Problema dei tre libri sovrapposti

[Martello]

Ricordo un problemino di fisica, trovato su un libro, che aveva fatto un
po' ammattire me ed un mio collega.

Tre libri identici e uniformi di lunghezza L possono essere posti uno
sopra all'altro come si desidera sul bordo di un tavolo.
Trova la disposizione e la massima distanza d dal bordo del tavolo che
permette ai libri di non cadere.

Stavo ripensando a quel problema e ottengo abbastanza velocemente come
soluzione 7/8 L.
Ma ho la sensazione che sia una soluzione banale e non corretta.

Qui:

http://it.answers.yahoo.com/question/index?qid=20090927004507AA4m9N3

Viene data come risposta 11/12 L.

Direi, sperando che sia lo stesso problema, che chi ha fatto la domanda
avesse davanti a se un libro con l'esercizio (anche se sembra formulato
in modo incompleto) mentre chi ha risposto ritengo che abbia considerato
solo i due libri sovrastanti il primo (che ha supposto stabilmente
appoggiato su un piano) ... cioč niente tavolo su cui appoggiare i libri).

Prima di perdere altro tempo ... qualcuno lo conosce e sa se
effettivamente la soluzione č 11/12 L?

Ho un vago ricordo di un denominatore pari a 60.
Chissŕ se la soluzione era proprio 55/60?

[Tetis]

Dopo dura riflessione, Martello ha scritto :

> Ricordo un problemino di fisica, trovato su un libro, che aveva fatto un po'
> ammattire me ed un mio collega.
>
> Tre libri identici e uniformi di lunghezza L possono essere posti uno sopra
> all'altro come si desidera sul bordo di un tavolo.
> Trova la disposizione e la massima distanza d dal bordo del tavolo che
> permette ai libri di non cadere.

il primo in alto sporge sul secondo al più L/2 il c.d.m. dei 2 sporge
dal bordo più avanzato del secondo libro di (1/2) L/2, questo punto va
sul bordo del terzo libro, ed il c.d.m. dei tre va a collocarsi in
(1/3) L/2 dal bordo più avanzato del terzo libro. Questo punto lo
mettiamo sul bordo del tavolo ed in totale la sporgenza del primo libro
dal bordo è (1+1/2+1/3)(L/2) = 11/6 (L/2) quindi mi sembra (11/12)L, sì
confermo quel che scrivi in seguito.

> Stavo ripensando a quel problema e ottengo abbastanza velocemente come
> soluzione 7/8 L.
> Ma ho la sensazione che sia una soluzione banale e non corretta.
>
> Qui:
>
> http://it.answers.yahoo.com/question/index?qid=20090927004507AA4m9N3
>
> Viene data come risposta 11/12 L.
>
> Direi, sperando che sia lo stesso problema, che chi ha fatto la domanda
> avesse davanti a se un libro con l'esercizio (anche se sembra formulato in
> modo incompleto) mentre chi ha risposto ritengo che abbia considerato solo i
> due libri sovrastanti il primo (che ha supposto stabilmente appoggiato su un

> piano) ... cioè niente tavolo su cui appoggiare i libri).

>
> Prima di perdere altro tempo ... qualcuno lo conosce e sa se effettivamente

> la soluzione è 11/12 L?

>
> Ho un vago ricordo di un denominatore pari a 60.

> Chissà se la soluzione era proprio 55/60?

[Maurizio Frigeni]

Martello <Mart...@Martello.it> wrote:

> Prima di perdere altro tempo ... qualcuno lo conosce e sa se
> effettivamente la soluzione č 11/12 L?

Sě. Č uno di quei casi in cui si fa prima a trovare una soluzione per n
libri che per 3...

M.


--
Per rispondermi via e-mail togli l'ovvio.

[Giorgio Bibbiani]

Martello ha scritto:

> Tre libri identici e uniformi di lunghezza L possono essere posti uno
> sopra all'altro come si desidera sul bordo di un tavolo.
> Trova la disposizione e la massima distanza d dal bordo del tavolo che
> permette ai libri di non cadere.

