Quiz di Matematica su monete e rotazioni
Francesco Da Riva
alla mia ragazza, durante un corso per la preparazione all'esame
di ammission all'università, hanno sottoposto questo test ma la
risposta che le hanno dato, definendola banale, a me non torna.
Il testo dell'esercizio è il seguente:
Immaginate di mettere sul tavolo due monete, una più grande ed una più
piccola, in modo che i bordi si tocchino. la moneta più grande ha
diametro doppio della più piccola. Tenendo ferma la piu grande, fate
ruotare la piu piccola attorna alla circonferenza della più della più
grande. Quante rotazioni compie la moneta piccola dopo un giro attorno
alla grande?
Ora la risposta che le hanno dato è 3.
Io ho ragionato cosi: la circonfernza della piccola è cp= 2 pgreco r
quella della grande è cg= 2 pregreco 2r, ponend cg/cp ottendo 2. Dove
sbaglio?
Ciao
Francesco Da Riva
giulia.sim
la circonferenza aumenta linearmente col diametro, quindi direi che
hai ragione tu....
Enrico Gregorio
Va' alla pagina <http://mathworld.wolfram.com/Epicycloid.html>
e osserva l'animazione. La seconda epicicloide da sinistra è
generata da una situazione come nel quesito. Osserva bene il raggio
con il punto rosso e conta quante volte, dopo la partenza, punta
a sinistra.
Il numero di rotazioni è effettivamente 3. Sono due se le monete
hanno lo stesso raggio (prima epicicloide da sinistra).
Il fatto è che oltre alle due rotazioni per coprire la circonferenza,
c'è anche la rotazione attorno al centro.
Ciao
Enrico
giulia.sim
:-| :-| hai ragione ma è uno sporco trucco
Enrico Gregorio
Un articolo di Martin Gardner sull'argomento suscitò vivacissime
proteste. Lì chiedeva con monete dello stesso raggio, se ricordo
bene.
Ciao
Enrico
Francesco Da Riva
Un'ultima domanda:esiste una formula per calcolarlo?Un'altro quiz
diceva che la più grande aveva il diametro 4 volte maggiore della più
piccola e chiedeva quante rotazioni faceva la più piccola per compiere
2 giri inorno alla più grande.La risposta è 10,ma non saprei che
calcolo fare.
Francesco Da Riva
> Un'ultima domanda:esiste una formula per calcolarlo?Un'altro quiz
> diceva che la più grande aveva il diametro 4 volte maggiore della più
Ci sono arrivato: la formula generale è:
R --> Numero rotazioni della più piccola su se stessa
rp --> Raggio moneta piccola
rg --> Raggio moneta grande
G --> Numero di giri della più piccola intorno alla piu grande
R=((rp+rg)/rp)*G
Ciao
Francesco Da Riva
F.M.Arouet
e' sempre uno in piu' (per 1 giro) di quello che deriverebbe dai
rapporti dei raggi
(il giro appunto intorno al centro come ha spiegato Enrico).
Ciao.Fabio.
Adam Atkinson
(4+1)*2 = 10
cometa_luminosa
> Immaginate di mettere sul tavolo due monete, una più grande ed una più
> piccola, in modo che i bordi si tocchino. la moneta più grande ha
> diametro doppio della più piccola. Tenendo ferma la piu grande, fate
> ruotare la piu piccola attorna alla circonferenza della più della più
> grande. Quante rotazioni compie la moneta piccola dopo un giro attorno
> alla grande?
Metti un sistema di riferimento con origine nel centro della moneta
fissa A e con un asse diretto verso il centro della moneta B che gli
ruota intorno: adesso il centro della moneta B rimane fisso, percio'
puoi applicare la semplice formula secondo la quale i giri della
moneta B sono dati dal rapporto tra il raggio di A e il raggio di B: n
= R(A)/R(B) = 2, in questo caso. Percio' in quel riferimento ruotante
i giri sono 2. Del resto il riferimento stesso ha ruotato, nello
stesso senso, di un giro, quindi il numero totale di giri e' 2 + 1 =
3; in generale n = R(A)/R(B) + 1.
P.S.
Si, lo so che e' una risposta piu' da fisico che matematico, ma e' la
piu' semplice che mi veniva.
