Google Groups no longer supports new Usenet posts or subscriptions. Historical content remains viewable.
Dismiss
Verifica di isomorfismi
93 views
Skip to first unread message
Jamie
Jan 20, 2015, 4:48:41 PM1/20/15
to
Help! Devo verificare che queste applicazioni lineari siano o meno un
isomorfismo:
1) L: R^3-->R^3, L(x,y,z)=(z,y,x)
2) L: R^3-->R^2, L(x,y,z)=(7x-5z,x+4y)
3) L: R^3-->R^3 tale che L(1,0,0)=(2,0,0), L(0,1,0)=(2,1,0),
L(0,0,1)=(2,1,6)
Dunque io so che un'applicazione lineare è un isomorfismo se
invertibile, cioè se è iniettiva e suriettiva.
Inoltre è inettiva se Ker(L)={0}, suriettiva se Im(L)=codominio.
Quindi per risolvere dovrei verificare l'iniettività e la suriettività
(se ci sono altri metodi per ora non mi interessano).
Nel caso 2) posso concludere che non si tratta di un isomorfismo perché
la dimensione del dominio è > della dimensione del codominio quindi
l'applicazione non è iniettiva, pertanto non è nemmeno un isomorfismo.
Giusto?
Ma per il caso 1 e 3, mi fareste vedere i passaggi per risolvere?
Nel caso 1 potrei anche rispondere intuitivamente che è un isomorfismo
ma non saprei dimostrarlo algebricamente.
Grazie!
isomorfismo:
1) L: R^3-->R^3, L(x,y,z)=(z,y,x)
2) L: R^3-->R^2, L(x,y,z)=(7x-5z,x+4y)
3) L: R^3-->R^3 tale che L(1,0,0)=(2,0,0), L(0,1,0)=(2,1,0),
L(0,0,1)=(2,1,6)
Dunque io so che un'applicazione lineare è un isomorfismo se
invertibile, cioè se è iniettiva e suriettiva.
Inoltre è inettiva se Ker(L)={0}, suriettiva se Im(L)=codominio.
Quindi per risolvere dovrei verificare l'iniettività e la suriettività
(se ci sono altri metodi per ora non mi interessano).
Nel caso 2) posso concludere che non si tratta di un isomorfismo perché
la dimensione del dominio è > della dimensione del codominio quindi
l'applicazione non è iniettiva, pertanto non è nemmeno un isomorfismo.
Giusto?
Ma per il caso 1 e 3, mi fareste vedere i passaggi per risolvere?
Nel caso 1 potrei anche rispondere intuitivamente che è un isomorfismo
ma non saprei dimostrarlo algebricamente.
Grazie!
Jamie
Jan 21, 2015, 5:42:24 AM1/21/15
to
è giusto dire che il nucleo di 1 e 3 è quello banale?
dato che in entrambi i casi si ha che l'unico vettore la cui immagine
tramite L è il vettore nullo, cioè (0,0,0)
Enrico Gregorio
Jan 21, 2015, 7:15:45 AM1/21/15
to
Jamie <ja...@bluesky.no> scrive:
Il caso 1 è il più facile: se L(x,y,z) = 0, allora z=0, y=0, x=0.
Dunque L è iniettiva e quindi anche suriettiva (perché?).
Anche il caso 2 è facilissimo: non è un isomorfismo, perché dominio
e codominio hanno dimensioni diverse.
Il terzo. La matrice dell'applicazione lineare rispetto
alla base canonica è
2 2 2
0 1 1
0 0 6
che ha evidentemente rango 3. Quindi...
Ciao
Enrico
Dunque L è iniettiva e quindi anche suriettiva (perché?).
Anche il caso 2 è facilissimo: non è un isomorfismo, perché dominio
e codominio hanno dimensioni diverse.
Il terzo. La matrice dell'applicazione lineare rispetto
alla base canonica è
2 2 2
0 1 1
0 0 6
che ha evidentemente rango 3. Quindi...
