il teorema di Gödel e la teoria del tutto
Gabriele Martufi
dell'incompletezza.
Bene, cito un pensiero, che io condivido, di Norman Packard egli disse: un
fisico è un matematico con il senso della realtà...
Ora considerando che ogni teoria fisica possiede praticamente una struttura
matematica (formale/assiomatica) e che inoltre più la teoria fisica è
avanzata e più matematica contiene... ne segue che ogni teoria fisica (che
abbia un minimo di struttura matematica) è soggetta alla
restrizione/conseguenze del teorema di Gödel...
E' sorprendente come, nel corso degli anni, molti fisici abbiano
completamente ignorato questo risultato (teorema di Gödel)... lo stesso
Einstein (il quale conosceva Gödel) lo ignorò.
Il discorso è molto interessante e delicato e va preso atto che il teorema
di Gödel, non esclude che si possa trovare una teoria del tutto, ma ci dice
che tale teoria (ammesso che si riesca a formulare) non può essere presa
come necessariamente vera, ovvero non potrà mai essere considerata la teoria
definitiva...
Mi piacerebbe sapere che ne pensate.
Ciao a tutti
Grazie
GM
"E' l'inconscio che percepisce la verità, la ragione la perfeziona. Gabriele
Martufi"
http://gabrielemartufi.altervista.org/
Giovanni Lagnese
dei numeri naturali, alla teoria completa dei numeri reali, eccetera. Per
"teoria completa" si intede l'insieme degli enunciati veri in una data
struttura. Quindi, quando in fisica si dice "questo fenomeno viene descritto
da questa struttura matematica", non si fa riferimento ad una teoria
assiomatica (la quale avrebbe tra l'altro anche i problemi della
modellizzazione non standard), ma ad una struttura immaginata idealmente
come completa con tutte le sue verita` (i numeri naturali, i numeri reali,
eccetera).
Pertanto, i teoremi di Goedel ci dicono che le teorie fisiche non possono
essere assiomatizzate mediante un insieme ricorsivo di assiomi.
Un altro punto di vista pero` potrebbe essere questo: non esistono le teorie
complete (e relative strutture complete) dei numeri naturali, dei numeri
reali, eccetera, ma in realta` esistono soltanto i frammenti ricorsivamente
enumerabili di tali teorie; pertanto, per una teoria fisica sono sufficiente
i frammenti ricorsivamente enumerabili, e le stesse verita` della teoria
fisica potrebbero essere ricorsivamente enumerabili.
G
2oo9
scritto:
> Nel 1931 il grande matematico Kurt Gödel pubblica il teorema
> dell'incompletezza.
> Bene, cito un pensiero, che io condivido, di Norman Packard egli disse: un
> fisico è un matematico con il senso della realtà...
> Ora considerando che ogni teoria fisica possiede praticamente una
struttura
> matematica (formale/assiomatica) e che inoltre più la teoria fisica è
> avanzata e più matematica contiene... ne segue che ogni teoria fisica (che
> abbia un minimo di struttura matematica) è soggetta alla
> restrizione/conseguenze del teorema di Gödel...
Questa è una cattiva interpretazione di molti filosofi e fisici. Il teorema
di Gödel è un teorema limitativo, ma troppe persone fraintendono questo
termine credendo che il tdG sia un blocco per il raggiungimento di risultati
utili.
Il tdG ha applicazioni molto ristrette, è un risultato confinato alla logica
del primo ordine.
--------------------------------
Inviato via http://arianna.libero.it/usenet/
Giovanni Lagnese
news:82Z49Z78Z252Y1...@usenet.libero.it...
> Il tdG ha applicazioni molto ristrette, è un risultato confinato alla
> logica
> del primo ordine.
Conosci altri logiche? ;-)
La logica del secondo ordine non e`, di fatto, teoria degli insiemi?
Se consideri teorie assiomatiche (i.e. teorie i cui assiomi siano un insieme
ricorsivo) il teorema di incompletezza vale anche al secondo ordine.
G
Giovanni Lagnese
news:pan.2006.08.26....@zee.com...
> > Ora considerando che ogni teoria fisica possiede praticamente
> > una struttura matematica (formale/assiomatica)
Senz'altro le teorie fisiche fanno riferimento a strutture matematiche le
cui teorie complete, per il teorema di incompletezza, non possono essere
ricorsivamente assiomatizzate.
G
2oo9
scritto:
> "2oo9" <2006#fake#@libero.it> ha scritto nel messaggio
> news:82Z49Z78Z252Y1...@usenet.libero.it...
