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Perche' negli integrali si mette sempre il dx ????
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radica...@gmail.com
Jun 26, 2012, 6:06:38 AM6/26/12
to
Ossia :
se, data una f(x), io voglio trovare una funzione
F(x) tale che F'(x) = f(x) , e questa operazione di "trovarla"
la chiamo "integrare la f(x)", perche' devo per forza scrivere
F(x) = Integrale di f(x) * dx ? Che c' entra il dx ? A che
serve ?
Scusate, se io scrivo Integrale di f(x) * dx PARE che devo
trovare la F(x) non di f(x), ma di un' ALTRA funzione
f(x) * dx che dipende a questo punto da DUE variabili x e
dx, non piu' solo dalla x.
Grazie.
se, data una f(x), io voglio trovare una funzione
F(x) tale che F'(x) = f(x) , e questa operazione di "trovarla"
la chiamo "integrare la f(x)", perche' devo per forza scrivere
F(x) = Integrale di f(x) * dx ? Che c' entra il dx ? A che
serve ?
Scusate, se io scrivo Integrale di f(x) * dx PARE che devo
trovare la F(x) non di f(x), ma di un' ALTRA funzione
f(x) * dx che dipende a questo punto da DUE variabili x e
dx, non piu' solo dalla x.
Grazie.
cometa_luminosa
Jun 26, 2012, 6:36:37 AM6/26/12
to
dell'integrale di Riemann come limite delle somme:
Sommatoria[i=1,n] f(x_i)*Delta(x)x
dove: Delta(x) = x_(i+1) - x_i
E' utile fintanto che ci si limita all'integrale di Riemann, per
l'appunto. Con l'integrale di Lebesgue invece bisogna sapere qualcosa
di piu', per evitare di confondersi.
--
cometa_luminosa
cometa_luminosa
Jun 26, 2012, 6:50:12 AM6/26/12
to
On Jun 26, 12:36 pm, cometa_luminosa <alberto.r...@virgilio.it> wrote:
> Sommatoria[i=1,n] f(x_i)*Delta(x)x
c'e' una x di troppo dopo Delta(x).
> Sommatoria[i=1,n] f(x_i)*Delta(x)x
c'e' una x di troppo dopo Delta(x).
radica...@gmail.com
Jun 26, 2012, 6:53:43 AM6/26/12
to
1) perche' e' utile ?
2) se io scrivo F(x) = Integrale di f(x)dx , non sembra che
devo trovare la primitiva della f(x)dx e non della f(x) ?
Questa cosa mi confonde. Terribilmente.
Archaeopteryx
Jun 26, 2012, 12:27:34 PM6/26/12
to
Non ti basta l'integrazione per parti? :)
BlueRay
Jun 26, 2012, 1:31:29 PM6/26/12
to
On 26 Giu, 12:53, radicale....@gmail.com wrote:
> Il giorno martedì 26 giugno 2012 12:36:37 UTC+2, cometa_luminosa ha scritto:
>
>
>
>
>
>
>
>
>
> > On Jun 26, 12:06 pm, radicale....@gmail.com wrote:
> > > Ossia :
> > > se, data una f(x), io voglio trovare una funzione
> > > F(x) tale che F'(x) = f(x) , e questa operazione di "trovarla"
> > > la chiamo "integrare la f(x)", perche' devo per forza scrivere
> > > F(x) = Integrale di f(x) * dx ? Che c' entra il dx ? A che
> > > serve ?
>
> > > Scusate, se io scrivo Integrale di f(x) * dx PARE che devo
> > > trovare la F(x) non di f(x), ma di un' ALTRA funzione
> > > f(x) * dx che dipende a questo punto da DUE variabili x e
> > > dx, non piu' solo dalla x.
>
> > E' una notazione che fa parte del retaggio della derivazione
> > dell'integrale di Riemann come limite delle somme:
> > Sommatoria[i=1,n] f(x_i)*Delta(x)x
> > dove: Delta(x) = x_(i+1) - x_i
> > E' utile fintanto che ci si limita all'integrale di Riemann, per
> > l'appunto. Con l'integrale di Lebesgue invece bisogna sapere qualcosa
> > di piu', per evitare di confondersi.