Ciao
Enrico
Jamie
Jan 21, 2015, 8:00:11 AM1/21/15
to
On 21/01/2015 13:15, Enrico Gregorio wrote:
> Il caso 1 è il più facile: se L(x,y,z) = 0, allora z=0, y=0, x=0.
> Dunque L è iniettiva e quindi anche suriettiva (perché?).
Uhm...questa conseguenza è sempre valida? Non mi pare. Solo in questo
> Il caso 1 è il più facile: se L(x,y,z) = 0, allora z=0, y=0, x=0.
> Dunque L è iniettiva e quindi anche suriettiva (perché?).
caso immagino (cioè è iniettiva quindi suriettiva...).
Provo a risponderti in questo caso: avendo quell'applicazione solo il
nucleo banale è lecito pensare che l'immagine coincida col codominio?
> Anche il caso 2 è facilissimo: non è un isomorfismo, perché dominio
> e codominio hanno dimensioni diverse.
isomorfi se e solo se hanno uguale dimensione?
Ma possiamo da ciò concludere che un'applicazione lineare che va da uno
spazio di dimensione x a uno spazio di dimensione y non è mai isomorfa?
Ovvero il concetto di isomorfismo di uno spazio vettoriale è lo stesso
che isomorfismo di un'applicazione lineare?
> Il terzo. La matrice dell'applicazione lineare rispetto
> alla base canonica è
>
> 2 2 2
> 0 1 1
> 0 0 6
> che ha evidentemente rango 3. Quindi...
rango e queste informazioni. Probabile che siano più avanti.
Grazie!
Jamie
Jan 21, 2015, 8:51:43 AM1/21/15
to
On 21/01/2015 14:00, Jamie wrote:
>> Il terzo. La matrice dell'applicazione lineare rispetto
>> alla base canonica è
>>
>> 2 2 2
>> 0 1 1
>> 0 0 6
>
> Come l'hai ricavata?
Per esempio anche in questa applicazione lineare:
>> Il terzo. La matrice dell'applicazione lineare rispetto
>> alla base canonica è
>>
>> 2 2 2
>> 0 1 1
>> 0 0 6
>
> Come l'hai ricavata?
f: R^4 --> R^2 definita da:
f(e1)=-e2
f(e2)=3e1-4e2
f(e3)=-e1
f(e4)=3e1+e2
la matrice associata rispetto alle basi canoniche è:
0 3 -1 3
-1 -4 0 1
Ma come è stata ricavata? Qualcuno potrebbe spiegarmi i passaggi?
Grazie.
Jamie
Jan 21, 2015, 9:22:53 AM1/21/15
to
On 21/01/2015 14:51, Jamie wrote:
> On 21/01/2015 14:00, Jamie wrote:
>
>>> Il terzo. La matrice dell'applicazione lineare rispetto
>>> alla base canonica è
>>>
>>> 2 2 2
>>> 0 1 1
>>> 0 0 6
>>
>> Come l'hai ricavata?
forse ho capito
> On 21/01/2015 14:00, Jamie wrote:
>
>>> Il terzo. La matrice dell'applicazione lineare rispetto
>>> alla base canonica è
>>>
>>> 2 2 2
>>> 0 1 1
>>> 0 0 6
>>
>> Come l'hai ricavata?
è la matrice costruita mettendo in colonna i coefficienti delle immagini?
vediamo se è vero che ho capito:
prendo l'applicazione:
L:R^3-->R^2 con
L(e1)=2e1-e2
L(e2)=e1
L(e3)=e1+2e2
La matrice è quindi:
2 1 1
-1 0 2
Mentre se l'applicazione è:
L:R^3-->R^2
L(x,y,z)=(7x-5z, x+4y)
La matrice è:
7 0 5
1 4 0
Invece in questo caso:
L: R^3-->R^3 tale che L(1,0,0)=(2,0,0), L(0,1,0)=(2,1,0),
L(0,0,1)=(2,1,6)
La matrice è:
L(0,0,1)=(2,1,6)
2 2 2
0 1 1
0 0 6
(beh questa dovrebbe essere giusta :D l'hai scritta tu prima)
0 1 1
0 0 6
Chiariamo un attimo la definizione "coefficienti delle immagini".
