Delta di Dirac e Convoluzione

[johnmath]

Ciao a tutti,

tempo fà avevo posto questa domanda su un forum:
https://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=38&t=179660

La riassumo qui, ma per praticità vi rimando al link
sopra.

L'argomento è:
sistemi ingresso-uscita lineari e invarianti rispetto al tempo.

La trattazione dell'argomento partiva dalla definizione
di funzione delta di dirac. Da interpretare come ingresso
impulsivo sul nostro sistema.

Proseguiva poi con la definizione di una "generica" funzione
in uscita che rappresenta la funzione di "risposta impulsiva".
In pratica entro col delta di dirac e in uscita ottengo la
funzione di risposta impulsiva.

(*) Infine si dimostrava in modo piuttosto intuitivo che per
una generica funzione in ingresso, la risposta in uscita dal
sistema può essere calcolata con l'integrale di convoluzione
della funzione di ingresso con la risposta impulsiva del sistema.

La rilevanza pratica sta nell'osservare che se di un sistema
lineare e invariante nel tempo si conosce la sua risposta impulsiva,
si è in grado di conoscere anche la risposta in uscita corrispondente
ad un ingresso generico.

Il punto sul quale avevo qualche dubbio era la dimostrazione
che ho indicato con l'asterisco (*):

- sapendo che il sistema è tale che a ingresso = dirac(tau)
corrisponde in uscita la f.ne risposta impulsiva u(t-tau)

- determinare la risposta q(t) del sistema ad un ingresso generico
i(t)

risultato:

q(t) = int_0,t| i(tau)*u(t-tau)dtau


-----
Note:

delta dirac:

- per t diverso da 0, delta(t)=0
- per t = 0, delta(t) = +infinito

- int_-inf,+inf| delta(tau)dtau = 1

- proprietà setaccio:
int_-inf,+inf| f(tau)*delta(t-tau)dtau =
= int_-inf,+inf| f(t-tau)*delta(tau)dtau

--------------------------------------------

Ok, direi che è tutto, spero che la notazione sia chiara,
se non ci capite date un'occhiata al link che ho messo in
cima, in cui graficamente dovrebbe essere tutto più semplice.

In quel topic avevo aggiunto anche la spiegazione che avevano
spiegato a me e che ho trovato nei miei appunti, tuttavia è una
spiegazione piuttosto intuitiva... Che va più che bene per
"convincere" lo studente, ma probabilmente vi sono spiegazioni
più "rigorose" forse.

Se ne siete a conoscenza e avete voglia di postarle leggerò
con piacere.

Grazie in anticipo! :)

[Wakinian Tanka]

Il giorno venerdì 10 novembre 2017 12:11:45 UTC+1, johnmath ha scritto:

>
> tempo fà avevo posto questa domanda su un forum:
> https://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=38&t=179660
>

cerca in rete e guarda il video "lez 25 - prodotto di convoluzione. avi"
Nella prima mezz'ora circa viene spiegato tutto.

--
Wakinian Tanka

[Giorgio Bibbiani]

Il 10/11/2017 12.11, johnmath ha scritto:

> L'argomento è:
> sistemi ingresso-uscita lineari e invarianti rispetto al tempo.

...

> - sapendo che il sistema è tale che a ingresso = dirac(tau)
> corrisponde in uscita la f.ne risposta impulsiva u(t-tau)
>
> - determinare la risposta q(t) del sistema ad un ingresso generico
> i(t)
>
> risultato:
>
> q(t) = int_0,t| i(tau)*u(t-tau)dtau

Mi sembra che nella formula sopra l'estremo
inferiore di integrazione dovrebbe essere -oo.
Io proverei a fare un ragionamento inverso...

La formula sopra, valida per una u assegnata
e per una i generica (considero ad es. funzioni
in L^2(R)), è la definizione più generale di
una relazione lineare, causale e tempo-invariante
tra i e q (prova a dimostrarlo), se nella formula
sopra poniamo i(tau) = diracdelta(tau) otteniamo
allora q(t) = u(t) CVD.

(u si chiama anche funzione di Green del sistema,
diciamo allora che se l'input al sistema è una
delta di Dirac allora l'output è la sua funzione
di Green).

Ciao

--
Giorgio Bibbiani
(mail non letta)

[johnmath]

Giorgio Bibbiani <giorgio...@tin.it> wrote:
> Il 10/11/2017 12.11, johnmath ha scritto:
>
>> L'argomento è:
>> sistemi ingresso-uscita lineari e invarianti rispetto al tempo.
> ...
>> - sapendo che il sistema è tale che a ingresso = dirac(tau)
>> corrisponde in uscita la f.ne risposta impulsiva u(t-tau)
>>
>> - determinare la risposta q(t) del sistema ad un ingresso generico
>> i(t)
>>
>> risultato:
>>
>> q(t) = int_0,t| i(tau)*u(t-tau)dtau
>
> Mi sembra che nella formula sopra l'estremo
> inferiore di integrazione dovrebbe essere -oo.

Esatto, nella trattazione più rigorosa è così.
A me lo avevano spiegato così perchè per le
applicazioni di nostro interesse i tempi negativi
non erano da considerare...

> Io proverei a fare un ragionamento inverso...
>
> La formula sopra, valida per una u assegnata
> e per una i generica (considero ad es. funzioni
> in L^2(R)), è la definizione più generale di
> una relazione lineare, causale e tempo-invariante
> tra i e q (prova a dimostrarlo),

Ummm...
Non sono convinto di avere capito bene la fezzenda:

L^2(R) sta per? (beata ignoranza...)

E sì ma cosa dovrei dimostrare di preciso?
Così su due piedi non saprei da dove partire e
dove dovrei arrivare...
Cosa avresti in mente tu?
Se la pappa pronta non si serve, dammi almeno
una traccia... ;)

> se nella formula sopra poniamo i(tau) = diracdelta(tau)
> otteniamo allora q(t) = u(t) CVD.

q(t) = int_0,t| deltadirac(tau)*u(t-tau)dtau

per la proprietà "setaccio", la convoluzione tra il
delta di didrac e una funzione generica, quindi anche
u(t), è uguale alla funzione stessa.


int_-inf,+inf| deltadirac(tau)*u(t-tau) dtau = u(t)


q(t) = u(t) Come avevi dimostrato anche tu.

Ricapitolando:

Se i(t) = deltadirac(t), allora q(t) = u(t)

Però personalmente questo non mi convince del passaggio
per arrivare all'integrale di convoluzione...

Evidentemente sono io che "non vedo" il meccanismo..

> u si chiama anche funzione di Green del sistema,
> diciamo allora che se l'input al sistema è una
> delta di Dirac allora l'output è la sua funzione

> di Green.

Ecco perchè in alcune spiegazioni di lezioni sul tubo
di corsi ingegneristici penso di "segnali" la indicano
con "G"... :)

Nel mio campo si indicava:
u: la risposta impulsiva,
g: risposta dell'ingresso a gradino (unit step response function)
h: risposta dell'ingresso "impulso unitario" (unit pulse response
function)

non so se quelle lettere hanno un qualche senso...
L'entrata e l'uscita si indicano con i e q perchè
i = intensità (di pioggia)
q = portata (d'acqua che defluisce dal sistema-bacino imbrifero)

Ora che ci penso se mi si chiede perchè la portata si indichi
con la lettera Q, sinceramente non saprei risposndere...
Ci sarà un motivo... :D

Grazie mille della risposta! :)

[JTS]

Am 10.11.2017 um 12:11 schrieb johnmath:
> Ciao a tutti,
>
> tempo fà avevo posto questa domanda su un forum:
> https://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=38&t=179660
>
> La riassumo qui, ma per praticità vi rimando al link
> sopra.
>

Provo a spiegare intuitivamente perche', usando le tue parole "la
proporzione si basa sugli integrali"

Quoto dal tuo post su matematicamente.

> Quello che non ho capito bene è perchè mi baso sulla proporzione tra gli
> integrali dei due impulsi e non su altro e perchè lo posso fare.
> Per esempio perchè non basarsi sull'entità dei due impulsi (tra l'altro
> ci sarebbe qualche problemino con quella scelta perchè delta vale
> infinito in τ, ma tanto per farvi capire il dubbio).


Un modo di vedere che l'effetto di un input impulsivo dipende dal valore
dell'integrale e' questo. Consideriamo un impulso rettangolare molto
stretto, di durata h e di altezza fissata d:

d(h,t) = d se |t| < h/2
d(h,t) = 0 altrimenti

Ho messo anche h come variabile nella definizione della funzione d(h,t)
per poter considerare tutte assieme le funzioni che si ottengono per i
diversi valori di h.