> > Il tdG ha applicazioni molto ristrette, è un risultato confinato alla
> > logica
> > del primo ordine.
>
> Conosci altri logiche? ;-)
Conosciamo quelle di ordine superiore. Ma come fai notare tu non sono
proprio facili da trattare.
> La logica del secondo ordine non e`, di fatto, teoria degli insiemi?
Forse non solo.
> Se consideri teorie assiomatiche (i.e. teorie i cui assiomi siano un
insieme
> ricorsivo) il teorema di incompletezza vale anche al secondo ordine.
In generale, al secondo ordine non ha proprio senso parlare del teorema di
Gödel.
Gabriele Martufi
>>> > struttura matematica (formale/assiomatica)
>>> No. Falso.
---
Mah, io non direi proprio, è vero che il teorema dell'incompletezza di Gödel
si presta facilmente ad erronee interpretazioni e conclusioni, ma qui stiamo
parlando di fisica... di teorie fisiche avanzate (vedasi M-Teoria)... il
teorema di Gödel, in tale contesto, è sicuramente applicabile... non è un
caso se il grande fisico teorico/cosmologo Stephen William Hawking
(http://www.hawking.org.uk/) già dal 2002, ha rivisto la propria posizione
sulla possibilità, della fisica, di trovare una "teoria del tutto"
definitiva... infatti in una conferenza pubblica dal nome sicuramente
provocatorio "Gödel and the End of Physics" ha affrontato la questione... ti
invito a leggere il testo con le relative conclusioni dello scienziato
Stephen Hawking:
http://www.physics.sfasu.edu/astro/news/20030308news/StephenHawking20030308.htm
http://www.damtp.cam.ac.uk/strings02/dirac/hawking/
Ciao
GM
Il sogno di Einstein - Teoria del Tutto
http://it.groups.yahoo.com/group/m-teoria/
2oo9
scritto:
Sciocchezze. Quando si parla di teorema di Gödel non devi prestare
attenzione a ciò che dicono Hawking e Dyson. Questi fisici non hanno
compreso la portata di tale teorema ed è anche merito loro che esso sia uno
dei teoremi più fraintesi della storia.
Giovanni Lagnese
> Gödel.
Non sono d'accordo. Guarda che puoi ripetere il ragionamento del teorema di
incompletezza anche per una teoria al secondo ordine, supponendo che si
tratti di una teoria assiomatica.
G
Giovanni Lagnese
news:44f16b9a$0$13732$5fc...@news.tiscali.it...
> il grande fisico teorico/cosmologo Stephen William Hawking
Personalmente lo detesto e non mi fido di quello che dice.
G
2oo9
scritto:
Purtroppo in generale non si può. Il tdG è relativo ad una teoria del primo
ordine per l'aritmetica (aritmetica di Peano). Certo, il tdG è stato
ampliato da Rosser e da Tarski (quest'ultimo mediante il th di punto fisso).
Già questo la dice lunga sulle restrizioni di tale aritmetica: è sufficiente
pensare al principio di induzione formulato da Peano e quello del modello
dell'aritmetica del primo ordine. Il postulato di Peano riguarda tutte le
proprietà su N, e dalla teoria ingenua sappiamo che sono 2^Aleph_0 poiché
tanti sono i sottoinsiemi di N. L'aritmetica del primo ordine su cui è
basato il tdG ha in luogo di detto assioma uno schema di assiomi che sta per
una quantità numerabile di formule. L'espressività del primo ordine è poca
cosa rispetto a quella del secondo. Né si può immaginare di immergere il
postulato di Peano nella logica del secondo ordine, ne risulterebbe qualcosa
di totalmente differente.
Vediamo alcune differenze tra la logica del primo ordine e quella del
secondo ordine.
1) Non esiste una procedura di decisione per la validità (in tutti i
modelli) delle formule del 2° ordine.
2) Esiste una singola sentenza del 2° ordine tale che i suoi soli modelli
abbiano universi numerabili.
(Il teorema di LÖWENHEIM-SKOLEM non sussiste al 2° ordine)
3) Esiste un insieme numerabile di sentenze del secondo ordine che non ha
modello ma del quale ogni sottoinsieme finito ha un modello (il teorema di
COMPATTEZZA non sussite al secondo ordine).
4) la COMPLETEZZA non sussiste al secondo ordine.