>
> Due domande :
> 1) perche' e' utile ?
Perche' si capisce cos'e' l'operazione.
> Il giorno martedì 26 giugno 2012 12:36:37 UTC+2, cometa_luminosa ha scritto:
>
>
>
>
>
>
>
>
>
> > On Jun 26, 12:06 pm, radicale....@gmail.com wrote:
> > > Ossia :
> > > se, data una f(x), io voglio trovare una funzione
> > > F(x) tale che F'(x) = f(x) , e questa operazione di "trovarla"
> > > la chiamo "integrare la f(x)", perche' devo per forza scrivere
> > > F(x) = Integrale di f(x) * dx ? Che c' entra il dx ? A che
> > > serve ?
>
> > > Scusate, se io scrivo Integrale di f(x) * dx PARE che devo
> > > trovare la F(x) non di f(x), ma di un' ALTRA funzione
> > > f(x) * dx che dipende a questo punto da DUE variabili x e
> > > dx, non piu' solo dalla x.
>
> > E' una notazione che fa parte del retaggio della derivazione
> > dell'integrale di Riemann come limite delle somme:
> > Sommatoria[i=1,n] f(x_i)*Delta(x)x
> > dove: Delta(x) = x_(i+1) - x_i
> > E' utile fintanto che ci si limita all'integrale di Riemann, per
> > l'appunto. Con l'integrale di Lebesgue invece bisogna sapere qualcosa
> > di piu', per evitare di confondersi.
>
> Due domande :
> 1) perche' e' utile ?
> 2) se io scrivo F(x) = Integrale di f(x)dx , non sembra che
> devo trovare la primitiva della f(x)dx e non della f(x) ?
> Questa cosa mi confonde. Terribilmente.
studiati gli integrali? :-)
La funzione integrale si scrive cosi':
F(x) = Integrale[a;x] f(t)dt
dove a e' un opportuno valore all'interno del dominio di integrazione.
--
BlueRay = cometa_luminosa
AndreaM
Jun 26, 2012, 6:24:37 PM6/26/12
to
Uno è l'integrale definito, cioè il calcolo di un'area.
L'altro è l'integrale indefinito, cioè la determinazione delle
primitive.
La notazione dell'integrale col dx è propria del primo integrale ed è
un'ombra del metodo teorico di calcolo (portare al limite una
sommatoria).
Il fatto che la medesima notazione si usi anche per il secondo
integrale non è altro che una scorciatoia autorizzata dal Teorema
Fondamentale del calcolo che dice che la funzione integrale è una
primitiva.
In realtà nella formalizzazione moderna del calcolo integro-
differenziale, il dx viene reinterpretato e "capito" (insieme ai suoi
analoghi multidimensionali) in termine di fibrati tangenti e
cotangenti. Vedi http://it.wikipedia.org/wiki/Forme_differenziali
Oceano
Jun 26, 2012, 8:33:57 PM6/26/12
to
AndreaM <andrea...@gmail.com> ha scritto:
>
>
> In realtà nella formalizzazione moderna del calcolo integro-
> differenziale, il dx viene reinterpretato e "capito" (insieme ai suoi
> analoghi multidimensionali) in termine di fibrati tangenti e
> cotangenti. Vedi http://it.wikipedia.org/wiki/Forme_differenziali
>
Me lo puoi spiegare a parole tue cosa è questo fibrato tangente?
Per es se tu mi chiedessi cosa è un vettore e non ne hai mai visto uno io
ti farei il disegno e ti direi che rappresenta una forza, la direzione la
intensità ecc ecc.
Ovviamente alla domanda cosa è un vettore tu diresti che è un elemento di
uno spazio vettoriale e parti poi in quarta con le operazioni di somma e
prodotto:) Ovviamente uno come me non ti capirebbe.
Ora, visto che abbiamo capito che io ho bisogno di una spiegazione
intuitiva e tu di una spiegazione definitoria....ecco....pensi che ci si
possa venire in contro?:)
Dicesi vettore una coppia ordinata di numeri...
Dicesi vettore il prodotto cartesiano NxN...
Dicesi vettore l'elemento di uno spazio vettoriale...