L'impulso d(h,t) in input da' luogo in output alla risposta v(h,t).
Considero ora due impulsi rettangolari entrambi di durata h. Li posso
mettere uno a fianco all'altro:

i1(t) = d(h,t) + d(h, t-h)

oppure posso metterli uno sopra all'altro

i2(t) = d(h,t) + d(h,t)


Nel primo caso l'output e'

o1(t) = v(h,t) + v(h,t-h)

e nel secondo caso

o2(t) = v(h,t) + v(h,t)

Se h e' piccolo, traslare v(h,t) della quantita' h ha un effetto
piccolo. v(h, t-h) e' quasi uguale a v(h,t).

o2(t) e' molto simile a o1(t), quindi circa uguale a 2*v(h,t).
Questa approssimazione diventa migliore se h diventa piu' piccolo. Il
ragionamento si puo' estendere a somme di un numero qualunque di
rettangolini (se sono stretti e ravvicinati: gli impulsi devono essere
molto piu' rapidi della risposta del sistema) e questo mostra che la
risposta del sistema ad un impulso breve dipende dall'integrale
dell'impulso.

Ti sembra d'aiuto questo modo di vedere le cose?

[Giorgio Bibbiani]

Il 10/11/2017 20.54, johnmath ha scritto:
> L^2(R) sta per? (beata ignoranza...)

E' lo spazio vettoriale delle funzioni misurabili
e a quadrato sommabile, definite in R.

...

> Se la pappa pronta non si serve, dammi almeno
> una traccia... ;)

Posso provare a servirla, sperando
che non risulti indigesta... ;-)

Sia dato il sistema S che associa all'input
i l'output q (u sia una funzione assegnata):

(1) q(t) = int_{-oo}^{t} i(tau)*u(t-tau) dtau.

Dimostriamo che q è lineare in i:

sia i = i_1 + i_2, allora

q(t) =
int_{-oo}^{t} (i_1(tau) + i_2(tau))*u(t-tau) dtau =
int_{-oo}^{t} i_1(tau) *u(t-tau) dtau +
int_{-oo}^{t} i_2(tau)*u(t-tau) dtau =
q_1(t) + q_2(t),

sia i_k = k * i, con k reale, allora

q_k(t) =
int_{-oo}^{t} i_k(tau)*u(t-tau) dtau =
int_{-oo}^{t} k*i(tau)*u(t-tau) dtau =
k * q(t)
CVD

La relazione tra i e q è causale perché, data
la (1), il valore di q al tempo t dipende solo
dai valori che i assume a tempi tau =< t.

Dimostriamo che la relazione tra i e q è
tempo-invariante:

sia i'(tau) = i(tau - T), cioè i' è uguale
a i traslata di T nel tempo, si ha

q'(t) = int_{-oo}^{t} i'(tau)*u(t-tau) dtau =
int_{-oo}^{t} i(tau - T)*u(t-tau) dtau =
(pongo tau - T = s)
int_{-oo}^{t - T} i(s)*u(t - T - s) ds =
q(t - T)

cioè q' è uguale a q traslata di T nel tempo
CVD

Dato ora un generico sistema S' lineare, causale
e tempo-invariante, sia u(t) l'output di S' quando
l'input è una delta di Dirac, se definisco S come
nella (1):

q(t) = int_{-oo}^{t} i(tau)*u(t-tau) dtau

trovo che S e S' hanno lo stesso output se l'input
è una delta di Dirac, ma per linearità allora
avranno lo stesso output per qualsiasi input i,
dato che si può scrivere la convoluzione:

(2)
i(tau) = int_{-oo}^{+oo} diracdelta(t) i(tau - t) dt

e se L è un operatore lineare che agisce su i(tau)
si ha:

L(i(tau)) =
L(int_{-oo}^{+oo} diracdelta(t) i(tau - t) dt) =
(pongo tau - t = s)
L(int_{-oo}^{+oo} diracdelta(tau - s) i(s) ds) =
int_{-oo}^{+oo} L(diracdelta(tau - s)) i(s) ds

che appunto dipende solo dal valore che L
assume quando l'input è una delta di Dirac
(con argomento tau - s e non tau, ma ciò
non è limitante avendo assunto la
tempo-invarianza).

Tutto salvo errori, comunque grazie per l'occasione
che mi hai dato di ripensare a questi argomenti!

[Archaeopteryx]

Secondo post salvato della giornata! Bello!!!

>
> Posso provare a servirla, sperando
> che non risulti indigesta... ;-)
>
> Sia dato il sistema S che associa all'input
> i l'output q (u sia una funzione assegnata):
>
> (1) q(t) = int_{-oo}^{t} i(tau)*u(t-tau) dtau.
>

> Dimostriamo che q Ú lineare in i:

>
> sia i = i_1 + i_2, allora
>
> q(t) =
> int_{-oo}^{t} (i_1(tau) + i_2(tau))*u(t-tau) dtau =
> int_{-oo}^{t} i_1(tau) *u(t-tau) dtau +
> int_{-oo}^{t} i_2(tau)*u(t-tau) dtau =
> q_1(t) + q_2(t),
>
> sia i_k = k * i, con k reale, allora
>
> q_k(t) =
> int_{-oo}^{t} i_k(tau)*u(t-tau) dtau =
> int_{-oo}^{t} k*i(tau)*u(t-tau) dtau =
> k * q(t)
> CVD
>

> La relazione tra i e q Ú causale perché, data

> la (1), il valore di q al tempo t dipende solo
> dai valori che i assume a tempi tau =< t.
>

> Dimostriamo che la relazione tra i e q Ú
> tempo-invariante:
>
> sia i'(tau) = i(tau - T), cioÚ i' Ú uguale

> a i traslata di T nel tempo, si ha
>
> q'(t) = int_{-oo}^{t} i'(tau)*u(t-tau) dtau =
> int_{-oo}^{t} i(tau - T)*u(t-tau) dtau =
> (pongo tau - T = s)
> int_{-oo}^{t - T} i(s)*u(t - T - s) ds =
> q(t - T)
>

> cioÚ q' Ú uguale a q traslata di T nel tempo

> CVD
>
> Dato ora un generico sistema S' lineare, causale
> e tempo-invariante, sia u(t) l'output di S' quando

> l'input Ú una delta di Dirac, se definisco S come

> nella (1):
>
> q(t) = int_{-oo}^{t} i(tau)*u(t-tau) dtau
>
> trovo che S e S' hanno lo stesso output se l'input

> Ú una delta di Dirac, ma per linearità allora

> avranno lo stesso output per qualsiasi input i,

> dato che si può scrivere la convoluzione:

>
> (2)
> i(tau) = int_{-oo}^{+oo} diracdelta(t) i(tau - t) dt
>

> e se L Ú un operatore lineare che agisce su i(tau)

> si ha:
>
> L(i(tau)) =
> L(int_{-oo}^{+oo} diracdelta(t) i(tau - t) dt) =
> (pongo tau - t = s)
> L(int_{-oo}^{+oo} diracdelta(tau - s) i(s) ds) =
> int_{-oo}^{+oo} L(diracdelta(tau - s)) i(s) ds
>
> che appunto dipende solo dal valore che L

> assume quando l'input Ú una delta di Dirac
> (con argomento tau - s e non tau, ma ciò
> non Ú limitante avendo assunto la

> tempo-invarianza).
>
> Tutto salvo errori, comunque grazie per l'occasione
> che mi hai dato di ripensare a questi argomenti!
>
>
> Ciao
>
>


--

"Pompieri? Presto, venite, la mia casa sta bruciando"
"OK, quando ha avuto origine il fuoco?"
"Nel paleolitico, però sbrigatevi"

[johnmath]

Wakinian Tanka <wakinia...@gmail.com> wrote:
>
> cerca in rete e guarda il video "lez 25 - prodotto di convoluzione. avi"
> Nella prima mezz'ora circa viene spiegato tutto.

Trovato, graze!
me lo guarderò con calma poi faccio sapere se ho capito o cosa non
digerisco...

Grazie ancora! :)

[Elio Fabri]

johnmath ha scritto:

> L'argomento è:
> sistemi ingresso-uscita lineari e invarianti rispetto al tempo.

> ...

> (*) Infine si dimostrava in modo piuttosto intuitivo che per
> una generica funzione in ingresso, la risposta in uscita dal
> sistema può essere calcolata con l'integrale di convoluzione
> della funzione di ingresso con la risposta impulsiva del sistema.

Come sempre, arrivo tardi.
Sarà perché sono vecchio, o perché penso di più, oentrambe le cose.
Infatti è da ieri che penso a come impostare la risposta...
Spero di essere utile ugualmente, ma in caso contrario basta buttar via
il mio post :-)

Come al solito, hai dimenticato di dirci che cosa studi, ma nel tuo
caso è pressoché ovvio.
Ingegneria, e suppongo teoria dei segnali, o qualcosa del genere.
Proverò a proporre un approccio autonomo, cambiando anche notazioni,
perché mi sembra di guadagnare in chiarezza.

