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area triangolo proiettato
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fnas
Mar 23, 2013, 4:28:34 PM3/23/13
to
Salve vorrei capire come si risolvono questo tipo di problemi:
Dato un triangolo i cui vertici hanno le coordinate A(1,0,0), B(0,1,0),
C(0,0,1) si vuole calcolare l'area dei triangoli che si ottengono
proiettando il triangolo ABC su i tre piani coordinati.
Poich� di geometria proiettiva non ne so nulla, vorrei capire in base a
quali teoremi si risolvono questo tipo di problemi e conoscere le loro
dimostrazioni.
So solo che dato un triangolo nello spazio la sua area A = A' cos(n,n')
dove n,n' � l'angolo formato dalla normale n al piano che contiene il
triangolo ABC, con la normale n' al piano che contiene il triangolo
proiettato A'B'C'. Ma di questo teorema non ne conosco la dimostrazione.
Grazie anticipatamente per l'aiuto,
fnas
Dato un triangolo i cui vertici hanno le coordinate A(1,0,0), B(0,1,0),
C(0,0,1) si vuole calcolare l'area dei triangoli che si ottengono
proiettando il triangolo ABC su i tre piani coordinati.
Poich� di geometria proiettiva non ne so nulla, vorrei capire in base a
quali teoremi si risolvono questo tipo di problemi e conoscere le loro
dimostrazioni.
So solo che dato un triangolo nello spazio la sua area A = A' cos(n,n')
dove n,n' � l'angolo formato dalla normale n al piano che contiene il
triangolo ABC, con la normale n' al piano che contiene il triangolo
proiettato A'B'C'. Ma di questo teorema non ne conosco la dimostrazione.
Grazie anticipatamente per l'aiuto,
fnas
Enrico Gregorio
Mar 23, 2013, 5:09:22 PM3/23/13
to
fnas <fna...@gmail.com> scrive:
> Salve vorrei capire come si risolvono questo tipo di problemi:
> Dato un triangolo i cui vertici hanno le coordinate A(1,0,0), B(0,1,0),
> C(0,0,1) si vuole calcolare l'area dei triangoli che si ottengono
> proiettando il triangolo ABC su i tre piani coordinati.
Proiettando da dove?
> Poich� di geometria proiettiva non ne so nulla, vorrei capire in base a
> quali teoremi si risolvono questo tipo di problemi e conoscere le loro
> dimostrazioni.
>
> So solo che dato un triangolo nello spazio la sua area A = A' cos(n,n')
> dove n,n' � l'angolo formato dalla normale n al piano che contiene il
> triangolo ABC, con la normale n' al piano che contiene il triangolo
> proiettato A'B'C'. Ma di questo teorema non ne conosco la dimostrazione.
>
> Grazie anticipatamente per l'aiuto,
> fnas
Ciao
Enrico
> Salve vorrei capire come si risolvono questo tipo di problemi:
> Dato un triangolo i cui vertici hanno le coordinate A(1,0,0), B(0,1,0),
> C(0,0,1) si vuole calcolare l'area dei triangoli che si ottengono
> proiettando il triangolo ABC su i tre piani coordinati.
> Poich� di geometria proiettiva non ne so nulla, vorrei capire in base a
> quali teoremi si risolvono questo tipo di problemi e conoscere le loro
> dimostrazioni.
>
> So solo che dato un triangolo nello spazio la sua area A = A' cos(n,n')
> dove n,n' � l'angolo formato dalla normale n al piano che contiene il
> triangolo ABC, con la normale n' al piano che contiene il triangolo
> proiettato A'B'C'. Ma di questo teorema non ne conosco la dimostrazione.
>
> Grazie anticipatamente per l'aiuto,
> fnas
Enrico
El Filibustero
Mar 23, 2013, 6:08:49 PM3/23/13
to
On Sat, 23 Mar 2013 21:28:34 +0100, fnas <fna...@gmail.com> wrote:
>Salve vorrei capire come si risolvono questo tipo di problemi:
>Dato un triangolo i cui vertici hanno le coordinate A(1,0,0), B(0,1,0),
>C(0,0,1) si vuole calcolare l'area dei triangoli che si ottengono
>proiettando il triangolo ABC su i tre piani coordinati.
