Vettori curvi
Fabio
di una varieta affine (punti), in altri elementi della stessa varietà(da
quì il loro nome di vettori) e che soddisfano certe proprietà(non tutte
quelle di cui parla Simone: non mi sembra che ci sia bisogno del
prodotto per elementi di un campo, e quindi di fare intervenire un altro
ente).
Io volevo chiedere questo: supponiamo che la varietà affine, nella quale
è definita l'azione dei vettori, sia un guscio.
E' evidente che per gli abitanti del guscio i vettori non possono essere
che "dritti", loro in effetti non si rendono conto di stare in un
guscio.
Supponiamo ora che questo guscio sia immerso in uno spazio cartesiano
tridimensionale. Gli abitanti di questo spazio, vedono il guscio curvo,
ed anche i vettori di questo spazio appaiono a questi ultimi come archi
di curva.
Fino quì non mi sembra ci sia molto da capire.
A questo punto se gli abitanti del guscio volessero sviluppare una
teoria della misura, come farebbero? Ad esempio la lunghezza di una
curva non potrebbe essre definita come l'integrale del vettore tangente,
perchè il vettore tangente non appartiene al guscio.
Io volevo solo sapere se c'erano lavori in quest'ambito.
Grazie delle eventuali risposte, Fabio
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sangue
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> Premesso che i vettori sono elementi di un insieme
> che mandano elementi di una varieta affine (punti),
stai parlando, quindi, dei *vettori applicati*, ma la tua definizione
non e' abbastanza generale.
comunque, per non confonderti le idee, faro' riferimento alla tua
definizione (la quale va comunque bene per illustrare i concetti che ci
interessano).
> Io volevo chiedere questo: supponiamo che
> la varietą affine, nella quale č definita l'azione
> dei vettori, sia un guscio.
> E' evidente che per gli abitanti del guscio
> i vettori non possono essere che "dritti",
> loro in effetti non si rendono conto di stare
> in un guscio.
> Supponiamo ora che questo guscio sia immerso
> in uno spazio cartesiano tridimensionale.
> Gli abitanti di questo spazio, vedono il guscio
> curvo, ed anche i vettori di questo spazio
> appaiono a questi ultimi come archi di curva.
mi sa che non ti e' chiara una cosa: il fatto che i vettori siano
"curvi" o meno *non e' un fatto algebrico, ma metrico*.
quindi, per quanto riguarda il sommarsi e il sottrarsi (...eccetera...)
dei vettori, il fatto che siano "curvi" o meno e' ininfluente.
entra in gioco, invece, nelle questioni metriche.
se pensi ai vettori solo algebricamente *non ha senso* dire se sono
"curvi" o meno, e i vettori di un guscio non differiscono dai vettori
"piani".
in parole povere, anche nel caso particolare della tua definizione, puoi
o considerare solo la struttura algebrica, oppure considerare anche le
questioni metriche.
e solo nel secondo caso i vettori di un guscio differiscono dai vettori
"piani".
> A questo punto se gli abitanti del guscio volessero
> sviluppare una teoria della misura, come farebbero?
devono considerare l'aspetto metrico.
ciao,
giovanni
Elio Fabri
> Premesso che i vettori sono elementi di un insieme che mandano elementi
> qui' il loro nome di vettori) e che soddisfano certe proprieta'(non tutte
> quelle di cui parla Simone: non mi sembra che ci sia bisogno del
> prodotto per elementi di un campo, e quindi di fare intervenire un altro
> ente).
affine" mi riesce nuovo.
Il prodotto per gli scalari ci vuole, altrimenti non hai modo di
"chiudere" l'insieme. Ma non e' un punto essenziale per il seguito.
> Io volevo chiedere questo: supponiamo che la varieta' affine, nella quale
> e' definita l'azione dei vettori, sia un guscio.
Che cos'e' un guscio? Intendi una superficie, o ci metti uno spessore?
Da quello che dici dopo penserei alla superficie, ma non vedo perche' la
chiami "guscio".
> E' evidente che per gli abitanti del guscio i vettori non possono essere
> che "dritti", loro in effetti non si rendono conto di stare in un
> guscio.
Sempre pensando a una superficie, andrebbe tutto bene, ma c'e' un
problema: in generale non c'e' modo di definire l'azione di un vettore
sui punti di una superficie, se non identificandola astrattamente con un
piano.
Forse tu pensi a una sfera, e magari alle rotazioni, che potrebbero
sostituire le traslazioni indotte da un vettore sul piano.
Ma c'e' un grave problema: la composizione delle rotazioni *non e'
commutativa*.
> ...
> A questo punto se gli abitanti del guscio volessero sviluppare una
> teoria della misura, come farebbero? Ad esempio la lunghezza di una
> curva non potrebbe essre definita come l'integrale del vettore tangente,
> perche' il vettore tangente non appartiene al guscio.
> Io volevo solo sapere se c'erano lavori in quest'ambito.
Certo che ci sono: c'e' la teoria dei vettori ecc. su varieta', che e'
parte della geometria differenziale.
Non posso certo esportela qui. Ti dico solo che la difficolta' che vedi
per i vettori tangenti non c'e', o se preferisci si supera. I v.t. non
sono ne' dentro ne' fuori della varieta': a ogni punto delle varieta' e'
astrattamente associato uno "spazio tangente".
La metrica sulla varieta' si definisce proprio assegnando un prodotto
scalare su questi spazi tangenti, ecc.
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Elio Fabri
Dip. di Fisica "E. Fermi"
Universita' di Pisa
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sangue
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> Ma c'e' un grave problema: la composizione
> delle rotazioni *non e' commutativa*.
lo e' in dimensione 2.
ma ugualmente non si puo' parlare di vettori!
quindi il problema deve stare (anche) da qualche altra parte...
o no?
sangue
non credo: immagino che Fabio intendesse proprio varieta', ma non ho
capito precisamente in che senso.
comunque io non darei la definizione in quel modo, ma ne darei una piu'
generale.
o no?