--
cometa_luminosa
radicale.002
> Io ho ragionato cosi: la circonfernza della piccola è cp= 2 pgreco r
> quella della grande è cg= 2 pregreco 2r, ponend cg/cp ottendo 2. Dove
> sbaglio?
E' diabolico questo problema.
Se la moneta ruotasse su un punto, farebbe un giro completo
*senza* ruotare su se stessa.
Cioe' solo il suo centro girerebbe intorno al punto, ma
lei non girerebbe intorno al suo centro.
Se invece del punto c'e' una circonferenza, gira anche
intorno al suo centro, ma non solo.
Esiste quindi una specie di movimento "in piu'" che fa
la moneta, e che falsa il tuo calcolo.
Stranissima 'sta cosa.
Solo che non so perche' esce 3 ... :-)
Tommaso Russo, Trieste
> Il fatto è che oltre alle due rotazioni per coprire la circonferenza,
> c'è anche la rotazione attorno al centro.
Effettivamente e' uno sporco trucco, messo li' solo perche' pochi ci
pensano.
E' piu' intuitivo il TTTT:
"The Total Turtle Trip Theorem."
If a Turtle takes a trip around the boundary of any area and ends up in
the state in which it started, then the sum of all turns will be 360
degrees.
www.tjleone.com/FractionCirclesAndPolygonsWriteUp.pdf
(Ages: Five and up. :-)
Se la moneta piu' piccola *non* rotolasse, ma *strisciasse* attorno
all'altra con punto di contatto costante, compirebbe comunque un giro
completo: basta pensare ad un'automobile che percorre per intero una
rotatoria.
(Effettivamente, non si capisce perche' un problema cosi' non lo
propongano all'esame per la patente di guida.)
--
TRu-TS
Buon vento e cieli sereni
Tommaso Russo, Trieste
> Se la moneta ruotasse su un punto, farebbe un giro completo
> *senza* ruotare su se stessa.
>
> Cioe' solo il suo centro girerebbe intorno al punto, ma
> lei non girerebbe intorno al suo centro.
Ah no? :-)
Guardati il TTTT (l'ho postato poco fa) e prova a girare attorno a un
palo toccandolo con una spalla.
Maf
>> Io ho ragionato cosi: la circonfernza della piccola è cp= 2 pgreco r
>> quella della grande è cg= 2 pregreco 2r, ponend cg/cp ottendo 2. Dove
>> sbaglio?
Un meccanico avrebbe detto 3, dopo aver studiato i rotismi
ma dov'è l'errore in quel sistema di equazioni??
Enrico Gregorio
Non c'è nessun errore, perché? Quel calcolo non dà il numero
di rotazioni, tutto qui.
Ciao
Enrico
Giovanni
> alla mia ragazza, durante un corso per la preparazione all'esame
> risposta che le hanno dato, definendola banale, a me non torna.
>
>
> Immaginate di mettere sul tavolo due monete, una pi grande ed una pi
> piccola, in modo che i bordi si tocchino. la moneta pi grande ha
> diametro doppio della pi piccola. Tenendo ferma la piu grande, fate
> ruotare la piu piccola attorna alla circonferenza della pi della pi
> grande. Quante rotazioni compie la moneta piccola dopo un giro attorno
> alla grande?
Disegna su un foglio un cerchio e poi, di fianco a destra, un altro
cerchio piu' piccolo tangente, non importa la misura l'importante e'
rendere l'idea.
Disegna nel cerchio piccolo una *freccia* dal centro verso l'alto e
fai una tacca, un segnetto, nel cerchio piccolo in corrispondenza del
punto di contatto.
Ora, immagina/disegna il cerchio piccolo che si sposta (in senso
antiorario) su quello grande *mantendendo* sempre la tacca in contatto
con la circonferenza grande. Cio' corrisponde ad uno *scivolamento*
del cerchio piccolo. Immagina/disegna la *freccia*: nel punto alto
sara' verso sinistra, a sinistra (sempre rispetto al cerchio grande)
puntera' in basso, in basso puntera' a destra, e ritornando nel punto
iniziale, puntera' di nuovo in alto.
Tutto questo vuol dire che *scivolando* il cerchio piccolo compie una
rotazione completa su se stesso. Notare che cio' resta vero
indipendentemente dalla grandezza del secondo cerchio.
