Gruppi fondamentali?
Massimo Borsero
sapere (visto che non ci sono le soluzioni) se sto facendo bene. Premetto
che non ho mai fatto esercizi di questo tipo, quindi pu� darsi che dica
grosse cavolate. Si tratta di calcolare il gruppo fondamentale di
i) Il piano privato di due rette per l'origine.
Questo � facile, il piano si spezza in un'unione disgiunta di 4 quadranti
che sono convessi, e ciascuno di loro ha gruppo fondamentale banale. Allora
usando Seifert van Kampen (SFK) ottengo che l'insieme in oggetto ha gruppo
fondamentale banale.
ii) La semisfera di S^2 meno 1 punto
La semisfera meno un punto � omeomorfa a R^2 meno il cerchio di raggio 1,
che a sua volta � omotopicamente equivalente a R^2 meno l'origine. Allora il
gruppo fondamentale della semisfera meno 1 punto � Z.
iii) S^2 meno 3 punti non coincidenti.
S^2 meno 3 punti non coincidenti � omeomorfo (mediante proiezione
stereografica da uno di questi) a R^2 meno 2 punti, che a sua volta �
omotopicamente equivalente al bouquet di 2 circonferenze.
Per calcolare il gruppo del bouquet devo usare SVK. Ci ho pensato un po', �
credo si possa fare cos�:
Facciamo conto che l'insieme sia X = { (x-1)^2 + y^2 = 1} U { (x+1)^2 + y^2
= 1}
Allora gli aperti A = X - (-2,0) e B = X - (2 ,0) coprono X, sono connessi
per archi e pure la loro intersezione.
Ora sia A che B sono omotopicamente equivalenti a S^1 (anzi direi che ne
sono dei retratti). Allora il loro gruppo fondamentale � Z
Quindi usando SVK ho che il gruppo fondamentale di X � il gruppo libero
generato da 2 elementi F_2.
In conclusione il gruppo fondamentale di S^2 meno 2 punti � F_2.
Sono giusti? Grazie in anticipo per la pazienza :-)
?manu*
> Sono giusti? Grazie in anticipo per la pazienza :-)
S�.
E.
Massimo Borsero
>
> S�.
>
> E.
Grazie :-)
Massimo Borsero
>
> Per calcolare il gruppo del bouquet devo usare SVK. Ci ho pensato un po',
> � credo si possa fare cos�:
>
> Facciamo conto che l'insieme sia X = { (x-1)^2 + y^2 = 1} U { (x+1)^2 +
> y^2 = 1}
>
> Allora gli aperti A = X - (-2,0) e B = X - (2 ,0) coprono X, sono connessi
> per archi e pure la loro intersezione.
>
> Ora sia A che B sono omotopicamente equivalenti a S^1 (anzi direi che ne
> sono dei retratti). Allora il loro gruppo fondamentale � Z
>
> Quindi usando SVK ho che il gruppo fondamentale di X � il gruppo libero
> generato da 2 elementi F_2.
>
> In conclusione il gruppo fondamentale di S^2 meno 2 punti � F_2.
Ok, ora faccio una domanda pi� stupida. Ieri sera ho calcolato il gruppo del
bouquet in questo modo, ed � giusto.
Mi chiedo, potevo anche, pi� semplicemente, dividere X nelle due
circonferenze
A = { (x-1)^2 + y^2 = 1} e B = { (x+1)^2 + y^2 = 1}
Anche in questo caso A e B sono connessi per archi, e la loro intersezione �
1 punto. Cos� ottengo subito che i loro gruppi fondamentali sono isomorfi a
Z.
E' corretto anche cos�?
?manu*
Direi di s�, anche se non mi ricordo nel dettaglio le ipotesi di SVK.
E.
Massimo Borsero
>
> Direi di s�, anche se non mi ricordo nel dettaglio le ipotesi di SVK.
>
> E.