Cominciamo dalla definizione di sistema lineare.
Il sistema ha un ingresso funzione del tempo, che indico con E(t).
(preferisco usare le maiuscole per le funzioni, lascindo le minuscole
per variabili e costanti).
Ha anche un'uscita U(t), che ovviamente dipende dall'ingresso.
Quand'è che la dipendenza si chiama lineare?
I requisiti sono i seguenti:
1) se con ingresso E1(t) l'uscita è U1(t), e con ingresso E2(t)
l'uscita è U2(t), allora con ingresso E1+E2 l'uscita è U1+U2
2) se con ingresso E(t) l'uscita è U(t), e se k è una qualsiasi
costante reale, allora l'ingresso k*E(t) produce uscita k*U(t).

Abbiamo un teorema (che enuncio tralasciando le precise ipotesi
matematiche):

*******************************
Per qualunque sistema lineare la relazione ingresso-uscita si può
porre nella forma

U(t) = int K(t,t')*E(t') dt'

dove l'integrale va da -inf a + inf.
*******************************

La funzione K(t,t') si chiama in vari modi: hai già sentito "funzione
di Green", ma anche "funzione di trasferimento", e ce ne sono altri a
seconda del campo.
(Sai di certo che la teoria dei sistemi lineari ha applicazioni
vastissime, nell'ingegneria e nella fisica.)
Provo a dare una dimostrazione del teorema, che non merita a rigore
il nome di dim., ma può dare l'idea di che cosa ci sta sotto.

Supponiamo di discretizzare il sistema. Questo significa che
campioniamo i segnali a certi tempi t_k, intervallati da un certo h.
Allora l'ingresso sarà dato da un insieme di numeri:
a_k = E(t_k)
e l'uscita da un'altra successione
b_k = U(t_k).
Per ipotesi, i b_k dipendono linearmente dagli a_k, e la forma più
generale di questa dipendenza è

b_k = sum_m c_{k,m}*a_m

che è il prodotto della matrice (infinita) c_{k,m} per il vettore a_m.
Cambiamo notazione:

U(t_k) = sum_m K(t_k,t_m)*E(t_m) (1)

dove K è una funzione di due variabili che ai valori t_k,t_m delle var.
indipendenti vale c_{k,m}.
"Passando al limite" (ecco il punto poco pulito ...) per h-->0 la (1)
si scrive

U(t) = int K(t,t')*E(t') dt

cvd.

Passiamo ora al caso particolre dei sistemi invarianti per traslazioni
temporali (l'espressione "tempo-invariante" non mi piace, come tutte
la traduzioni maccheroniche dall'inglese). Per brevità scriverò ITT.
la definizione è questa:

Dico che un sistema è ITT se, essendo U(t) l'uscita per un ingresso
E(t), accade che per ogni a reale l'ingresso E(t-a) produce l'uscita
U(t-a).
Vogliamo ora caratterizzare la f. di trasferimento K di un sistema
ITT.
Teorema:

******************************
Per un sistema ITT, K(t,t') dipende solo da t-t':
K(t,t') = K(t-t')
*******************************

Dimostrazione.
Per ipotesi

U(t-a) = int K(t,t')*E(t'-a) dt'.

Poniamo s = t-a, s' = t'-a:

U(s) = int K(s+a,s'+a)*E(s') ds'.

ossia, cambiando soltanto i nomi:

U(t) = int K(t+a,t'+a)*E(t') dt'.

Questo può accadere solo se K(t+a,t'+a) = K(t,t') per ogni a.
Scegliamo a = -t':

K(t-t',0) = K(t,t')

che dimostra la tesi, in quanto a primo membro è rimasto un solo
argomento t-t' (l'altro è fisso a 0).

Dunque per un sistema ITT (ipotesi che darò sottintesa d'ora in poi)

U(t) = int K(t-t')*E(t') dt'. (2)

E ora la risposta impulsiva.

La definizione della Delta di Dirac che hai trovata fa piuttosto
schifo, anche se è la stessa che venne insegnata a me. Lo stsso Dirac,
nel suo classico testo "The Principles of Quantum Mechanics" dà quella
definizione, risparmiandosi solo l'abominio Delta(0) = infinito :-)
Anche se sono più che sicuro che lui conoscesse il modo coretto di
definirla (come distribuzione) preferì farne grazia ai suoi lettori
del tempo.
Ma sono passati tanti anni, e oggi ci si potrebbe attendere che anche
agli studenti d'ingegneria, che del resto studiano parecchia
matematica complicata, si dicessero cose un po' più pulite.
Ma non temere: non lo farò qui.
Mi limito a dare un definizione alternativa, anch'essa scarretta, ma
che potrebbe essere resa pulita senza troppo sforzo.
(Nel seguito abbrevierò Delta con D.)

Considera le funzione "rettangolo". Anche questa viene indicata in vari
modi: per es. rect(a,b,t) per intendere la funzione che vale 1 se t
sta ell'intervallo [a,b] e vale 0 altrimenti.
Posso allora definire D(t) come "limite":

D(t) = lim eps-->0 (1/eps)*rect(-eps,eps,t).

Nota: al posto della funzione rettangolo se ne ossono usare diverse altre.
E' comune trovare una sinc (se hai studiato trasf. di Fourier la
conosci di certo) oppure una gaussiana.
Fine nota.

Se allora F(t) è una qualunque funzione (diciamo continua) si ha

int F(t)*D(t) dt =
lim eps-->0 (1/eps) int(-eps,eps) F(t) dt = F(0).

E ovviamente

int F(tau)*D(t-tau) dtau =
lim eps-->0 (1/eps) int(t-eps,t+eps) F(tau) dtau = F(t).

Supponiamo ora che sia E(t) = D(t) (ingresso impulsivo).
Allora, per la (2)

U(t) = int K(t-t')*D(t') dt' = K(t)

cioè la risposta impuliva coincide con la f. di trasferimento.
E questo dimostra ciò che desideravi.


--
Elio Fabri

[johnmath]

Giorgio Bibbiani <giorgio...@tin.it> wrote:
>
> Tutto salvo errori, comunque grazie per l'occasione
> che mi hai dato di ripensare a questi argomenti!

Mi pare tutto piuttosto convincente ed inteleggibile,
grazie a te per la disponibilità e per l'interessante
dimostrazione.
Non avrei saputo cosa in concreto era da dimostrare.
Ad esempio non mi sarebbe venuto in mente che la
tempo-invarianza implica la dimostrazione:

ipotesi:

- sollecitando con i il sistema si ottiene q in uscita
i(t) ---> q(t)

- considerando una i'(t-T) = i(t)
cui corrisponderà q'(t-T)

tesi da dimostrare:

- q'(t-T) -> q(t)


In parole semplici ad ingressi tempo invarianti
corrispondono uscite tra loro tempo invarianti.

i'(t-T) = i(t) ===>> q'(t-T) = q(t)


Insomma grazie per gli spunti che hai dato e per la
bella spiegazione che hai condiviso.

Due domande.
Questi argomenti in che "ramo" della matematica sono
trattati?
Testi consigliati? (possibilmente reperibili in qualche modo
anche in rete...).

Chiedo perchè da ex studente arruginito non ero mai
andato oltre i miei appunti e come ho già detto questa
parte non era stata affrontata in modo rigoroso/formale,
limitandosi ad un approccio intuitivo e volto alle appli-
cazioni. Un esempio ne era il "serbatoio lineare" che
ho messo in fondo al messaggio(*) per chi si volesse
dilettare nella soluzione del problema... ;)

Insomma grazie ancora di tutte le risposte.
Noto che questo ng è vivo... Non l'avevo mai seguito, ma
ultimamente sto facendo un ripassone e volevo approfondire
anche solo per curiosità questi argomenti.

Ciao a tutti! :)



----------
(*)
Vi propongo per completezza il sistema cui venivano applicate
le proprietà viste sopra come sistema lineare e tempo-invariante.
Per il sistema "serbatoio lineare" caratterizzato dalla regola:

q(t)=k*V(t)

k, costante di invaso
q, portata in uscita
V, volume invasato

determinare:

- la risposta impulsiva u(t)
- la risposta della funzione gradino g(t)
- la risposta della funzione impulso unitario h(t)


la funzione gradino è definita come:

- 1, per t>=0
- 0, per t<0


la funzione "impulso unitario" che ho tradotto io così a
dire il vero, ma la si trova come "unit pulse function" o
"unit pulse input", è definita come:

un impulso di ammontare unitario, quindi

int{-inf}{+inf} I(tau) dtau = 1

avente durata delta_t e valore costante
pari a 1/delta_t nell'intervallo (0,delta_t):

I(tau) = 1/delta_t, 0<=tau<=delta_t
I(tau) = 0, per ogni tau diverso da sopra...