Nell'ultimo caso, ad esempio, 2 è il coefficiente di x, 0 di y, 0 di z
(in quanto siamo in R^3), etc.
Right?
Jamie
Jan 21, 2015, 9:28:49 AM1/21/15
to
On 21/01/2015 14:51, Jamie wrote:
> Per esempio anche in questa applicazione lineare:
> f: R^4 --> R^2 definita da:
> f(e1)=-e2
> f(e2)=3e1-4e2
> f(e3)=-e1
> f(e4)=3e1+e2
>
> la matrice associata rispetto alle basi canoniche è:
>
> 0 3 -1 3
> -1 -4 0 1
>
infine, avendo questa matrice rango 2, posso dire che il nucleo ha
> f: R^4 --> R^2 definita da:
> f(e1)=-e2
> f(e2)=3e1-4e2
> f(e3)=-e1
> f(e4)=3e1+e2
>
> la matrice associata rispetto alle basi canoniche è:
>
> 0 3 -1 3
> -1 -4 0 1
>
dimensione 2?
e questa cosa è sempre valida? cioè se ho una matrice associata ad
un'applicazione lineare rispetto alle basi canoniche, la riduco a
scalini e trovo il suo rango, esso corrisponde alla dimensione del nucleo?
del resto la riduzione a scalini è servita per trovare la base del
nucleo, ed essendo essa di dimensione 2...
cometa_luminosa
Jan 22, 2015, 1:23:31 PM1/22/15
to
Caso 3:
L(1,0,0)=(2,0,0)
L(0,1,0)=(2,1,0)
L(0,0,1)=(2,1,6)
quindi L(x,y,z) = L[(x,0,0) + (0,y,0) + (0,0,z)] = [sfrutto la linearita'] =
= x*(2,0,0) + y*(2,1,0) + z*(2,1,6) = (2x+2y+2z,y+z,6z).
Che potresti scrivere:
X = 2x+2y+2z
Y = y+z
Z = 6z
percio', un metodo (non so se complicato o meno, non ho sviluppato i calcoli) per vedere se L e' isomorfismo e' di vedere se puoi invertire le 3 equazioni di cui qui sopra e trovare x, y e z in funzione di X, Y, Z tramite una funzione che chiamo N ed N e' lineare e ker(N) = 0.
--
cometa_luminosa
Enrico Gregorio
Jan 23, 2015, 11:36:19 AM1/23/15
to
Jamie <ja...@bluesky.no> scrive:
> On 21/01/2015 13:15, Enrico Gregorio wrote:
>
> > Il caso 1 è il più facile: se L(x,y,z) = 0, allora z=0, y=0, x=0.
> > Dunque L è iniettiva e quindi anche suriettiva (perché?).
>
> Uhm...questa conseguenza è sempre valida? Non mi pare. Solo in questo
> caso immagino (cioè è iniettiva quindi suriettiva...).
La condizione "iniettività = suriettività" vale quando hai
un'applicazione lineare tra spazi di uguale dimensione (finita).
> Provo a risponderti in questo caso: avendo quell'applicazione solo il
> nucleo banale è lecito pensare che l'immagine coincida col codominio?
>
> > Anche il caso 2 è facilissimo: non è un isomorfismo, perché dominio
> > e codominio hanno dimensioni diverse.
>
> Ti riferisci al teorema che dice che due spazi vettoriali V e W sono
> isomorfi se e solo se hanno uguale dimensione?
Certo.
> Ma possiamo da ciò concludere che un'applicazione lineare che va da uno
> spazio di dimensione x a uno spazio di dimensione y non è mai isomorfa?
> Ovvero il concetto di isomorfismo di uno spazio vettoriale è lo stesso
> che isomorfismo di un'applicazione lineare?
