Quesito carino di probabilità
capitan harlock
probabilità che l'altro figlio sia maschio?
cometa_luminosa
wrote:
> Ho due figli. Uno dei due nato di marted ed maschio. Qual la
> probabilit che l'altro figlio sia maschio?
E' solo per provare, perche' sono quasi certo di dire una corbelleria.
P = 10/21 ?
Il ragionamento e' questo: se l'altro non e' nato di martedi' allora
il primo lo individuo percio' la P che anche l'altro sia maschio e'
1/2; se non e' nato di martedi' allora il primo non lo individuo
percio' la P che anche l'altro sia maschio e' 1/3. Allora la P
risultante dovrebbe essere (6/7)*(1/2) + (1/7)*(1/3) = 10/21
abbiate pieta'...
LordBeotian
wrote:
> Ho due figli. Uno dei due nato di marted ed maschio.
Almeno uno o esattamente uno?
capitan harlock
capitan harlock
Giacomo "Gwilbor" Boschi
scritto:
> E' solo per provare, perche' sono quasi certo di dire una corbelleria.
> P = 10/21 ?
> Il ragionamento e' questo: se l'altro non e' nato di martedi' allora
> il primo lo individuo percio' la P che anche l'altro sia maschio e'
> 1/2; se non e' nato di martedi' allora il primo non lo individuo
> percio' la P che anche l'altro sia maschio e' 1/3. Allora la P
> risultante dovrebbe essere (6/7)*(1/2) + (1/7)*(1/3) = 10/21
>
> abbiate pieta'...
Secondo me hai fatto un'errore. Se sai che uno dei due figli è nato di
martedì, sei sicuro che la probabilità che anche l'altro sia nato di
martedì sia 1/7?
La mia soluzione è 19/39 ma anch'io sono arrugginito e potrei aver
sbagliato.
--
Giacomo "Gwilbor" Boschi
http://gwilbor.wordpress.com/
Dalet
>>Ho due figli. Uno dei due è nato di martedì ed è maschio. Qual è la
probabilità che l'altro figlio sia maschio?
>Almeno uno o esattamente uno?
Secondo me, saperlo non ha nessunissima importanza.
(chiaramente non chiedi circa l'esser l'unico maschio, ma
chiedi se anche l'altro potrebbe essere nato di martedi')
--
Saluti, Dalet
capitan harlock
no, neanche questa è la vera risposta.
vi do un hint: data la premessa, calcolare la seguente probabilità:
P{almeno uno dei miei due figli è nato di martedì | ho due figli maschi}
il resto viene da se' .... :)
AleTV
news:201006291...@mynewsgate.net...
> Ho due figli. Uno dei due è nato di martedì ed è maschio. Qual è la
> probabilità che l'altro figlio sia maschio?
>
Qualcuno mi spiega perché il dettaglio del nato di martedì non è inutile?
Perché non bastano le solite combinazione M,M - M,F - F,M - FF ?
Da cui esce una probabilità di 2/4 cioè 1/2?
Tommaso Russo, Trieste
> Ho due figli. Uno dei due è nato di martedì ed è maschio. Qual è la
> probabilità che l'altro figlio sia maschio?
1). Dipende dal suo sesso. Se e' maschile, e' 1. Se e' femminile, e'
zero. Ma la soluzione dovresti saperla tu, perche' la chiedi a noi? :-)
2) Ah, intendi dire che *neanche tu* conosci il sesso dell'altro tuo
figlio? Che il padre della tua compagna ti ha telegrafato, giorni o
anni fa, "congratulazioni, sei diventato padre" e non sei ancora
riuscito a sapere se fosse un figlio o una figlia? In questo caso, penso
che qualsiasi brocker onesto accetterebbe una scommessa alla pari,
fissando una piccola percentuale sulla vincita. Proprio a causa di
quella percentuale non scommetto mai.
3) Chiediamo ad un impiegato comunale in una grande citta' di trovare
all'anagrafe, fra i nati di qualche anno fa, tutti i maschi nati di
martedi'; di eliminare tutti i casi in cui il loro stato di famiglia
attuale non include *esattamente* due figli; di anonimizzare gli stati
di famiglia e di consegnarcene a caso una trentina. Prima di riceverli,
sono disposto a scommettere con te alla pari, ma *su tutti
contemporaneamente*: io ti paghero' un euro per ogni coppia di fratelli
maschi, tu mi pagherai un euro per ogni coppia fratello/sorella. Dovrei
guadagnarci una confezione di birrette che berro' alla tua salute.
--
TRu-TS
La vita e' un viaggio. E :-) NE VALE LA PENA
http://www.youtube.com/watch?v=vdCT8N-QQnU
(io sono quello con la barba bianca)
Giacomo "Gwilbor" Boschi
> Qualcuno mi spiega perché il dettaglio del nato di martedì non è inutile?
> Perché non bastano le solite combinazione M,M - M,F - F,M - FF ?
