Domanda sulla definizione di coppia di Kuratowski

[radica...@gmail.com]

la coppia ordinata viene definita {{a},{a,b}}

che è un insieme di insiemi quindi non può avere un ordine
perciò deve essere

{{a},{a,b}} = {{a,b},{a}}

Ora :
non riesco proprio a capire perchè quell' ammucchiata di
parenti graffe dovrebbe rappresentare una coppia e per
di più ordinata.

Non solo

In realtà non ho mai davvero capito cosa sia un ordine, non
appena tento di andare oltre il concetto ke tutti noi abbiamo
connaturato di un "prima" e un "dopo" o "sta a sinistra" e
"sta a destra".

ma se scrivo cosi
a
b

e poi
b
a

qual' è l' ordine ? Devo definirlo io, ossia devo dare un
ordine. Zac : autoreferenziale

E se poi metto a,b,c, ... n su una circonferenza andiamo nel
caos, ordinandola ad es. in senso orario. Sui punti della
circonferenza non posso stabilire una relazione d' ordine xke
se a > b > c > ... m > n allora n > a e siccome a > b allora
n > b, ma b > n indi per cui n = b e reiterando ci si accorge
che i punti, come conseguenza, collassano tutti in uno solo.
Indi non si possono ordinare punti distinti.

Attaccato all' ordine (sospetto non ci sia una differenza
essenziale) cè il verso. Ovvio che "so" cosa sia un verso :
tutti lo sanno. Ma istintivamente.

Invece vorrei sapere di tutto quanto detto sopra il punto di
vista dei matematici: scommetto che è roba di una astrattezza
da far rizzare i capelli.

E speriamo di capire

[Antologiko]

L'errore è linguistico, ovvero la locuzione "coppia ordinata" è una scelta infelice perché l'attributo "ordinata" è fuorviante.

Formalmente infatti la proprietà che caratterizza le coppie è semplicemente

(a, b) = (c, d) se e solo se a = c et b = d

da cui deriva che

se a <> b allora (a, b) <> (b, a)).

Il fatto che a volte si chiami "a" prima componente e "b" seconda componente è anch'esso una convenzione puramente linguistica.

[radica...@gmail.com]

Il giorno mercoledì 9 marzo 2016 00:57:08 UTC+1, Antologiko ha scritto:
> L'errore è linguistico, ovvero la locuzione "coppia ordinata" è una scelta infelice perché l'attributo "ordinata" è fuorviante.
>
> Formalmente infatti la proprietà che caratterizza le coppie è semplicemente
>
> (a, b) = (c, d) se e solo se a = c et b = d
>
> da cui deriva che
>
> se a <> b allora (a, b) <> (b, a)).

si, hai ragione;

ma il fatto stesso che riesci a porre ad es. a = c già implica
che hai preso i "primi due" elementi delle coppie. Ossia hai già
in testa un ordine.

E' evidente la differenza che cè con due insiemi
i = {x,y} e i' = {x',y'}

Qui diresti che i=i' se e solo se i e i' hanno gli stessi elementi
Non cè ordine

> Il fatto che a volte si chiami "a" prima componente e "b"
> seconda componente è anch'esso una convenzione puramente
> linguistica.

eh no, proprio no in base a quanto detto sopra

Ma ovviamente attendo smentita (argomentata) xkè x carità :
posso sbagliarmi !

[Antologiko]

Non capisco su cosa ti basi per dire che "a" è il primo elemento. Non è una proprietà intrinseca del simbolismo, è una convenzione umana.
Per come la vedo io "a" e "c" non sono i primi due, ma sono due elementi della stessa posizione. Un alieno davanti al simbolo di coppia forse sceglierebbe spontaneamente "b" come primo elemento.
Ti ricordo inoltre che primo e secondo non sono proprietà dell'ente matematico in se, ma >di questa sua rappresentazione<.
La scelta della rappresentazione degli enti matematici non può influire sulle loro proprietà, altrimenti anche nel simbolo di coppia non ordinata, visto che le due componenti sono rappresentate in fila, ci sarebbe un primo ed un secondo elemento.