Pongo L = 1.
La condizione da imporre per l'equilibrio di n libri (numerati
da 1 in alto a n in basso) e' che il baricentro degli m libri
posti piu' in alto (di indice 1, ..., m) ricada entro la
base dell'(m+1)-esimo libro, poste x_1, ..., x_n le
sporgenze di ciascuno dei libri rispetto al precedente
si ottiene per ogni m, 1=<m=<n:

(1) Sum_{i=1}^{m} (i*x_i) =< m/2,

ad es. per m = 1 si trova:
x_1 =< 1/2,
per m = 2:
x_1 + 2x_2 =< 1,
per m = 3:
x_1 + 2x_2 + 3x_3 =< 3/2,
ecc .ecc., dato che si cerca di massimizzare la somma delle
sporgenze Sum_{i=1}^{n} (x_i) e' evidente per la (1) che
converra' massimizzare prima x_1, poi x_2 ecc. ecc.,
x_1 assume valore massimo 1/2, allora x_2 assume valore
massimo 1/4, x_3 valore massimo 1/6, per induzione si
ottiene che il valore massimo di x_i, 1 =< i =< n, e'
x_i = 1 / (2i), pertanto la sporgenza massima sara':
Sum_{i=1}^{n} (1/(2i)),
per n = 3 si ottiene:
1/2 * (1 + 1/2 + 1/3) = 11/12.

Ciao
--
Giorgio Bibbiani

[Martello]

> 55/60?

Ok grazie a tutti per la conferma.

Naturalmente (per chi mi ha già dato la soluzione) ho dato una lettura
così veloce ... da essere certo di non capire :-)

Così con calma me lo risolvo da solo :-)

mi serviva solo la conferma giusto per non perdere tempo per nulla.

[marcofuics]

Il giorno martedì 29 gennaio 2013 17:43:15 UTC+1, Martello ha scritto:

> Tre libri identici e uniformi di lunghezza L possono essere posti uno
> sopra all'altro come si desidera sul bordo di un tavolo.
> Trova la disposizione e la massima distanza d dal bordo del tavolo che
> permette ai libri di non cadere.

nn ho propt cpait

[vittorio]

> Tre libri identici e uniformi di lunghezza L possono essere posti uno
> sopra all'altro come si desidera sul bordo di un tavolo.

non ho capito come devi disporli.
Hai un disegno?

[Giorgio Bibbiani]

vittorio ha scritto:

>> Tre libri identici e uniformi di lunghezza L possono essere posti uno
>> sopra all'altro come si desidera sul bordo di un tavolo.
>
> non ho capito come devi disporli.

Sovrapposti uno all'altro, con i lati paralleli tra loro e ciascuno
con due lati paralleli al bordo del tavolo, in modo che siano
in equilibrio e che uno dei libri sporga il piu' possibile
dal bordo del tavolo.

Ciao
--
Giorgio Bibbiani

[Martello]

> S�. � uno di quei casi in cui si fa prima a trovare una soluzione per n
> libri che per 3...

Ricordo che all'epoca avevo risolto il problema anche per n libri.

E ricordo anche che avevo avanzato una ipotesi del tutto personale e
senza alcun riscontro di nessun tipo che Brunelleschi si fosse ispirato
a conti simili per costruire la cupola del Duomo di Firenze.

La cupola � stata costruita senza centine, senza ponteggi e senza
disporre di cemento ma solo di calce che come � noto fa presa in tempi
lunghissimi.

Si fa per parlare sia ben chiaro ... non sono un esperto di queste cose ...

E' solo una cosa che mi � venuta in mente ...

Ci sono molte ipotesi sul mistero di questa cupola e la mia pu� solo far
sorridere ... :-)

[vittorio]

> Sovrapposti uno all'altro, con i lati paralleli tra loro e ciascuno
> con due lati paralleli al bordo del tavolo, in modo che siano
> in equilibrio e che uno dei libri sporga il piu' possibile
> dal bordo del tavolo.

ma se i tre libri sono sovrapposti e di ugual misura,come fa a sporgere solo
uno dei libri?