Teorema nullità e rango: se f: V -> W è lineare, la dimensione
dello spazio nullo (o nucleo) è n e la dimensione dell'immagine
è k, allora n+k = dim V.
In particolare k <= dim V. Ovviamente anche n <= dim V, ma per
motivi più semplici.
Supponi che dim V < dim W. Allora k <= dim V, dunque k < dim W
e quindi f non è suriettiva.
Supponi che dim V > dim W. Da k <= dim W segue dunque che
n = dim V - k >= dim V - dim W > 0
e quindi f non è iniettiva.
> > Il terzo. La matrice dell'applicazione lineare rispetto
> > alla base canonica è
> >
> > 2 2 2
> > 0 1 1
> > 0 0 6
>
> Come l'hai ricavata?
Come tutte le matrici associate, che diamine! ;-)
> > che ha evidentemente rango 3. Quindi...
>
> ... non so proseguire perché ancora non ho trovato associazioni fra il
> rango e queste informazioni. Probabile che siano più avanti.
Il rango di un'applicazione lineare è uguale al rango di una
qualsiasi matrice associata dopo una scelta di basi su dominio
e codominio.
Ciao
Enrico
> On 21/01/2015 13:15, Enrico Gregorio wrote:
>
> > Il caso 1 è il più facile: se L(x,y,z) = 0, allora z=0, y=0, x=0.
> > Dunque L è iniettiva e quindi anche suriettiva (perché?).
>
> Uhm...questa conseguenza è sempre valida? Non mi pare. Solo in questo
> caso immagino (cioè è iniettiva quindi suriettiva...).
un'applicazione lineare tra spazi di uguale dimensione (finita).
> Provo a risponderti in questo caso: avendo quell'applicazione solo il
> nucleo banale è lecito pensare che l'immagine coincida col codominio?
>
> > Anche il caso 2 è facilissimo: non è un isomorfismo, perché dominio
> > e codominio hanno dimensioni diverse.
>
> Ti riferisci al teorema che dice che due spazi vettoriali V e W sono
> isomorfi se e solo se hanno uguale dimensione?
> Ma possiamo da ciò concludere che un'applicazione lineare che va da uno
> spazio di dimensione x a uno spazio di dimensione y non è mai isomorfa?
> Ovvero il concetto di isomorfismo di uno spazio vettoriale è lo stesso
> che isomorfismo di un'applicazione lineare?
dello spazio nullo (o nucleo) è n e la dimensione dell'immagine
è k, allora n+k = dim V.
In particolare k <= dim V. Ovviamente anche n <= dim V, ma per
motivi più semplici.
Supponi che dim V < dim W. Allora k <= dim V, dunque k < dim W
e quindi f non è suriettiva.
Supponi che dim V > dim W. Da k <= dim W segue dunque che
n = dim V - k >= dim V - dim W > 0
e quindi f non è iniettiva.
> > Il terzo. La matrice dell'applicazione lineare rispetto
> > alla base canonica è
> >
> > 2 2 2
> > 0 1 1
> > 0 0 6
>
> Come l'hai ricavata?
> > che ha evidentemente rango 3. Quindi...
>
> ... non so proseguire perché ancora non ho trovato associazioni fra il
> rango e queste informazioni. Probabile che siano più avanti.
qualsiasi matrice associata dopo una scelta di basi su dominio
e codominio.
Ciao
Enrico
Elio Fabri
Jan 23, 2015, 2:57:56 PM1/23/15
to
Jamie ha scritto:
è detto sia sempre il modo più facile e rapido.
> Nel caso 2) posso concludere che non si tratta di un isomorfismo
> perché la dimensione del dominio è > della dimensione del codominio
> quindi l'applicazione non è iniettiva, pertanto non è nemmeno un
> isomorfismo.
> Giusto?