Dicesi vettore un segmento di retta orientato nel piano...
Dicesi vettore una ennupla...
Hai visto come sono rigoroso anche io?:)
Peccato però che per essere rigorosi prima bisogna "capire" a fondo
quello di cui si sta parlando:)
ciao
--
Pace e Bene
>
>
> In realtà nella formalizzazione moderna del calcolo integro-
> differenziale, il dx viene reinterpretato e "capito" (insieme ai suoi
> analoghi multidimensionali) in termine di fibrati tangenti e
> cotangenti. Vedi http://it.wikipedia.org/wiki/Forme_differenziali
>
Per es se tu mi chiedessi cosa è un vettore e non ne hai mai visto uno io
ti farei il disegno e ti direi che rappresenta una forza, la direzione la
intensità ecc ecc.
Ovviamente alla domanda cosa è un vettore tu diresti che è un elemento di
uno spazio vettoriale e parti poi in quarta con le operazioni di somma e
prodotto:) Ovviamente uno come me non ti capirebbe.
Ora, visto che abbiamo capito che io ho bisogno di una spiegazione
intuitiva e tu di una spiegazione definitoria....ecco....pensi che ci si
possa venire in contro?:)
Dicesi vettore una coppia ordinata di numeri...
Dicesi vettore il prodotto cartesiano NxN...
Dicesi vettore l'elemento di uno spazio vettoriale...
Dicesi vettore un segmento di retta orientato nel piano...
Dicesi vettore una ennupla...
Hai visto come sono rigoroso anche io?:)
Peccato però che per essere rigorosi prima bisogna "capire" a fondo
quello di cui si sta parlando:)
ciao
--
Pace e Bene
Oceano
Jun 26, 2012, 8:51:24 PM6/26/12
to
radica...@gmail.com <radica...@gmail.com> ha scritto:
>
>
> Scusate, se io scrivo Integrale di f(x) * dx PARE che devo
> trovare la F(x) non di f(x), ma di un' ALTRA funzione
> f(x) * dx che dipende a questo punto da DUE variabili x e
> dx, non piu' solo dalla x.
>
Prendi carta e penna per favore:)
Disegna i soliti assi cartesiani ed il solito grafico di una f(x).
Ora tu hai la possibilità di dividere l'asse delle x in n parti piccole a
piacere e queste parti le chiami dx.
Lo stesso fai con l'asse y ed hai dy.
Ovviamente sai che per trovare la tangente trigonometrica
hai bisogno di scrivere una proporzione ed alla fine ottieni
f'(x) = dy/dx = derivata
dy = f'(x) * dx (1)
Ora ATTENZIONE, come ha già spiegato Andrea, un conto è fare l'integrale
indefinito e cioè metti una funzione e vuoi la primitiva altro conto è
l'integrale definito che è FUNZIONALE e cioè non è un operatore ovvero è
un algoritmo che parte da una funzione e ci da un numero reale.
Quindi la primitiva nel nostro caso NON è mai una funzione primitiva ma
un NUMERO.
Quindi stiamo calcolando l'area del famoso rattangoloide che è una
SOMMATORIA di piccole areole e cioè f'(x) *dx
Ed infatti si vuole proprio il NUMERO reale di tutta l'area che è
composta dalla SOMMA di infinite areole del tipo f'(x) dx
Se non si capisce la prossima volta faccio un disegno e lo scannerizzo.
>
>
> Scusate, se io scrivo Integrale di f(x) * dx PARE che devo
> trovare la F(x) non di f(x), ma di un' ALTRA funzione
> f(x) * dx che dipende a questo punto da DUE variabili x e
> dx, non piu' solo dalla x.
>
Disegna i soliti assi cartesiani ed il solito grafico di una f(x).
Ora tu hai la possibilità di dividere l'asse delle x in n parti piccole a
piacere e queste parti le chiami dx.
Lo stesso fai con l'asse y ed hai dy.