[Tetis]

Martello ci ha detto :
>> Sￜ. ￜ uno di quei casi in cui si fa prima a trovare una soluzione per n

>> libri che per 3...
>
> Ricordo che all'epoca avevo risolto il problema anche per n libri.
>
> E ricordo anche che avevo avanzato una ipotesi del tutto personale e senza
> alcun riscontro di nessun tipo che Brunelleschi si fosse ispirato a conti
> simili per costruire la cupola del Duomo di Firenze.
>

> La cupola ￜ stata costruita senza centine, senza ponteggi e senza disporre di
> cemento ma solo di calce che come ￜ noto fa presa in tempi lunghissimi.

>
> Si fa per parlare sia ben chiaro ... non sono un esperto di queste cose ...
>

> E' solo una cosa che mi ￜ venuta in mente ...
>
> Ci sono molte ipotesi sul mistero di questa cupola e la mia puￜ solo far
> sorridere ... :-)

Interessante.

[Giorgio Bibbiani]

vittorio ha scritto:

> ma se i tre libri sono sovrapposti e di ugual misura,come fa a
> sporgere solo uno dei libri?

V.:

http://i45.tinypic.com/69hn4j.png

Ciao
--
Giorgio Bibbiani

[martello]

Il 29/01/2013 19.23, Tetis ha scritto:
> Dopo dura riflessione, Martello ha scritto :
>> Ricordo un problemino di fisica, trovato su un libro, che aveva fatto
>> un po' ammattire me ed un mio collega.
>>
>> Tre libri identici e uniformi di lunghezza L possono essere posti uno
>> sopra all'altro come si desidera sul bordo di un tavolo.
>> Trova la disposizione e la massima distanza d dal bordo del tavolo che
>> permette ai libri di non cadere.
>
> il primo in alto sporge sul secondo al più L/2 il c.d.m. dei 2 sporge
> dal bordo più avanzato del secondo libro di (1/2) L/2, questo punto va
> sul bordo del terzo libro, ed il c.d.m. dei tre va a collocarsi in (1/3)
> L/2 dal bordo più avanzato del terzo libro. Questo punto lo mettiamo sul
> bordo del tavolo ed in totale la sporgenza del primo libro dal bordo è
> (1+1/2+1/3)(L/2) = 11/6 (L/2) quindi mi sembra (11/12)L, sì confermo
> quel che scrivi in seguito.

ah ... Ok.
Questo era proprio il ragionamento che stavo facendo ma ahimè avevo
commesso un errore nel calcolo della posizione del baricentro del
sistema composto da tre libri.
Invece di sommare agli sbalzi precedenti L/6 avevo sommato L/8 (banale
svista dovuta alla Malattia di Alzheimer :-) ).

Quello che non capisco è perchè all'epoca ci eravamo trovati in difficoltà.

Risolto con il tuo sistema è abbastanza banale (che poi a parte l'errore
(cosa vuoi ... la vecchiaia :-) )era anche la tecnica che avevo
intrapreso io).

Forse eravamo partiti con 'il piede sbagliato' cioè dal primo libro
invece che dall'ultimo costruendo sistemi di equazioni di difficile
soluzione.

[martello]

>> Ricordo che all'epoca avevo risolto il problema anche per n libri.

Facile ... L/2*(sommatoria 1/m) (con m=1 to n).
Interessante notare che lo sbalzo può essere maggiore di L

>> La cupola è stata costruita senza centine, senza ponteggi e senza
>> disporre di cemento ma solo di calce che come è noto fa presa in tempi

>> lunghissimi.
>>
>> Si fa per parlare sia ben chiaro ... non sono un esperto di queste
>> cose ...
>>

>> E' solo una cosa che mi è venuta in mente ...
>>
>> Ci sono molte ipotesi sul mistero di questa cupola e la mia può solo

>> far sorridere ... :-)
>
> Interessante.
>
>

Diciamo che esisteva già il così detto arco a mensola.

http://it.wikipedia.org/wiki/Arco_a_mensola

La stessa tecnica veniva sfruttata nei trulli.
Anche questi venivano costruiti senza centine.