Giusto, anche se pensavo che avresti potuto riferirti a un risultato
generale: due spazi vettoriali sullo stesso campo sono isomorfi se e
solo se hanno la stessa dimensione (vale solo per dim. finita, ma tu
non hai certo incontrato il caso di dim. infinita :-) )
Quanto agli altri casi, in cui il codominio ha dim. 3, hai un
isomorfismo se e solo se L(e1), L(e2), L(e3) sono una base nel
codominio (perché?).
Per 1) la cosa è ovvia, dato che L non fa che scambiare e1 ed e3.
Per 3), devi dimostrare che le tre immagini (2,0,0), (2,1,0), (2,1,6)
sono indip.
Non c'è bisgno di nessun calcolo (lo so che questo approccio non ti
piace, ma quando arriverà a piacerti, passerai l'esame in un soffio
:-) ).
(2,1,0) è certo indip. da (2,0,0), perché tutti i multipli di (2,0,0)
hanno nulla la seconda componente.
(2,1,6) è indip. dagli altri due, perché tutte le loro comb. lin.
hanno nulla la terza componente.
PS. Ho letto il post di Enrico Gregorio dopo che avevo scritto il mio.
Ci sono ripetizioni, ma non me la sentivo di riscriverlo daccapo :)
--
Elio Fabri
_____________________________
|_____________________________)\_
|_____________________________)/
Ceci est un crayon
> Help! Devo verificare che queste applicazioni lineari siano o meno un
> isomorfismo:
>
> 1) L: R^3-->R^3, L(x,y,z)=(z,y,x)
> 2) L: R^3-->R^2, L(x,y,z)=(7x-5z,x+4y)
> 3) L: R^3-->R^3 tale che L(1,0,0)=(2,0,0), L(0,1,0)=(2,1,0),
> L(0,0,1)=(2,1,6)
>
> Dunque io so che un'applicazione lineare è un isomorfismo se
> invertibile, cioè se è iniettiva e suriettiva.
> Inoltre è inettiva se Ker(L)={0}, suriettiva se Im(L)=codominio.
> Quindi per risolvere dovrei verificare l'iniettività e la
> suriettività (se ci sono altri metodi per ora non mi interessano).
Ecco il tuo difetto: pensi sempre di rifarti alle definizioni, che non
> isomorfismo:
>
> 1) L: R^3-->R^3, L(x,y,z)=(z,y,x)
> 2) L: R^3-->R^2, L(x,y,z)=(7x-5z,x+4y)
> 3) L: R^3-->R^3 tale che L(1,0,0)=(2,0,0), L(0,1,0)=(2,1,0),
> L(0,0,1)=(2,1,6)
>
> Dunque io so che un'applicazione lineare è un isomorfismo se
> invertibile, cioè se è iniettiva e suriettiva.
> Inoltre è inettiva se Ker(L)={0}, suriettiva se Im(L)=codominio.
> Quindi per risolvere dovrei verificare l'iniettività e la
> suriettività (se ci sono altri metodi per ora non mi interessano).
è detto sia sempre il modo più facile e rapido.
> Nel caso 2) posso concludere che non si tratta di un isomorfismo
> perché la dimensione del dominio è > della dimensione del codominio
> quindi l'applicazione non è iniettiva, pertanto non è nemmeno un
> isomorfismo.
> Giusto?
generale: due spazi vettoriali sullo stesso campo sono isomorfi se e
solo se hanno la stessa dimensione (vale solo per dim. finita, ma tu
non hai certo incontrato il caso di dim. infinita :-) )
Quanto agli altri casi, in cui il codominio ha dim. 3, hai un
isomorfismo se e solo se L(e1), L(e2), L(e3) sono una base nel
codominio (perché?).
Per 1) la cosa è ovvia, dato che L non fa che scambiare e1 ed e3.
Per 3), devi dimostrare che le tre immagini (2,0,0), (2,1,0), (2,1,6)
sono indip.
Non c'è bisgno di nessun calcolo (lo so che questo approccio non ti
piace, ma quando arriverà a piacerti, passerai l'esame in un soffio
:-) ).
