l'integrale di una funzione periodica

[Carignolo]

l'integrale (calcolato su un periodo) di una funzione periodica è sempre
zero?

Se è il seno o il coseno ordinari va bene, ma se il grafico della funzione è
ad es. l'onda triangolare di periodo T , il suo integrale su T è l'area del
triangolo, un numero positivo!

Il libro fa esempi di integrali di esponenziali complessi periodici , e per
loro l'integrale sul periodo T dell'esponenziale è nullo.

Qual è la regola? Dipende dal grafico della funzione periodica quindi?

Buona serata

[Giorgio Bibbiani]

Carignolo ha scritto:

> l'integrale (calcolato su un periodo) di una funzione periodica è
> sempre zero?

Per rispondere basta osservare che la *definizione* di
funzione periodica non determina alcuna conseguenza
sul valore dell'integrale della funzione su un intervallo di
un periodo.

> Se è il seno o il coseno ordinari va bene, ma se il grafico della
> funzione è ad es. l'onda triangolare di periodo T , il suo integrale
> su T è l'area del triangolo, un numero positivo!

Dunque ti sei risposto da solo!

> Il libro fa esempi di integrali di esponenziali complessi periodici ,
> e per loro l'integrale sul periodo T dell'esponenziale è nullo.

Infatti ad es. la funzione trigonometrica seno (e di conseguenza
coseno) ha integrale (e di conseguenza la media) nullo sul periodo.

> Qual è la regola? Dipende dal grafico della funzione periodica
> quindi?

Certamente, a ogni funzione corrisponde un dato
integrale sul periodo; data ad es. una funzione reale di
variabile reale, su un intervallo di un periodo, se l'area
della parte di grafico giacente nel semipiano y > 0 e'
uguale a quella della parte giacente nel semipiano
y < 0 allora l'integrale sara' nullo.

Ciao
--
Giorgio Bibbiani

[Giorgio Bibbiani]

Ho scritto:

> se l'area della parte di grafico giacente nel semipiano y > 0

Riscrivo un po' meglio ;-):

l'area sottostante al grafico nel semipiano y > 0 ecc. ecc..

--
Giorgio Bibbiani

[Carignolo]

<"Giorgio Bibbiani" ha scritto nel messaggio
news:ns7p5n$8pa$1...@dont-email.me...

<Infatti ad es. la funzione trigonometrica seno (e di conseguenza
<coseno) ha integrale (e di conseguenza la media) nullo sul periodo.

Grazie,ho capito.
Quindi l'esponenziale complesso ha integrale nullo sul periodo perchè è una
combinazione lineare di seni e coseni trigonometrici?

[Giorgio Bibbiani]

Carignolo ha scritto:
> Quindi l'esponenziale complesso ha integrale nullo sul periodo perchč
> č una combinazione lineare di seni e coseni trigonometrici?

Si', se intendi per esponenziale complesso la funzione di x:

exp(y + i x),

ove x e' una variabile reale e y una costante complessa.

Ciao
--
Giorgio Bibbiani

[Giorgio Pastore]

Il 25/09/16 08:00, Giorgio Bibbiani ha scritto:

> Carignolo ha scritto:
>> l'integrale (calcolato su un periodo) di una funzione periodica è
>> sempre zero?
>
> Per rispondere basta osservare che la *definizione* di
> funzione periodica non determina alcuna conseguenza
> sul valore dell'integrale della funzione su un intervallo di
> un periodo.

Anche perché una funzione costante e' periodica (banalmente) con
qualsiasi periodo. E siccome la somma di due funzioni periodiche resta
periodica, l' integrale di una funzione periodica puo' sempre essere
visto come l' integrale di una costante + quello di una f. periodica a
integrale nullo.

Giorgio

[Shpalman]

Il giorno sabato 24 settembre 2016 22:11:32 UTC+2, Carignolo ha scritto:

> l'integrale (calcolato su un periodo) di una funzione periodica è sempre
> zero?