Mi sa che Brunelleschi più che altro ha copiato i trulli :-)

Allora come adesso ... difficile inventare cose nuove ...

[Tetis]

martello scriveva il 30/01/2013 :

Avevo sentito dire che avesse preso ispirazione da romani e persiani e
persino dai trulli, ma il problema è che tutte le costruzioni modello
sono basate su cupole, mentre quella di Brunelleschi, a dispetto del
nome è una volta ad otto vele, mentre per le cupole a simmetria
circolare non c'è problema di stabilità, basta assicurare il basamento
e tutto procede per autosostentamento dell'incastro (basta assicurare
le pietre dell'ordine superiore all'ordine inferiore fino a quanto
l'anello non è completo), nel caso di una volta a vela ci sono sia
problemi di tracciatura che problemi di stabilità euleriana (in parole
semplici se le vele non formano angoli relativi perfettamente uguali
rischiano di svergolare).

[Martello]

> non è completo), nel caso di una volta a vela ci sono sia problemi di
> tracciatura che problemi di stabilità euleriana (in parole semplici se
> le vele non formano angoli relativi perfettamente uguali rischiano di
> svergolare).

Si in effetti essendo a vele il problema assomiglia un po' di più a
quello dei libri sovrapposti (considerando, cosa che non è vera, le vele
indipendenti).

[martello]

[martello]

>>>> Ricordo che all'epoca avevo risolto il problema anche per n libri.
>>
>> Facile ... L/2*(sommatoria 1/m) (con m=1 to n).
>> Interessante notare che lo sbalzo può essere maggiore di L

Basta teoria.
Passiamo al metodo sperimentale :-)


https://dl.dropbox.com/u/65873735/SAM_3575.JPG

[joseph cornelius hallenbeck]

martello ha scritto:

FASCIO !

--
ho avuto un flirt con un topo, non ricordo i particolari

[Martello]

>> https://dl.dropbox.com/u/65873735/SAM_3575.JPG
>
> FASCIO !
>

Visto che di politica te ne intendi avrei bisogno di un consiglio :-)

Nei prossimi 5 anni è meglio che mi faccia governare:

1) da un miliardario puttaniere
2) da un filosofo demagogo
3) da un teorico economista che non sa fare i conti della serva
4) da un comico

Visto che comunque sia siamo rovinati quasi quasi scelgo il comico.
Metti mai che ci scappi qualche risata ... :-)

Che dici?

[joseph cornelius hallenbeck]

Martello ha scritto:

>
>>> https://dl.dropbox.com/u/65873735/SAM_3575.JPG
>>
>> FASCIO !
>>
>
> Visto che di politica te ne intendi avrei bisogno di un consiglio :-)
>

> Nei prossimi 5 anni ￜ meglio che mi faccia governare:

>
> 1) da un miliardario puttaniere
> 2) da un filosofo demagogo

e questo chi e'?

> 3) da un teorico economista che non sa fare i conti della serva
> 4) da un comico
>
> Visto che comunque sia siamo rovinati quasi quasi scelgo il comico.
> Metti mai che ci scappi qualche risata ... :-)
>
> Che dici?

che comunque vada siamo rovinati

[Martello]

>> 2) da un filosofo demagogo
>
> e questo chi e'?

Pier Luigi Bersani è nato a Bettola, in provincia di Piacenza, il 29
settembre 1951, in una famiglia di artigiani. Suo padre Giuseppe era
meccanico e benzinaio. I familiari erano cattolici praticanti, e non
vedevano di buon occhio la sua militanza nel PCI. Si è laureato con lode
in filosofia all'Università di Bologna nel 1974, con una tesi sulla
storia del Cristianesimo, centrata sulla figura di Papa Gregorio Magno.

[vittorio]

"Giorgio Bibbiani" <giorgio_bi...@virgilio.it.invalid> ha scritto
nel messaggio news:5108badb$0$40367$4faf...@reader1.news.tin.it...