5) l'insieme dei gödeliani delle sentenze valide (in tutti i modelli) del 2°
ordine NON E' DEFINIBILE (e quindi NON RICORSIVAMENTE ENUMERABILE)
nell'aritmetica del secondo ordine.
(Questo punto mostra la totale inadeguatezza del tdG al 2° ordine.)
Come vedi la logica del 2° ordine è proprio ostica ed è tutta un'altra cosa
rispetto alla logica del primo ordine.
Ci sono ambiti ristretti della logica del 2° ordine (le cosiddette logiche
"deboli" del 2° ordine) che preservano molti risultati della logica del
primo ordine, ma in generale la logica del secondo ordine rappresenta uno
scoglio sul quale vanno a cozzare i migliori risultati del primo ordine. Per
non parlare della sua pressoché inesistente teoria della dimostrazione.
Giovanni Lagnese
> 5) l'insieme dei gödeliani delle sentenze valide (in tutti i modelli) del
> 2°
> ordine NON E' DEFINIBILE (e quindi NON RICORSIVAMENTE ENUMERABILE)
> nell'aritmetica del secondo ordine.
> (Questo punto mostra la totale inadeguatezza del tdG al 2° ordine.)
Ma allora diciamo semplicemente che le teorie del secondo ordine non sono
assiomatiche.
Pero` nulla impedisce di considerarne frammenti assiomatici (che sono quelli
di cui effettivamente disponiamo) ed applicare ad essi il tdG.
> Come vedi la logica del 2° ordine è proprio ostica ed è tutta un'altra
> cosa
> rispetto alla logica del primo ordine.
Piu` che ostica, io direi che il punto e` un altro: che senso (e che valore
epistemologico) ha?
G
Tetis
Facciamo un esempio. La geometria di Hilbert con
l'assioma di Cantor è una teoria del secondo ordine
proprio perchè l'assioma di Cantor, (che nelle formulazioni post-goedeliane
sostituisce il pessimo assioma della completezza lineare adottato da
Hilbert:
ovvero non possiamo aggiungere altri punti linee e rette
oltre a quelli che verificano tutti questi assiomi, Agazzi Palladino: Le
geometrie
non euclidee) è un assioma del secondo ordine. Risultato: la teoria di
Hilbert
è una teoria incompleta se pretende di individuare univocamente il proprio
universo
mediante l'assioma di Cantor. Ovvero ammette una molteplicità di modelli se
rinuncia ad individuare univocamente il proprio universo. Quello che dice
Goedel
in questo caso è che una concatenazione enumerabile di ragionamenti
non permette di accedere a tutte le proposizioni vere implicate dall'assioma
di
Cantor. Un esempio molto semplice: noi possiamo definire, esaustivamente
la lunghezza di una circonferenza e l'assioma di Cantor ci garantisce che
esiste
un segmento il cui rapporto con un segmento dato è pari al rapporto della
lunghezza della circonferenza con la lunghezza del suo raggio. Tuttavia non
possiamo costruire in nessun modo questo segmento utilizzando una
procedure finita di costruzioni geometriche. Anche più curiosamente possiamo
costruire la diagonale di un quadrato e dimostrare che non esiste alcuna
procedura razionale sulla retta reale che permette di costruirla.
Diversamente
se rinunciamo all'assioma di completezza dei numeri reali
possiamo pensare universi differenti che verificano tutti
gli assiomi tranne quello di Cantor, otteniamo un sistema semanticamente
completo, ma questo sistema ammette modelli fra loro non isomorfi ovvero
rinunciamo alla certezza di sapere di cosa stiamo parlando. In effetti per
certi riguardi potrebbe sembrare che la fisica proceda in questo secondo
modo. Ovvero prediligendo
la completezza semantica in luogo della certezza del soggetto di indagine.
Tuttavia è anche vero che spesso e volentieri è l'esistenza del soggetto di
indagine ad imporre la formulazione di ipotesi descrittive che restringono
artificialmente le possibilità, alcuni filosofi parlano di eccesso
riduzionista.
Cosicchè i fisici hanno spesso fatto uso della geometria euclidea nella sua
forma più categorica sapendo fin da principio che potrebbe essere
controfattuale,
ma lasciando alla natura il compito di pronunciarsi al riguardo. Per quanto
possa apparire paradossale, forse proprio pre la ragione che hanno una
certezza dell'esistenza del soggetto di indagine e la necessità di
appigliare
questa intuizione ad un contenuto certo del loro modello di pensiero,
i fisici hanno preferito modelli semanticamente incompleti ma categorici.
