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chiuso e limitato ma non compatto
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marcofuics
Jun 27, 2013, 4:30:20 AM6/27/13
to
Per trovare un esempio di insieme chiuso e limitato ma non compatto bisogna focalizzarsi sulla metrica dello spazio in cui è l'insieme?
Enrico Gregorio
Jun 27, 2013, 12:16:56 PM6/27/13
to
marcofuics <marco...@netscape.net> scrive:
> Per trovare un esempio di insieme chiuso e limitato ma non compatto bisogna
> focalizzarsi sulla metrica dello spazio in cui è l'insieme?
L'insieme dei razionali tra 0 e 1 compresi è chiuso e limitato
nello spazio dei razionali, ma di certo non è compatto.
Il teorema di Heine-Borel è specifico dei reali con la metrica
usuale. Per esempio, se usi la metrica così definita:
d(x,y) = |x - y|/(1 + |x - y|)
tutti gli insiemi di numeri reali sono limitati. Ma la topologia
è la stessa e i compatti non cambiano di certo.
Ciao
Enrico
> Per trovare un esempio di insieme chiuso e limitato ma non compatto bisogna
> focalizzarsi sulla metrica dello spazio in cui è l'insieme?
nello spazio dei razionali, ma di certo non è compatto.
Il teorema di Heine-Borel è specifico dei reali con la metrica
usuale. Per esempio, se usi la metrica così definita:
d(x,y) = |x - y|/(1 + |x - y|)
tutti gli insiemi di numeri reali sono limitati. Ma la topologia
è la stessa e i compatti non cambiano di certo.
Ciao
Enrico
Massimo 456b
Jun 27, 2013, 12:31:59 PM6/27/13
to
"marcofuics" wrote in message
news:bddb1e2e-53db-4a91...@googlegroups.com...
Per trovare un esempio di insieme chiuso e limitato ma non compatto bisogna
______________
forse e' meglio focalizzarsi sui
punti di accumulazione di
ogni suo sottoinsime.
ciao
Massimo
marcofuics
Jun 28, 2013, 8:51:04 AM6/28/13
to
quindi la metrica in questo ragionamento è qualcosa di accessorio... conta soltanto la topologia dell'insieme in questione?
marcofuics
Jun 28, 2013, 8:53:24 AM6/28/13
to
>
> forse e' meglio focalizzarsi sui
>
> punti di accumulazione di
>
> ogni suo sottoinsime.
>
Enrico Gregorio
Jun 28, 2013, 10:39:07 AM6/28/13
to
marcofuics <marco...@netscape.net> scrive:
> quindi la metrica in questo ragionamento è qualcosa di accessorio... conta
> soltanto la topologia dell'insieme in questione?
A me pare di aver detto il contrario.
Ciao
Enrico
> quindi la metrica in questo ragionamento è qualcosa di accessorio... conta
> soltanto la topologia dell'insieme in questione?
Ciao
Enrico
marcofuics
Jun 28, 2013, 11:18:23 AM6/28/13
to
:) e allora non ho capito
mi contonfo
preso un insieme, dotatolo di metrica d, un sub-set è compatto o meno... a seconda di d?
mi contonfo
preso un insieme, dotatolo di metrica d, un sub-set è compatto o meno... a seconda di d?
Enrico Gregorio
Jun 28, 2013, 12:52:40 PM6/28/13
to
marcofuics <marco...@netscape.net> scrive:
No, la compattezza è certamente una proprietà topologica.
La caratterizzazione dei compatti in R con la chiusura
e la limitatezza invece dipende dalla metrica: vale per
la metrica usuale ma non per altre che definiscono la
stessa topologia.
Ciao
Enrico
La caratterizzazione dei compatti in R con la chiusura
e la limitatezza invece dipende dalla metrica: vale per
la metrica usuale ma non per altre che definiscono la
stessa topologia.
Ciao
Enrico
marcofuics
Jun 29, 2013, 10:19:08 AM6/29/13
to
Enrico Gregorio
Jun 29, 2013, 5:09:47 PM6/29/13
to
marcofuics <marco...@netscape.net> scrive:
Non capisco. È ovvio che, se due metriche non definiscono
la stessa topologia, i compatti possono essere diversi
per l'una e per l'altra.