> vittorio ha scritto:
>> ma se i tre libri sono sovrapposti e di ugual misura,come fa a
>> sporgere solo uno dei libri?
>
> V.:
>
> http://i45.tinypic.com/69hn4j.png
>

ok,grazie

[caps...@gmail.com]

Il giorno martedì 29 gennaio 2013 17:43:15 UTC+1, Martello ha scritto:

La soluzione è 1/2*(1+1/2+1/3+1/4+...1/n) per n libri/mattoni sovrapposti.
Per n = 4 l'ultimo mattone fuoriesce dalla base.
Potrebbe servire da introduzione alla serie armonica.

[Elio Fabri]

caps...@gmail.com ha scritto:

> La soluzione è 1/2*(1+1/2+1/3+1/4+...1/n) per n libri/mattoni
> sovrapposti.
> Per n = 4 l'ultimo mattone fuoriesce dalla base.
> Potrebbe servire da introduzione alla serie armonica.

Tre commenti.

1) Perché rispondi a un post vecchio di oltre 7 anni?

2) Il post porta a un link che non si può leggere senza autorizzare i
cookies, cosa che io mi rifiuto di fare. Link del genere non
andrebbero proposti.

3) Quello *non è* un problema di matematica.
Sarebbe risultato evidente se tu avessi scritto *come* si risolve.


--
Elio Fabri

[caps...@gmail.com]

1) non capisco la domanda, c'è un limite di tempo? Comunque, l'ho visto adesso, mi è piaciuto e ho provato a risolverlo.
2) I link non li ho messi io
3) la soluzione l'hanno già data, io l'ho solo generalizzata

Però continuo a non comprendere il senso del tuo messaggio.

[ansia...@apspaps.org]

> 1) Perché rispondi a un post vecchio di oltre 7 anni?

Google ha praticamente rapito tutti gli archivi Usenet e un
utente che cercasse un certo argomento potrebbe trovare un post
antico e rispondere non sapendo nè cosa fosse Usenet nè le
relative usanze, tra cui evitare il necroposting.

Probabilmente 95 su 100 vedono immediatamente la data e
lasciano stare, qualcuno non la nota ed ecco il risultato.

Il tutto naturalmente è solo un ipotesi di spiegazione......

[El Filibustero]

On Wed, 13 May 2020 15:21:53 -0700 (PDT), caps...@gmail.com wrote:

>Comunque, l'ho visto adesso, mi č piaciuto e ho provato a risolverlo.

Quindi disponendo di una quantita' infinita di libri uguali, la
massima sporgenza non e' limitata superiormente. E se invece avessimo
una successione di libri di forma uguale ma con con masse in
progressione geometrica (esempio: 1,2,4,8,16...) quale sarebbe la
massima sporgenza possibile? Ciao

[ansia...@apspaps.org]

> Quindi disponendo di una quantita' infinita di libri uguali,
> la massima sporgenza non e' limitata superiormente.

Non ho mai visto nulla di più controintuivo in tutta la mia
vita.............

[Giorgio Bibbiani]

Il 14/05/2020 17.28, El Filibustero ha scritto:
...

> Quindi disponendo di una quantita' infinita di libri uguali, la
> massima sporgenza non e' limitata superiormente. E se invece avessimo
> una successione di libri di forma uguale ma con con masse in
> progressione geometrica (esempio: 1,2,4,8,16...) quale sarebbe la
> massima sporgenza possibile? Ciao

Suppongo che i libri abbiano larghezza 2,
dimostro per induzione che la massima sporgenza
con n libri è

(1) L(n) = Sum_{k=1}^{n} 1/(2^k-1).