Ma in realta' la moneta piccola *rotola* su quella grande.
Siccome si tratta di due figure simili (due cerchi), le misure lineari
sono proporzionali: diametro doppio significa anche circonferenza
doppia.
E' la semplice situazione di una ruota (per es. di una bicicletta) che
percorre un tratto di una certa lunghezza: essendo, nel nostro caso,
il tratto lungo come la circonferenza grande (che e' il doppio), la
circonferenza piccola "si svolgera'" su quella grande 2 volte: il che
corrisponde a 2 giri.
Si tratta percio' della composizione di due movimenti, uno dovuto al
puro spostamento (senza rotolamento) del cerchio piccolo su quello
grande: 1 giro e il movimento di rotazione del cerchio piccolo, per
rotolamento, sulla circonferenza grande: 2 giri. In tutto, appunto, 3
giri.
> Ora la risposta che le hanno dato 3.
>
> Io ho ragionato cosi: la circonfernza della piccola cp= 2 pgreco r
> quella della grande cg= 2 pregreco 2r, ponend cg/cp ottendo 2. Dove
> sbaglio?
Il rapporto di circonferenze rende conto solo dei giri per
rotolamento. Sarebbero esattamente 2 giri se il cerchio piccolo si
muovesse su una linea retta.
.
Ciao
Giovanni
Giovanni
> On 2 Set, 17:59, Francesco Da Riva <use...@dariva.it> wrote:
>
> > quella della grande cg= 2 pregreco 2r, ponend cg/cp ottendo 2. Dove
> > sbaglio?
>
> E' diabolico questo problema.
>
> Se la moneta ruotasse su un punto, farebbe un giro completo
> *senza* ruotare su se stessa.
>
> Cioe' solo il suo centro girerebbe intorno al punto, ma
> lei non girerebbe intorno al suo centro.
Come fai a dire che non gira intorno al suo centro ?
Ovviamente per poterlo dire devi sapere prima cosa significa *girare
intorno al suo centro*.
Quand'e' che una moneta gira intorno al suo centro ?
.
Giovanni
radicale 001
> Cioe' solo il suo centro girerebbe intorno al punto, ma
> > lei non girerebbe intorno al suo centro.
>
> Ah no? :-)
Non nel senso "classico" intendevo, cioe' non ...
Te lo so spiegare .... :-)
Cioe' ci gira introrno al centro, si, ma perche' gira
tutta la moneta ! Una specie di traslazione ....
E' come la luna, hai presente ? Siccome da sempre
la stessa faccia alla terra, girando attorno alla terra
gira pure su se stessa.
Gab
> Il rapporto di circonferenze rende conto solo dei giri per
> rotolamento. Sarebbero esattamente 2 giri se il cerchio piccolo si
> muovesse su una linea retta.
>
> .
> Ciao
> Giovanni
>
Ma se noi imponessimo che le due monete fossero dotate di denti (come gli
ingranaggi) e quindi rendendo impossibile lo scivolamento, i giri sarebbero
solo due.
Visto che il rapporto diametro/circonferenza è lineare, nel primo giro la
moneta piccola percorrerebbe la metà della circonferenza della moneta grande
e nel secondo giro completerebbe il percorso, quindi i giri sono solo due.
Tutto il resto sono solo pipe.
Ciao
Enrico Gregorio
Supponi di essere su una giostra così concepita: c'è un cerchio fisso
al centro, attorno al quale un altro cerchio ruota, esattamente come
le monete, ma più grande in modo che una persona ci possa stare in
piedi. Mettiti sul bordo del cerchio che ruota e fissa una direzione,
diciamo una certa bandiera. Immagina che la giostra cominci a muoversi.
Facciamo prima il caso in cui i due cerchi hanno lo stesso raggio:
quante volte vedrai quella bandiera tornando al punto di partenza?
Due. Quante volte hai girato su te stesso? Due.
Se il cerchio esterno ha raggio metà di quello interno, vedrai
la bandiera tre volte. L'animazione su MathWorld che ho già
segnalato lo dimostra chiaramente.
Ciao
Enrico
AndreaM
> Tutto il resto sono solo pipe.