Se si intendono le tre proiezioni ortogonali sui piani coordinati, si
>Salve vorrei capire come si risolvono questo tipo di problemi:
>Dato un triangolo i cui vertici hanno le coordinate A(1,0,0), B(0,1,0),
>C(0,0,1) si vuole calcolare l'area dei triangoli che si ottengono
>proiettando il triangolo ABC su i tre piani coordinati.
ottengono ovviamente tre triangoli uguali di area 1/2: ad esempio,
proiettando ABC sul piano xy, A e B rimangono li' dove sono e C finisce
nell'origine. Analogamente negli altri casi. Ciao
Tommaso Russo, Trieste
Mar 23, 2013, 7:54:53 PM3/23/13
to
Il 23/03/2013 21:28, fnas ha scritto:
> Salve vorrei capire come si risolvono questo tipo di problemi:
> Dato un triangolo i cui vertici hanno le coordinate A(1,0,0), B(0,1,0),
> C(0,0,1) si vuole calcolare l'area dei triangoli che si ottengono
> proiettando il triangolo ABC su i tre piani coordinati.
Immagino tramite proiezione ortogonale. Se non hai capito la domanda di
> Salve vorrei capire come si risolvono questo tipo di problemi:
> Dato un triangolo i cui vertici hanno le coordinate A(1,0,0), B(0,1,0),
> C(0,0,1) si vuole calcolare l'area dei triangoli che si ottengono
> proiettando il triangolo ABC su i tre piani coordinati.
Enrico Gregorio, tieni presente che, intuitivamente, una proiezione di
una curva o di una superficie (non necessariamente piana) su un piano
("schermo") diverso da quello di giacitura si ottiene come "ombra"
piazzando una lampadina in un qualunque punto (centro di proiezione)
piu' distante dallo schermo di ogni punto della figura: e l'ombra varia
con la posizione della lampadina. (Poi, in Geometria, si estende il
concetto definendo la proiezione per ogni altro centro.) La proiezione
ortogonale si ottiene come limite, allontanando la lampadina
all'infinito lungo una retta ortogonale al piano (centro = punto
improprio); allontanandola lungo un'altra direzione si ottiene una
proiezione obliqua.
> Poiché di geometria proiettiva non ne so nulla, vorrei capire in base a
> quali teoremi si risolvono questo tipo di problemi e conoscere le loro
> dimostrazioni.
Il problema e' capire cosa intendi con "questo tipo di problemi". Quello
> dimostrazioni.
che hai proposto e' un problema, fra l'altro molto singolare, che puo'
far parte di parecchie classi di problemi. Se non dai qualche altro
esempio e' impossibile determinare la classe cui pensi.
> So solo che dato un triangolo nello spazio la sua area A = A' cos(n,n')
> triangolo ABC, con la normale n' al piano che contiene il triangolo
> proiettato A'B'C'.
Te ne fai poco, visto che del triangolo dato devi appena calcolare
> proiettato A'B'C'.
l'area e la normale. Date le coordinate cartesiane dei vertici del
triangolo, fai molto prima a proiettare i vertici ottenendo
immediatamente le coordinate cartesiane delle proiezioni, come ha fatto
El Filibustero.
> Ma di questo teorema non ne conosco la dimostrazione.
piano di proiezione si intersecano lungo una retta e formano un angolo
diedro della stessa misura (n,n'). La proiezione ortogonale conserva le
lunghezze dei segmenti paralleli alla retta d'intersezione, e riduce di
cos(n,n') le lunghezze di quelli ad essa ortogonali: quindi anche le
aree vengono ridotte dello stesso fattore cos(n,n').
--
TRu-TS
Buon vento e cieli sereni
fnas
Mar 24, 2013, 5:26:57 AM3/24/13
to
On 24/03/2013 0.54, Tommaso Russo, Trieste wrote:
> Il 23/03/2013 21:28, fnas ha scritto:
>> Salve vorrei capire come si risolvono questo tipo di problemi:
>> Dato un triangolo i cui vertici hanno le coordinate A(1,0,0), B(0,1,0),
>> C(0,0,1) si vuole calcolare l'area dei triangoli che si ottengono
>> proiettando il triangolo ABC su i tre piani coordinati.