La tesi è verificata se n = 1, infatti un
solo libro può sporgere al massimo di 1,
supponiamo ora che la (1) sia vera per un
dato n, e verifichiamo la tesi per n+1:

la massa totale di n+1 libri è

(2) M(n+1) = Sum_{k=0}^{n} 2^k = 2^(n+1) - 1,

gli n libri più pesanti hanno una massa
M(n+1) - 1, il loro baricentro dovrà
trovarsi sul bordo esterno del libro di
massa 1, che quindi all'equilibrio per
non ribaltarsi potrà sporgere di

(3) DL = 1/M(n+1) = 1/[2^(n+1) - 1],

da (1) e (3) si ha allora che la massima
sporgenza di n+1 libri è

(4) L(n) + DL = L(n+1)

che dimostra l'ipotesi induttiva.

Inoltre nel limite n -> +oo si ha
L(n) -> ~1.61, cioè L(n) è limitata.

Ciao

--
Giorgio Bibbiani
(mail non letta)

[El Filibustero]

On Thu, 14 May 2020 19:00:04 +0200, Giorgio Bibbiani wrote:

>Suppongo che i libri abbiano larghezza 2,
>dimostro per induzione che la massima sporgenza
>con n libri è
>
>(1) L(n) = Sum_{k=1}^{n} 1/(2^k-1).

OK. Cosi' e' appoggiando sul tavolo i libri in ordine di massa
crescente, e in effetti e' il giusto modo operativo di interpretare la
mia formulazione. Infatti ho parlato di successione, che -- essendo
infinita -- parte dal minimo e non ha un massimo. Pero' pensavo
piuttosto a una quantita' finita di libri, seppure arbitrariamente
grande: in questo caso la disposizione piu' efficiente come sporgenza
si ha appoggiando sul tavolo i libri in ordine di massa decrescente.

Come nel caso delle masse uguali, anche qui non c'e' limite alla
sporgenza massima, che e' (per una progressione di n libri con masse
in ragione di a>1)

somma{k=1..n} a^(k-1)(a-1)/(a^k-1) =

= n(a-1)/a + (1-1/a) somma{k=1..n} 1/(a^k-1)

che e' sostanzialmente lineare rispetto alla quantita' di libri,
mentre nel caso di libri uguali era logaritmica. Ciao

[Yoda]

Addi' 13 mag 2020 14:27:08, caps...@gmail.com scrive:

> Il giorno martedì 29 gennaio 2013 17:43:15 UTC+1, Martello ha scritto:

[*** crosspost it.scienza.matematica + free.it.scienza.fisica ***]
[*** senza f/u (come s'usa oggidi`) ***]

>> Tre libri identici e uniformi di lunghezza L possono essere posti uno
>> sopra all'altro come si desidera sul bordo di un tavolo.
>> Trova la disposizione e la massima distanza d dal bordo del tavolo che
>> permette ai libri di non cadere.
>> Stavo ripensando a quel problema e ottengo abbastanza velocemente come
>> soluzione 7/8 L.
>> Ma ho la sensazione che sia una soluzione banale e non corretta.
>> Qui:
>> http://it.answers.yahoo.com/question/index?qid=20090927004507AA4m9N3
>> Viene data come risposta 11/12 L.
>> Direi, sperando che sia lo stesso problema, che chi ha fatto la domanda
>> avesse davanti a se un libro con l'esercizio (anche se sembra formulato
>> in modo incompleto) mentre chi ha risposto ritengo che abbia considerato
>> solo i due libri sovrastanti il primo (che ha supposto stabilmente

>> appoggiato su un piano) ... cioe' niente tavolo su cui appoggiare i libri).

>> Prima di perdere altro tempo ... qualcuno lo conosce e sa se

>> effettivamente la soluzione e' 11/12 L?

>> Ho un vago ricordo di un denominatore pari a 60.

>> Chissa' se la soluzione era proprio 55/60?

> La soluzione è 1/2*(1+1/2+1/3+1/4+...1/n) per n libri/mattoni sovrapposti.
> Per n = 4 l'ultimo mattone fuoriesce dalla base.

A me viene 5/6 fuori e dunque 1/6 sul tavolo.. a ugnuno un risultato
diverso! -> brutto segno ciao

> Potrebbe servire da introduzione alla serie armonica.

