure no? Attenta al
| trabocchetto...
| Altra domanda: d'accordo, gli irrazionali sono molti di piu' degli
| interi e dei razionali. Pero' se consideri per es. l'intervallo tra 0 e
| 1, quanti razionali ci sono? come sono distribuiti? Voglio dire: ci sono
| dei "buchi"? E gli irrazionali?
| | Poi: gli interi sono infiniti, i razionali sono infiniti, gli
| irrazionali anche: che vuol dire che questi sono di piu' di quelli?
|
Queste sono domande difficili, perchè non e giusto rispondere ad intuito;
bisogna andare con calma.
Questo lo dico perchè ho trovato la dimostrazione di Cantor che i numeri
razionali sono tanti quanti i numeri interi.
Cantor mette i naturali sulla prima riga e sulla prima colonna di una tabella
infinita.
Ogni cella della tabella è la frazione che deriva dai due naturali collegati.
Per contare le frazioni ci si mette a zigzagare partendo da 1,1, contando le
celle che si incontrano, concludendo che i naturali bastano per questa
operazione, ( "dunque quello dei razionali è un insieme numerabile, perché
ogni elemento di questo insieme può essere messo in corrispondenza biunivoca
con un elemento dell'insieme dei naturali")
Praticamente: tutte le volte che si hanno oggetti che si possono mettere in
fila, allora gli interi bastano a contarli.
Però io potrei anche contare le celle andando in orizzontale su una qualsiasi
riga, concludendo che i naturali si esauriscono nel contare le celle di una
riga e che quindi non bastano per tutte le righe, dimostrando il contrario. (o
no?)
Io potrei usare il metodo ( zig-zag) per mettere in fila tutti i punti di un
quadrato, e poi di cubo etc, e dire che i naturali bastano a contarli.
Allora posso dire che sia i punti di un segmento che i punti di un cubo a n
dimensioni sono della stessa numerosità ( la numerosità dei naturali ).
Questo mi sembra difficile da accettare.
Posso anche fare il gioco di Cantor solo con i numeri pari, creando 1/4 delle
frazioni possibili, ma arrivando allo stesso risultato e alla fine dire che
1/4 dei numeri razionali ha la stessa numerosità di tutti.
Queste conseguenze del lavoro di Cantor sembrano strane.
Cioè: se per disegnare una retta infinita consumo TUTTA una matita infinita,
come è possibile che la stessa matita mi possa bastare per disegnare infinite
rette?
Voglio dire una cosa che mi sembra importante: la dimostrazione presuppone
come verità un fatto non dimostrato; il fatto che il risultato del contare gli
oggetti di un insieme sia indipendente dall'ordine in cui conto. Questo può
non essere vero, soprattutto per insiemi infiniti. In effetti Cantor ha
dimostrato soltanto che esiste un modo di mettere in fila i razionali che mi
consente di contarli attraverso i naturali. Se un altro modo di ordinarli
portasse ad un risultato diverso ( come mi pare sia ) non si potrebbe
assegnare una precisa numerosità all'insieme dei razionali.
Cioè: se ho cento cubetti di Lego e posso farci una casetta, non è giusto dire
che quei cubetti corrispondono precisamente ad una casetta, perché posso farci
anche un aeroplano. Se mi capitano in mano sotto forma di aeroplano non ho più
le proprietà della casetta.
La dimostrazione di Cantor non mi convince.
...
| --
| Elio Fabri
| Dip. di Fisica "Enrico Fermi" - Univ. di Pisa
| Sez. Astronomia e Astrofisica
| ------------------------------------
|
Ciao
Assunta
Elio Fabri
> che non sono richieste precedenti conoscenze.
Si' e no.
Penso che intendano dire che non occorre un bagaglio di nozioni
(esempio: saper fare integrali e derivate, conoscere i numeri
complessi...).
Specialmente certi argomenti, come la teoria dei numeri, si costruiscono
a partire da nozioni assai elementari.