>
> Immagino tramite proiezione ortogonale. Se non hai capito la domanda di
> Enrico Gregorio, tieni presente che, intuitivamente, una proiezione di
> una curva o di una superficie (non necessariamente piana) su un piano
> ("schermo") diverso da quello di giacitura si ottiene come "ombra"
> piazzando una lampadina in un qualunque punto (centro di proiezione)
> piu' distante dallo schermo di ogni punto della figura: e l'ombra varia
> con la posizione della lampadina. (Poi, in Geometria, si estende il
> concetto definendo la proiezione per ogni altro centro.) La proiezione
> ortogonale si ottiene come limite, allontanando la lampadina
> all'infinito lungo una retta ortogonale al piano (centro = punto
> improprio); allontanandola lungo un'altra direzione si ottiene una
> proiezione obliqua.
>
>
Ecco grazie per questa precisazione perché ignoravo anche questo aspetto.
> Il 23/03/2013 21:28, fnas ha scritto:
>> Salve vorrei capire come si risolvono questo tipo di problemi:
>> Dato un triangolo i cui vertici hanno le coordinate A(1,0,0), B(0,1,0),
>> C(0,0,1) si vuole calcolare l'area dei triangoli che si ottengono
>> proiettando il triangolo ABC su i tre piani coordinati.
>
> Immagino tramite proiezione ortogonale. Se non hai capito la domanda di
> Enrico Gregorio, tieni presente che, intuitivamente, una proiezione di
> una curva o di una superficie (non necessariamente piana) su un piano
> ("schermo") diverso da quello di giacitura si ottiene come "ombra"
> piazzando una lampadina in un qualunque punto (centro di proiezione)
> piu' distante dallo schermo di ogni punto della figura: e l'ombra varia
> con la posizione della lampadina. (Poi, in Geometria, si estende il
> concetto definendo la proiezione per ogni altro centro.) La proiezione
> ortogonale si ottiene come limite, allontanando la lampadina
> all'infinito lungo una retta ortogonale al piano (centro = punto
> improprio); allontanandola lungo un'altra direzione si ottiene una
> proiezione obliqua.
>
>
>> Poiché di geometria proiettiva non ne so nulla, vorrei capire in base a
>> quali teoremi si risolvono questo tipo di problemi e conoscere le loro
>> dimostrazioni.
>
> Il problema e' capire cosa intendi con "questo tipo di problemi". Quello
> che hai proposto e' un problema, fra l'altro molto singolare, che puo'
> far parte di parecchie classi di problemi. Se non dai qualche altro
> esempio e' impossibile determinare la classe cui pensi.
nello spazio e proiettati ortogonalmente su i piani cartesiani.
Il teorema che ho riportato sembra essere piuttosto utile per risolvere
il problema inverso note le aree delle proiezioni ortogonali determinare
le aree del triangolo ABC
>
>
>> So solo che dato un triangolo nello spazio la sua area A = A' cos(n,n')
>> dove n,n' è l'angolo formato dalla normale n al piano che contiene il
>> triangolo ABC, con la normale n' al piano che contiene il triangolo
>> proiettato A'B'C'.
>
> Te ne fai poco, visto che del triangolo dato devi appena calcolare
> l'area e la normale. Date le coordinate cartesiane dei vertici del
> triangolo, fai molto prima a proiettare i vertici ottenendo
> immediatamente le coordinate cartesiane delle proiezioni, come ha fatto
> El Filibustero.
>
>
>> Ma di questo teorema non ne conosco la dimostrazione.
>
> Se n ed n' non sono parallele, il piano di giacitura del triangolo e il
> piano di proiezione si intersecano lungo una retta e formano un angolo
> diedro della stessa misura (n,n'). La proiezione ortogonale conserva le
> lunghezze dei segmenti paralleli alla retta d'intersezione, e riduce di
> cos(n,n') le lunghezze di quelli ad essa ortogonali: quindi anche le
> aree vengono ridotte dello stesso fattore cos(n,n').
>
>
Grazie per dimostrazione, non pensavo fosse così semplice.
>
>> So solo che dato un triangolo nello spazio la sua area A = A' cos(n,n')
>> dove n,n' è l'angolo formato dalla normale n al piano che contiene il
>> triangolo ABC, con la normale n' al piano che contiene il triangolo
>> proiettato A'B'C'.