D'altra parte si parla di" potenza "di una teoria in rapporto a questa
circostanza che la teoria è incompleta, ma questa potenza è raramente
attuale, questo problema ha posto una quantità di questioni che hanno
condotto ad una evoluzione della logica per cui oggi anche i fisici
cominciano
a prendere coscienza di avere usato spesso, nello sviluppo della scienza
impliciti extra-categorici. In effetti l'idea che i fisici si appigliano
sempre al principio
di realtà coglierebbe solo una piccola parte dello sviluppo della scienza.
In alcuni
momenti, come in corrispondenza alla formulazione della meccanica
quantistica,
occorreva mettere da parte ogni pregiudizio categorico ed affidarsi in pieno
ad una esplorazione semanticamente completa basata sul principio di
non contraddizione (ma anche questo principio è stato, talvolta
equivocamente,
posto in dubbio), cosicchè si sa che Bohr si alzava al mattino e poneva sul
tavolo tutte le ipotesi che erano sopravvisute al vaglio del giorno
precedente e
cominciava a concatenare i ragionamenti fino a che alcune ipotesi erano
accantonate
e davano spazio ad altre. E' lecito pensare che anche i riferimenti di
Euclide abbiano
avuto una storia simile. Basti pensare alla scuola parmenidea con la sua
vocazione
per i paradossi. Il ruolo dei paradossi per i greci era orientativo aveva
una grande
importanza in rapporto alla costruzione di un sistema argomentativo via via
più
sicuro ed affidabile.
Tetis
news:82Z49Z78Z252Y1...@usenet.libero.it
> Il 27 Ago 2006, 01:45, "Giovanni Lagnese" <lagnese@[remove me]ngi.it> ha
> scritto:
> > "2oo9" <2006#fake#@libero.it> ha scritto nel messaggio
> > news:82Z49Z78Z252Y1...@usenet.libero.it...
> > > Il tdG ha applicazioni molto ristrette, è un risultato confinato alla
> > > logica
> > > del primo ordine.
> >
> > Conosci altri logiche? ;-)
>
> Conosciamo quelle di ordine superiore. Ma come fai notare tu non sono
> proprio facili da trattare.
>
>
> In generale, al secondo ordine non ha proprio senso parlare del teorema di
> Gödel.
> --------------------------------
> Inviato via http://arianna.libero.it/usenet/
--
Posted via Mailgate.ORG Server - http://www.Mailgate.ORG
Enzo
> Il discorso è molto interessante e delicato e va preso atto che il teorema
> di Gödel, non esclude che si possa trovare una teoria del tutto, ma ci dice
> che tale teoria (ammesso che si riesca a formulare) non può essere presa
> come necessariamente vera, ovvero non potrà mai essere considerata la teoria
> definitiva...
Guarda che il teorema di Goedel non esclude una teoria del tutto in un
modo molto più forte di quello che stai dicendo tu.
Voglio dire che potrebbe essere veramente possibile trovare una teoria
finitamente assiomatizzabile che descriva tutto l' universo, il problema
è che non sappiamo e non potremo mai sapere se questo è possibile.
Il teorema di Goedel dice che alcune teorie non sono finitamente
assiomatizzabili, tra queste in particolare non lo è la teoria dell'
aritmetica e anche altre. Il fatto che in fisica sono usate alcune di
queste teorie (o teorie che includono queste) per fare modelli della
realtà è del tutto irrilevante, in quanto queste teorie sono comunque
verificate solo in un numero finito di casi.
Il nocciolo del problema è se per descrivere completamente l' universo
sia necessaria una quantità finita o infinita di informazione. Possiamo
filosofeggiare quando vogliamo, ma la realtà è che non abbiamo nessuna
possibilità di controllare quale delle due ipotesi è vera e certamente
il teorema di goedel non ha niente da dire su questo.
Personalmente ritengo anche non interessante questo problema (forse
perché sono piuttosto pragmatico e i problemi senza soluzione non mi
interessano) per il semplice motivo che praticamente sempre nello
studiare la realtà ci troviamo in una situazione di incompletezza di
informazione: è molto più interessante studiare le conseguenze di questo
fatto. Poco ci importa se questa incompletezza di informazione dipende
dal fatto che l' informazione nell' universo è infinita o solo troppo
grande per noi o solo che non abbiamo i mezzi per raggiungere la
totalità dell' informazione.
2oo9
scritto:
> "2oo9" <2006#fake#@libero.it> ha scritto nel messaggio
> news:82Z49Z102Z251Y1...@usenet.libero.it...