Pero' dico anche no, nel senso che se non occorrono nozioni, occorre
cultura, maturita', capacita' di ragionamento. Anche queste cose si
acquisiscono col tempo e con lo studio.
Senza contare che la conoscenza di certe tecniche aiuta e come: idee
come l'induzione, o il procedimento diagonale di Cantor, fa molto comodo
trovarle gia' pronte.
Del resto, se fosse del tutto vero, non si capirebbe perche' tanti
risultati della matematica abbiano richiesto secoli; perche' cose che
oggi ci sembrano quasi evidenti abbiano fatto faticare delle grandi
menti. Come vedi, e' di nuovo il discorso "sulle spalle di giganti"...
> Divido il primo numero A della terna per 2,3,...,A-1.
> ...
> Questa proprieta' vale solo per il numero 7
> Perche'? Bo! Dimmi almeno se sono sulla buona strada.....
Secondo me hai preso una strada piu' complicata del necessario. Non ti
do la soluzione, ma un "aiutino" :)
In quelle terne, che cos'e' che guasta tutto? Voglio dire, il numero che
non e' primo, perche' non lo e'? Evidentemente perche' ha dei divisori:
guarda li'...
> Parlando di B, perche' le coppie di gemelli siano infinite, si dovrebbe
> poter dimostrare che dato un B (secondo termine, ovvero un numero che diviso
> per tutti gli interi suoi minori, non dia mai resto 0 ne' 2) ne esiste
> almeno un altro tra B e (B!+1)!+1 (Congettura!)
Non ho mica capito! Perche' tutti quei fattoriali? Devi avere avuto
un'idea che non hai spiegato.
> Siccome ho visto la dimostrazione che i numeri primi sono infiniti (la cosa
> piu' bella e fantastica che finora ho incontrato in matematica) penso per
> analogia ...
Sai anche chi l'ha data? quanto tempo fa?
Le analogie sono uno strumento euristico pericoloso: a volte aiutano, ma
spesso traggono in inganno. Anche qui vale quanto dicevo sopra: saper
usare le analogie, "fiutare" quelle utili e quelle no, e' cosa che
s'impara...
> Questo lo dico perche' ho trovato la dimostrazione di Cantor che i numeri
> razionali sono tanti quanti i numeri interi.
Ho capito: debbo alzare il livello, se no finisce che ti annoio :-))
> Cantor mette i naturali sulla prima riga e sulla prima colonna di una
> tabella infinita.
> ...
> Pero' io potrei anche contare le celle andando in orizzontale su una
> qualsiasi riga, concludendo che i naturali si esauriscono nel contare le
> celle di una riga e che quindi non bastano per tutte le righe, dimostrando
> il contrario. (o no?)
Ora andiamo davvero sul difficile ... piu' o meno al confine di quello
che so sull'argomento...
Il problema che poni ha a che fare con la distinzione fra cardinali e
ordinali, che nel campo finito non da' problemi, mentre nell'infinito ne
da' un sacco.
Il ragionamento di Cantor che riporti riguarda la cardinalita' di un
insieme, o in altre parole il suo numero cardinale.
Questo, in parole molto povere, risponde alla domanda: "quanti sono gli
elementi di questo insieme"?
Nota che nel caso di insiemi finiti e piccoli non e' detto che occorra
contarli: se metto 4 mele sul tavolo tu vedi subito che sono 4, senza
bisogno di fare "una, due, tre, quattro". Invece un bambino piccolo non
ci arriva.
Tu fino a che numero arrivi senza contare?
Naturalmente l'esempio e' abbastanza fuori luogo, perche' ha a che fare
con la psicologia cognitiva, non con la matematica. Pero' e' il punto di
partenza per distinguere cardinale e ordinale. Se ti metti a contare,
assegnando un ordine a ciascun elemento dell'insieme, il numero d'ordine
dell'ultimo elemento e' il numero ordinale di questo ordinamento per
quel particolare insieme.