> Da cui esce una probabilità di 2/4 cioè 1/2?
Si tratta di una complicazione di un problema molto controintuitivo,
cioè:
In una famiglia ci sono due figli, di cui uno è maschio, qual è la
probabilità che anche l'altro sia maschio?
La risposta 1/2 è sbagliata. Una volta che hai capito questo problema,
puoi passare a quello originario.
Giacomo "Gwilbor" Boschi
> P{almeno uno dei miei due figli è nato di martedì | ho due figli maschi}
>
> il resto viene da se' .... :)
Forse ho capito, appena ho un attimo rifaccio i conti...
superpollo
13/27 ?
--
La legge non discrimina la legge, la legge e' unica e vale per i
piccoli come vale per i grandi.
Che lo capiate o no, la Tunze ha risolto infiniti problemi, e prima
o dopo diverra' legge. E' gia' legge, e' solo che voi non vedete
la legge.
superpollo
forse 13/27 ?
superpollo
(1) prob. di avere due maschi: 1/4
(2) prob. di avere due femmine: 1/4
(3) prob. di avere figli di sesso differente: 1/2
(1) (2) (3) sono ovviamente eventi disgiunti.
nel caso (1) la prob. che almeno uno sia nato martedi si calcola come la prob.
dell'unione di due eventi, pari alla somma delle prob. dei singoli eventi meno la
prob. che gli eventi si verifichino entrambi: 1/7+1/7-1/49 = 13/49. dunque la
prob. di avere due maschi di cui almeno uno nato martedi e' 1/4*13/49 = 13/196.
il caso (2) ovviamente non ci interessa, nel senso che in tal caso la prob. e' zero.
nel caso (3) la prob. che il maschio si nato martedi e' 1/7. pertanto, la prob. di
avere un solo maschio e che sia nato martedi e' 1/2*1/7 = 1/14.
in conclusione:
la prob. di avere due maschi *E* che almeno uno sia nato martedi (intersezione) e'
13/196 ; la prob. che almeno un maschio sia nato martedi (condizione) e'
13/196+1/14 = 27/196; pertanto la prob. di aver due maschi *SAPENDO CHE* almeno un
maschio e' nato martedi (condizionata) e': (13/196)/(27/196) = 13/27.
bye
Tommaso Russo, Trieste
> in conclusione:
>
> la prob. di avere due maschi *E* che almeno uno sia nato martedi
> (intersezione) e' 13/196 ; la prob. che almeno un maschio sia nato
> martedi (condizione) e' 13/196+1/14 = 27/196; pertanto la prob. di aver
> due maschi *SAPENDO CHE* almeno un maschio e' nato martedi
> (condizionata) e': (13/196)/(27/196) = 13/27.
I calcoli precedenti sono esatti, ma la conclusione non mi convince
proprio. Il risultato che ottieni e' poco inferiore a 1/2, mentre a naso
dovrebbe essere poco superiore a 1/3. Mi sa che non hai escluso dal
calcolo i casi in cui vi sono due sorelle. O, per dirla in altro modo,
che la condizione che hai imposto non e'
*SAPENDO CHE* almeno un maschio *c'e' ed* e' nato martedi
ma
*SAPENDO CHE* almeno un maschio, *se c'e'*, e' nato martedi
Geppo
> In una famiglia ci sono due figli, di cui uno è maschio, qual è la
> probabilità che anche l'altro sia maschio?
>
> La risposta 1/2 è sbagliata. Una volta che hai capito questo problema,
> puoi passare a quello originario.
>
direi 1/4 in questo caso, però non riesco a capire che informazione
dia il giorno della settimana ... sono proprio arrugginito :)
Geppo
mi correggo, ho capito dove c'entra il giorno della settimana, ma
non riesco a formalizzarlo ora, ci penserò, carino comunque :)
Peter11
"Tommaso Russo, Trieste" <tru...@tin.it> ha scritto nel messaggio
news:4c2a55ef$0$40285$4faf...@reader2.news.tin.it...
> 3) Chiediamo ad un impiegato comunale in una grande citta' di trovare
> all'anagrafe, fra i nati di qualche anno fa, tutti i maschi nati di
> martedi'; di eliminare tutti i casi in cui il loro stato di famiglia
> attuale non include *esattamente* due figli; di anonimizzare gli stati di
> famiglia e di consegnarcene a caso una trentina. Prima di riceverli, sono
> disposto a scommettere con te alla pari, ma *su tutti contemporaneamente*:
> io ti paghero' un euro per ogni coppia di fratelli maschi, tu mi pagherai
> un euro per ogni coppia fratello/sorella. Dovrei guadagnarci una
> confezione di birrette che berro' alla tua salute.