[Kiuhnm Mnhuik]

On Tuesday, March 8, 2016 at 7:46:37 PM UTC+1, radica...@gmail.com wrote:
> la coppia ordinata viene definita {{a},{a,b}}
>
> che è un insieme di insiemi quindi non può avere un ordine
> perciò deve essere
>
> {{a},{a,b}} = {{a,b},{a}}
>
> Ora :
> non riesco proprio a capire perchè quell' ammucchiata di
> parenti graffe dovrebbe rappresentare una coppia e per
> di più ordinata.

(a,b) == {{a},{a,b}}
(b,a) == {{b},{a,b}}

Come vedi, sono distinguibili.

[radica...@gmail.com]

Certo, sono distinguibili, ma dopo che hai un ordine nella testa.

Direi

allora (a,b) e (b,a) sono identiche a meno di un qualcosa che non
sappiamo cosa sia e che si chiama ordine

se riuscissimo a dimostrare che questo qualcosa è unico allora
almeno sapremmo che cè un qualcosa (e solo quello) che rende
diverse coppie identiche

wow

[radica...@gmail.com]

Il giorno mercoledì 9 marzo 2016 19:35:16 UTC+1, Antologiko ha scritto:

> Per come la vedo io "a" e "c" non sono i primi due, ma sono due
> elementi della stessa posizione.

mmmmmhhh ... cos' è la "posizione" ?
dubito che possa prescindere da una qualche accezione d' ordine

[Kiuhnm Mnhuik]

On Thursday, March 10, 2016 at 6:26:31 AM UTC+1, radica...@gmail.com wrote:
> Il giorno mercoledì 9 marzo 2016 21:01:41 UTC+1, Kiuhnm Mnhuik ha scritto:
> > On Tuesday, March 8, 2016 at 7:46:37 PM UTC+1, radica...@gmail.com wrote:
> > > la coppia ordinata viene definita {{a},{a,b}}
> > >
> > > che è un insieme di insiemi quindi non può avere un ordine
> > > perciò deve essere
> > >
> > > {{a},{a,b}} = {{a,b},{a}}
> > >
> > > Ora :
> > > non riesco proprio a capire perchè quell' ammucchiata di
> > > parenti graffe dovrebbe rappresentare una coppia e per
> > > di più ordinata.
> >
> > (a,b) == {{a},{a,b}}
> > (b,a) == {{b},{a,b}}
> >
> > Come vedi, sono distinguibili.
>
> Certo, sono distinguibili, ma dopo che hai un ordine nella testa.

No, sono distinguibili e basta.

[radica...@gmail.com]

ah si! E' vero, scusa. Non avevo notato che il primo sottoinsieme ha
b come elemento invece di a.

Si ma ... e poi ?

[radica...@gmail.com]

forse ci sono arrivato : contengono gli stessi elementi EPPURE sono
distinguibili.

Quel tizio, Kuratowsky, essendo evidentemente un genio è riuscito a
tradurre quello che io non riuscivo a fare e che ti dicevo prima :
quel "nonsocchè" (ossia l' ordine) che ci dice che due coppie sono
differenti pur avendo gli stessi identici elementi.

pazzesco

e in realtà : mica ho davvero capito fino in fondo il magico segreto
di quell' ammucchiata di parenti graffe. Ossia : l' ho capito (e
questo post lo dimostra) ma ... non afferro intuitivamente l' archè.

[Giorgio Pastore]

Il 10/03/16 19:25, radica...@gmail.com ha scritto:
....

> forse ci sono arrivato : contengono gli stessi elementi EPPURE sono
> distinguibili.
>
> Quel tizio, Kuratowsky, essendo evidentemente un genio è riuscito a
> tradurre quello che io non riuscivo a fare e che ti dicevo prima :
> quel "nonsocchè" (ossia l' ordine) che ci dice che due coppie sono
> differenti pur avendo gli stessi identici elementi.

...
Ancora non ci sei. Non sono coppie ordinaate con gli stessi elementi. Se
definisci
(a,b) come { {a}, {a,b} } = { {a,b},{a} } gli elementi di questa coppia
sono (gli insiemi) {a} e {a,b}

la coppia (b,a)={{b}, {a,b}} = { {a,b}, {b}} ha come elementi {b} e
{a,b} e non sono gli stessi di prima.