Anche la funzione costante è periodica.
Però l'integrale della derivata di una funzione periodica è nullo sul periodo :)

[Pangloss]

[it.scienza.matematica 26 Sep 2016] Shpalman ha scritto:
> Anche la funzione costante è periodica.

Quiz: dare un esempio di funzione _non_ costante avente infiniti periodi. ;-)

--
Elio Proietti
Valgioie (TO)

[El Filibustero]

On Mon, 26 Sep 2016 20:21:27 +0000 (UTC), Pangloss wrote:

>[it.scienza.matematica 26 Sep 2016] Shpalman ha scritto:
>> Anche la funzione costante è periodica.
>
>Quiz: dare un esempio di funzione _non_ costante avente infiniti periodi. ;-)

Viene spontaneo pensare alla funzione di Dirichlet:

1 per x razionale
0 per x irrazionale

comunque dipende da quale definizione di periodicita' si intende
usare.

Se ci limitiamo a definire periodo T di f qualunque reale tale che

(per ogni x) (x+T)=f(x)

allora ogni funzione come sopra ha banalmente infiniti periodi: i
multipli interi di T.

Se invece usiamo la IMHO piu' appropriata:

(per ogni x) (x+T)=f(x) AND (non esiste n>1)(per ogni x) (x+T/n)=f(x)

allora non ci sono funzioni con due periodi commensurabili distinti.
Infatti, se T ed S fossero reali distinti commensurabili (cioe' T/S e'
razionale) tali che

(per ogni x) (x+T)=f(x) AND (per ogni x) (x+S)=f(x) (#)

per l'algoritmo di Euclide si avrebbe pure

(per ogni x) (x+MCD(T,S))=f(x)

che, congiunta alle due di sopra, asserisce che o T o S o entrambi
*non* sono periodo. Ne segue che non esiste alcuna f continua (non
costante) con piu' di un periodo.

Addirittura, secondo questa definizione, la funzione costante sarebbe
aperiodica, come pure la funzione di Dirichlet. Ciao

[Shpalman]

Il giorno lunedì 26 settembre 2016 22:21:41 UTC+2, Pangloss ha scritto:

> > Anche la funzione costante è periodica.
>
> Quiz: dare un esempio di funzione _non_ costante avente infiniti periodi. ;-)

La vuoi anche continua?

[BlueRay]

Ma devi dare delle condizioni alla funzione altrimenti questo che dici non mi pare vero: una funzione che negli intervalli limitati [a_i,b_i) e' monotona crescente...
Ovviamente sara' pero' discontinua in b_i.

--
BlueRay

[Pangloss]

[it.scienza.matematica 27 Sep 2016] El Filibustero ha scritto:
> On Mon, 26 Sep 2016 20:21:27 +0000 (UTC), Pangloss wrote:
>>Quiz: dare un esempio di funzione _non_ costante avente infiniti periodi. ;-)
> Viene spontaneo pensare alla funzione di Dirichlet:

Avevo in mente lo stesso esempio. ;-)

> comunque dipende da quale definizione di periodicita' si intende
> usare.
> Se ci limitiamo a definire periodo T di f qualunque reale tale che
> (per ogni x) (x+T)=f(x)
> allora ogni funzione come sopra ha banalmente infiniti periodi: i
> multipli interi di T.

Sono stato piuttosto laconico. La tua risposta e' ineccepibile come al solito.
Aggiungo qualche commento ad uso di terzi, tu non ne hai certo bisogno. ;-)

I multipli di un periodo T sono anch'essi periodi, percio' quando si dichiara il
periodo "proprio" di una funzione si sottointende che i suoi sottomultipli non
siano a loro volta periodi.
Ad es. si dice che la funzione sin^2(x) ha periodo T=pi (e non 2*pi ecc.)

> Se invece usiamo la IMHO piu' appropriata:
> (per ogni x) (x+T)=f(x) AND (non esiste n>1)(per ogni x) (x+T/n)=f(x)
> allora non ci sono funzioni con due periodi commensurabili distinti.