>
> --
Se la città è Bolzano e l'anno il 2005, ti conviene ordinare già la
confezione da spedirgli in posta celere :-)
capitan harlock
bravo! è il risultato giusto.
il punto è che il risultato è controintuitivo, cioè, se avessi scritto "ho due
figli: uno è maschio; qual è la probabilità che anche l'altro sia maschio?" la
soluzione sarebbe stata banale: P = 1/3.
(e non 1/2 o 1/4 come hanno scritto altri pensando che l'informazione del
martedì fosse irrilevante).
risulta che invece la probabilità è molto vicina al 50%. Magia della probabilità
condizionata :))
esercizio: "ho due figli: uno è maschio ed è nato il 30 giugno; qual è la
probabilità che anche l'altro sia maschio?"
antologiko
>
> *SAPENDO CHE* almeno un maschio *c'e' ed* e' nato martedi
>
> ma
>
> *SAPENDO CHE* almeno un maschio, *se c'e'*, e' nato martedi
Non capisco perchè ti sembra così. A me il ragionamento sembra giusto.
Tommaso Russo, Trieste
> esercizio: "ho due figli: uno è maschio ed è nato il 30 giugno; qual è la
> probabilità che anche l'altro sia maschio?"
Ripetendo pari pari il ragionamento di superpollo, ma sostituendo a 7
365 (lasciamo perdere gli anni bisestili):
"
(1) prob. di avere due maschi: 1/4
(2) prob. di avere due femmine: 1/4
(3) prob. di avere figli di sesso differente: 1/2
(1) (2) (3) sono ovviamente eventi disgiunti.
nel caso (1) la prob. che almeno uno sia nato [il 30 giugno] si calcola
come la prob. dell'unione di due eventi, pari alla somma delle prob. dei
singoli eventi meno la prob. che gli eventi si verifichino entrambi:
1/365+1/365-1/(365^2) = 729/(365^2). dunque la prob. di avere due maschi
di cui almeno uno nato [il 30 giugno] e' 1/4*729/(365^2) = 729/(4*365^2).
il caso (2) ovviamente non ci interessa, nel senso che in tal caso la
prob. e' zero.
nel caso (3) la prob. che il maschio si nato [il 30 giugno] e' 1/365.
pertanto, la prob. di avere un solo maschio e che sia nato [il 30
giugno] e' 1/2*1/365 = 1/730.
in conclusione:
la prob. di avere due maschi *E* che almeno uno sia nato [il 30 giugno]
(intersezione) e' 729/(4*365^2) ; la prob. che almeno un maschio sia
nato [il 30 giugno] (condizione) e' 729/(4*365^2)+1/730 = ...; pertanto
la prob. di aver due maschi *SAPENDO CHE* almeno un maschio e' nato [il
30 giugno] (condizionata) e': 729/(4*365^2)/[729/(4*365^2)+1/730] cioe',
in formato calcolatrice,
729/(4×365^2)/(729/(4×365^2)+1/730) = 0,4996573
"
Modificando ancora:
"ho due figli: uno è maschio ed è nato alle 14:32 e 27 secondi; qual è
la probabilità che anche l'altro sia maschio?"
arriveremmo a 0,4999999...
Non vi pare che ci sia qualcosa che *non* quadra? Abbiamo diminuito
l'incidenza delle coincidenze "maschi nati nello stesso giorno", da
1/7^2 a 1/365^2 a 1/86400^2, e anziche' avvicinarci al caso ideale di
eventi indipendenti (p=1/3) ci siamo ulteriormente avvicinati alla
risposta 1/2.
Tommaso Russo, Trieste
> Se la città è Bolzano e l'anno il 2005, ti conviene ordinare già la
> confezione da spedirgli in posta celere :-)
CHI dovrebbe ordinare e A CHI spedire? :-)
Hai i numeri? (Ovviamente anonimizzati)
Tommaso Russo, Trieste
Sorry, quando l'oggetto contiene lettere accentate il mio Thunderbird lo
perde. :-(
Peter11
"Tommaso Russo, Trieste" <tru...@tin.it> ha scritto nel messaggio
news:4c2b59b1$0$12117$4faf...@reader4.news.tin.it...
> Peter11 ha scritto:
>
>> Se la città è Bolzano e l'anno il 2005, ti conviene ordinare già la
>> confezione da spedirgli in posta celere :-)
>
> CHI dovrebbe ordinare e A CHI spedire? :-)
> Hai i numeri? (Ovviamente anonimizzati)
>
> --
Tu al capitano.