Sono andato lungo...
Chi volesse cimentarsi nell'impresa sappia che prima
bisogna determinare le risposte per un sistema generico
(sempre lineare e tempo-inv.).

Capito cosa sono la "g" e la "h" in riferimento alla u,
si considera il serbatoio:

- si osserva l'eqne di continuità a sistema con la
regola di svaso definita sopra:

dV/dt = i(t) - q(t)
V(t)=k*q(t)

Da li si arriva ad una eqne differenziale che integrando
e facendo apparire in integrale i(tau)*qualcosa, si confronta
con l'integrale di convoluzione e si osserva che quel
"qualcosa" deve essere la nostra u(t-tau)...

Trovata la u, la g e la h si determinano facilmente, basta
applicare la loro rispettiva relazione con la "u"...

[johnmath]

JTS <giovanni...@hotmail.it> wrote:
>
> Ti sembra d'aiuto questo modo di vedere le cose?

Intanto grazie della risposta!
Mi riprometto di considerare con più calma anche
la tua spiegazione. Farò sapere.
Grazie ancora! :)

[johnmath]

Elio Fabri <elio....@fastwebnet.it> wrote:
>
> Come al solito, hai dimenticato di dirci che cosa studi, ma nel tuo
> caso è pressoché ovvio.
> Ingegneria, e suppongo teoria dei segnali, o qualcosa del genere.

Ciao e grazie per la tua spiegazione. Che avevo già vista in modo simile
proprio da qualche video di lezioni di corsi di segnali.
In effetti è un argomento trattato in modo un po' più diffuso proprio in
quei corsi. Generalmente lo trattavano gli elettronici/comunicazioni
forse elettrici ecc..
Nel mio caso invece in ambito civile/ambientale/idraulico era utile per
analizzare il comportamento di un bacino imbrifero a fini idrologici,
nello specifico la "modellazione afflussi deflussi" (o rainfall-runoff
modelling).

Quando mi avevano spiegato la cosa era la notte dei tempi, in un corso
del secondo anno appunto di idrologia. Quindi niente trasformate di
Fourier e anche l'approccio che vedo nei corsi di "segnali" era molto
diverso, non ci avevano parlato di funzioni di trasferimento in quel
modo ad esempio... "Segnali" nel mio cosro di studi non esisteva proprio
tanto per capirci.

Mi riguarderò meglio la tua spiegazione.

Grazie anche a te! :)

[Giorgio Bibbiani]

Il 11/11/2017 15.08, johnmath ha scritto:
> Questi argomenti in che "ramo" della matematica sono
> trattati?

Immagino che abbiano nomi diversi a seconda delle
applicazioni, per quanto riguarda quelle ingegneristiche
direi "teoria dei sistemi lineari".

https://en.wikipedia.org/wiki/Linear_time-invariant_theory

> Testi consigliati? (possibilmente reperibili in qualche modo
> anche in rete...).

Io non so, prova a vedere:

https://www.amazon.co.uk/s/ref=nb_sb_noss_1?url=search-alias%3Daps&field-keywords=linear+systems+theory

[johnmath]

Ok, ho visto e direi che la spiegazione è "convincente".
Però su un punto ho un dubbio, che probablmente è una
sciocchezza da spiegare, ma comunque voglio condividerlo
anche qua.

Alora intanto il video in questione era questo:
https://www.youtube.com/watch?v=l4qO77wRUqM

Il succo della questione si può brevemente vedere dall'istante
20:50. Dice:


T{e(t)} = T{ int|-inf,+inf e(tau)*D(t-tau) dtau } (1)

T è la funzione di trasferimento (almeno penso..) cioè è quella
regola che trasforma l'ingresso e(t) nell'uscita che lui chiama
y(t).

Con D ho indicato il delta di dirac.

L'egualiganza sopra deriva dalla proprietà del delta che lui
indica come "proprietà asterisco", mentre io in un altro messaggio
ho indicato come proprietà "setaccio":

x(t) = int|-inf,+inf x(tau)*D(t-tau) dtau (2)

Quindi nella (1) ha applicato l'operatore T all'ingresso
e poi ha riscritto l'ingresso applicando la proprietà mostrata.
Fin qui ok... poi applica la proprietà di cotinuità e di
linearità e dice che l'operatore T può pertanto essere posto
dentro all'integrale. E va bene.

Però io mi aspetterei la seguente espressione:

T{e(t)} = int|-inf,+inf T{ e(tau)*D(t-tau) } dtau (3)

Invece lui scrive direttamente:

T{e(t)} = int|-inf,+inf e(tau)*T{ D(t-tau) } dtau (3a)

In pratica deve essere vera la seguente:

T{ e(tau)*D(t-tau) } = e(tau)*T{ D(t-tau) } (4)

Dico bene?

Ecco questo passaggino non mi torna...

La linearità dice che

T{ a*f(t) + b*g(t) } = a*T{ f(t) } + b*T{ g(t) }

ma a e b sono costanti, è una combinazione lineare
di fue funzioni, invece nella (4) abbiamo il prodotto
tra il delta e la e(tau)...

Voi come lo spieghereste?

[Giorgio Bibbiani]

Il 11/11/2017 17.28, johnmath ha scritto:
...

> T{ e(tau)*D(t-tau) } = e(tau)*T{ D(t-tau) } (4)
>
> Dico bene?
>
> Ecco questo passaggino non mi torna...
>

Non ho visto il filmato, ma evidentemente si
intende che l'operatore lineare T operi sulle
funzioni di t, dunque per T il fattore e(tau)
è solo un numero.
Se ci fai caso, avevo fatto un analogo
ragionamento nell'ultimo calcolo di un
mio messaggio in precedenza...

[johnmath]

Si ho visto il tuo messaggio alla fine dicevi praticamente
la stessa cosa del filmato.
La spiegazione è facile ed p quella che pensavo anche io, però
mi resta qualche dubbio: tau è si un variabile di integrazione,
rispetto all'operatore integrale non si può considerare un numero.
Rispetto all'operatore T, oppure L, come lo avevi chiamato tu,
invece è il contrario... t non si tocca, tau diventa un numero...

So un po' di confusione mei resta, ma tutto sommato fila..

Va bene, grazie.

PS
Resterebbe da dimostrare la proprietà setaccio, o asterisco che
dir si voglia... Dopodichè i dubbi dovrebbero essere, non dico
dileguati, ma almeno spiegati razionalmente.

x(t) = int|-inf,+inf x(tau)*D(t-tau) dtau

Forse lo spiegava anche il filmato della lezione precedente...

Ciao e grazie di nuovo! :)

[Giorgio Bibbiani]

Il 11/11/2017 18.13, johnmath ha scritto:

> Resterebbe da dimostrare la proprietà setaccio, o asterisco che
> dir si voglia... Dopodichè i dubbi dovrebbero essere, non dico
> dileguati, ma almeno spiegati razionalmente.
>
> x(t) = int|-inf,+inf x(tau)*D(t-tau) dtau

Non c'è molto da spiegare, è in sostanza la
definizione della _distribuzione temperata_
delta di Dirac, cioè quello rappresentato
sopra ingenuamente come integrale è il
_funzionale_ che agendo su una opportuna
funzione "test" x(tau) dà come risultato
il numero x(t), ciò per definizione.

[JTS]

A questo si puo' aggiungere una rappresentazione visiva definendo la
delta come un limite di rettangoli sempre piu' stretti e alti (come nel
post di Elio; la scelta della famiglia di funzione con cui fare il
limite non e' unica, ma tutte le famiglie devono diventare "strette e
alte").

[Wakinian Tanka]

Devi aggiungere che l'area di quei rettangoli (o triangoli o gaussiane o quello che sono) rimane costantemente pari ad 1:

int[-inf;+inf]D(x)dx := 1
questa è la prima delle due proprietà che definiscono la delta di Dirac.

La seconda è:

int[-inf;+inf]f(x) D(x)dx := f(0)

Facendo un cambiamento di variabile nell'integrale hai poi il caso più generale di Dirac Delta traslata:

int[-inf;+inf]f(x) D(x-a)dx := f(a)

Non hai bisogno di visualizzare rettangoli o altro, fai tutto con queste due proprietà.

Poi per quello che chiedevi all'inizio ti serve la definizione di "prodotto di convoluzione" tra due funzioni:

(f*g) (t) := int[-inf;+inf]f(u) g(t-u)du.

Tutto questo è sufficiente per capire la lezione di quel video, posto che uno abbia una buona base di Analisi 1.

--
Wakinian Tanka

[JTS]

Am 11.11.2017 um 20:36 schrieb Wakinian Tanka:
> Devi aggiungere che l'area di quei rettangoli (o triangoli o gaussiane o quello che sono) rimane costantemente pari ad 1:

Giusto.

(cut)

>
> Non hai bisogno di visualizzare rettangoli o altro, fai tutto con queste due proprietà.
>

E' d'aiuto all'intuizione.