Il fatto � che ho cercato un po' in giro, e tutto lo fanno in maniera simile
a come l'ho fatto io la prima volta. Possibile che nessuno abbia pensato di
spezzarlo in unione di due circonferenze? Mi sembra stranissimo!!
Ad esempio in queste dispense
http://www.science.unitn.it/~occhetta/studenti/dispensa4&5.pdf
a pagina 74 delle dispense ripete il mio calcolo. A chiede chiaramente che
epsilon sia > 0 (guarda per capire). Per� dalle ipotesi di SVK (che enuncia
poco sopra) non mi sembra che sia necessario....
?manu*
>
>>
>> Direi di s�, anche se non mi ricordo nel dettaglio le ipotesi di SVK.
>>
>> E.
>
> Il fatto � che ho cercato un po' in giro, e tutto lo fanno in maniera
> simile a come l'ho fatto io la prima volta. Possibile che nessuno abbia
> pensato di spezzarlo in unione di due circonferenze? Mi sembra
> stranissimo!!
Il problema � che i due pezzi non sono aperti... un po' li devi comunque
ingrassare.
E.
Massimo Borsero
>
> Il problema � che i due pezzi non sono aperti... un po' li devi comunque
> ingrassare.
>
> E.
Non sono aperti? Come sono fatti gli aperti di X? Non sono quelli indotti
dalla topologia naturale di R^2 su X?
Se � cos� i due pezzi ottengono facilmente come intersezione di una palla
piena di R^2 e X...o sbaglio?
Massimo Borsero
"Massimo Borsero" <massimo...@gmail.com> ha scritto nel messaggio
news:3xDfn.117955$813....@tornado.fastwebnet.it...
Cazzo sono un cretino!!!! E certo che non � aperto, il prendevo la palla
chiusa per fare l'intersezione, e non quella aperta!!!!
Wow ora ho capito tutto!!!! Grazie mille!!!!
Massimo Borsero
Ho appena visto che il gruppo fondamentale del piano proiettivo reale � Z_2,
quindi ha 2 elementi. Uno � l'identit�, ma qual'� l'altro?
?manu*
>
> Ho appena visto che il gruppo fondamentale del piano proiettivo reale �
> Z_2, quindi ha 2 elementi. Uno � l'identit�, ma qual'� l'altro?
Cosa vuol dire "uno � l'identit�"? I due elementi di Z_2 sono 0 e 1...
banalmente. Quello che vuoi sapere � quali sono due rappresentanti di
questo gruppo, cio� le due curve non omotope.
Una � una qualunque curva costante. Per l'altro devi prendere il
semicerchio all'infinito. Ripetendolo due volte ottieni un cerchio che
circonda l'origine e che � omotopo a costante.
E.
AndreaM
> Ho appena visto che il gruppo fondamentale del piano proiettivo reale è Z_2,
> quindi ha 2 elementi. Uno è l'identità, ma qual'è l'altro?
Il piano proiettivo reale P^2(R) è quoziente della sfera S^2 per la
relazione antipodale. Scegli un qualunque punto P sulla sfera ed un
cammino che unisce P a -P.
Allora la proiezione di tale cammino su P^2(R) è chiuso e non è
omotopo al cammino costante (proprio perché per costruzione il suo
sollevamento a S^2 che è il rivestimento universale di P^2(R)
congiunge punti diversi della fibra su [P]).
Massimo Borsero
> Scegli un qualunque punto P sulla sfera ed un cammino che unisce P a -P.
> omotopo al cammino costante
Capito! Grazie tante!
Massimo Borsero
Si tratta di calcolare i gruppi fondamentali di
i) A = R^3 meno 2 rette parallele.
A � omeomorfo a R^2 meno 2 punti, ovvero al bouquet di 2 circonferenze,
quindi il suo gruppo fondamentale � il gruppo libero a 2 generatori.
ii) B = R^3 meno 2 rette per l'origine.