Ora si dimostra che per un insieme finito il numero cosi' ottenuto non
dipende dall'ordinamento, e coincide col numero cardinale. (La
dimostrazione non la so.)
Ma per insiemi infiniti e' tutto diverso: un insieme infinito ha un
preciso numero cardinale, ma puo' avere infiniti ordinali, a seconda
dell'ordinamento che si sceglie.
La tua obiezione e' proprio la prova di questo: hai un insieme
numerabile (i razionali) e lo ordini mettendo in una riga quelli che
hanno 1 a numeratore, in una seconda riga quelli che hanno 2, ecc.
Questo ordimamento e' diverso da quello che ottieni con la lettura in
diagonale.
Per informazione: l'ordinale degli interi ordinati al modo solito si
chiama omega; quello che costruisci con la tabella e' omega^2.
La mia conoscenza degli ordinali transfiniti arriva piu' o meno qui.
Il concetto di numero cardinale e' tutto sommato piu' semplice: due
insiemi hanno la stessa cardinalita' se e' possibile metterli in
corrispondenza biunivoca (si dice anche "uno a uno", oppure
"biiettiva").
Quello che fa Cantor e' appunto esibire una corrispondenza biunivoca fra
interi e razionali.
> Posso anche fare il gioco di Cantor solo con i numeri pari, creando 1/4
> delle frazioni possibili, ma arrivando allo stesso risultato e alla fine
> dire che 1/4 dei numeri razionali ha la stessa numerosita' di tutti.
Certo: puoi anche dire che gli interi pari, o i multipli di 1234, o i
quadrati degli interi, hanno la stessa cardinalita' degli interi.
Il fatto e' che un insieme infinito puo' essere messo in corrisp.
biunivoca con una sua parte propria (una parte che non e' il tutto).
> Queste conseguenze del lavoro di Cantor sembrano strane.
Sicuro, e non credere che siano state accettate subito e pacificamente!
Ce ne sono anche altre, ben piu' strane: vedi fra poco.
> Io potrei usare il metodo (zig-zag) per mettere in fila tutti i punti di un
> quadrato, e poi di cubo etc, e dire che i naturali bastano a contarli.
Davvero? Hai scritto sopra che non bisogna andare a intuito. Qui stai
proprio usando l'intuito, e sbagli.
Forse in qualcuno dei tuoi libri avrai trovato la dimostrazione, sempre
di Cantor, che i numeri reali di un intervallo (e quindi i punti di un
segmento) non sono numerabili: hanno una cardinalita' maggiore, che si
chiama "del continuo".
Se non la trovi, magari te la racconto.
Un problema che mi pare sia stato risolto (negativamente) piuttosto di
recente e': esistono cardinali maggiori del numerabile e minori del
continuo? E nota che quando dico "risolto" sono molto impreciso: dovrei
dire "in base a una precisa assiomatica della teoria degli insiemi". Ma
ne so poco...
Ma la cosa piu' sconcertante e' che invece hai ragione per il quadrato:
i punti di un segmento e quelli di un quadrato hanno lo stesso numero
cardinale: il continuo. E anche un cubo, ecc.
Ma per dimostrarlo ci vuole un trucchetto un po' piu' sofisticato del
semplice procedimento diagonale, visto che non puoi fare una tabella che
metta in fila tutti i numeri reali.
(A proposito: qui abbiamo fatto un salto. Eravamo rimasti a parlare di
irrazionali, ed e' facile dire che l'insieme di razionali e irrazionali
forma i reali. Ma quali sono gli irrazionali? Come sono definiti? Non
basta dire che un particolare numero (es. radice di 2) e' irrazionale:
la domanda e' come si fa a trovare *tutti* gli irrazionali. Lo sai?
Ma allora nasce un problema: un segmento ha una dimensione, un quadrato
due, un cubo tre: come possono avere la stessa cardinalita'? Forse il
numero di dimensioni non ha a che fare solo con la cardinalita'? forse
e' una proprieta' di natura completamente diversa?