Gli insiemi "universalmente compatti" sono quelli finiti.
Un insieme infinito è certamente non compatto rispetto
alla topologia discreta.
Ciao
Enrico
la stessa topologia, i compatti possono essere diversi
per l'una e per l'altra.
Gli insiemi "universalmente compatti" sono quelli finiti.
Un insieme infinito è certamente non compatto rispetto
alla topologia discreta.
Ciao
Enrico
marcofuics
Jul 1, 2013, 3:13:55 PM7/1/13
to
ma io pensavo che la topologia di uno spazio fosse applicabile anche antecedentemente alla definizione di una metrica su tale spazio; ciò che pensavo era riferito ad un insieme come ente superiore a cui venisse partecipato in seconda istanza un concetto topologico ed ulteriormente un sistema di misura.
Enrico Gregorio
Jul 1, 2013, 4:57:09 PM7/1/13
to
marcofuics <marco...@netscape.net> scrive:
Puoi tradurre in italiano? ;-)
Seriamente, non capisco dove sia il problema. La compattezza
è un concetto topologico. Una metrica su un insieme definisce
una topologia, ma due metriche distinte possono definire la
stessa topologia.
Puoi caratterizzare i compatti di uno spazio metrico tramite
la metrica; per esempio in R con la metrica usuale i compatti
sono i chiusi e limitati. Ma la stessa caratterizzazione può
non valere per una metrica su R diversa da quella usuale.
Altro esempio: la funzione
e(x,y) = |arctan x - arctan y|
è una metrica su R. Un insieme chiuso e limitato rispetto
a questa metrica non è necessariamente compatto (il viceversa
invece è vero). Perché?
Ciao
Enrico
Seriamente, non capisco dove sia il problema. La compattezza
è un concetto topologico. Una metrica su un insieme definisce
una topologia, ma due metriche distinte possono definire la
stessa topologia.
Puoi caratterizzare i compatti di uno spazio metrico tramite
la metrica; per esempio in R con la metrica usuale i compatti
sono i chiusi e limitati. Ma la stessa caratterizzazione può
non valere per una metrica su R diversa da quella usuale.
Altro esempio: la funzione
e(x,y) = |arctan x - arctan y|
è una metrica su R. Un insieme chiuso e limitato rispetto
a questa metrica non è necessariamente compatto (il viceversa
invece è vero). Perché?
Ciao
Enrico
Giorgio Bibbiani
Jul 2, 2013, 10:59:01 AM7/2/13
to
Enrico Gregorio ha scritto:
Considero l'insieme R che e' chiuso e limitato rispetto
a questa metrica, dalla successione in R dei naturali
non e' possibile estrarre alcuna sottosuccessione
convergente, quindi R non e' compatto.
> (il viceversa invece è vero). Perché?
Ogni insieme X in R e' limitato, se X e'
compatto inoltre contiene tutti i suoi punti di
accumulazione, infatti se y e' un punto di
accumulazione di X allora esiste una successione
di elementi di X che converge a y, dato che X
e' compatto da questa successione e' possibile
estrarre una sottosuccessione convergente a un
elemento z di X, ma per l'unicita' del limite in uno
spazio metrico, quindi di Hausdorff, si ha z = y
e X e' chiuso.
Ciao
--
Giorgio Bibbiani
> Puoi caratterizzare i compatti di uno spazio metrico tramite
> la metrica; per esempio in R con la metrica usuale i compatti
> sono i chiusi e limitati. Ma la stessa caratterizzazione può
> non valere per una metrica su R diversa da quella usuale.
>
> Altro esempio: la funzione
>
> e(x,y) = |arctan x - arctan y|
>
> è una metrica su R. Un insieme chiuso e limitato rispetto
> a questa metrica non è necessariamente compatto
Vediamo se mi ricordo qualcosa...;-)
> la metrica; per esempio in R con la metrica usuale i compatti
> sono i chiusi e limitati. Ma la stessa caratterizzazione può
> non valere per una metrica su R diversa da quella usuale.