Ovviamente sai che per trovare la tangente trigonometrica
hai bisogno di scrivere una proporzione ed alla fine ottieni
f'(x) = dy/dx = derivata
dy = f'(x) * dx (1)
Ora ATTENZIONE, come ha già spiegato Andrea, un conto è fare l'integrale
indefinito e cioè metti una funzione e vuoi la primitiva altro conto è
l'integrale definito che è FUNZIONALE e cioè non è un operatore ovvero è
un algoritmo che parte da una funzione e ci da un numero reale.
Quindi la primitiva nel nostro caso NON è mai una funzione primitiva ma
un NUMERO.
Quindi stiamo calcolando l'area del famoso rattangoloide che è una
SOMMATORIA di piccole areole e cioè f'(x) *dx
Ed infatti si vuole proprio il NUMERO reale di tutta l'area che è
composta dalla SOMMA di infinite areole del tipo f'(x) dx
Se non si capisce la prossima volta faccio un disegno e lo scannerizzo.
emilio benecchi
Jun 27, 2012, 5:19:49 AM6/27/12
to
<radica...@gmail.com> ha scritto nel messaggio
news:183c3d84-b284-480b...@googlegroups.com...
Per definizione il differenziale di F(x) cio� dF(x) � uguale a F'(x)*dx
.Quindi F(x) = Int(dF(x)) = Int(F'(x)*dx)
Saluti
e.b.
Socratis
Jun 27, 2012, 9:59:26 AM6/27/12
to
"Oceano" <padree...@yahoo.it> ha scritto nel messaggio
Ma mentre nella Tunze' e' e si sa cosa sia i, come e chi decide
cosa vale la tua dx ??
Non e' che dx= i .
Ciao. Socratis.
radica...@gmail.com
Jun 27, 2012, 11:50:25 AM6/27/12
to
Il giorno martedì 26 giugno 2012 19:31:29 UTC+2, BlueRay ha scritto:
> Ti confonde perche' quella scrittura e' sbagliata. Ma dove li hai
> studiati gli integrali? :-)
> La funzione integrale si scrive cosi':
> F(x) = Integrale[a;x] f(t)dt
> dove a e' un opportuno valore all'interno del dominio di integrazione.
Si, pero' scusa,
> Ti confonde perche' quella scrittura e' sbagliata. Ma dove li hai
> studiati gli integrali? :-)
> La funzione integrale si scrive cosi':
> F(x) = Integrale[a;x] f(t)dt
> dove a e' un opportuno valore all'interno del dominio di integrazione.
prendi il "trucco" della sostituzione per trovare le primitive.
Hai da trovare le primitive di f(x).
allora fai x = g(y) e poi fai :
Primitive di f(x) dx = Primitive di f(g(y)) d (g(y)) =
Primitive di f(g(y))g'(y) dy
E quindi provi a trovare le primitive di
f(g(y))g'(y), e magari ti riesce.
Ora :
se non ci fosse stato scritto quel dx, era facile che
ti scordavi la "regoletta" e magari scrivevi
primitiva di f(x) = primitiva di f(g(y))
... Toppando in pieno, ovviamente.
Altro esempio e' trovare le primitive con l' integrazione
per parti : scrivere tramite i differenziali aiuta a
"ricordare" la regoletta.
Quindi, come dici tu, il dx non ci dovrebbe stare
nella definizione di operazione del trovare le
primitive. E ok. Mi sta bene, mi "torna" !
Pero' se ci sta ... "funziona" bene, diciamo.
STRANO ! E' ovvio che mi sfugge qualcosa di grosso.
---- lato "umano" del post :
che (credo) AndreaM abbia tentato di spiegarmi
ma che non ho capito per niente, essendo io notoriamente
negato per la matematica (e infatti dovrei piantarla e
rinunciarci del tutto, ma sai ... La passione non sempre
e' associata, nella stessa persona, alla capacita').
Oceano
Jun 27, 2012, 4:23:52 PM6/27/12
to
Socratis <socr...@alice.it> ha scritto:
Ora tu puoi dare a quel segmento la lunghezza 1.
Poi dividi quel segmento in due parti UGUALI ed ecco che ognuna delle due
parti avrà lunghezza 1/2.
Se al posto di questo segmento prendi l'asse x dal punto 0 al punto 1 e
provi a vedere che la funzione f(x) è definita proprio nell'intervallo
(0,1) ti accorgi che nessuno ti vieta di dividere questo intervallo in due
parti UGUALI e cioè 1/2 ed 1/2.