La risposta la so (almeno questa ;-) ) ma per ora non te la dico, e non
so se sia il caso di entrare in questo genere di questioni. Per due
motivi: 1) non voglio farti fare indigestione 2) ci sono tante altre
parti della matematica, non meno belle e non meno importanti, e per di
piu' un po' piu' vicine a quello che dovrai studiare al Liceo, quindi
per te piu' utili.
> La dimostrazione di Cantor non mi convince.
Forse ora hai capito meglio che cosa c'e' sotto?
Assunta Quarenghi
misto fritto <fr...@chicken.org> wrote in message
13884901....@tin.it...
| limitatamente all'appartenenza ad un insieme, si puo' avere questo caso
| per definizione, dato
| mu(X, x) = p
| allora
| mu (non-X, x) = 1 - p
| dato a appartenente ad A con valore 0.5,
| mu(A, a) = 0.5
| esso appartiene all'insieme non-A con valore
| mu(non-A, a) = 1 - mu(A, a) = 0.5
| ed e' quindi
| mu(A, a) = mu(non-A, a)
Mi sembra di capire che per te "p" non è una probabilità, ma una frazione di
verità.
Non è che dici che x appartiene all'insieme con probabilità p, nemmeno che una
parte p di x appartiene a X, ma che è vero fino ad un certo punto che x è in
X.
Hai ragione!
Mi ricorda il disagio che ho provo a vedere certi film americani dove c'è
l'avvocato che chiede al testimone " E' vero che lei ha visto il tizio .... "
e l'altro risponde "be' in effetti, quasi, .. ...." e l'avvocato lo riprende
"Risponda solo si o no!"
Il disagio deriva dal fatto che non è corretto dire "risponda solo si o no".
Mi meraviglia sempre che il giudice non lo dica all'avvocato.
L'altro dovrebbe poter rispondere, ad esempio "si al 75 per cento".
E' questo che stai dicendo? Oltre al si ed al no, alla domanda "è vero
che...." introduci il ni?
Questa è una nuova matematica.
Assunta
Assunta Quarenghi
| Secondo me hai preso una strada piu' complicata del necessario. Non ti do la
soluzione, ma un "aiutino" :)
| In quelle terne, che cos'e' che guasta tutto? Voglio dire, il numero che non
e' primo, perche' non lo e'? Evidentemente perche' ha dei divisori:
| guarda li'...
Grazie dell'aiutino: ho guardato lì.
Se prendo qualsiasi terna di numeri n, n+2,n+4, uno di questi tre numeri ha
certo come divisore 3.
Basta provare a metterli su una retta e spostare un treno di gruppi di tre
unità. Questo vale anche per 3,5,7, ma che 3 sia divisibile per 3 non esce
dalla definizione di numero primo.
Quindi non esistono tre numeri primi " consecutivi ", a meno di 3,5,7
L'altra strada era però più promettente per il problema dell'infinità dei
primi gemelli.
Ti faccio sapere
| > Siccome ho visto la dimostrazione che i numeri primi sono infiniti (la
cosa piu' bella e fantastica che finora ho incontrato in matematica) penso per
analogia ...
| Sai anche chi l'ha data? quanto tempo fa?
No. forse: Elio Fabri?
..............................
| la domanda e' come si fa a trovare *tutti* gli irrazionali. Lo sai?
No, però penso questo:
( Sto pensando i numeri nella rappresentazione decimale e so che non è
corretto, come già mi hai detto, perchè quello che dico deve poi essere
dimostrato vero in tutte le rappresentazioni ).
Comunque...
per ottenere numeri periodici con antiperiodi o periodi molto lunghi devo fare
il rapporto con interi molto grandi.
Se un periodo è lunghissimo il numero razionale si confonde con un
irrazionale, perchè sembra che niente si ripeta.