Ceci n'est pas une pipe
cometa_luminosa
L'hai letto il post che ho scritto?
cometa_luminosa
> Ma se noi imponessimo che le due monete fossero dotate di denti (come gli
> ingranaggi) e quindi rendendo impossibile lo scivolamento, i giri sarebbero
> solo due.
> Visto che il rapporto diametro/circonferenza è lineare, nel primo giro la
> moneta piccola percorrerebbe la metà della circonferenza della moneta grande
> e nel secondo giro completerebbe il percorso, quindi i giri sono solo due.
> Tutto il resto sono solo pipe.
Basterebbe che tu prendessi due monete e facessi l'esperimento, per
renderti conto della stupidaggini che dici. E' tanto difficile?
Mah!
radicale 001
> Ma se noi imponessimo che le due monete fossero dotate di denti (come gli
> ingranaggi) e quindi rendendo impossibile lo scivolamento, i giri sarebbero
> solo due.
> Visto che il rapporto diametro/circonferenza è lineare, nel primo giro la
> moneta piccola percorrerebbe la metà della circonferenza della moneta grande
> e nel secondo giro completerebbe il percorso, quindi i giri sono solo due.
> Tutto il resto sono solo pipe.
Mo' te lo spiego io. :-)
Da buon metalmeccanico termo riparatore su ste cose
non me freghi.
No invece perche' la moneta NON scivola affatto.
Ma gira DI PIU' per il semplice fatto che rotola su un cerchio
invece
che su una linea.
Cioe' :
se tu la piccola la fai girare diciamo di un grado, quanta
circonferenza sulla grande ha COPERTO ?
Secondo te dovrebbe aver coperto 1/360 - esimo della
*sua* (quella piccola) circonferenza riportata sulla grande.
NO ! :D
Ne ha coperta di meno ! Perche' se ne avesse coperto la
stessa sarebbe partita sulla TANGENTE alla circonferenza
grande ? Capito il trucco ? ;-)
Valter Moretti
Ciao, ti hanno risposto in molti, e ti rispondo anche io.
La risposta è 3 giri.
Ecco la dimostrazione nel caso generale.
Prendi una coppia di assi ortogonali solidali XY con la moneta grande
(di raggio R) ferma e di centro O. Prendi una seconda terna di assi xy
centrati nel centro o della moneta piccola (di raggio r) e tali che
xy traslino rimanendo sempre paralleli a XY. Prendi un punto P
attaccato sul bordo della moneta piccola ed indica con a l'angolo
che oP forma con x. Mentre o ruota attorno a O l'angolo a varia e
diventa sempre piu' grande superando 2pi e oltre...
La domanda è qual'è il valore di questo angolo a quando il centro o ha
compiuto un giro completo attorno ad O?
Indico con A l'angolo che il segmento oO forma rispetto all'asse X.
Quello che sappiamo è che la moneta piccola _rotola_ su quella grande,
questo vuol dire che il punto di contatto della moneta piccola su
quella grande, che varia continuamente, ha sempre *velocità nulla*
quando valutata rispetto a XY.
La velocità del punto di contatto della moneta piccola rispetto alla
base xy deve essere, ovviamente rda/dt.
Dato che o si muove attorno a O con velocità (R+r) dA/dt deve dunque
essere
0 = rda/dt + (R+r) dA/dt
e quindi
r a = -(R+r) A
e quindi
a = -((R+r)/r ) A
dopo un giro completo di o attorno a O, cioè A= 2 pi, si avrà
a = - 2pi ((R+r)/r )
se R= 2r si ottiene
a = 3 * 2pi
ciao, Valter
Valter Moretti
> E' come la luna, hai presente ? Siccome da sempre
> la stessa faccia alla terra, girando attorno alla terra
> gira pure su se stessa.
Per una volta, radicale, hai detto una cosa sacrosanta!
Ciao, Valter
radicale 001
Se invece le fissi e le metti ad ingranaggio, allora
non c'e' Cristo che tenga :
2 giri piccola = 1 giro grande e sai perche' ?
Perche' sviluppano solo su un punto fisso a tangente !
Valter Moretti
> Enrico Gregorio ha scritto:
>
> > Il fatto è che oltre alle due rotazioni per coprire la circonferenza,
> > c'è anche la rotazione attorno al centro.