(2,1,0) è certo indip. da (2,0,0), perché tutti i multipli di (2,0,0)
hanno nulla la seconda componente.
(2,1,6) è indip. dagli altri due, perché tutte le loro comb. lin.
hanno nulla la terza componente.
PS. Ho letto il post di Enrico Gregorio dopo che avevo scritto il mio.
Ci sono ripetizioni, ma non me la sentivo di riscriverlo daccapo :)
--
Elio Fabri
_____________________________
|_____________________________)\_
|_____________________________)/
Ceci est un crayon
Jamie
Jan 26, 2015, 11:05:11 AM1/26/15
to
On 23/01/2015 17:36, Enrico Gregorio wrote:
> La condizione "iniettività = suriettività" vale quando hai
> un'applicazione lineare tra spazi di uguale dimensione (finita).
Quindi se ho un'app. lin. da R^3 a R^3 e so che l'applicazione è
> La condizione "iniettività = suriettività" vale quando hai
> un'applicazione lineare tra spazi di uguale dimensione (finita).
iniettiva (o suriettiva) posso dare per certo che è entrambe le cose?
>> Ti riferisci al teorema che dice che due spazi vettoriali V e W sono
>> isomorfi se e solo se hanno uguale dimensione?
>
> Certo.
sicuramente iniettiva e suriettiva.
La dico meglio: se ho due sv e sono isomorfi, allora un'app. lineare
qualsiasi fra due sv è isomorfa anch'essa (e quindi iniettiva e suriettiva)?
> Teorema nullità e rango: se f: V -> W è lineare, la dimensione
> dello spazio nullo (o nucleo) è n e la dimensione dell'immagine
> è k, allora n+k = dim V.
>
> In particolare k <= dim V. Ovviamente anche n <= dim V, ma per
> motivi più semplici.
>
> Supponi che dim V < dim W. Allora k <= dim V, dunque k < dim W
> e quindi f non è suriettiva.
>
> Supponi che dim V > dim W. Da k <= dim W segue dunque che
>
> n = dim V - k >= dim V - dim W > 0
>
> e quindi f non è iniettiva.
>
>> Come l'hai ricavata?
>
> Come tutte le matrici associate, che diamine! ;-)
>
>>> che ha evidentemente rango 3. Quindi...
>>
>> ... non so proseguire perché ancora non ho trovato associazioni fra il
>> rango e queste informazioni. Probabile che siano più avanti.
>
> Il rango di un'applicazione lineare è uguale al rango di una
> qualsiasi matrice associata dopo una scelta di basi su dominio
> e codominio.
Potresti spiegarmi meglio questa parte:
>>> che ha evidentemente rango 3. Quindi...
>>
>> ... non so proseguire perché ancora non ho trovato associazioni fra il
>> rango e queste informazioni. Probabile che siano più avanti.
>
> Il rango di un'applicazione lineare è uguale al rango di una
> qualsiasi matrice associata dopo una scelta di basi su dominio
> e codominio.
"dopo una scelta di basi su dominio e codominio"
?
Grazie :-)
Enrico Gregorio
Jan 28, 2015, 12:35:47 PM1/28/15
to
Jamie <ja...@bluesky.no> scrive:
> On 23/01/2015 17:36, Enrico Gregorio wrote:
>
> > La condizione "iniettività = suriettività" vale quando hai
> > un'applicazione lineare tra spazi di uguale dimensione (finita).
>
> Quindi se ho un'app. lin. da R^3 a R^3 e so che l'applicazione è
> iniettiva (o suriettiva) posso dare per certo che è entrambe le cose?
Certo.
> >> Ti riferisci al teorema che dice che due spazi vettoriali V e W sono
> >> isomorfi se e solo se hanno uguale dimensione?
> >
> > Certo.
>
> Ma non posso concludere da questo che un'app.lineare da R^n a R^n è
> sicuramente iniettiva e suriettiva.
> La dico meglio: se ho due sv e sono isomorfi, allora un'app. lineare
> qualsiasi fra due sv è isomorfa anch'essa (e quindi iniettiva e suriettiva)?