OSPEDALE MASCHIO FEMMINA TOTALE
Bolzano 817 809
1.626
Merano 626 565
1.191
Bressanone 433 357
790
Brunico 320 308
628
Vipiteno 278 241
519
Silandro 191 169
360
San Candido 121 139
260
Casa di cura S. Maria 138 136 274
Totale 2.924 2.724
5.648
Fonte: CedAP
Con questi numeri...anche se non è detto, ma scommetto che quello che paga
sei tu :-)
capitan harlock
ma scusa, se non sei convinto, perché non usi il puro calcolo simbolico che è
anche molto più semplice?
siano dati i seguenti eventi semplici
mm = primo figlio maschio, secondo maschio
mf = primo figlio maschio, secondo femmina
fm = primo figlio femmina, secondo maschio
ff = primo figlio femmina, secondo femmina
quindi:
P(mm) = 1/3
P(mf) = 1/3
P(fm) = 1/3
P(ff) = 0
(nota che io distribuisco le probabilità in tale modo piuttosto che assegnare
1/2 a tutti i casi. il risultato finale non cambia perchè a un certo punto c'è
una normalizzazione delle probabilità. tuttavia questa *è* l'assegnazione più
corretta data l'ipotesi del problema)
inoltre sia data la seguente condizione:
T = scelgo uniformemente un elemento da 1 a N (insieme limitato)
X = un mio figlio maschio ha la proprietà T = n
X_C = nessun dei miei figli maschi ha la proprietà T = n
quindi:
P(X|mf) = 1/N
P(X|fm) = 1/N
P(X|ff) = 0
P(X|mm) = 1 - P(X_C|mm) = 1 - ((N-1)/N)^2 = (2N-1)/N^2
P(X) = P(X|mm)*P(mm) + P(X|mf)*P(mf) + P(X|fm)*P(fm) + P(X|ff)*P(ff) =
= 1/3 * (2N-1)/N^2 + 1/N + 1/N) =
= 1/3 * (4N-1)/N^2
P(mm|X) = P(X|mm)*P(mm)/P(X) =
= {(2N-1)/N^2 * 1/3} / {1/3 * (4N-1)/N^2} =
= (2N-1) / (4N-1)
e ovviamente per N grande, tale prob. tende a 1/2.
ripeto: magie della probabilità condizionata! :)
Tommaso Russo, Trieste
> ma scusa, se non sei convinto
Vorrei chiarire che non sto contestando il teorema di Bayes... :-)
Quello che non mi convince e' la sua applicazione brutale al particolare
problema che hai proposto, e, in generale, a tutti i problemi di
probabilita' nei quali lo spazio degli eventi non e' rigorosamente
definito fin dall'inizio.
Nel mio post (purtroppo apparso senza subject) del 29/06/2010 22:22, ti
avevo dato tre risposte contraddittorie e in apparenza paradossali: 1)
*o* 0, *o* 1; 2) 1/2; 3) circa 1/3. In realta' le confermo tutt'e tre
come corrette: ovviamente non contemporaneamente, una alla volta,
dipendendo da ipotesi supplementari sullo spazio degli eventi da
considerare e sulla conoscenza degli esiti degli eventi stessi. Spiego
meglio nel seguito.
> , perché non usi il puro calcolo simbolico che è
> anche molto più semplice?
Si', infatti.
> siano dati i seguenti eventi semplici
>
> mm = primo figlio maschio, secondo maschio
> mf = primo figlio maschio, secondo femmina
> fm = primo figlio femmina, secondo maschio
> ff = primo figlio femmina, secondo femmina
OK. Qui hai gia' ristretto lo spazio degli eventi: da tutti i padri, ai
soli padri di due figli. OK, data la formulazione del problema e' una
restrizione ragionevole.
> P(mm) = 1/3
> P(mf) = 1/3
> P(fm) = 1/3
> P(ff) = 0
>
> (nota che io distribuisco le probabilità in tale modo piuttosto che assegnare
> 1/2 a tutti i casi. il risultato finale non cambia perchè a un certo punto c'è
> una normalizzazione
OK. Qui hai ulteriormente ristretto lo spazio degli eventi ai soli padri
di esattamente due figli di cui almeno uno maschio. Come sopra.
> inoltre sia data la seguente condizione:
>
> T = scelgo uniformemente un elemento da 1 a N (insieme limitato)
> X = un mio figlio maschio ha la proprietà T = n
> X_C = nessun dei miei figli maschi ha la proprietà T = n
Prima obiezione. Qui stai chiaramente pensando a N=7 e "T=n"="nato di
martedi'". Ma su quel ragazzo mi hai dato un'informazione molto piu'
restrittiva: che e' *tuo* figlio. Quanti sono al mondo i padri di
esattamente due figli di cui almeno uno maschio? Azzardiamo un ordine di
grandezza di 10^8? Quanti fra loro scrivono su ism firmandosi capitan
harlock? Direi uno solo.
Se ripeti il ragionamento che fai nel seguito ponendo N=10^8, ottieni un
risultato talmente vicino a 1/2 da poterlo confondere a qualunque fine
pratico. Io arrivo allo stesso risultato semplicemente restringendo lo
spazio degli eventi ad una sola famiglia, la tua. So che hai un figlio
maschio nato di martedi', ma questa non e' un'informazione che mi fa
restringere ulteriormente lo spazio degli eventi, ne' mi dice niente di
utile sull'altro figlio. So che hai un altro figlio di cui non conosco
il sesso, e la probabilita' a priori che sia maschio anche lui e' 1/2.