>
> Te ne fai poco, visto che del triangolo dato devi appena calcolare
> l'area e la normale. Date le coordinate cartesiane dei vertici del
> triangolo, fai molto prima a proiettare i vertici ottenendo
> immediatamente le coordinate cartesiane delle proiezioni, come ha fatto
> El Filibustero.
>
>
>> Ma di questo teorema non ne conosco la dimostrazione.
>
> Se n ed n' non sono parallele, il piano di giacitura del triangolo e il
> piano di proiezione si intersecano lungo una retta e formano un angolo
> diedro della stessa misura (n,n'). La proiezione ortogonale conserva le
> lunghezze dei segmenti paralleli alla retta d'intersezione, e riduce di
> cos(n,n') le lunghezze di quelli ad essa ortogonali: quindi anche le
> aree vengono ridotte dello stesso fattore cos(n,n').
>
>
A questo punto credo d'aver bisogno di un'infarinatura di questi
argomenti almeno per imparare il lessico e non fare errori come quelli
che giustamente ha sollevato Enrico Gregorio domandandomi da dove stessi
facendo la proiezione.
Mi consigliate delle fonti tipo dispense, libri o siti da cui poter
studiare queste cose.
El Filibustero
Mar 24, 2013, 6:11:31 AM3/24/13
to
On Sun, 24 Mar 2013 10:26:57 +0100, fnas wrote:
>I problemi consistono nel determinare l'area di triangoli comunque posti
>nello spazio e proiettati ortogonalmente su i piani cartesiani.
>Il teorema che ho riportato sembra essere piuttosto utile per risolvere
>il problema inverso note le aree delle proiezioni ortogonali determinare
>le aree del triangolo ABC
L'area di ABC e' data da
>I problemi consistono nel determinare l'area di triangoli comunque posti
>nello spazio e proiettati ortogonalmente su i piani cartesiani.
>Il teorema che ho riportato sembra essere piuttosto utile per risolvere
>il problema inverso note le aree delle proiezioni ortogonali determinare
>le aree del triangolo ABC
1/2 sqrt((2 Area proiez. xy)^2+(2 Area proiez. xz)^2+(2 Area proiez. xy)^2)
Ciao
fnas
Mar 24, 2013, 6:37:22 AM3/24/13
to
El Filibustero
Mar 24, 2013, 7:24:48 AM3/24/13
to
On Sun, 24 Mar 2013 11:37:22 +0100, fnas wrote:
>> 1/2 sqrt((2 Area proiez. xy)^2+(2 Area proiez. xz)^2+(2 Area proiez. xy)^2)
>>
>Mi spiegheresti la formula da dove trae origine, o l'hai ricavata da solo?
L'ho ricavata da solo, ma sarebbe strano che non sia qualcosa di gia' noto.
>> 1/2 sqrt((2 Area proiez. xy)^2+(2 Area proiez. xz)^2+(2 Area proiez. xy)^2)
>>
>Mi spiegheresti la formula da dove trae origine, o l'hai ricavata da solo?
Intanto, non e' restrittivo supporre che uno dei tre vertici del triangolo
sia nell'origine: infatti una traslazione di un vertice a scelta
nell'origine non altera le proiezioni ortogonali. Quindi si considera il
triangolo di vertici O, A(xA,yA,zA), B(xB,yB,zB). Applicando la nota
formula dell'area del triangolo come semimodulo del prodotto vettoriale
AxB, risulta
Area(OAB) = 1/2 sqrt((xAyB-xByA)^2+(xAzB-xBzA)^2+(yAzB-yBzA)^2)
ma, sempre per la stessa regola applicata sui vari piani coordinati,
|xAyB-xByA|
e' il doppio dell'area del triangolo proiezione O, A'(xA,yA,0), B'(xB,yB,0)
di OAB sul piano xy. Analogamente per |xAzB-xBzA| e |yAzB-yBzA|. Ciao
fnas
Mar 24, 2013, 8:17:28 AM3/24/13
to
On 24/03/2013 12.24, El Filibustero wrote:
> On Sun, 24 Mar 2013 11:37:22 +0100, fnas wrote:
>
>>> 1/2 sqrt((2 Area proiez. xy)^2+(2 Area proiez. xz)^2+(2 Area proiez. xy)^2)
>>>
>> Mi spiegheresti la formula da dove trae origine, o l'hai ricavata da solo?