Allora per fare un irrazionale bisogna fare il rapporto tra due nu
Posso dire che gli irrazionali sono i razionali che hanno visto il confine con
l'infinito ? Sono il rapporto tra due numeri infiniti, anche se ho visto in
altre discussioni sul NG che non esiste il numero " infinito ". Forse si deve
dire quasi infiniti?
Matematicamente ho detto poco, lo so.
| > La dimostrazione di Cantor non mi convince.
| Forse ora hai capito meglio che cosa c'e' sotto?
Alla fine le domande sono:
- Esiste un modo di ordinare i razionali in modo che risultano tutti contabili
attraverso gli interi? SI ( dimostrazione di Cantor )
- Il risultato del contare è indipendente dall'ordine dei razionali? NO
- Per contare i razionali bastano sempre gli interi ? NI
Questo "NI" ha la forma di un candelotto di dinamite e bisognerebbe buttarlo
subito via prima che ci distrugga tutto il castello.
Però, se non ti spiace mi piacerebbe prima fare un invito:
MISTO FRITTO, perchè non vieni a fare un giro qui? Porta nello zainetto la tua
logica Fuzzi, che proviamo a lasciarla libera in questo padiglione e vediamo
su che otto volante ci porta.
| --
| Elio Fabri
| Dip. di Fisica "Enrico Fermi" - Univ. di Pisa
| Sez. Astronomia e Astrofisica
| ------------------------------------
Assunta
Elio Fabri
> il fatto che possa esprimere i concetti di "MOLTO", "POCO", in maniera
> comprensibile ad un computer, e che un sistema fuzzy, interfacciato ad
Prima di tutto, scusa il ritardo: avevo perso il flag.
Si', so di queste applicazioni, ma non era il mio punto.
In ultima analisi si sta solo dicendo che invece di lavorare con scelte
binarie (si'-no) si debbono dare dei gradi, ossia descrivere il problema
in modo analogico.
Non mi riesce di capire dove sarebbe la scoperta.
Ho visto spesso fare l'esempio del termostato: di solito lavorano
asseso/spento, a seconda che la temperatura misurata dal sensore sia
sotto o sopra una certa soglia. E' ovvio che se si realizza un sistema
capace di graduare l'intesita' della fiamma in funzione della
temperatura, si ottiene una regolazione piu' dolce, e con meno
escursioni. Lo si fa da decenni, forse non nei sistemi di riscaldamento,
ma in tanti altri casi...
>> No. La prob. in mq e' tutt'altra storia. Non e' in riffrealta' una
>> struttura probabilistica, come e' mostrato proprio dall'esistenza
>> dell'interferenza (non la diffrazione) nell'esper. delle due
>> fenditure. Non e' solo che non si sa (o non si puo' prevedere) dove
>> passa il fotone; e' che il fotone passa per entrambe le fenditure, pur
>> senza dividersi.
> che e' esattamente quello che significa il 0.5 di appartenenza. forse
> non essendo un fisico, mi sono espresso male.
Non vorrei sembrarti pedante, ma non e' affatto la stessa cosa: forse
dovresti capire le meglio la mq, per vedere la differenza.
Ho parlato d'interferenza: il fatto che le due fenditure siano aprete fa
si' che sullo sce=hermo posto a valle ci siano punti dove il fotone *non
puo'* arrivare, mentre ci arriva (con una certa prob.) quando una sola
fenditura e' aperta.
Nessun argomento probabilistico puo' spiegare le frange d'interferenza.