[Giorgio Pastore]

Il 11/11/17 18:39, JTS ha scritto:

Si' pero' c'e' il rischio di far confusione tra la distribuzione (che e'
un funzionale) e la "funzione generalizzata" utilizzata per
rappresentare con una notazione integrale (ma e' solo una notazione
utile, non un vero integrale) il funzionale che risulta dal limite dei
funzionali in cui si utilizzano funzioni (rettangoli, gaussiane etc...).

[Giorgio Pastore]

Il 11/11/17 20:36, Wakinian Tanka ha scritto:
....

> La seconda è:
>
> int[-inf;+inf]f(x) D(x)dx := f(0)
>
> Facendo un cambiamento di variabile nell'integrale hai poi il caso più generale di Dirac Delta traslata:
>
> int[-inf;+inf]f(x) D(x-a)dx := f(a)
>
> Non hai bisogno di visualizzare rettangoli o altro, fai tutto con queste due proprietà.

In realta', se vuoi fare le cose in modo pulito (e non "alla fisici")
devi proprio tenere i rettangoli o, meglio gaussiale o latre funzioni
regolari a supporto compatto. Perche' e' solo attraverso queste funzioni
ed il fatto che con queste puoi usare le regole ordinarie di
integrazione che riesci a definire operativamente le proprieta' della
cosiddetta delta. La scrittura del "fnzionale delta" come integrale e'
un "abuso di notazione" . Un po' come se uno volesse usare un simbolo di
frazione tra interi per indicare un numero irrazionale.

[johnmath]

Ho copiato il video relativo ad una precedente lezione, la numero 23
della serie "Metodi Matematici per l'Ingegneria" (uninettuno). Al link
seguente trovate la parte saliente:

https://youtu.be/lc2SI69LfYU?list=PL632AEE41779D537B&t=1186

in cui spiga e dimostra matematicamente la proprietà di cui sopra che
definisce appunto la "funzione" delta di dirac. Per la dimostrazione usa
effettivamente la figura intuitiva di una funzione, anzi distribuzione
se ho ben capito, rettangolare e ne indaga il limite dell'integrale
del prodotto:

lim|n->+inf { int|-inf,+inf fn(t)*fi(t) dt } = fi(0)

in cui la distribuzione fn(t) è definita come:

fn(t) = n, per t (-1/2n;+1/2n)
fn(t) = 0, per t altrove
int|-inf,+inf fn(t) dt = 1 (1)

Da quanto dice, la funzione fi(t) la indica proprio come "funzione
di prova" o "funzione di test" come dicevi tu (e altri).

Se date un'occhiata al link, vedrete come dimostra la cosa, ma vi
anticipo che applica la semplice definizione di limite:

| int:-inf,+inf fn(t)*fi(t) dt - fi(0) | < eps (2)


fi(0) = int:-inf,+inf fi(0)*fn(t) dt grazie alla (1)

Quindi la (2) diventa:

| int:-inf,+inf fn(t)*fi(t) dt - int:-inf,+inf fn(t)*fi(0) dt | < eps

| int:-inf,+inf fn(t)*[fi(t)-fi(0)] dt | < eps

| int:-1/2n,+1/2n fn(t)*[fi(t)-fi(0)] dt | < eps


Poi dice: il valore assoluto dell'integrale è minore dell'integrale
del valore assoluto

| int:-1/2n,+1/2n fn(t)*[fi(t)-fi(0)] dt | <=
int:-1/2n,+1/2n | fn(t)[fi(t)-fi(0)] | dt

Pertanto si riduce a dimostrare che:

int:-1/2n,+1/2n | fn(t)*[fi(t)-fi(0)] | dt < eps

Poi però questo passaggio mi lascia un po' perplesso:
dice: ma la funzione fn in questo intervallo vale n...
e io penso, si ma lì sei dentro un integrale e tra l'altro
la moltiplichi per altra roba che dipende dalla variabile
d'integrazione t: siamo sicuri che puoi sostituirvi il
valore che ha nell'intervallo -1/2n,+1/2n (e cioè n) ?

(Poi s'ingarbuglia anche un attimo e ripete dicendo "ma qui fn
vale 1", in realtà penso sia solo una svista perchè scrive
"n", e direi giustamente)

int:-1/2n,+1/2n n*| [fi(t)-fi(0)] | dt < eps

Comunque mi sembra ok alla fine ad esempio

se f(t) = 3 in (a,b)

int:a,b f(t) dt = 3*(b-a)

ma anche

int:a,b 3 dt = 3*(b-a)

Ok, fine della perlessità... è banale alla fine.

Ne conclude che:

n * int:-1/2n,+1/2n | [fi(t)-fi(0)] | dt < eps

osserva che per n molto grande, l'intervallo d'integrazione
si "stringe" sullo zero ed essendo fi(t) continua:

se n->+inf, f(t) -> f(0) quindi fi(t)-fi(0) -> 0

e pertanto è dimostrata la (2).

basta quindi osservare che per n->+inf
la nostra fn(t) assume la definizione di delta di didrac:

=+inf in 0
0 altrove
int:-inf,+inf = 1

così è dimostrato che

f(0) = int:-inf,+inf f(t)*D(t) dt


Da qui, all'inizio dell'altra lezione, la 25, spiega
come si può traslare il tutto passando da f(0) a f(t):

f(t) = int:-inf,+inf f(tau)*D(t-tau) dt


Non so se questa è la dimostrazione rigorosa cui qualcuno
di voi faceva riferimento...
Mi sembra però tutto abbastanza formale e convincente.
Poi dite voi.

Di certo, sta roba in analisi 1 non l'ho mai vista.

Francamente non ricordo bene, forse qualcosa di attinente
era trattato in un corso di fisica matematica 2 (ex meccanica
razionale..). Lì si era visto funzionali, fourier e altre cose
che vedo trattate anche in questo corso uninettuno di "metodi
matematici per l'ingegneria". Vi ho messo il link sopra che
riporta tutta la playlist delle lezioni.

Voglio ringraziare tutti quelli che hanno partecipato alla
discussione. Noto che questo newsgroup è particolarmente
"vivace" e ricco di contenuti interessanti... considerando
l'attuale fatiscenza di usenet è stata una piacevolissima
sorpresa. Buono a spersi e grazie ancora davvero! :)

[Giorgio Pastore]

Il 12/11/17 11:27, johnmath ha scritto:
.....

> in cui spiga e dimostra matematicamente la proprietà di cui sopra che
> definisce appunto la "funzione" delta di dirac. Per la dimostrazione usa
> effettivamente la figura intuitiva di una funzione, anzi distribuzione
> se ho ben capito, rettangolare e ne indaga il limite dell'integrale
> del prodotto:
>
> lim|n->+inf { int|-inf,+inf fn(t)*fi(t) dt } = fi(0)
>
> in cui la distribuzione fn(t) è definita come:
>
> fn(t) = n, per t (-1/2n;+1/2n)
> fn(t) = 0, per t altrove
> int|-inf,+inf fn(t) dt = 1 (1)
>
> Da quanto dice, la funzione fi(t) la indica proprio come "funzione
> di prova" o "funzione di test" come dicevi tu (e altri).

Si' sta definendo un funzionale (anzi una successione di funzionali) e
devono avere un dominio. Quello delle funzioni di test (opportunamente
caratterizzate.

>
> Se date un'occhiata al link, vedrete come dimostra la cosa, ma vi
> anticipo che applica la semplice definizione di limite:
>
> | int:-inf,+inf fn(t)*fi(t) dt - fi(0) | < eps (2)

(da un certo n in poi...)

> fi(0) = int:-inf,+inf fi(0)*fn(t) dt grazie alla (1)

La cosa importante da aver presente e' che con la successione fn
integrale e limite NON possono e NON devono essere scambiati.

>....
...

> Pertanto si riduce a dimostrare che:
>
> int:-1/2n,+1/2n | fn(t)*[fi(t)-fi(0)] | dt < eps
>
> Poi però questo passaggio mi lascia un po' perplesso:
> dice: ma la funzione fn in questo intervallo vale n...
> e io penso, si ma lì sei dentro un integrale e tra l'altro
> la moltiplichi per altra roba che dipende dalla variabile
> d'integrazione t: siamo sicuri che puoi sostituirvi il
> valore che ha nell'intervallo -1/2n,+1/2n (e cioè n) ?

Per come sono definite le fn i limiti di integrazione devono essere
-1/2n,+1/2n e in quell' intervallo la def di fn dice che e' una
funzione costante pari a n. What else?

>
....

> Di certo, sta roba in analisi 1 non l'ho mai vista.

E' analisi funzionale. Si sta parlando di funzioni definite su un
dominio i cui elementi sono funzioni. In analisi 1 e 2 si lavora quasi
sempre con funzioni da sottoinsiemi di R in sottoinsiemi di R (al piu'
R^n -> R^m, qualche volta C. Naturalmente, per laorare su domini di
funzioni occorre aver chiare le stesse.