Be' pero' a vedere se e' giusta la formula tua e non un'altra.
Un'idea veloce per decidere potrebbe esser quella di simularlo con
un software.. ad esempio Geogebra se per caso Furio ci legge ariciao

[*** crosspost it.scienza.matematica + free.it.scienza.fisica ***]
[*** senza f/u (come s'usa oggidi`) ***]

--
Yoda

[Wakinian Tanka]

A parte il fatto che non ho capito come sono messi i libri rispetto al tavolo, ma come fa il cdm a stare dentro la base cioè il primo libro sul tavolo, se la sporgenza è non limitata sup.? Da un certo n in poi ci devono essere oo libri all'esterno della base ed il loro cdm dove sta?

--
Wakinian Tanka

[Giorgio Bibbiani]

Il 15/05/2020 11.51, Wakinian Tanka ha scritto:
> Il giorno giovedì 14 maggio 2020 18:01:21 UTC+2,
> ansia...@pirlmail.com ha scritto:
>>> Quindi disponendo di una quantita' infinita di libri uguali, la
>>> massima sporgenza non e' limitata superiormente.
>>
>> Non ho mai visto nulla di più controintuivo in tutta la mia
>> vita.............
>
> A parte il fatto che non ho capito come sono messi i libri rispetto
> al tavolo,

Sono orientati con i lati paralleli a quelli del tavolo.

> ma come fa il cdm a stare dentro la base cioè il primo
> libro sul tavolo, se la sporgenza è non limitata sup.? Da un certo n
> in poi ci devono essere oo libri all'esterno della base ed il loro
> cdm dove sta?

Il c.d.m. complessivo sta sul bordo del tavolo.

Consideriamo libri quadrati di lato 2,
misuro le distanze d dei bordi esterni dei
libri dal bordo esterno del libro più in alto,
numero i libri a partire da quello più in alto (1)
(1): d_1 = 0,
dato che (1) può sporgere da quello sotto (2)
di 1, in modo che il suo c.d.m. sia sul bordo
esterno di (2), si ha
(2): d_2 = 1,
il c.d.m. dei 2 libri più in alto ha d = 1+1/2
dunque perché (1) e (2) siano in equilibrio,
cioè il loro c.d.m. sia sul bordo di (3),
occorre che sia
(3): d_3 = 1+1/2
il c.d.m. dei 3 libri più in alto ha
allora d = 1+1/2+1/3 e questa sarà
la distanza di (4)
(4): d_4 = 1+1/2+1/3,

devo continuare? ;-)

In sostanza il "trucco" sta nel fatto che i libri
più vicini al tavolo sporgono relativamente tra
loro meno di quanto sporgano relativamente tra
loro quelli più lontani.

Nota: la dimostrazione formale si fa analogamente
a quella nel caso di masse variabili, già scritta.

[Wakinian Tanka]

Il giorno venerdì 15 maggio 2020 12:28:46 UTC+2, Giorgio Bibbiani ha scritto:
> Il 15/05/2020 11.51, Wakinian Tanka ha scritto:
> > Il giorno giovedì 14 maggio 2020 18:01:21 UTC+2,
> > ansia...@pirlmail.com ha scritto:
> >>> Quindi disponendo di una quantita' infinita di libri uguali, la
> >>> massima sporgenza non e' limitata superiormente.
> >>
> >> Non ho mai visto nulla di più controintuivo in tutta la mia
> >> vita.............
> >
> > A parte il fatto che non ho capito come sono messi i libri rispetto
> > al tavolo,
>
> Sono orientati con i lati paralleli a quelli del tavolo.

Ma il primo libro come è messo rispetto al tavolo?

Devo leggermi la tua risposta con calma. Intanto vorrei sapere che vuol dire che la dporgenza è non limitata superiormente? Da un cero n in poi i libri stanno tutti fuori della base oppure no?

--
Wakinian Tanka

[Giorgio Bibbiani]

Il 15/05/2020 17.42, Wakinian Tanka ha scritto:
> Ma il primo libro come è messo rispetto al tavolo?