Percio' logica fuzzy e mq non hanno niente a che vedere.
misto fritto
> Non mi riesce di capire dove sarebbe la scoperta.
la scoperta e' che i sistemi fuzzy sono intrinsecamente non-lineari, e
sono anche molto semplici da realizzare e capire.
sicuramente si possono replicare i comportamenti di sistemi fuzzy, che
sono non lineari, con insiemi di sensori normali, ma sicuramente con
piu' complessita.
inoltre i sistemi fuzzy riescono a gestire anche il fuori scala senza
bisogno di particolari accorgimenti.
dubito che questo si possa ottenere in maniera semplice come con un
sistema fuzzy, usando sistemi normali.
in piu', essendo regolato da leggi "generiche", e non da equazioni, ha
risposte ottimali anche nel caso le condizioni d'esercizio siano
diverse da quelle previste
non so se conosci il funzionamento dei sistemi di insiemi fuzzy.
probabilmente no, oppure non hai mai riflettuto sul loro utilizzo a
fondo. sarebbe troppo lungo da spiegare qui, per cui ti rimando a
http://www.doc.ic.ac.uk/~nd/surprise_96/journal/vol2/sbaa/article2.html
per una esposizione chiara e a
http://www.faqs.org/faqs/fuzzy-logic/part1/
per domande + specifiche
[...]
> Non vorrei sembrarti pedante, ma non e' affatto la stessa cosa: forse
> dovresti capire le meglio la mq, per vedere la differenza.
be' fino agli elettroni ci arrivo: dato che la f. d'onda che
rappresenta un elettrone "diffonde" attraverso le fenditure, il fronte
di probabilita' di trovarlo sullo schermo ha massimi nelle posizioni
delle frange di interferenza chiare, e dei minimi in quelle scure
> Ho parlato d'interferenza: il fatto che le due fenditure siano aprete
> fa si' che sullo schermo posto a valle ci siano punti dove il fotone
> *non puo'* arrivare, mentre ci arriva (con una certa prob.) quando una
> sola fenditura e' aperta.
e questo e' sacrosanto
> Nessun argomento probabilistico puo' spiegare le frange
> d'interferenza. Percio' logica fuzzy e mq non hanno niente a che
> vedere.
e scusa se ora pedante lo sono io, la probabilita' non ha nulla a che
vedere con la logica fuzzy. dire che il fotone appartiene 0.5
all'insieme dei fotoni passati per A e per lo stesso valore di quelli
passati per B significa che e' "passato per entrambe" ed e' quello che
ha fatto la sua f. d'onda, o no? e che e' impossibile dire da quale sia
passato,
spero di chiarirti il concetto con un esempio: riempi un bicchiere da
20 ml con 10 ml di vino e 10 ml di acqua (trascurando per un attimo che
la somma e' < di 20ml) e agitando. esamina una goccia: e' per 0.5
appartenente all'insieme acqua e 0.5 all'insieme vino, e dove sarebbe
la probabilita'? abbiamo solo informazioni sulla goccia, e sulla sua
composizione. Sappiamo che non e' ne' acqua ne' vino, ma entrambi
in pari quantita'
spero di essere stato chiaro
?manu*
> Cantor mette i naturali sulla prima riga e sulla prima colonna di una tabella
> infinita.
> Ogni cella della tabella č la frazione che deriva dai due naturali collegati.
> Per contare le frazioni ci si mette a zigzagare partendo da 1,1, contando le
> celle che si incontrano, concludendo che i naturali bastano per questa
> operazione, ( "dunque quello dei razionali č un insieme numerabile, perché
> ogni elemento di questo insieme puň essere messo in corrispondenza biunivoca
> con un elemento dell'insieme dei naturali")
Beh, per essere pignoli questa corrispondenza non e' biunivoca perche'
nell'elenco ogni razionale compare piu' di una volta (infinite, per la
verita'). Dunque hai solo dimostrato che i razionali sono piu' dei
naturali. D'altra parte e' ovvio che i naturali sono meno dei razionali
e QUINDI si deduce che hanno la stessa cardinalita'. Il QUINDI
sembrerebbe intuitivo ma non lo e' affatto, e' invece un bel teorema!
> Praticamente: tutte le volte che si hanno oggetti che si possono mettere in
> fila, allora gli interi bastano a contarli.