Se *nessuno* conosce il suo sesso, allora potrei anche, per amore di
scommessa, scommettere con chiunque che e' maschio alla pari, ponendo
come posta una birra. Se qualcuno invece (il padre?) lo conosce, e
quindi sa che la probabilita' *fattuale* e' 0 o 1, con lui non
scommetterei mai: se scommettessi sull'opzione che lui sa essere vera
con probabilita' 1, potrebbe declinare la proposta; se proponessi
l'altra, accetterebbe con entusiasmo :-) e io comunque non avrei nessuna
possibilita' di bermi una birra a spese sue.
> quindi:
> P(X|mf) = 1/N
> P(X|fm) = 1/N
> P(X|ff) = 0
> P(X|mm) = 1 - P(X_C|mm) = 1 - ((N-1)/N)^2 = (2N-1)/N^2
>
> P(X) = P(X|mm)*P(mm) + P(X|mf)*P(mf) + P(X|fm)*P(fm) + P(X|ff)*P(ff) =
> = 1/3 * (2N-1)/N^2 + 1/N + 1/N) =
> = 1/3 * (4N-1)/N^2
>
> P(mm|X) = P(X|mm)*P(mm)/P(X) =
> = {(2N-1)/N^2 * 1/3} / {1/3 * (4N-1)/N^2} =
> = (2N-1) / (4N-1)
Tutto giusto. Ma qui tu mi stai calcolando la probabilita' P(mm|X) nello
spazio degli eventi "padri di esattamente due figli di cui almeno uno
maschio". Dato che non l'avevi detto (anzi, avevi parlato dello spazio
degli eventi composto da una sola famiglia, la tua) mi sono sentito
autorizzato a proporti una scommessa ristretta ad un sottoinsieme
casuale dello spazio degli eventi "padri di esattamente due figli di cui
almeno uno maschio, e *anche* nato di martedi'". In questo spazio,
P(X)=1, e quindi P(mm|X) = P(mm) = 1/3. Se tu avessi accettato la
scommessa, qualche birretta me la sarei bevuta ;-)
> e ovviamente per N grande, tale prob. tende a 1/2.
E' vero: su questo mi sono confuso io. Stavo ragionando sul disturbo
portato nella scelta degli stati di famiglia dal fatto che qualche
famiglia potrebbe avere *entrambi* i figli maschi e nati di martedi', e
pensavo che riducendo la possibilita' di collisioni lo spazio degli
eventi si sarebbe ristretto da solo :-(
In realta', se aumentiamo progressivamente N, arriviamo facilmente al
punto in cui *un solo* individuo ha la proprietà T = n, e su di lui di
utile sappiamo solo che ha un fratello di cui non conosciamo il sesso,
per cui non possiamo far altro che applicare la probabilita' a priori 1/2.
> ripeto: magie della probabilità condizionata! :)
Si', ma... da mago Merlino o da mago Silvan?
--
TRu-TS
Ho la gola secca, devo proprio bermi una birra
Tommaso Russo, Trieste
> "Tommaso Russo, Trieste" <tru...@tin.it> ha scritto nel messaggio
>> CHI dovrebbe ordinare e A CHI spedire? :-)
>> Hai i numeri? (Ovviamente anonimizzati)
> Tu al capitano.
...
> Totale M 2.924 F 2.724 5.648
> Fonte: CedAP
>
> Con questi numeri...anche se non è detto, ma scommetto che quello che
> paga sei tu :-)
Non capisco il ragionamento. Speravo in stati di famiglia, ma mi hai
dato solo dati sul sesso dei neonati.
Pensi alla leggera prevalenza dei nati maschi sulle femmine? E' una
fluttazione casuale abbastanza irrilevante.
Se la P fosse quella che dice il Capitano, comunque, euro piu', euro
meno, sarebbe finita alla pari.
Ma per come avevo proposto la scommessa (furbescamente? Ma no,
l'intenzione era trasparente, vedi il mio post al capitano) penso
proprio che qualche birra me la sarei bevuta io.
ciao
Peter11
"Tommaso Russo, Trieste" <tru...@tin.it> ha scritto nel messaggio
news:4c2bd885$0$31375$4faf...@reader1.news.tin.it...
> Peter11 ha scritto:
>> "Tommaso Russo, Trieste" <tru...@tin.it> ha scritto nel messaggio
>
>>> CHI dovrebbe ordinare e A CHI spedire? :-)
>>> Hai i numeri? (Ovviamente anonimizzati)
>
>> Tu al capitano.
> ...
>> Totale M 2.924 F 2.724 5.648
>> Fonte: CedAP
>>
>> Con questi numeri...anche se non è detto, ma scommetto che quello che
>> paga sei tu :-)
>
> Non capisco il ragionamento. Speravo in stati di famiglia, ma mi hai dato
> solo dati sul sesso dei neonati.