Ora ognuna di queste due parti le chiamiamo dx.
d sta per differenziale ed x sta per asse x.
Differenza = sottrazione.
Se per es io ho una lunghezza 3 sull'asse x e poi una lunghezza 2 e voglio
conoscere la differenza tra 3 e 2 ecco che ottengo dx= 3 - 2 = 1
Cioè ottengo L'INTERVALLO (2,3) che è lungo 1. dx= 1 infatti.
Ovviamente posso ottenere il RISPETTIVO intervallo sull'asse y ma per
conoscerlo devo conoscere la f(x). Questo RISPETTIVO intervallo sull'asse y
lo chiamo dy.
Quindi con dx e dy in pratica voglio conoscere la LUNGHEZZA dell'intervallo.
Se poi questo intervallo che pongo uguale ad 1 lo divido per esempio in 10
parti ecco che ho l'intervallo grande che denoto con dx e che è uguale ad
1. Poi però gli intervallini che pure chiamo dx e che sono DIECI, ognuno è
lungo 1/10.
Dal disegno mi accorgo che più aumenta il numero degli intervallini dx e
migliore è la approssimazione dell'area sottesa alla curva. Qui però solo
con un disegno si capisce quello che dovrei ancora dire e quindi è meglio
non andare oltre senza il disegno:)
Se vuoi posso fare qualche disegno e lo scannerizzo.
Sarebbe interessante che anche tu facessi qualche disegno per poi
scannerizzarlo e lo stesso facesse Tetis: ti immagini se dovesse venire
fuori che avete la stessa grafia?:) ah ah ah
>
> come e chi decide
> cosa vale la tua dx ??
>
Chissà quante volte avrai disegnato un segmento sul foglio di carta...
> come e chi decide
> cosa vale la tua dx ??
>
Ora tu puoi dare a quel segmento la lunghezza 1.
Poi dividi quel segmento in due parti UGUALI ed ecco che ognuna delle due
parti avrà lunghezza 1/2.
Se al posto di questo segmento prendi l'asse x dal punto 0 al punto 1 e
provi a vedere che la funzione f(x) è definita proprio nell'intervallo
(0,1) ti accorgi che nessuno ti vieta di dividere questo intervallo in due
parti UGUALI e cioè 1/2 ed 1/2.
Ora ognuna di queste due parti le chiamiamo dx.
d sta per differenziale ed x sta per asse x.
Differenza = sottrazione.
Se per es io ho una lunghezza 3 sull'asse x e poi una lunghezza 2 e voglio
conoscere la differenza tra 3 e 2 ecco che ottengo dx= 3 - 2 = 1
Cioè ottengo L'INTERVALLO (2,3) che è lungo 1. dx= 1 infatti.
Ovviamente posso ottenere il RISPETTIVO intervallo sull'asse y ma per
conoscerlo devo conoscere la f(x). Questo RISPETTIVO intervallo sull'asse y
lo chiamo dy.
Quindi con dx e dy in pratica voglio conoscere la LUNGHEZZA dell'intervallo.
Se poi questo intervallo che pongo uguale ad 1 lo divido per esempio in 10
parti ecco che ho l'intervallo grande che denoto con dx e che è uguale ad
1. Poi però gli intervallini che pure chiamo dx e che sono DIECI, ognuno è
lungo 1/10.
Dal disegno mi accorgo che più aumenta il numero degli intervallini dx e
migliore è la approssimazione dell'area sottesa alla curva. Qui però solo
con un disegno si capisce quello che dovrei ancora dire e quindi è meglio
non andare oltre senza il disegno:)
Se vuoi posso fare qualche disegno e lo scannerizzo.
Sarebbe interessante che anche tu facessi qualche disegno per poi
scannerizzarlo e lo stesso facesse Tetis: ti immagini se dovesse venire
fuori che avete la stessa grafia?:) ah ah ah
radica...@gmail.com
Jun 28, 2012, 5:15:43 AM6/28/12
to
Il giorno mercoledì 27 giugno 2012 17:50:25 UTC+2, radica...@gmail.com ha scritto:
> Il giorno martedì 26 giugno 2012 19:31:29 UTC+2, BlueRay ha scritto:
Aoh ... Che fine hai fatto ?