> Perň io potrei anche contare le celle andando in orizzontale su una qualsiasi
> riga, concludendo che i naturali si esauriscono nel contare le celle di una
> riga e che quindi non bastano per tutte le righe, dimostrando il contrario. (o
> no?)
No! Tutti gli insiemi infiniti hanno una biezione con una loro parte
propria. Questa e' una possibile definizione di insieme infinito. Non e'
detto che ogni elenco infinito di razionali comprenda tutti i razionali
sebbene l'elenco sia lungo tanto quanto l'intero insieme dei razionali.
Questa e' il "paradosso" che sta alla base degli insiemi infiniti.
ciao,
Em.
?manu*
> Un problema che mi pare sia stato risolto (negativamente) piuttosto di
> recente e': esistono cardinali maggiori del numerabile e minori del
> continuo? E nota che quando dico "risolto" sono molto impreciso: dovrei
> dire "in base a una precisa assiomatica della teoria degli insiemi". Ma
> ne so poco...
Il problema e' stato risolto nel senso che si dimostra che e'
indecidibile!
ciao,
Em.
Elio Fabri
> Il problema e' stato risolto nel senso che si dimostra che e'
> indecidibile!
so poco :-)
Dire che e' indecidibile significa che si puo' aggiungere agli assiomi
sia l'esistenza di un cardinale interemdio, sia la sua inesistenza,
senza avere contraddizioni. Non ho pero' la piu' pallida idea di come si
possano dimostrare cose del genere...
misto fritto
> Dire che e' indecidibile significa che si puo' aggiungere agli assiomi
> sia l'esistenza di un cardinale interemdio, sia la sua inesistenza,
> senza avere contraddizioni. Non ho pero' la piu' pallida idea di come
> si possano dimostrare cose del genere...
uno e' imporre che, oltre alla condizione A implica B classica (non-A
oppure B), debba valere anche questa: se A e' indecidibile, allora B e'
indecidibile. Da notare che questo non vieta che B sia vero o falso per
altri motivi, e che la sua falsita'/verita' non ha alcun effetto su A
pero' si ha comunque il caso in cui A risulta vero e B indecidibile (da
altre relazioni). si dovrebbe allora porre un altro termine intermedio,
e un'altro ancora, e via dicendo.... da cui l'idea delle logiche a
valori continui, che non necessitano di imposizioni come quella sopra
Vittorio Barone Adesi
manu ha scritto:
>
> Il problema e' stato risolto nel senso che si dimostra che e'
> indecidibile
potresti, per favore, citare qualche referenza?
In realta' non interessa a me, ma a una persona che conosco.
Saluti e grazie
Vittorio
---------------------------------------------
Interesting sites:
http://www-toys.science.unitn.it/laboratorio
http://www.science.unitn.it/~adesi
http://www.borntowalk.com
http://www.physics.it
---------------------------------------------
Elio Fabri
> uno e' imporre che, oltre alla condizione A implica B classica (non-A
> oppure B), debba valere anche questa: se A e' indecidibile, allora B e'
> indecidibile. Da notare che questo non vieta che B sia vero o falso per
> altri motivi, e che la sua falsita'/verita' non ha alcun effetto su A
>
> pero' si ha comunque il caso in cui A risulta vero e B indecidibile (da
> altre relazioni). si dovrebbe allora porre un altro termine intermedio,
> e un'altro ancora, e via dicendo.... da cui l'idea delle logiche a
> valori continui, che non necessitano di imposizioni come quella sopra
Mi dispiace, ma non ho capito una parola. Colpa mia, sicuramente...
?manu*
> Ciao Manu,
> manu ha scritto:
>
> > Il problema e' stato risolto nel senso che si dimostra che e'
> > indecidibile
>
> potresti, per favore, citare qualche referenza?
No mi dispiace, non conosco referenze a riguardo.
Emanuele
Giorgio Bibbiani
[cut]
> > Il problema e' stato risolto nel senso che si dimostra che e'
> > indecidibile
>
> potresti, per favore, citare qualche referenza?