>
> L'ho ricavata da solo, ma sarebbe strano che non sia qualcosa di gia' noto.
> Intanto, non e' restrittivo supporre che uno dei tre vertici del triangolo
> sia nell'origine: infatti una traslazione di un vertice a scelta
> nell'origine non altera le proiezioni ortogonali. Quindi si considera il
> triangolo di vertici O, A(xA,yA,zA), B(xB,yB,zB). Applicando la nota
> formula dell'area del triangolo come semimodulo del prodotto vettoriale
> AxB, risulta
>
> Area(OAB) = 1/2 sqrt((xAyB-xByA)^2+(xAzB-xBzA)^2+(yAzB-yBzA)^2)
>
il secondo addendo non dovrebbe essere (xBzA-xAzB)^2 ?
> On Sun, 24 Mar 2013 11:37:22 +0100, fnas wrote:
>
>>> 1/2 sqrt((2 Area proiez. xy)^2+(2 Area proiez. xz)^2+(2 Area proiez. xy)^2)
>>>
>> Mi spiegheresti la formula da dove trae origine, o l'hai ricavata da solo?
>
> L'ho ricavata da solo, ma sarebbe strano che non sia qualcosa di gia' noto.
> Intanto, non e' restrittivo supporre che uno dei tre vertici del triangolo
> sia nell'origine: infatti una traslazione di un vertice a scelta
> nell'origine non altera le proiezioni ortogonali. Quindi si considera il
> triangolo di vertici O, A(xA,yA,zA), B(xB,yB,zB). Applicando la nota
> formula dell'area del triangolo come semimodulo del prodotto vettoriale
> AxB, risulta
>
> Area(OAB) = 1/2 sqrt((xAyB-xByA)^2+(xAzB-xBzA)^2+(yAzB-yBzA)^2)
>
> ma, sempre per la stessa regola applicata sui vari piani coordinati,
>
> |xAyB-xByA|
>
> e' il doppio dell'area del triangolo proiezione O, A'(xA,yA,0), B'(xB,yB,0)
> di OAB sul piano xy. Analogamente per |xAzB-xBzA| e |yAzB-yBzA|.
anche qui |xAzB-xBzA| non dovrebbe essere |xBzA-xAzB| ?
>
> |xAyB-xByA|
>
> e' il doppio dell'area del triangolo proiezione O, A'(xA,yA,0), B'(xB,yB,0)
> di OAB sul piano xy. Analogamente per |xAzB-xBzA| e |yAzB-yBzA|.
Ciao e grazie.
El Filibustero
Mar 24, 2013, 8:57:18 AM3/24/13
to
On Sun, 24 Mar 2013 13:17:28 +0100, fnas wrote:
>> Area(OAB) = 1/2 sqrt((xAyB-xByA)^2+(xAzB-xBzA)^2+(yAzB-yBzA)^2)
>>
>il secondo addendo non dovrebbe essere (xBzA-xAzB)^2 ?
>....
>> Area(OAB) = 1/2 sqrt((xAyB-xByA)^2+(xAzB-xBzA)^2+(yAzB-yBzA)^2)
>>
>il secondo addendo non dovrebbe essere (xBzA-xAzB)^2 ?
>anche qui |xAzB-xBzA| non dovrebbe essere |xBzA-xAzB| ?
Non e' che faccia una gran differenza, essendo quantita' elevate a quadrato
o in valore assoluto. Ciao
fnas
Mar 24, 2013, 9:15:22 AM3/24/13
to
Ma volendo studiare un po' di queste cose cosa mi suggeriresti di leggere?
Saluti,
fnas
El Filibustero
Mar 24, 2013, 11:06:26 AM3/24/13
to
On Sun, 24 Mar 2013 14:15:22 +0100, fnas wrote:
>Ma volendo studiare un po' di queste cose cosa mi suggeriresti di leggere?
Non saprei. Ciao
>Ma volendo studiare un po' di queste cose cosa mi suggeriresti di leggere?
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