Questo non so farlo...ho provato vari spezzamenti, ma non mi
viene...ovviamente sar� facilissimo e sono io che non lo vedo...
Enrico Gregorio
> Ok l'ultima cosa e poi vi lascio in pace a vado a fare il mio esame :-)
>
> Si tratta di calcolare i gruppi fondamentali di
>
> i) A = R^3 meno 2 rette parallele.
>
> A � omeomorfo a R^2 meno 2 punti, ovvero al bouquet di 2 circonferenze,
> quindi il suo gruppo fondamentale � il gruppo libero a 2 generatori.
Sui gruppi fondamentali non ti so rispondere, troppo lontani gli
studi di topologia algebrica; ma sull'affermazione di omeomorfismo
che fai avrei qualche serio dubbio.
Ciao
Enrico
Massimo Borsero
>
> Sui gruppi fondamentali non ti so rispondere, troppo lontani gli
> studi di topologia algebrica; ma sull'affermazione di omeomorfismo
> che fai avrei qualche serio dubbio.
>
> Ciao
> Enrico
Ops!!! Volevo dire omotopo (o meglio omotopicamente equivalente)!!!
AndreaM
> Ok l'ultima cosa e poi vi lascio in pace a vado a fare il mio esame :-)
>
> Si tratta di calcolare i gruppi fondamentali di
>
> i) A = R^3 meno 2 rette parallele.
>
> quindi il suo gruppo fondamentale è il gruppo libero a 2 generatori.
omotopo, non omeomorfo.
>
> ii) B = R^3 meno 2 rette per l'origine.
>
> Questo non so farlo...ho provato vari spezzamenti, ma non mi
> viene...ovviamente sarà facilissimo e sono io che non lo vedo...
Devi sforzarti un po' di più......
Ci sono 4 generatori ovvi (quali?). Però questi 4 generatori
soddisfano alcune relazioni.........
Pensare alle 2 rette che si intersecano può non essere la migliore
idea. Forse meglio pensarle come a 4 semirette uscenti dallo stesso
punto (e così si capisce anche come generalizzare l'esempio)
Enrico Gregorio
A questo ci credo. :-) E se le rette fossero sghembe?
Ciao
Enrico
Massimo Borsero
>
> A questo ci credo. :-) E se le rette fossero sghembe?
>
> Ciao
> Enrico
Beh, se fossero sghembe direi che la cosa non vale pi�. Intuitivamente posso
dire che stavolta non so pi� lungo che direzione "schiacciare", visto che
non esite pi� un piano ortogonale ad entrambe le rette.
Massimo Borsero
> Devi sforzarti un po' di pi�......
> Ci sono 4 generatori ovvi (quali?). Per� questi 4 generatori
> soddisfano alcune relazioni.........
>
> Pensare alle 2 rette che si intersecano pu� non essere la migliore
> idea. Forse meglio pensarle come a 4 semirette uscenti dallo stesso
>
Ok, allora in quel caso potrei vederlo come unione di 4 semispazi che hanno
come gruppo fondamentale ciascuno Z, e quindi ho 4 generatori. Ma le
relazioni?
?manu*
No, alla topologia che le rette siano sghembe o parallele non gli cambia
niente...
E.
?manu*
> ii) B = R^3 meno 2 rette per l'origine.
Direi che ha lo stesso gruppo di omotopia di una sfera tolti 4 punti,
ovvero un piano tolti 3 punti e quindi propenderei per Z*Z*Z.
E.
Massimo Borsero
>
> No, alla topologia che le rette siano sghembe o parallele non gli cambia
> niente...
>
> E.
Hai ragione, ho detto una cavolata. Pensandoci credo che esplicitamente si
dimostri cos�.
Sia A = R^3 \ {2 rette}
E sia B un piano che inteseca le due rette "mancanti" in modo che ciascuna
abbia un solo punto di intersezione (cio� che non ne contiene nessuna delle
due). Allora B � esattamente R^2 meno 2 punti.