> Infatti ... (cut)

Certo, due periodi commensurabili distinti sono multipli di un medesimo
periodo "proprio". Ma potrebbero esistere funzioni con piu' periodi
incommensurabili distinti, non multipli di un medesimo periodo proprio.

> .... Ne segue che non esiste alcuna f continua (non

> costante) con piu' di un periodo.
> Addirittura, secondo questa definizione, la funzione costante sarebbe
> aperiodica, come pure la funzione di Dirichlet. Ciao

OK! Invece secondo l'usuale definizione la funzione di Dirichlet ammetterebbe
come periodi tutti i numeri razionali.

[Shpalman]

La derivabilità dovrebbe essere sufficiente.

[El Filibustero]

On Tue, 27 Sep 2016 08:53:58 +0000 (UTC), Pangloss wrote:

>Certo, due periodi commensurabili distinti sono multipli di un medesimo
>periodo "proprio". Ma potrebbero esistere funzioni con piu' periodi
>incommensurabili distinti, non multipli di un medesimo periodo proprio.

Una funzione con infiniti periodi "propri" (a differenza della
Dirichlet che non ne ha nemmeno uno) potrebbe essere la seguente.

Consideriamo una base {1,a,b,...} di R su Q. Dato che qualunque reale
x si scrive in uno e un solo modo come combinazione lineare di
{1,a,b,...} a rispettivi coefficienti razionali x1, xa, xb...

x = x1*1 + xa*a + xb*b + ...

definendo

f(x) = [x1]*1 + [xa]*a + [xb]*b + ...

dove [t] indica la parte frazionaria di t, f ha tutti gli infiniti
periodi propri 1,a,b,..., in quanto (ad esempio)

x+b = x1*1 + xa*a + (xb+1)*b + ...

e cosi'

f(x+b) = [x1]*1+[xa]*a+[xb+1]*b+... = [x1]*1+[xa]*a+[xb]*b+... = f(x)

Ciao

[Pangloss]

[it.scienza.matematica 27 Sep 2016] El Filibustero ha scritto:
>

> Una funzione con infiniti periodi "propri" (a differenza della
> Dirichlet che non ne ha nemmeno uno) potrebbe essere la seguente.
> Consideriamo una base {1,a,b,...} di R su Q. Dato che qualunque reale
> x si scrive in uno e un solo modo come combinazione lineare di
> {1,a,b,...} a rispettivi coefficienti razionali x1, xa, xb...
>
> x = x1*1 + xa*a + xb*b + ...
>
> definendo
>
> f(x) = [x1]*1 + [xa]*a + [xb]*b + ...
>
> dove [t] indica la parte frazionaria di t, f ha tutti gli infiniti
> periodi propri 1,a,b,..., in quanto (ad esempio)
>
> x+b = x1*1 + xa*a + (xb+1)*b + ...
>
> e cosi'
>
> f(x+b) = [x1]*1+[xa]*a+[xb+1]*b+... = [x1]*1+[xa]*a+[xb]*b+... = f(x)

Wow! Sei diabolico!

A questo punto permettimi di chiederti almeno un esempio di "base" dello spazio
vettoriale R su Q. Di primo acchito, pensando alla rappresentazione decimale dei
numeri reali, mi era parso che una base potesse essere {10^n | n in Z}, ma tali
vettori base non sono affatto indipendenti tra loro sul corpo Q,
Dopo il primo elemento 1 tutti gli altri elementi dovrebbero essere irrazionali,
ma come si puo' costruire una sequenza di elementi {1,a,b...} indipendenti?

[El Filibustero]

On Tue, 27 Sep 2016 12:38:35 +0000 (UTC), Pangloss wrote:

>A questo punto permettimi di chiederti almeno un esempio di "base" dello spazio
>vettoriale R su Q.

E' dura dare un esempio concreto di un qualcosa che esiste solo in
virtu' dell'assioma di scelta.