Giorgio

PS sulle unita' mi sa che potro' riprendere solo nel fine settimana :-(
questo post mi prende pochi secondi, quell' altro mi richiede un po'
piu' di tempo per cercare di esser chiaro.

[radica...@gmail.com]

Il giorno giovedì 10 marzo 2016 19:55:18 UTC+1, Giorgio Pastore ha scritto:

> la coppia (b,a)={{b}, {a,b}} = { {a,b}, {b}} ha come elementi {b} e
> {a,b} e non sono gli stessi di prima.

Confusamente :

non sono gli stessi elementi di prima a livello di insiemi. Ma se
guardiamo gli elementi che appartengono a quegli insiemi vediamo
che sono in ambo i casi a e b

Ossia io con a e b costruisco due insiemi,
questo :
{{b}, {a,b}}

e questo :
{{a}, {a,b}}

Quindi è come se dalla coppia (a,b) avessi creato due "enti"
di livello superiore alla coppia stessa ma che hanno sempre
a e b come mattoni costitutivi.

E però differiscono. In cosa ? Questo "qualcosa" lo chiamiamo
"ordine".

... ?

> PS sulle unita' mi sa che potro' riprendere solo nel fine settimana :-(
> questo post mi prende pochi secondi, quell' altro mi richiede un po'
> piu' di tempo per cercare di esser chiaro.

Ti attendo e ti ringrazio

[Giorgio Pastore]

Il 10/03/16 23:29, radica...@gmail.com ha scritto:

> Il giorno giovedì 10 marzo 2016 19:55:18 UTC+1, Giorgio Pastore ha scritto:
>
>> la coppia (b,a)={{b}, {a,b}} = { {a,b}, {b}} ha come elementi {b} e
>> {a,b} e non sono gli stessi di prima.
>
> Confusamente :
>
> non sono gli stessi elementi di prima a livello di insiemi. Ma se

Niente "ma se..." stiamo parlando di insiemi che hanno come elementi
insiemi. NON sono uguali, ergo c'e una differenza.
Non fossilizzarti sui nomi. Devi costruirti un dizionario che dice
"l' elemanto (tra a e b) che compare in un inseme che ha solo lui come
elemento e' quello che viene battezzato "primo elemento dela coppia", l'
altro e' il secondo elemento. Tutto qui.

....

> E però differiscono. In cosa ?

Nel quale dei due sta solo soletto in uno dei due insiemi.

> Questo "qualcosa" lo chiamiamo
> "ordine".

A questo livello potevamo chiamarlo anche "aggregazione": a non e'
aggregato e b si' (il nome e' significativo ma di fantasia).

Perche' chiamiamo "ordine" quello che ho battezzato "aggregazione" ?
Questa te lo lascio come domanda su cui meditare. Aggiungo che non so se
ci sia una risposta univoca alla domanda :-)

Giorgio

[radica...@gmail.com]

Il giorno venerdì 11 marzo 2016 07:06:18 UTC+1, Giorgio Pastore ha scritto:
> Il 10/03/16 23:29, radica...@gmail.com ha scritto:
> > Il giorno giovedì 10 marzo 2016 19:55:18 UTC+1, Giorgio Pastore ha scritto:
> >
> >> la coppia (b,a)={{b}, {a,b}} = { {a,b}, {b}} ha come elementi {b} e
> >> {a,b} e non sono gli stessi di prima.
> >
> > Confusamente :
> >
> > non sono gli stessi elementi di prima a livello di insiemi. Ma se
>
> Niente "ma se..." stiamo parlando di insiemi che hanno come elementi
> insiemi. NON sono uguali, ergo c'e una differenza.
> Non fossilizzarti sui nomi. Devi costruirti un dizionario che dice

> "l' elemento (tra a e b) che compare in un inseme che ha solo lui
> come elemento e' quello che viene battezzato "primo elemento della

> coppia", l' altro e' il secondo elemento. Tutto qui.

!!! :-)

diavolo sei bravo a spiegare : solo un ritardato potrebbe non
capire quello che dici

Lo battezzo "primo" xkè ha la una *certa proprietà" : di essere
quello che appartiene al singoletto. Quell' altro è "secondo".