>
Come sempre ho letto in fretta il tuo post...
Circa la vostra discussione sul post originale, io mi aspetterei di trovare
una p. convergente a 1/2 più gli elementi costitutivi del "problema" rendono
identificabile il figlio che sappiamo essere maschio. Ma mi pare accada il
contrario. Sicuramente mi sfugge qualcosa, dato che sono passati più di
vent'anni da quando ho studiato queste cose.
capitan harlock
> capitan harlock ha scritto:
> > Tommaso Russo, Trieste <tru...@tin.it> ha scritto:
> >> ...Non vi pare che ci sia qualcosa che *non* quadra?...
>
> > ma scusa, se non sei convinto
>
> Vorrei chiarire che non sto contestando il teorema di Bayes... :-)
guarda. il th. di Bayes non ￜ nemmeno il passo fondamentale x risolvere questo
problema.
>
> Quello che non mi convince e' la sua applicazione brutale al particolare
> problema che hai proposto, e, in generale, a tutti i problemi di
> probabilita' nei quali lo spazio degli eventi non e' rigorosamente
> definito fin dall'inizio.
mi sembra che fosse ben definito. ￜ vero, ho scritto "ho due figli etc..."
quando avrei potuto scrivere "due persone scelte a caso etc...". ho
semplicemente copiaincollato il problema come l'ho letto altrove.
ma la sostanza del problema non cambia.
> > siano dati i seguenti eventi semplici
> >
> > mm = primo figlio maschio, secondo maschio
> > mf = primo figlio maschio, secondo femmina
> > fm = primo figlio femmina, secondo maschio
> > ff = primo figlio femmina, secondo femmina
>
> OK. Qui hai gia' ristretto lo spazio degli eventi: da tutti i padri, ai
> soli padri di due figli. OK, data la formulazione del problema e' una
> restrizione ragionevole.
no comment...! ho giￜ scritto che non ￜ la relazione padre -> 2 figli il
nocciolo del problema.
>
> > inoltre sia data la seguente condizione:
> >
> > T = scelgo uniformemente un elemento da 1 a N (insieme limitato)
> > X = un mio figlio maschio ha la proprietￜ T = n
> > X_C = nessun dei miei figli maschi ha la proprietￜ T = n
>
> Prima obiezione. Qui stai chiaramente pensando a N=7 e "T=n"="nato di
> martedi'". Ma su quel ragazzo mi hai dato un'informazione molto piu'
> restrittiva: che e' *tuo* figlio. Quanti sono al mondo i padri di
> esattamente due figli di cui almeno uno maschio? Azzardiamo un ordine di
> grandezza di 10^8? Quanti fra loro scrivono su ism firmandosi capitan
> harlock? Direi uno solo.
>
> Se ripeti il ragionamento che fai nel seguito ponendo N=10^8, ottieni un
> risultato talmente vicino a 1/2 da poterlo confondere a qualunque fine
> pratico. Io arrivo allo stesso risultato semplicemente restringendo lo
> spazio degli eventi ad una sola famiglia, la tua. So che hai un figlio
> maschio nato di martedi', ma questa non e' un'informazione che mi fa
> restringere ulteriormente lo spazio degli eventi, ne' mi dice niente di
> utile sull'altro figlio. So che hai un altro figlio di cui non conosco
> il sesso, e la probabilita' a priori che sia maschio anche lui e' 1/2.
> Se *nessuno* conosce il suo sesso, allora potrei anche, per amore di
> scommessa, scommettere con chiunque che e' maschio alla pari, ponendo
> come posta una birra. Se qualcuno invece (il padre?) lo conosce, e
> quindi sa che la probabilita' *fattuale* e' 0 o 1, con lui non
> scommetterei mai: se scommettessi sull'opzione che lui sa essere vera
> con probabilita' 1, potrebbe declinare la proposta; se proponessi
> l'altra, accetterebbe con entusiasmo :-) e io comunque non avrei nessuna
> possibilita' di bermi una birra a spese sue.
questa mi spiace non ￜ probabilitￜ. sono praticamente sofismi, che poco
c'entrano con la teoria delle probabilitￜ. per esempio, allora perchￜ non
considerare a sto punto il terzo genere x il figlio, ermafrodita? perchￜ
ovviamente ha una occurrency moooolto inferiore ai due casi maschio e femmina,
quindi non ha senso complicare il modello per considerare tale casistica. etc...
ￜ come quando ti chiedo "tira una monetina: qual ￜ la probabilitￜ che esca testa
o croce" e tu mi rispondi "e se si ferma a metￜ sul bordo?".
se poi vuoi buttarti la zappa sui piedi da solo....