Neanche per idea! Considera f(x)=0.
> > Teorema nullità e rango: se f: V -> W è lineare, la dimensione
> > dello spazio nullo (o nucleo) è n e la dimensione dell'immagine
> > è k, allora n+k = dim V.
> >
> > In particolare k <= dim V. Ovviamente anche n <= dim V, ma per
> > motivi più semplici.
> >
> > Supponi che dim V < dim W. Allora k <= dim V, dunque k < dim W
> > e quindi f non è suriettiva.
> >
> > Supponi che dim V > dim W. Da k <= dim W segue dunque che
> >
> > n = dim V - k >= dim V - dim W > 0
> >
> > e quindi f non è iniettiva.
> >
>
> Ok.
>
> >> Come l'hai ricavata?
> >
> > Come tutte le matrici associate, che diamine! ;-)
>
> Ed io che credevo chissà cosa :P
> >
> >>> che ha evidentemente rango 3. Quindi...
> >>
> >> ... non so proseguire perché ancora non ho trovato associazioni fra il
> >> rango e queste informazioni. Probabile che siano più avanti.
> >
> > Il rango di un'applicazione lineare è uguale al rango di una
> > qualsiasi matrice associata dopo una scelta di basi su dominio
> > e codominio.
>
> Potresti spiegarmi meglio questa parte:
> "dopo una scelta di basi su dominio e codominio"
> ?
Non puoi parlare di matrice associata se non hai scelto una
ben determinata base sul dominio e una sul codominio. Che
c'è di misterioso?
Ciao
Enrico
> On 23/01/2015 17:36, Enrico Gregorio wrote:
>
> > La condizione "iniettività = suriettività" vale quando hai
> > un'applicazione lineare tra spazi di uguale dimensione (finita).
>
> Quindi se ho un'app. lin. da R^3 a R^3 e so che l'applicazione è
> iniettiva (o suriettiva) posso dare per certo che è entrambe le cose?
> >> Ti riferisci al teorema che dice che due spazi vettoriali V e W sono
> >> isomorfi se e solo se hanno uguale dimensione?
> >
> > Certo.
>
> Ma non posso concludere da questo che un'app.lineare da R^n a R^n è
> sicuramente iniettiva e suriettiva.
> La dico meglio: se ho due sv e sono isomorfi, allora un'app. lineare
> qualsiasi fra due sv è isomorfa anch'essa (e quindi iniettiva e suriettiva)?
> > Teorema nullità e rango: se f: V -> W è lineare, la dimensione
> > dello spazio nullo (o nucleo) è n e la dimensione dell'immagine
> > è k, allora n+k = dim V.
> >
> > In particolare k <= dim V. Ovviamente anche n <= dim V, ma per
> > motivi più semplici.
> >
> > Supponi che dim V < dim W. Allora k <= dim V, dunque k < dim W
> > e quindi f non è suriettiva.
> >
> > Supponi che dim V > dim W. Da k <= dim W segue dunque che
> >
> > n = dim V - k >= dim V - dim W > 0
> >
> > e quindi f non è iniettiva.
> >
>
> Ok.
>
> >> Come l'hai ricavata?
> >
> > Come tutte le matrici associate, che diamine! ;-)
>
> Ed io che credevo chissà cosa :P
> >
> >>> che ha evidentemente rango 3. Quindi...
> >>
> >> ... non so proseguire perché ancora non ho trovato associazioni fra il
> >> rango e queste informazioni. Probabile che siano più avanti.
> >
> > Il rango di un'applicazione lineare è uguale al rango di una
> > qualsiasi matrice associata dopo una scelta di basi su dominio
> > e codominio.
>
> Potresti spiegarmi meglio questa parte:
> "dopo una scelta di basi su dominio e codominio"
> ?
ben determinata base sul dominio e una sul codominio. Che
c'è di misterioso?
Ciao
Enrico
0 new messages