Si

Eh ... però allora :
questo equivale, in realtà, a *definire* primo 'a' etichettandolo.
Quindi un QUALSIASI altro modo di etichettarlo sarebbe andato
bene !

Per esempio b(s); a(p) : ho etichettato a e b con due lettere, o
anche b(2); a(1)

Il che è molto più semplice. Infatti (a,b) = (x,y) se a(1) = x(1)
e b(2) = x(2)

Ma allora dove sta il vantaggio di quella (posso dire un pò contorta?)
definizione con gli insiemi ?

E mi spiego meglio : ne il metodo di Kuratowski ne il "mio" (si fa x
dire) definiscono cosa si debba intendere per ordine : il quale secondo
questa accezione è solo un modo di etichettare gli oggetti.

Dunque :
Imho (molto imho) non va bene, non abbiamo raggiunto lo scopo, non
abbiamo fatto il "gran salto" che consiste nel capire cosa hanno in
comune tutti i possibili ordini e definire questo insieme di proprietà
comuni come "ordine".

> Perche' chiamiamo "ordine" quello che ho battezzato "aggregazione" ?
> Questa te lo lascio come domanda su cui meditare. Aggiungo che non so
> se ci sia una risposta univoca alla domanda :-)

aggregare (in quel modo la, che è estensibile anche a n elementi anche
se viene una foresta di parenti graffe a cui mi rifiuto di pensare) è un
modo di etichettare come un altro.

Ecco perche'

[Giorgio Pastore]

Il 11/03/16 11:06, radica...@gmail.com ha scritto:
....

> Per esempio b(s); a(p) : ho etichettato a e b con due lettere, o
> anche b(2); a(1)
>
> Il che è molto più semplice. Infatti (a,b) = (x,y) se a(1) = x(1)
> e b(2) = x(2)
>
> Ma allora dove sta il vantaggio di quella (posso dire un pò contorta?)
> definizione con gli insiemi ?

che non introduci enti non previsti. TU hai una coppia che cita solo a e
b s e p sono altro.

>
> E mi spiego meglio : ne il metodo di Kuratowski ne il "mio" (si fa x
> dire) definiscono cosa si debba intendere per ordine : il quale secondo
> questa accezione è solo un modo di etichettare gli oggetti.
>
> Dunque :
> Imho (molto imho) non va bene, non abbiamo raggiunto lo scopo, non
> abbiamo fatto il "gran salto" che consiste nel capire cosa hanno in
> comune tutti i possibili ordini e definire questo insieme di proprietà
> comuni come "ordine".

per questo avevo scritto wuel che segue

>> Perche' chiamiamo "ordine" quello che ho battezzato "aggregazione" ?
>> Questa te lo lascio come domanda su cui meditare. Aggiungo che non so
>> se ci sia una risposta univoca alla domanda :-)
>
> aggregare (in quel modo la, che è estensibile anche a n elementi anche
> se viene una foresta di parenti graffe a cui mi rifiuto di pensare) è un
> modo di etichettare come un altro.
>

Guarda che dopo le coppie ordinate e con lo stesso metodo, puoi definire
le triple, quadruplette, .... ordinate. Non c'e' limite :-)


Giorgio

[Kiuhnm Mnhuik]

On Friday, March 11, 2016 at 11:34:17 AM UTC+1, Giorgio Pastore wrote:
> Guarda che dopo le coppie ordinate e con lo stesso metodo, puoi definire
> le triple, quadruplette, .... ordinate. Non c'e' limite :-)

No, non credo si possa.

[radica...@gmail.com]

Ed in questo caso (imho) sarebbe da buttare senza ne a ne ba.

[radica...@gmail.com]

Alle volte (perdonami se mi permetto) ho la sensazione che non mi
prendi sul serio, quasi come se non leggessi con attenzione quello
che ti scrivo.