>
> Francamente non ricordo bene, forse qualcosa di attinente
> era trattato in un corso di fisica matematica 2 (ex meccanica
> razionale..). Lì si era visto funzionali,

appunto.

Giorgio

[Wakinian Tanka]

Il giorno sabato 11 novembre 2017 23:13:00 UTC+1, Giorgio Pastore ha scritto:
> Il 11/11/17 20:36, Wakinian Tanka ha scritto:
> ....
> > La seconda è:
> > int[-inf;+inf]f(x) D(x)dx := f(0)
> > Facendo un cambiamento di variabile nell'integrale hai poi il caso più
> > generale di Dirac Delta traslata:
> > int[-inf;+inf]f(x) D(x-a)dx := f(a)
> > Non hai bisogno di visualizzare rettangoli o altro, fai tutto con queste
> > due proprietà.
>
> In realta', se vuoi fare le cose in modo pulito (e non "alla fisici")
> devi proprio tenere i rettangoli o, meglio gaussiale o latre funzioni
> regolari a supporto compatto.

Una volta definite le distribuzioni e le funzioni test ecc ecc, tutto quello di cui c'è bisogno per definire la Dirac Delta è quello che ho scritto sopra. Chiaro che quell'integrale è solo un simbolo, ma con quel "simbolo" e le proprietà che ho scritto ci puoi fare parecchio sopra.
Ma il problema è che l'OP non ha mai studiato "metodi matematici per la fisica (o per l'ingegneria) e quindi non gli puoi fare una trattazione esaustiva.
Se no gli avrei detto: "prima studiati metodi e poi ne riparliamo..." :-)

--
Wakinian Tanka

[Giorgio Pastore]

Il 12/11/17 13:13, Wakinian Tanka ha scritto:
...

> Una volta definite le distribuzioni e le funzioni test ecc ecc, tutto quello di cui c'è bisogno per definire la Dirac Delta è quello che ho scritto sopra. Chiaro che quell'integrale è solo un simbolo, ma con quel "simbolo" e le proprietà che ho scritto ci puoi fare parecchio sopra.
> Ma il problema è che l'OP non ha mai studiato "metodi matematici per la fisica (o per l'ingegneria) e quindi non gli puoi fare una trattazione esaustiva.
> Se no gli avrei detto: "prima studiati metodi e poi ne riparliamo..." :-)

Non e' che gli ingegneri non abbiano bisogno di definizioni pulite, e mi
sembra dai dubbi di johnmath che non si accontenta delle formule finali
e di argomenti intuitivi.
Anche a livello di rigore "rilassato", ritengo essenziale chiarire nel
meodo piu' inequivocabile che la "delta di Dirac" e' un oggetto da non
confondere con una funzione normale, pena disastri (prima o poi).
Peraltro, per dire cose sensate sulla delta non serve un intero corso
avanzato. Con un background di analisi c'e' tutto quel che serve per
poter introdurre le distribuzioni.

[Wakinian Tanka]

Il giorno domenica 12 novembre 2017 11:27:50 UTC+1, johnmath ha scritto:
>...
Ok fin qui (ma anche dopo), a condizione che ti vada bene che la differenza tra due integrali impropri (perché i limiti di integrazione sono inf) sia pari all'integrale improprio della differenza! Quand'è che ciò è lecito? Non sempre (quindi ciò richiede di approfondire l'argomento).

>
> Pertanto si riduce a dimostrare che:
> int:-1/2n,+1/2n | fn(t)*[fi(t)-fi(0)] | dt < eps
> Poi però questo passaggio mi lascia un po' perplesso:
> dice: ma la funzione fn in questo intervallo vale n...
> e io penso, si ma lì sei dentro un integrale e tra l'altro
> la moltiplichi per altra roba che dipende dalla variabile
> d'integrazione t: siamo sicuri che puoi sostituirvi il
> valore che ha nell'intervallo -1/2n,+1/2n (e cioè n) ?

Scusa, hai int n*A(t) dt dove n è una costante!
Ti incasini per così poco? Banalmente fa n*int A(t) dt.
Caso mai, come ha scritto Giorgio P., attenzione a quando si porta fuori da un integrale il segno di limite: questo è lecito solo ad opportune condizioni (cioè se certe proprietà sono valide --> vedi teoremi specifici di analisi e di analisi funzionale, è anche per questi motivi e per quello che ho scritto prima che esistono i corsi di "metodi matematici" :-))

>
> (Poi s'ingarbuglia anche un attimo e ripete dicendo "ma qui fn
> vale 1", in realtà penso sia solo una svista perchè scrive
> "n", e direi giustamente)

Ovvio che sia n...

> int:-1/2n,+1/2n n*| [fi(t)-fi(0)] | dt < eps

Ok.

> Comunque mi sembra ok alla fine ad esempio
> se f(t) = 3 in (a,b)
> int:a,b f(t) dt = 3*(b-a)
> ma anche
> int:a,b 3 dt = 3*(b-a)

? Per sapere questo non c'era bisogno di quella lezione :-) Che intendevi dire?

> Ok, fine della perlessità... è banale alla fine.

Certo. Visto che, senza addentrarsi nelle questioni di generalizzare il tutto alla fine basta Analisi 1? Quella lezione video mi pare tutto sommato fatta bene tenuto conto che si tratta di un corso di laurea triennale in ingegneria elettronica e non un corso di laurea magistrale in fisica.

>
> Ne conclude che:
> n * int:-1/2n,+1/2n | [fi(t)-fi(0)] | dt < eps
> osserva che per n molto grande, l'intervallo d'integrazione
> si "stringe" sullo zero ed essendo fi(t) continua:
>
> se n->+inf, f(t) -> f(0) quindi fi(t)-fi(0) -> 0

ma per dimostrare questo devi (ri)portare il simbolo di limite da fuori a dentro l'integrale e, come già detto, ciò è valido solo sotto certe condizioni.

> e pertanto è dimostrata la (2).
> basta quindi osservare che per n->+inf
> la nostra fn(t) assume la definizione di delta di didrac:
>
> =+inf in 0
> 0 altrove

Questo scritto qui sopra ha solo un significato intuitivo, ovviamente...
Non esiste alcuna funzione con tali proprietà.

> int:-inf,+inf = 1

Ok.

> così è dimostrato che
> f(0) = int:-inf,+inf f(t)*D(t) dt

0k.

> Da qui, all'inizio dell'altra lezione, la 25, spiega
> come si può traslare il tutto passando da f(0) a f(t):
> f(t) = int:-inf,+inf f(tau)*D(t-tau) dt
>
>
> Non so se questa è la dimostrazione rigorosa cui qualcuno
> di voi faceva riferimento...

No, ci vuole metodi matematici:-)
Ma come già detto, già così qualcosa si capisce.

--
Wakinian Tanka

[JTS]

Non sono d'accordo con questa impostazione. La definizione formale di
delta di Dirac e' sufficiente per sviluppare la teoria; d'altra parte (e
questo e' importante e tu lo trascuri IMHO) la definizione formale deve
riprodurre le proprieta' intuitive importanti di un impulso. Quindi aver
chiare le proprieta' "intuitive" di un impulso (in questo caso e' solo
una: essere molto piu' rapido della risposta del sistema) significa aver
chiare alcune delle proprieta' della delta di Dirac: la risposta ad un
impulso e' proporzionale al valore dell'integrale dell'impulso, quindi
ha senso scrivere la risposta ad una delta di Dirac; la risposta del
sistema si puo' calcolare mediante una convoluzione tra input e risposta
all'impulso.

La formalizzazione puo' aggiungere altre proprieta' (che potrebbero
anche essere non intuitive) e permette di considerare le cose in maniera
piu' generale (per esempio per considerare le proprieta' analitiche di
una funzione di trasferimento devo definire la funzione di trasferimento
in maniera astratta).

Una cosa che non ho chiara in questo momento e' la seguente. Se
definisco la delta di D. come funzionale (e senza sfruttare il fatto che
questo funzionale e' un limite di integrali), quale e' il modo di
determinare la corrispondenza fra input e output come convoluzione tra
input e output della delta? Formalmente come e' meglio definire
l'"output della delta"? Forse si puo' ottenere che il sistema lineare
induce una corrispondenza fra funzionali? Mi sembra possibile ma non
vedo tutti i passaggi.

[johnmath]

Wakinian Tanka <wakinia...@gmail.com> wrote:
>
> Caso mai, come ha scritto Giorgio P., attenzione a quando si porta
> fuori da un integrale il segno di limite: questo è lecito solo ad
> opportune condizioni (cioè se certe proprietà sono valide --> vedi
> teoremi specifici di analisi e di analisi funzionale, è anche per
> questi motivi e per quello che ho scritto prima che esistono i corsi
> di "metodi matematici" :-))

Scusa eh, già che siamo di strada, è una cosa lunga o si potrebbe
anche solo accennare quali sono queste condizioni?