> > 5) l'insieme dei gödeliani delle sentenze valide (in tutti i modelli)
del
> > 2°
> > ordine NON E' DEFINIBILE (e quindi NON RICORSIVAMENTE ENUMERABILE)
> > nell'aritmetica del secondo ordine.
> > (Questo punto mostra la totale inadeguatezza del tdG al 2° ordine.)
>
> Ma allora diciamo semplicemente che le teorie del secondo ordine non sono
> assiomatiche.
In generale no, anche se ci sono logiche del s. o. complete, consistenti e
addirittura decidibili (logiche monadiche del 2°ordine).
> Pero` nulla impedisce di considerarne frammenti assiomatici (che sono
quelli
> di cui effettivamente disponiamo) ed applicare ad essi il tdG.
Il problema è che il tdG si applica ad una particolare aritmetica del primo
ordine... aritmetica che al secondo ordine non esiste (poiché l'aritmetica
del s. o. è diversa).
>
> > Come vedi la logica del 2° ordine è proprio ostica ed è tutta un'altra
> > cosa
> > rispetto alla logica del primo ordine.
>
> Piu` che ostica, io direi che il punto e` un altro: che senso (e che
valore
> epistemologico) ha?
Non me ne intendo di epistemologia ma posso dire che molti logici come Quine
non vedevano di buon occhio la logica del 2° ordine poiché la ritenevano
poco adeguata per la matematica. Altri come Boolos hanno cercato di ricreare
un ambiente "da primo ordine" all'interno del secondo ordine. La logica del
secondo ordine determina una certa riluttanza nei logici, questo è
comprensibile.
Però una cosa che va certamente evidenziata è che i matematici non parlano
al primo ordine, questo è sicuro.
Giovanni Lagnese
> al primo ordine, questo è sicuro.
Mi pare che parlino in ZF, quindi al primo ordine.
G
Tetis
scritto:
Ma spesso parlavano in ZFC quindi...
in una restrizione di NBG che è un'estensione conservativa di ZFC
non equivalente a ZFC. Tutti i teoremi di NBG sono teoremi di ZFC e
viceversa,
ma ZFC non può essere equivalente ad NBG (in quanto
questa è finitamente assiomatizzabile). Quindi esistono modelli (ma in quale
dei due linguaggi?) che le distinguono (esiste qualche esempio di ciò?)
Però molti, specie fra quelli che si occupano di categorie
continuano a parlare in NBG perchè come noto ZFC
costituisce fonte di disagi a proposito della teoria della
misura. Ora mi chiedo, di che ordine saranno
mai ZFC ed NBG?
> G
Giovanni Lagnese
news:155Z185Z13Z82Y1...@usenet.libero.it...
> Ma spesso parlavano in ZFC quindi...
> in una restrizione di NBG che è un'estensione conservativa di ZFC
> non equivalente a ZFC. Tutti i teoremi di NBG sono teoremi di ZFC e
> viceversa,
> ma ZFC non può essere equivalente ad NBG (in quanto
> questa è finitamente assiomatizzabile). Quindi esistono modelli (ma in
> quale
> dei due linguaggi?) che le distinguono (esiste qualche esempio di ciò?)
> Però molti, specie fra quelli che si occupano di categorie
> continuano a parlare in NBG perchè come noto ZFC
> costituisce fonte di disagi a proposito della teoria della
> misura. Ora mi chiedo, di che ordine saranno
> mai ZFC ed NBG?
Ma che cacchio dici??
G
Gabriele Martufi
> attenzione a ciò che dicono Hawking e Dyson. Questi fisici non hanno
---
E' proprio perchè ci sono pareri molto discordanti anche tra i più noti
fisici (e alcuni matematici) contemporanei... che le perplessità
sull'argomento non mancano... il mio post può essere riformulato
semplicemente nel seguente modo:
Il teorema dell'incompletezza di Kurt Gödel vanifica la possibilità di
trovare una teoria definitiva?
io non ho certezze, solo dubbi, il mio post vuole essere un tentativo per
capire... tutto qui.
...esso sia uno dei teoremi più fraintesi della storia.
---
Su questo non c'e' dubbio.
A quanto pare se non l'hanno compreso alcuni dei più grandi
scienziati/pensatori contemporanei... o alcuni di costoro lo
fra-intendono... figuriamoci i comuni mortali...
Ciao
GM
http://gabrielemartufi.altervista.org/