Sia i : B -> A l'immersione canonica
Sia f : A -> B la proiezione ortogonale su B.
Ora ovviamente (f i) � l'identita di B
Invece (i f) non � l'identit�, ma � omotopo all'identit� perch� A � connesso
per cammini.
Quindi A e B sono omotopi.
Tetis
> > Devi sforzarti un po' di più......
> > Ci sono 4 generatori ovvi (quali?). Però questi 4 generatori
> > soddisfano alcune relazioni.........
>
> > Pensare alle 2 rette che si intersecano può non essere la migliore
> > idea. Forse meglio pensarle come a 4 semirette uscenti dallo stesso
>
> Ok, allora in quel caso potrei vederlo come unione di 4 semispazi che hanno
> relazioni?
a1 . a2 . a3 = a4
cioè solo tre generatori sono indipendenti, il che convalida
l'intuizione di ?manu*
Tetis
Se questo significa il gruppo libero a tre generatori sono d'accordo
si tratta cioè dello stesso gruppo del Bouquet di tre circonferenze,
lo si può vedere considerando l'unione di tre insiemi contigui
ciascuno dei quali contiene un singolo punto dei tre e tali che x0 sia
un punto comune a tutti e tre. Se invece si tratta del prodotto
cartesiano è il gruppo di omologia ed è lo stesso del prodotto
cartesiano di tre circonferenze per il caso base del teorema di
Hurewicz se non erro intendimento. Ma può benissimo essere, dato che
sono del tutto autodidatta in queste cose, che non ho capito nulla,
quindi vi supplico di correggermi con indulgenza.
Massimo Borsero
>
> a1 . a2 . a3 = a4
>
> l'intuizione di ?manu*
Potresti per favore farmi vedere come ci sei arrivato?
La mia esperienza coi gruppi con presentazione purtroppo � ridicola :-)
Tetis
Chiamo a1, il loop elementare che dal punto base gira una volto
intorno alla semiretta 1, ed analogamente per gli altri tre se
considero il prodotto di a1 . a2 ottengo un loop che dal punto base
gira una volta intorno all'incrocio delle due rette. Se moltiplico
ancora per a3 ottengo un loop che gira una volta intorno alla
semiretta 4. Devo ammettere che la presentazione di questo argomento
non è molto logica, è solo una proposta intuitiva. Ad ogni modo una
volta considerato il gruppo libero con quattro generatori fare il
quoziente rispetto alla relazione a1a2a3a4^(-1) = e equivale a
sostituire tutte le occorrenze di a4 con il prodotto dei generatori
a1a2a3.
Massimo Borsero
>
> Chiamo a1, il loop elementare che dal punto base gira una volto
> intorno alla semiretta 1, ed analogamente per gli altri tre se
> considero il prodotto di a1 . a2 ottengo un loop che dal punto base
> gira una volta intorno all'incrocio delle due rette. Se moltiplico
> ancora per a3 ottengo un loop che gira una volta intorno alla
> semiretta 4. Devo ammettere che la presentazione di questo argomento
> volta considerato il gruppo libero con quattro generatori fare il
> quoziente rispetto alla relazione a1a2a3a4^(-1) = e equivale a
> sostituire tutte le occorrenze di a4 con il prodotto dei generatori
> a1a2a3.
Capito!
Grazie a te a tutti per l'aiuto con l'esame!
?manu*
> On 20 Feb, 22:08, ?manu* <paol...@nos.pam.unifi.it> wrote:
>> Massimo Borsero ha scritto:
>>
>>> ii) B = R^3 meno 2 rette per l'origine.
>> Direi che ha lo stesso gruppo di omotopia di una sfera tolti 4 punti,
>> ovvero un piano tolti 3 punti e quindi propenderei per Z*Z*Z.
>
S�, con "*" indico il prodotto libero. Mi pare che tutto quello che dici
sia corretto.
E.