>
> Altro esempio: la funzione
>
> e(x,y) = |arctan x - arctan y|
>
> è una metrica su R. Un insieme chiuso e limitato rispetto
> a questa metrica non è necessariamente compatto
Considero l'insieme R che e' chiuso e limitato rispetto
a questa metrica, dalla successione in R dei naturali
non e' possibile estrarre alcuna sottosuccessione
convergente, quindi R non e' compatto.
> (il viceversa invece è vero). Perché?
compatto inoltre contiene tutti i suoi punti di
accumulazione, infatti se y e' un punto di
accumulazione di X allora esiste una successione
di elementi di X che converge a y, dato che X
e' compatto da questa successione e' possibile
estrarre una sottosuccessione convergente a un
elemento z di X, ma per l'unicita' del limite in uno
spazio metrico, quindi di Hausdorff, si ha z = y
e X e' chiuso.
Ciao
--
Giorgio Bibbiani
Enrico Gregorio
Jul 2, 2013, 11:49:06 AM7/2/13
to
Giorgio Bibbiani <giorgio_bi...@virgilio.it.invalid> scrive:
Che ogni compatto in uno spazio di Hausdorff sia chiuso
è ben noto. La domanda, forse non bene espressa, era
di verificare che se K è un compatto in uno spazio
metrico allora è (chiuso e) limitato.
L'esempio di prima dimostra che questa condizione
è necessaria, ma non sufficiente in generale.
Ciao
Enrico
è ben noto. La domanda, forse non bene espressa, era
di verificare che se K è un compatto in uno spazio
metrico allora è (chiuso e) limitato.
L'esempio di prima dimostra che questa condizione
è necessaria, ma non sufficiente in generale.
Ciao
Enrico
marcofuics
Jul 2, 2013, 12:00:21 PM7/2/13
to
finalmente ci sono arrivato anch'io :)
Giorgio Bibbiani
Jul 2, 2013, 12:40:01 PM7/2/13
to
Enrico Gregorio ha scritto:
Allora basta ipotizzare per assurdo che K non
sia limitato => esiste x_0 appartenente a K t.c.
per ogni n naturale esiste x_n in K t.c.
d(x_0, x_n) > n, la successione x_n non ammette
alcuna sottosuccessione convergente in K, infatti se
la sottosuccessione x_k_n fosse convergente a un
elemento x di K, data la disuguaglianza triangolare:
d(x_0, x_k_n) < d(x_0, x) + d(x_k_n, x)
e dato che il membro destro della disuguaglianza e'
limitato e quello sinistro diverge si avrebbe un assurdo.
> L'esempio di prima dimostra che questa condizione
> è necessaria, ma non sufficiente in generale.
Ciao
--
Giorgio Bibbiani
> Che ogni compatto in uno spazio di Hausdorff sia chiuso
> è ben noto. La domanda, forse non bene espressa, era
> di verificare che se K è un compatto in uno spazio
> metrico allora è (chiuso e) limitato.
Avrei dovuto capirlo, ma sono molto arrugginito...
> è ben noto. La domanda, forse non bene espressa, era
> di verificare che se K è un compatto in uno spazio
> metrico allora è (chiuso e) limitato.
Allora basta ipotizzare per assurdo che K non
sia limitato => esiste x_0 appartenente a K t.c.
per ogni n naturale esiste x_n in K t.c.
d(x_0, x_n) > n, la successione x_n non ammette
alcuna sottosuccessione convergente in K, infatti se
la sottosuccessione x_k_n fosse convergente a un
elemento x di K, data la disuguaglianza triangolare:
d(x_0, x_k_n) < d(x_0, x) + d(x_k_n, x)
e dato che il membro destro della disuguaglianza e'
limitato e quello sinistro diverge si avrebbe un assurdo.
> L'esempio di prima dimostra che questa condizione
> è necessaria, ma non sufficiente in generale.
Ciao
Giorgio Bibbiani
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