>
> Effettivamente e' uno sporco trucco, messo li' solo perche' pochi ci
> pensano.
Ma no scusa Tommaso! Se dici che è uno sporco trucco allora devi
sostenere che tutti gli esercizietti di meccanica razionale sono
sporchi trucchi! Questo è una semplice applicazione della nozione di
rotolamento. Non c'è niente di intuitivo o non intuitivo, basta
applicare la definizione e calcolare la velocità di rotazione attorno
al proprio centro della moneta piccola. Tutto qui.
Ciao, Valter
exMauri
"Enrico Gregorio" <greg...@math.unipd.it> ha scritto
> Supponi di essere su una giostra così concepita: c'è un cerchio fisso
> al centro, attorno al quale un altro cerchio ruota, esattamente come
> le monete, ma più grande in modo che una persona ci possa stare in
> piedi. Mettiti sul bordo del cerchio che ruota e fissa una direzione,
> diciamo una certa bandiera. Immagina che la giostra cominci a muoversi.
>
> Facciamo prima il caso in cui i due cerchi hanno lo stesso raggio:
> quante volte vedrai quella bandiera tornando al punto di partenza?
> Due. Quante volte hai girato su te stesso? Due.
>
> Se il cerchio esterno ha raggio metà di quello interno, vedrai
> la bandiera tre volte. L'animazione su MathWorld che ho già
> segnalato lo dimostra chiaramente.
Si potrebbe semplificare e generalizzare.
Ogni volta che si segue un percorso chiuso, ritornati al punto di partenza,
si è compiuta una rotazione di 360°.
Se camminiamo sul perimetro di un triangolo o di un poligono o di una
circonferenza, alla fine, avremo compiuto una rotazione di 360° (somma
degli angoli esterni di qualunque poligono convesso).
Quella è la rotazione che va sommata al numero dato dal rapporto dei raggi.
Giovanni
LOL
radicale 001
> On 3 Set, 11:53, radicale 001 <radicale....@gmail.com> wrote:
>
> > E' come la luna, hai presente ? Siccome da sempre
> > la stessa faccia alla terra, girando attorno alla terra
> > gira pure su se stessa.
>
> Per una volta, radicale,
Come, solo stavolta ? :-)
Ah gia' ...
Ce l' hai con me per la faccenda della chiusura di quell' ateneo.
Mado' come te la prendi facilmente !
Dalet
Fai le cose complicate quando invece son semplicissime:
-- prendi la circonferenza grande e la metti in rettifilo;
-- calcoli le rotazioni;
-- a questo ci sommi i giri della rivoluzione.
Esempio con raggio cinque volte e tre giri: 5*3+3 = 18.
|------5giri----|------5giri-------|------5giri--------|
--
Saluti, Dalet
Tommaso Russo, Trieste
> Ma no scusa Tommaso! Se dici che è uno sporco trucco allora devi
> sostenere che tutti gli esercizietti di meccanica razionale sono
> sporchi trucchi! Questo è una semplice applicazione della nozione di
> rotolamento. Non c'è niente di intuitivo o non intuitivo
Valter, Meccanica Razionale?
Stiamo parlando di studenti che fino a 4 mesi fa erano alle superiori,
il cui sogno e' quello di diventare Medici, e per di piu' posti di
fronte a una serie di quiz a risposta multipla dove normalmente se non
"vedi" intuitivamente la risposta giusta in meno di 10 secondi e' meglio
lasciar perdere e passare alla risposta successiva piuttosto che
rischiare una risposta sbagliata che ti fa prendere un punteggio negativo.
Ho fatto un minitest su ventenni chiedendo loro di rispondere alla
domanda "senza stare a pensarci troppo". 100% sbagliate. DOPO aver
risposto "2", qualcuno si e' ricordato di aver visto gia' qualcosa di
simile: uno sulla Settimana Enigmistica, una ai Giochi matematici
organizzati dalla Bocconi. Ma quale, e perche', fosse la risposta
giusta, non lo ricordavano proprio.
Tommaso Russo, Trieste
Il De Facie Que Viditur In Orbis Lunae continua a fare vittime!