>Dopo il primo elemento 1 tutti gli altri elementi dovrebbero essere irrazionali,
>ma come si puo' costruire una sequenza di elementi {1,a,b...} indipendenti?

Si possono prendere le potenze di un trascendente, ad esempio e:

{1, e, ee, eee...}

ma questo insieme numerabile di reali indipendenti ancora non e' una
base di R su Q, in quanto produrrebbe "appena" una quantita'
numerabile C di combinazioni lineari. Comunque, definendo nulla f per
x non in C, ma facendo per x in C come nel post precedente, dovremmo
avere lo stesso una f che ha infiniti periodi: le potenze di e. Ciao

[Pangloss]

[it.scienza.matematica 27 Sep 2016] El Filibustero ha scritto:

> On Tue, 27 Sep 2016 12:38:35 +0000 (UTC), Pangloss wrote:
>>A questo punto permettimi di chiederti almeno un esempio di "base" dello spazio
>>vettoriale R su Q.
> E' dura dare un esempio concreto di un qualcosa che esiste solo in
> virtu' dell'assioma di scelta.

Gia'... proprio per questo ho parlato di "costruire una sequenza"

>>Dopo il primo elemento 1 tutti gli altri elementi dovrebbero essere irrazionali,
>>ma come si puo' costruire una sequenza di elementi {1,a,b...} indipendenti?
> Si possono prendere le potenze di un trascendente, ad esempio e:
> {1, e, ee, eee...}

Anche a questo esempio avevo pensato, ma senza concludere...

> ma questo insieme numerabile di reali indipendenti ancora non e' una
> base di R su Q, in quanto produrrebbe "appena" una quantita'
> numerabile C di combinazioni lineari. Comunque, definendo nulla f per
> x non in C, ma facendo per x in C come nel post precedente, dovremmo
> avere lo stesso una f che ha infiniti periodi: le potenze di e. Ciao

Mi pare che ora sia tutto OK.
Eh... non e' facile fare lo sgambetto a El Filibustero! ;-)
Ciao

[BlueRay]

Penso proprio di si. Come dimostreresti l'asserto che l'integrale della derivata di una funzione periodica è nullo sul periodo?

--
BlueRay

[El Filibustero]

On Thu, 29 Sep 2016 04:28:00 -0700 (PDT), BlueRay wrote:

>Penso proprio di si. Come dimostreresti l'asserto che l'integrale
>della derivata di una funzione periodica è nullo sul periodo?

se f e' derivabile in [a,b] e la sua derivata e' integrabile su [a,b],
l'integrale su [a,b] di questa derivata e' f(b)-f(a). Nient'altro che
il th. di Torricelli-Barrow. Ciao

[BlueRay]

Vero, che distratto! :-)
Ciao.

--
BlueRay

[Anselmo]

"Giorgio Pastore" ha scritto nel messaggio
news:e4ps4i...@mid.individual.net...

<Anche perché una funzione costante e' periodica (banalmente) con
<qualsiasi periodo. E siccome la somma di due funzioni periodiche resta
<periodica, l' integrale di una funzione periodica puo' sempre essere
<visto come l' integrale di una costante + quello di una f. periodica a
<integrale nullo.

non ho capito questa cosa della somma di due funzioni periodiche

cioè ad es. l'integrale del senx è = all'integrale di k + sen x ?

[Giorgio Pastore]

Il 30/09/16 02:24, Anselmo ha scritto:

.
> non ho capito questa cosa della somma di due funzioni periodiche
>
> cioè ad es. l'integrale del senx è = all'integrale di k + sen x ?

Naturalmente no.Ho solo osservato che se f e' periodica e ad integrale
nullo sul periodo e g e' una costante, ovviamente

1) f+g e' periodica con lo stesso periodo di f
2) l' integrale sul periodo di f+g e' pari a periodo*g

siccome g e' arbitraria, l' integrale di una f. periodica generale puo'
essere qualsiasi numero.