>> Comunque mi sembra ok alla fine ad esempio
>> se f(t) = 3 in (a,b)
>> int:a,b f(t) dt = 3*(b-a)
>> ma anche
>> int:a,b 3 dt = 3*(b-a)
>
> ? Per sapere questo non c'era bisogno di quella lezione :-) Che intendevi dire?
>
>> Ok, fine della perlessità... è banale alla fine.
>
> Certo. Visto che, senza addentrarsi nelle questioni di generalizzare il tutto alla fine basta Analisi 1? Quella lezione video mi pare tutto sommato fatta bene tenuto conto che si tratta di un corso di laurea triennale in ingegneria elettronica e non un corso di laurea magistrale in fisica.

Sì, avrei dovuto cancellare quelle righe sopra...
era una cosa banale come ho scritto, ma lì sul
momento mi ha lasciato un attimo il dubbio, così
ho buttato giù la prova del nove. Dimostra tutta
la mia ruggine. Ma l'importante è aver risolto.

>> e pertanto è dimostrata la (2).
>> basta quindi osservare che per n->+inf
>> la nostra fn(t) assume la definizione di delta di didrac:
>>
>> =+inf in 0
>> 0 altrove
>
> Questo scritto qui sopra ha solo un significato intuitivo, ovviamente...
> Non esiste alcuna funzione con tali proprietà.

Se ti va di argomentarlo un attimo leggo volentieri.

>> Da qui, all'inizio dell'altra lezione, la 25, spiega
>> come si può traslare il tutto passando da f(0) a f(t):
>> f(t) = int:-inf,+inf f(tau)*D(t-tau) dt
>>
>>
>> Non so se questa è la dimostrazione rigorosa cui qualcuno
>> di voi faceva riferimento...
>
> No, ci vuole metodi matematici:-)
> Ma come già detto, già così qualcosa si capisce.

Ma quello spiegato lì è tratto dalla lezione dell'omonimo
corso... Cosa mancherebbe allora?

[Elio Fabri]

Dopo il mio post ne sono apparsi (salvo errori) altri 19.
Alla mia fatica solo un accenno fuggevole.
Che in pratica nessuno mi abbia letto, lo dimostra anche il fatto che
nessuno ha segnalato un errore che si ripete più volte.
Non vi dico qual è: non vale la pena.
In fondo l'avevo previsto :-(


--
Elio Fabri

[johnmath]

La spiegazione del video proposto dall'altro utente mi è
sembrata abbastanza abbordabile, nonstante la mia ruggine.

Il tuo svolgimento invece devo rivedermelo meglio e meditarci
sopra un arrimo in più. Ma non pensare che non ci abbia dato
un'cchiata, ancorchè non sufficiente per capirlo appieno.

Ciao

[JTS]

La tua risposta la avevo letta in maniera frettolosa e credevo di avere
colto il senso (esposizione standard ma accurata, o accurata ma standard).

Adesso la ho riletta con piu' attenzione e l'errore non lo vedo (anche
perche' dici che "si ripete piu' volte").

Piuttosto

> Supponiamo di discretizzare il sistema. Questo significa che
> campioniamo i segnali a certi tempi t_k, intervallati da un certo h.
> Allora l'ingresso sarà dato da un insieme di numeri:
> a_k = E(t_k)
> e l'uscita da un'altra successione
> b_k = U(t_k).
> Per ipotesi, i b_k dipendono linearmente dagli a_k,

Il significato di discretizzazione non lo avrei spiegato cosi'. Infatti
se campioniamo un sistema continuo i b_k non dipendono linearmente dagli
a_k; ci vuole sicuramente qualche altra ipotesi sul campionamento o
sulla funzione di trasferimento (ipotesi che si esprime in maniera
semplice nel dominio della frequenza). Senza altre ipotesi si possono
dare controesempi; per esempio se tutti gli a_k sono zero non e' detto
che anche i b_k siano zero, se la funzione di ingresso e' diversa da
zero quando non la campioni.

[paolap...@gmail.com]

Tutti sbagliano, basta riconoscerlo

[JTS]

Am 11.11.2017 um 14:39 schrieb Elio Fabri:

>
> Abbiamo un teorema (che enuncio tralasciando le precise ipotesi
> matematiche):
>
> *******************************
> Per qualunque sistema lineare la relazione ingresso-uscita si può
> porre nella forma
>
> U(t) = int K(t,t')*E(t') dt'
>
> dove l'integrale va da -inf a + inf.
> *******************************
>

Visto che ci siamo e l'argomento mi piace, sfida all'ng (magari persone
con cattedra e/o esperienza lasciare tempo ad altri postatori di
pensarci su): esprimere la derivata nella forma integrale data sopra.

[Wakinian Tanka]

È anche un pochetto la voglia di protagonismo che abbiamo (parlo per me) di voler rispondere qualcosa di... proprio :-)

Avevo certamente letto il tuo post ma alcuni passaggi mi ero riproposto di leggerli con più calma, ad es quando scrivi la matrice K(t_k, t_m).

--
Wakinian Tanka

[Wakinian Tanka]

Il giorno domenica 12 novembre 2017 14:56:20 UTC+1, johnmath ha scritto:

> Wakinian Tanka wrote:
> >
> > Caso mai, come ha scritto Giorgio P., attenzione a quando si porta
> > fuori da un integrale il segno di limite: questo è lecito solo ad
> > opportune condizioni (cioè se certe proprietà sono valide --> vedi
> > teoremi specifici di analisi e di analisi funzionale, è anche per
> > questi motivi e per quello che ho scritto prima che esistono i corsi
> > di "metodi matematici" :-))
>
> Scusa eh, già che siamo di strada, è una cosa lunga o si potrebbe
> anche solo accennare quali sono queste condizioni?
>

Va bene ma ti spiacerebbe precisare quali studi hai fatto?
Intanto potresti cominciare da qui

https://www.matematicamente.it/forum/teorema-del-passaggio-al-limite-sotto-il-segno-di-integrale-t20826.html

> >> =+inf in 0
> >> 0 altrove
> >
> > Questo scritto qui sopra ha solo un significato intuitivo, ovviamente...
> > Non esiste alcuna funzione con tali proprietà.
>
> Se ti va di argomentarlo un attimo leggo volentieri.
>

Non c'è nulla da argomentare: +inf non è un numero, né reale né complesso né altro, quindi non esiste alcuna funzione, né reale né complessa né altro con quella proprietà.

...
> > No, ci vuole metodi matematici:-)
> > Ma come già detto, già così qualcosa si capisce.
>
> Ma quello spiegato lì è tratto dalla lezione dell'omonimo
> corso... Cosa mancherebbe allora?

Una spiegazione rigorosa si fa usando la teoria delle distribuzioni. In rete ci sono dei file pdf di Metodi Matematici (per la fisica o per l'ingegneria); cercane uno che faccia tale teoria, ce ne dovrebbero essere.

--
Wakinian Tanka

[Elio Fabri]

JTS ha scritto:

> Adesso la ho riletta con piu' attenzione e l'errore non lo vedo
> (anche perche' dici che "si ripete piu' volte").

Guarda bene questa formula:
> D(t) = lim eps-->0 (1/eps)*rect(-eps,eps,t).
Vedi niente? :-)

> Il significato di discretizzazione non lo avrei spiegato cosi'.
> Infatti se campioniamo un sistema continuo i b_k non dipendono
> linearmente dagli a_k; ci vuole sicuramente qualche altra ipotesi sul
> campionamento o sulla funzione di trasferimento (ipotesi che si
> esprime in maniera semplice nel dominio della frequenza). Senza altre
> ipotesi si possono dare controesempi; per esempio se tutti gli a_k
> sono zero non e' detto che anche i b_k siano zero, se la funzione di
> ingresso e' diversa da zero quando non la campioni.

Certo. Avrei forse fatto meglio a mettere un avviso...
Ma non più di questo.
Però ricorda che avevo premesso
> Provo a dare una dimostrazione del teorema, che non merita a rigore
> il nome di dim., ma puà dare l'idea di che cosa ci sta sotto.
Visto il destinatario, non mi è sembrato il caso di andare più a fondo.
Avrei dovuto parlare del teorema di Shannon?

Nello stesso spirito, mi sono guardato bene dall'usare la parola
"funzionale", e ho scelto la strada del "limite", senza neppure
precisare in che senso si può parlare di limite.
Poi ho visto che siete partiti per la tangente, e ora vorreste fargli
studiare le distribuzioni...
Ho idea che non vi rendiate conto (un po' tutti) di quanto l'OP sia
lontano dal poter affrontare simili argomenti.
Senza offesa, s'intende.
E tanto che ci sono, chiarisco meglio.