Ma probabilmente mi sbaglio e cmq : non fa niente :-)

[Giorgio Pastore]

Il 11/03/16 11:45, Kiuhnm Mnhuik ha scritto:

Non ci sto a pensare ma butto li' (se non funziona sono convinto che si
trova il modo di aggiustare):

(a,b,c) = { {a}, { a, (b,c) }}

[radica...@gmail.com]

No, forse è più semplice di quello che credevo :
propongo {{a}, {b,c} {a,b,c}}

a è l' unico primo perche' è l' unico del singoletto
b è secondo perchè è l' unico a stare in quello con
due elementi.
c è terzo perche è l' unico che sta in quello con tre
elementi

e se quindi fosse corretto la generalizzazione a n
elementi diverrebbe ovvia

No ?

[Giorgio Pastore]

Il 11/03/16 13:08, radica...@gmail.com ha scritto:
....

> No, forse è più semplice di quello che credevo :
> propongo {{a}, {b,c} {a,b,c}}
>
> a è l' unico primo perche' è l' unico del singoletto
> b è secondo perchè è l' unico a stare in quello con
> due elementi.
> c è terzo perche è l' unico che sta in quello con tre
> elementi
>
> e se quindi fosse corretto la generalizzazione a n
> elementi diverrebbe ovvia
>
> No ?
>

come distingui (a,b,c) da (a,c,b) se b/=c ?

[El Filibustero]

On Fri, 11 Mar 2016 12:54:09 +0100, Giorgio Pastore wrote:

>Non ci sto a pensare ma butto li' (se non funziona sono convinto che si
>trova il modo di aggiustare):
>
>(a,b,c) = { {a}, { a, (b,c) }}

Al volo: (a,b,c):=(a,(b,c)) =Wiener-Kuratowski= {{a},{a,(b,c)}} quindi
dovrebbe funzionare. Ciao

[radica...@gmail.com]

Il giorno venerdì 11 marzo 2016 13:08:36 UTC+1, radica...@gmail.com ha scritto:
> Il giorno venerdì 11 marzo 2016 12:54:11 UTC+1, Giorgio Pastore ha scritto:
> > Il 11/03/16 11:45, Kiuhnm Mnhuik ha scritto:
> > > On Friday, March 11, 2016 at 11:34:17 AM UTC+1, Giorgio Pastore wrote:
> > >> Guarda che dopo le coppie ordinate e con lo stesso metodo, puoi definire
> > >> le triple, quadruplette, .... ordinate. Non c'e' limite :-)
> > >
> > > No, non credo si possa.
> > >
> >
> > Non ci sto a pensare ma butto li' (se non funziona sono convinto
> > che si trova il modo di aggiustare):
> >
> > (a,b,c) = { {a}, { a, (b,c) }}
>
> No, forse è più semplice di quello che credevo :
> propongo {{a}, {b,c} {a,b,c}}
>
> a è l' unico primo perche' è l' unico del singoletto
> b è secondo perchè è l' unico a stare in quello con
> due elementi.

ma che cazzo dico ? b non è l' unico che sta in quello
con due elementi, cè anche c.

[radica...@gmail.com]

si ho sbagliato in realta il problema ha natura
ricorsiva

(a,b) = {{a}, {a,b}}

(a,b,c) = (a,(b,c)) = (a,x) = {{a}, {a,x}}

ma x = (a,b) dunque dovrebbe essere, sostituendo

{{a}, {a,{{a}, {a,b}} }}


e dovrebbe (essendo ricorsivo) dare soluzione
per ogni numero n di elementi

[radica...@gmail.com]

gia, per ogni numero di elementi

Ma fa schifo

[Kiuhnm Mnhuik]

Così ovviamente sì. Pensavo intendessi {{a},{a,b},{a,b,c},...} che funziona solo per elementi distinti.

[radica...@gmail.com]

ma continuiamo a non saper definire l' ordine

[Antologiko]

In uno spazio bidimensionale ad es...

Ad ogni modo, secondo me la definizione di coppia "ordinata" non necessita del concetto di "ordine".
Però, viceversa, il concetto di ordine può essere reso matematicamente tramite tali enti, adottando opportune convenzioni.

[Tiziano Maioli]

[Massimiliano Catanese]

Il giorno giovedì 10 marzo 2016 alle 11:06:17 UTC+1 kiuhn...@gmail.com ha scritto:

si

ma nello stesso modo in cui sarebbero distinguibili se scrivessi
la prima equazione in rosso e la seconda in nero.

Sei d' accordo ?