>
> > quindi:
> > P(X|mf) = 1/N
> > P(X|fm) = 1/N
> > P(X|ff) = 0
> > P(X|mm) = 1 - P(X_C|mm) = 1 - ((N-1)/N)^2 = (2N-1)/N^2
> >
> > P(X) = P(X|mm)*P(mm) + P(X|mf)*P(mf) + P(X|fm)*P(fm) + P(X|ff)*P(ff) =
> > = 1/3 * (2N-1)/N^2 + 1/N + 1/N) =
> > = 1/3 * (4N-1)/N^2
> >
> > P(mm|X) = P(X|mm)*P(mm)/P(X) =
> > = {(2N-1)/N^2 * 1/3} / {1/3 * (4N-1)/N^2} =
> > = (2N-1) / (4N-1)
>
> Tutto giusto. Ma qui tu mi stai calcolando la probabilita' P(mm|X) nello
> spazio degli eventi "padri di esattamente due figli di cui almeno uno
> maschio". Dato che non l'avevi detto (anzi, avevi parlato dello spazio
> degli eventi composto da una sola famiglia, la tua) mi sono sentito
> autorizzato a proporti una scommessa ristretta ad un sottoinsieme
> casuale dello spazio degli eventi "padri di esattamente due figli di cui
> almeno uno maschio, e *anche* nato di martedi'". In questo spazio,
> P(X)=1, e quindi P(mm|X) = P(mm) = 1/3. Se tu avessi accettato la
> scommessa, qualche birretta me la sarei bevuta ;-)
ￜ sbagliatissimo. leggi bene cosa ho scritto: P(mm|X) dove X = "almeno un mio
figlio ￜ nato di martedi'".
il mio spazio di eventi ￜ formato da "tutte le coppie di figli di cui almeno uno
ￜ nato di martedi'".
in tale spazio di eventi la probabilitￜ ￜ una certa misura Q(A) = P(A|X), dove
P(.) ￜ la misura di probabilitￜ dello spazio di eventi formato da "tutte le
coppie di figli". E basta.
E' questa la vera chiave del problema, nn certo il teorema di Bayes.
quanto a sapere quando il risultato sarebbe stato = 1/3, ￜ chiaro che P(mm|X) =
P(mm) solo se gli eventi "mm" e "X" sono disgiunti ovvero indipendenti (essendo
P(mm|X) = P(mm int X)/P(X) = P(mm)*P(X)/P(X) = P(mm) c.v.d.).
io ho espresso una condizione X (che nel caso piￜ generale ￜ funzione di una
cardinalitￜ N di un certo insieme limitato) che NON poteva essere considerata
indipendente mai.
riesci a trovare un esempio in cui la condizione X, sempre o asintoticamente per
N grande, puￜ essere considerata indipendente?
Tommaso Russo, Trieste
capitan harlock ha scritto:
> il th. di Bayes non è nemmeno il passo fondamentale x risolvere questo
> problema.
>> In questo spazio,
>> P(X)=1, e quindi P(mm|X) = P(mm) = 1/3.
> è sbagliatissimo. leggi bene cosa ho scritto: P(mm|X) dove X = "almeno un mio
> figlio è nato di martedi'".
> il mio spazio di eventi è formato da "tutte le coppie di figli di cui almeno uno
> è nato di martedi'".
> in tale spazio di eventi la probabilità è una certa misura Q(A) = P(A|X), dove
> P(.) è la misura di probabilità dello spazio di eventi formato da "tutte le
> coppie di figli". E basta.
> E' questa la vera chiave del problema, nn certo il teorema di Bayes.
Vero. Tu e superpollo avete ragione. E' bastato mettere da parte Bayes,
scrivere P(mm|X) come P(mm int X)/P(X) e fare il conto sulle frequenze
per convincermene.
Perdonatemi: avevo visto un problema espresso in modo ambiguo e mi ero
convinto che il risultato controintuitivo fosse dovuto a interpretazioni
diverse premesse dall'ambiguita'. Ma ho preso un paio di cantonate. Il
risultato e' veramente quello, controintuitivo fino ad un'analisi
approfondita.
>> ... su quel ragazzo mi hai dato un'informazione molto piu'
>> restrittiva: che e' *tuo* figlio. Quanti sono al mondo i padri di
>> esattamente due figli di cui almeno uno maschio? Azzardiamo un ordine di
>> grandezza di 10^8? Quanti fra loro scrivono su ism firmandosi capitan
>> harlock? Direi uno solo.
>>
>> Se ripeti il ragionamento che fai nel seguito ponendo N=10^8, ottieni un
>> risultato talmente vicino a 1/2 da poterlo confondere a qualunque fine
>> pratico. Io arrivo allo stesso risultato semplicemente restringendo lo
>> spazio degli eventi ad una sola famiglia, la tua. So che hai un figlio
>> maschio nato di martedi', ma questa non e' un'informazione che mi fa
>> restringere ulteriormente lo spazio degli eventi, ne' mi dice niente di
>> utile sull'altro figlio. So che hai un altro figlio di cui non conosco
>> il sesso, e la probabilita' a priori che sia maschio anche lui e' 1/2.