Qualche insegnante volonteroso prende un paio di alunni (8-12), ne mette
uno fermo in mezzo all'aula e invita il secondo a girargli intorno
"rivolgendogli sempre la faccia". Alla fine, chiede: hai visto *tutte*
le pareti dell'aula"? La risposta e' un si', ma non molto convinto.
Prova a dire a un ragazzino (8-12) "ma guarda che la luna non rivolge
verso la terra la stessa *faccia*, le rivolge sempre lo stesso *fianco*!
La faccia la tiene rivolta verso dove si sta muovendo, e noi da qua la
vediamo solo di profilo (certo, non ha un gran bel naso...)"
Colleghera' immediatamente il moto della Luna alla *sua* esperienza
motoria e si convincera' immediatamente che per tornare al punto di
partenza la Luna deve effettuare un giro completo.
E' la bellezza del TTTTT :-)
(Ma non per nulla sto parlando di Piaget, di cui Papert e' stato degno
discepolo.)
akiross
> Immaginate di mettere sul tavolo due monete, una più grande ed una più
> piccola, in modo che i bordi si tocchino. la moneta più grande ha
> diametro doppio della più piccola. Tenendo ferma la piu grande, fate
> ruotare la piu piccola attorna alla circonferenza della più della più
> grande. Quante rotazioni compie la moneta piccola dopo un giro attorno
> alla grande?
>
> Ora la risposta che le hanno dato è 3.
http://mathworld.wolfram.com/CoinParadox.html
Eppure continua a sfuggirmi qualcosa :S
~Aki
radicale.002
> Eppure continua a sfuggirmi qualcosa :S
Perche' non hai letto il mio post. :-)
superpollo
http://mathworld.wolfram.com/images/gifs/epicycloid.gif
la seconda figura rappresenta il caso in esame: e' evidente che 3
rotazioni e' la risposta. se la moneta interna e' 3 volte quella esterna
ci saranno 4 rotazioni (terza figura) e cosi' via discorrendo.
bye
--
Mi dispiace per voi, ma la Tunze è facile, lineare,
quadrata, cubica, e risolve brillantemente ogni cosa
Valter Moretti
> Valter Moretti ha scritto:
>
> > Ma no scusa Tommaso! Se dici che è uno sporco trucco allora devi
> > sostenere che tutti gli esercizietti di meccanica razionale sono
> > sporchi trucchi! Questo è una semplice applicazione della nozione di
> > rotolamento. Non c'è niente di intuitivo o non intuitivo
>
> Valter, Meccanica Razionale?
>
> Stiamo parlando di studenti che fino a 4 mesi fa erano alle superiori,
> il cui sogno e' quello di diventare Medici, e per di piu' posti di
> fronte a una serie di quiz a risposta multipla dove normalmente se non
> "vedi" intuitivamente la risposta giusta in meno di 10 secondi e' meglio
> lasciar perdere e passare alla risposta successiva piuttosto che
> rischiare una risposta sbagliata che ti fa prendere un punteggio negativo.
>
Ciao, scusa il ritardo nel risponedere, ma ero via.
Mi hai frainteso, e io ho farinteso te. Se ti riferisci al fatto di
usare un simile questito nei test di ammissione all'università
convengo istantaneamente sul fatto, non che sia uno sporco trucco, ma
che sia follia pura.
Io credevo ti riferissi alla classe di problemi intesi come problemi
di fisica (non test di accesso magari a medicina).
> Ho fatto un minitest su ventenni chiedendo loro di rispondere alla
> domanda "senza stare a pensarci troppo". 100% sbagliate. DOPO aver
> risposto "2", qualcuno si e' ricordato di aver visto gia' qualcosa di
> simile: uno sulla Settimana Enigmistica, una ai Giochi matematici
> organizzati dalla Bocconi. Ma quale, e perche', fosse la risposta
> giusta, non lo ricordavano proprio.
>
> --
E' un argomento molto controintuitivo. Ricordo quando mio padre mi
disse, più o meno alle medie infeririori, che la luna ruota su se
stessa dato che mantiene sempre la stessa faccia rivolta verso la
terra e mi sembrò una cosa del tutto sbagliata... anche se poco dopo
pensandoci con molta calma una buona mezz'ora e dopo essermi chiarito
cosa significasse ruotare sul proprio asse, dovetti ammettere che ra
vero.
Ciao, Valter