Il numero di libri di lato 2 sia n, se per "primo libro"
intendi quello più in alto come in precedenza,
allora il suo bordo esterno dista Sum_{k=1}^{n} 1/k
dal bordo del tavolo, se per "primo libro" intendi
quello più in basso, allora il suo bordo
esterno dista 1/n dal bordo del tavolo.

...

> Devo leggermi la tua risposta con calma. Intanto vorrei sapere che
> vuol dire che la dporgenza è non limitata superiormente? Da un cero n
> in poi i libri stanno tutti fuori della base oppure no?

Se sono in "numero infinito" sì, però ce ne
saranno allora anche "infiniti" che non sporgono
completamente dal bordo del tavolo B.

Dati n libri, calcoliamo quanti sporgono
completamente da B, la distanza da B del
bordo esterno del libro m-esimo (uso la
convenzione già scritta sull'ordinamento
dei libri) è

d = Sum_{k=1}^{n} 1/k - Sum_{k=1}^{m-1} 1/k
= Sum_{k=m}^{n} 1/k

ma se n -> +oo allora il numero di valori
di m per cui vale d > 2 tende a +oo,
viceversa calcoliamo quanti libri non sporgono
completamente dal tavolo, la condizione da
verificare è d < 2, ma anche in questo caso
nel limite n -> +oo il numero di valori di m
che soddisfano alla condizione richiesta
tende a +oo.

[Wakinian Tanka]

Scusa, non mi sono espresso bene. Il primo libro appoggia sul tavolo, poi si aggiungono gli altri.
Esiste un n_0 per cui, per tutti gli n>n_0, i libri stanno al di fuori della base cioè del primo libro?

--
Wakinian Tanka

[Giorgio Bibbiani]

Il 15/05/2020 18.56, Wakinian Tanka ha scritto:
...

> Scusa, non mi sono espresso bene. Il primo libro appoggia sul tavolo,
> poi si aggiungono gli altri. Esiste un n_0 per cui, per tutti gli
> n>n_0, i libri stanno al di fuori della base cioè del primo libro?

Alla lettera come hai scritto no, se intendi
che n_0 debba essere _indipendente_ da n,
dato che al variare del numero di libri n
varia la posizione di _tutti_ i libri.
Però si può avere un numero di libri al di fuori
della base arbitrariamente grande a patto di avere
n abbastanza grande.

[El Filibustero]

On Fri, 15 May 2020 09:56:39 -0700 (PDT), Wakinian Tanka wrote:

>Scusa, non mi sono espresso bene. Il primo libro appoggia sul tavolo,
>poi si aggiungono gli altri.
>Esiste un n_0 per cui, per tutti gli n>n_0, i libri stanno al di fuori

>della base cioč del primo libro?

n_0=2. Ciao

[El Filibustero]

On Fri, 15 May 2020 19:46:10 +0200, El Filibustero wrote:

>>Scusa, non mi sono espresso bene. Il primo libro appoggia sul tavolo,
>>poi si aggiungono gli altri.
>>Esiste un n_0 per cui, per tutti gli n>n_0, i libri stanno al di fuori
>>della base cioč del primo libro?
>
>n_0=2. Ciao

ooops, numerati dalla parte sbagliata. Ciao

[ansia...@apspaps.org]

> A parte il fatto che non ho capito come sono messi i libri
> rispetto al tavolo, ma come fa il cdm a stare dentro la base
> cioè il primo libro sul tavolo, se la sporgenza è non
> limitata sup.? Da un certo n in poi ci devono essere oo libri
> all'esterno della base ed il loro cdm dove sta?

Io avevo avuto una specie di intuizione a cui non sono stato in
grado di dar forma. Mi sono detto che dati N libri e dato che
c'è il vincolo di non far uscire il baricentro dal bordo del
tavolo, il problema doveva avere una parentela con il problema
di Dirichlet, ovviamente in una dimensione. Ma dato che potevo
essere sicuro che avrei preso la strada più lunga e sicuramente
sbagliata, ho aspettato di vedere cosa venisse fuori.