>> Se *nessuno* conosce il suo sesso, allora potrei anche, per amore di
>> scommessa, scommettere con chiunque che e' maschio alla pari, ponendo
>> come posta una birra. Se qualcuno invece (il padre?) lo conosce, e
>> quindi sa che la probabilita' *fattuale* e' 0 o 1, con lui non
>> scommetterei mai...
> questa mi spiace non è probabilità. sono praticamente sofismi, che poco
> c'entrano con la teoria delle probabilità.
No, questo non te lo concedo. Sono tentativi di sopperire con ipotesi,
campate in aria finche' vuoi, a mancanze di precisione nell'enunciato
del problema.
Se tu mi dai l'informazione che il fratello di cui parli e' figlio di
una ben precisa persona, allora fai proprio il ragionamento
X = un mio figlio maschio ha la proprietà T = n
con n scelto fra un numero N molto grande di possibilita', e proprio in
base al ragionamento che hai fatto ottieni P =~ 1/2.
Per quanto riguarda poi il fatto che parli di *tuo* figlio, getti
un'ombra sulla validita' proprio di un postulato fondamentale della
teoria della probabilita' soggettivistica di De Finetti: io posso
scommettere su un evento a me ignoto, ma se proprio chi mi propone la
scommessa ne conosce gia' l'esito, posso continuare a supporre che la
proposta sia equa? O non farei meglio piuttosto a sospettare un imboglio?
Io sono convinto che la stragrande maggioranza dei problemi sulle
probabilita' composte e condizionate che vengono spesso proposti e
risultano particolarmente ostici (anche dalla fonte da cui hai
copiaincollato) non lo siano per la difficolta' intrinseca della
materia, ma sopratutto per essere presentati in modo (talvolta,
sospetto, volutamente) impreciso, lasciando uno spiraglio per
interpretazioni diverse che creano confusione. Per questo quando ne vedo
uno siffatto parto a testa bassa, anche se in questo caso ho sbagliato
bersaglio.
> per esempio, allora perché non
> considerare a sto punto il terzo genere x il figlio, ermafrodita? ...
> ...qual è la probabilità che esca testa
> o croce" e tu mi rispondi "e se si ferma a metà sul bordo?".
Questi si', sarebbero sofismi. Al di la' del fatto che le assunzioni
p(m)=p(f)=1/2 sono una semplificazione spandard, spesso affermata
esplicitamente, e molto vicina alla realta', come giustamente osservi le
occorrenze effettive di questi casi sono talmente rare da modificare i
risultati impercettibilmente.
ciao
--
TRu-TS
Buon vento e cieli sereni
Tommaso Russo, Trieste
> Circa la vostra discussione sul post originale, io mi aspetterei di
> trovare una p. convergente a 1/2 più gli elementi costitutivi del
> "problema" rendono identificabile il figlio che sappiamo essere maschio.
> Ma mi pare accada il contrario. Sicuramente mi sfugge qualcosa,
No, le cose vanno esattamente secondo le tue aspettative.
> dato che
> sono passati più di vent'anni da quando ho studiato queste cose.
giovincello! :-) Io le ho studiate quarant'anni fa...
Le ho riprese in mano ultimamente sopratutto per capire certi aspetti
della MQ, ma continuo a incasinarmici. Sopratutto quando il problema e'
un po' cervellotico :-)
LordBeotian
wrote:
> Ho due figli. Uno dei due è nato di martedì ed è maschio. Qual è la
> probabilità che l'altro figlio sia maschio?
E' equivalente (se opportunamente interpretato) a:
estraggo due carte a caso da due mazzi così strutturati:
{1,...,7 cuori}U{1,...,7 fiori}
una persona guarda le due carte
io chiedo "c'è un 7 di cuori?" e lei risponde di sì
qual'è la probabilità che l'altra carta sia cuori?
le coppie possibili a priori sono 14^2, tutte equiprobabili
le coppie possibili dopo l'informazione sono
(x,7cuori) x non 7cuori
(7cuori,7cuori)
(7cuori,x) x non 7cuori
tutte equiprobabili
sono in totale 27
con x=cuori sono 13
quindi in conclusione abbiamo
13/27
Peter11
"Tommaso Russo, Trieste" <tru...@tin.it> ha scritto nel messaggio
news:4c2d0655$0$18658$4faf...@reader3.news.tin.it...
> Peter11 ha scritto:
>
>
> giovincello! :-) Io le ho studiate quarant'anni fa...
>
> Le ho riprese in mano ultimamente sopratutto per capire certi aspetti
> della MQ, ma continuo a incasinarmici. Sopratutto quando il problema e' un
> po' cervellotico :-)
>
> --
Dove, tra l'altro, la statistica funziona in modo diverso rispetto
all'usuale.