Credo che l'autore della dimostrazione sia il matematico statunitense Paul
Cohen, c'e' anche qualcosa alla voce "The Continuum Hypothesis" delle
Sci.Math FAQ all'indirizzo:
http://www.cs.unb.ca/~alopez-o/math-faq/math-faq.html
Ciao
--
Giorgio Bibbiani
Per rispondere togliere la h nell'indirizzo e-mail.
MS
La questione della indecidibilita' dell'ipotesi del continuo (di cio'
si tratta) e' stato proprio dimostrata da Cohen (1958 circa, credo),
ed e' trattata in uno dei libri che Assunta dice di aver trovato in
casa, scritto dallo stesso Cohen. Anch'io l'ho ("La teor. degli
insiemi e l'ipotesi del continuo" vecchia ed. Feltrinelli, quando
pubblicava roba di questo tipo) e non e' affatto "divulgativo". E'
piuttosto tecnico e difficile, se non sei del ramo. Infatti non l'ho
mai letto, pur essendo un matematico (ma con altri interessi).
Non capisco perche' Assunta dica che "sembra un romanzo giallo",
pero'. Solo a sfogliarlo si ha subito la sensazione di un testo di
matematica "dura".
Saluti.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Riporto da un post dell'Assunta:
PS ( rimanga tra noi ): ho trafugato dalla eterogenea biblioteca di
mio padre
tutti i ( pochi ) libri di matematica esistenti, che adesso sono in
camera
mia:
- Luigi Amerio, Analisi Matematica, Vol 1 e 2
- Luigi Amerio, Complementi di analisi Matematica
- Luigi Amerio, Equazioni differenziali alle derivate parziali (?)
- Vincenzo Manca, Logica Matematica ( questo libro deve essere stato
comprato
per sbaglio, perché non è mai stato aperto )
- Angelo Gatti, Algebra delle matrici ( strano testo che somma e
moltiplica le
tabelle tra loro )
- Paul Choen, La teoria degli insiemi e l'ipotesi del continuo (
sembra un
romanzo giallo )
- Umberto Forti, Trigonometria ( questo è un libro divertente sugli
angoli di
triangoli rettangoli, con tante figure )
- G.H Hardy e E.M. Wright, Introduzione alla teoria dei numeri (
questo è un
libro che sembra una bomba )
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Vittorio Barone Adesi
MS ha scritto:
> La questione della indecidibilita' dell'ipotesi del continuo (di cio'
> si tratta) e' stato proprio dimostrata da Cohen (1958 circa, credo),
> ed e' trattata in uno dei libri che Assunta dice di aver trovato in
> casa, scritto dallo stesso Cohen. Anch'io l'ho ("La teor. degli
> insiemi e l'ipotesi del continuo" vecchia ed. Feltrinelli, quando
> pubblicava roba di questo tipo) e non e' affatto "divulgativo". E'
> piuttosto tecnico e difficile, se non sei del ramo. Infatti non l'ho
> mai letto, pur essendo un matematico (ma con altri interessi).
>
> Non capisco perche' Assunta dica che "sembra un romanzo giallo",
> pero'. Solo a sfogliarlo si ha subito la sensazione di un testo di
> matematica "dura".
>
> Saluti.
in effetti non sono del ramo.
Grazie per l'avvertimento.
saluti
Vittorio Barone Adesi
> Credo che l'autore della dimostrazione sia il matematico statunitense Paul
> Cohen, c'e' anche qualcosa alla voce "The Continuum Hypothesis" delle
> Sci.Math FAQ all'indirizzo:
> http://www.cs.unb.ca/~alopez-o/math-faq/math-faq.html
>
> Ciao
> --
grazie
Vittorio
> Giorgio Bibbiani
Daniele 'Dalamar' S.
Ciao. Credo ci sia un articolo divulgativo dello stesso
Cohen sul primo numero di 'Le scienze'. Deve essere del 1968
o giů di lě.
Ciao, Daniele S.