> Il giorno martedì 26 giugno 2012 19:31:29 UTC+2, BlueRay ha scritto:
cometa_luminosa
Jun 29, 2012, 6:50:46 AM6/29/12
to
On Jun 27, 5:50 pm, radicale....@gmail.com wrote:
> Il giorno martedì 26 giugno 2012 19:31:29 UTC+2, BlueRay ha scritto:
>
> > Ti confonde perche' quella scrittura e' sbagliata. Ma dove li hai
> > studiati gli integrali? :-)
> > La funzione integrale si scrive cosi':
> > F(x) = Integrale[a;x] f(t)dt
> > dove a e' un opportuno valore all'interno del dominio di integrazione.
>
> Si, pero' scusa,
> prendi il "trucco" della sostituzione per trovare le primitive.
> Hai da trovare le primitive di f(x).
> allora fai x = g(y) e poi fai :
> Primitive di f(x) dx = Primitive di f(g(y)) d (g(y)) =
> Primitive di f(g(y))g'(y) dy
> E quindi provi a trovare le primitive di
> f(g(y))g'(y), e magari ti riesce.
> Ora :
> se non ci fosse stato scritto quel dx, era facile che
> ti scordavi la "regoletta" e magari scrivevi
> primitiva di f(x) = primitiva di f(g(y))
> ... Toppando in pieno, ovviamente.
F(x) = Integrale[a;x] f(t)dt
vediamo un esempio di calcolo con il metodo di sostituzione: f(t) =
> Il giorno martedì 26 giugno 2012 19:31:29 UTC+2, BlueRay ha scritto:
>
> > Ti confonde perche' quella scrittura e' sbagliata. Ma dove li hai
> > studiati gli integrali? :-)
> > La funzione integrale si scrive cosi':
> > F(x) = Integrale[a;x] f(t)dt
> > dove a e' un opportuno valore all'interno del dominio di integrazione.
>
> Si, pero' scusa,
> prendi il "trucco" della sostituzione per trovare le primitive.
> Hai da trovare le primitive di f(x).
> allora fai x = g(y) e poi fai :
> Primitive di f(x) dx = Primitive di f(g(y)) d (g(y)) =
> Primitive di f(g(y))g'(y) dy
> E quindi provi a trovare le primitive di
> f(g(y))g'(y), e magari ti riesce.
> Ora :
> se non ci fosse stato scritto quel dx, era facile che
> ti scordavi la "regoletta" e magari scrivevi
> primitiva di f(x) = primitiva di f(g(y))
> ... Toppando in pieno, ovviamente.
F(x) = Integrale[a;x] f(t)dt
exp(2+3t). Sostutuisco: 2+3t = u --> t = (u-2)/3; dt = du/3.
L'integrale diventa:
Integrale[2+3a;2+3x] exp(u)du/3 = 1/3 exp(u) calcolato tra gli estremi
=
= 1/3 [exp(2+3x) - exp(2+3a)]
e questa e' la tua F(x).
Where is the problem?
--
cometa_luminosa
radica...@gmail.com
Jun 29, 2012, 11:30:59 AM6/29/12
to
Il giorno venerdì 29 giugno 2012 12:50:46 UTC+2, cometa_luminosa ha scritto:
> Where is the problem?
Boh. Messa cosi' nessun problema.
Pero' ... Boh. Mi sa che non stiamo parlando della
stessa cosa. :-)
> Where is the problem?
Boh. Messa cosi' nessun problema.
Pero' ... Boh. Mi sa che non stiamo parlando della
stessa cosa. :-)
fili...@gmail.com
Jul 4, 2012, 11:03:25 PM7/4/12
to
Il giorno martedì 26 giugno 2012 12:06:38 UTC+2, radica...@gmail.com ha scritto:
> Ossia :
> Ossia :
> F(x) = Integrale di f(x) * dx ? Che c' entra il dx ? A che
> serve ?
>
>
si puo' anche togliere che non succede niente.
> serve ?
>
>
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