Non mi sono certo messo "in cattedra", e se ho speso un bel po' di
tempo a pensare che cosa scrivere, vuol dire che avevo la sincera
intenzione di dargli un mano.
Ma purtroppo questo in un NG è impossibile.
Si scatena subito la gara a chi la racconta meglio, e io mi chiamo
fuori.
Divertitevi pure.

E tanto per essere chiaro fino in fondo, non è tanto con te che ce
l'ho.
La partecipazione alla gara è inversamente proporzionale al grado di
preparazione seria sull'argomento.


--
Elio Fabri

[Elio Fabri]

JTS ha scritto:

> Visto che ci siamo e l'argomento mi piace, sfida all'ng (magari
> persone con cattedra e/o esperienza lasciare tempo ad altri postatori
> di pensarci su): esprimere la derivata nella forma integrale data
> sopra.

Non ci crederai ma ci avevo pensato: adesso qualcuno mi obietterà che
un operatore come la semplice derivata non si scrive in quella forma,
come nucleo integrale....
Ma ho deciso di stare a vedere :-)
Quindi ora aspetto in silenzio.


--
Elio Fabri

[JTS]

Am 12.11.2017 um 20:58 schrieb Elio Fabri:
> JTS ha scritto:
>> Adesso la ho riletta con piu' attenzione e l'errore non lo vedo
>> (anche perche' dici che "si ripete piu' volte").
> Guarda bene questa formula:
>> D(t) = lim eps-->0 (1/eps)*rect(-eps,eps,t).
> Vedi niente? :-)
>

Nello spirito di quello che hai scritto, il limite e' uguale a 2*D(t).

Lasciami pensare alle tue considerazioni su cio' che e' possibile o non
possibile su un NG. Io in questo momento sono relativamente ottimista.
C'e' anche una cosa, ovvia ma la dico: i lettori sono piu' dei
postatori, quindi l'effetto del tuo post e' maggiore dell'aiuto che da'
a johnmath.

[johnmath]

Wakinian Tanka <wakinia...@gmail.com> wrote:
> Il giorno domenica 12 novembre 2017 14:56:20 UTC+1, johnmath ha scritto:
>> Wakinian Tanka wrote:
>> >
>> > Caso mai, come ha scritto Giorgio P., attenzione a quando si porta
>> > fuori da un integrale il segno di limite: questo è lecito solo ad
>> > opportune condizioni (cioè se certe proprietà sono valide --> vedi
>> > teoremi specifici di analisi e di analisi funzionale, è anche per
>> > questi motivi e per quello che ho scritto prima che esistono i corsi
>> > di "metodi matematici" :-))
>>
>> Scusa eh, già che siamo di strada, è una cosa lunga o si potrebbe
>> anche solo accennare quali sono queste condizioni?
>>
> Va bene ma ti spiacerebbe precisare quali studi hai fatto?

Mi pareva di averlo scritto in qualche post sopra, ing ambientale
è a mbito civile, indraulica, geotecnica ecc, quindi fai conto che
nella pratica queste trattazioni rigorose svaniscono sotto la ruggine
della memoria e in gran parte non sono trattate come dovrebbero perchè
in effetti nel seguito anche professionale non hanno una rilevanza tale
da giustificarne una trattazione "con tutti i crismi".
Anche per questo avevo spiegato che era per me solo una curiosità...

> Intanto potresti cominciare da qui
>
> https://www.matematicamente.it/forum/teorema-del-passaggio-al-limite-sotto-il-segno-di-integrale-t20826.html

Ecco la mia richiesta penso sia più che soddisfatta con un link del
genere che leggerò senz'altro.

>> >> =+inf in 0
>> >> 0 altrove
>> >
>> > Questo scritto qui sopra ha solo un significato intuitivo, ovviamente...
>> > Non esiste alcuna funzione con tali proprietà.
>>
>> Se ti va di argomentarlo un attimo leggo volentieri.
>>
> Non c'è nulla da argomentare: +inf non è un numero, né reale né complesso né altro, quindi non esiste alcuna funzione, né reale né complessa né altro con quella proprietà.

Sì penso di aver capito cosa intendi.
Ma allora come si dovrebbe esprimere il concetto di impulso?
Cioè che la D tende a +inf in zero è corretto no?
Forse intendevi che và espresso formalmente in modo più
rigoroso, come avevi in mente nello specifico?

>> Ma quello spiegato lì è tratto dalla lezione dell'omonimo
>> corso... Cosa mancherebbe allora?
>
> Una spiegazione rigorosa si fa usando la teoria delle distribuzioni.
> In rete ci sono dei file pdf di Metodi Matematici (per la fisica
> o per l'ingegneria); cercane uno che faccia tale teoria, ce ne
> dovrebbero essere.

Teoria delle distribuzioni.
Cerco...
(Potrebbe tornare utile anche in vista di qualche
approfondimento su probabilità e statistica...).



Grazie sia del link, che degli spunti di ricerca che
della risposta inclusi gli appunti e le osservazioni.

Capisco che la risposta alla mia domanda iniziale non
fosse semplice anche e soprattutto per via delle mie
deboli basi di matematica avanzata.

D'altra parte come ho detto sopra, avendo seguito corsi
volti a finalità operativo/progettuali, la priorità non
era quella della trattazione rigorosa, quanto quella di
dare un substrato teorico alle applicazioni. Ne è un
esempio il caso del "serbatoio lineare" che ho mostrato
in un messaggio precedente.

Ciao

[Giorgio Pastore]

Il 12/11/17 19:50, Wakinian Tanka ha scritto:

> Il giorno domenica 12 novembre 2017 14:56:20 UTC+1, johnmath ha scritto:
>> Wakinian Tanka wrote:

....

>>>> =+inf in 0
>>>> 0 altrove
>>>
>>> Questo scritto qui sopra ha solo un significato intuitivo, ovviamente...
>>> Non esiste alcuna funzione con tali proprietà.
>>
>> Se ti va di argomentarlo un attimo leggo volentieri.
>>
> Non c'è nulla da argomentare: +inf non è un numero, né reale né complesso né altro, quindi non esiste alcuna funzione, né reale né complessa né altro con quella proprietà.

No, non e' quello il problema. Anche se non vuoi considerare +oo un
numero (ma R ampliato ?) puoi avere tranquillamente integrandi che
divergono in un punto senza problemi ne' per integrando ne' per
integrale. Esempio: integrale tra -1 e 1 di 1/sqrt(|x|). Si fa un po'
piu' di fatica ad integrarlo rispetto a x^2 (occorre una teoria dell
integrazione un po' piu' raffinata di quella di Cauchy) ma si puo' fare.
Quanto vale litegrando in zero ? +oo oppure diverge come preferisci. L'
integrale con una misura di Riemann-Lebesgue esiste ed e' finito.

Il problema insanabile della delta e' che una funzione uguale a zero
dappertutto tranne un punto ha integrale nullo per qualsiasi teoria
dell' integrazione che debba attribuire misura finita ad un intervallo
non degenere.

Se poi uno volesse chiudere gli occhi su questo, ci penserebbe il
prodotto di due delta a far tornare a galla che tanto uguale alle altre
funzioni questa delta non puo' essere.

Giorgio

[JTS]

Siccome nessuno scrive (potrebbe anche essere che la sfida non interessi
a nessuno ...) do due indizi, che corrispondono a due approcci diversi.

Primo indizio: per calcolare la derivata bisogna calcolare la funzione
in due punti. Questo come e' possibile farlo con un operatore integrale?

Secondo indizio: data la funzione derivata, sappiamo come calcolare il
valore in un punto con un operatore integrale (ne abbiamo parlato per
tutto il thread). Dato questo integrale, e' possibile trasformarlo per
fare comparire la funzione stessa al posto della sua derivata?

[Wakinian Tanka]

Il giorno lunedì 13 novembre 2017 01:40:13 UTC+1, Giorgio Pastore ha scritto:
> Il 12/11/17 19:50, Wakinian Tanka ha scritto:
> > Il giorno domenica 12 novembre 2017 14:56:20 UTC+1, johnmath ha scritto:
> >> Wakinian Tanka wrote:
> ....
> >>>> =+inf in 0
> >>>> 0 altrove
> >>>
> >>> Questo scritto qui sopra ha solo un significato intuitivo, ovviamente...
> >>> Non esiste alcuna funzione con tali proprietà.
> >>
> >> Se ti va di argomentarlo un attimo leggo volentieri.
> >>
> > Non c'è nulla da argomentare: +inf non è un numero, né reale né complesso
> > né altro, quindi non esiste alcuna funzione, né reale né complessa né
> > altro con quella proprietà.
>
> No, non e' quello il problema.

Ah no eh? Ma certo, ma che problema vuoi che sia...

> Anche se non vuoi considerare +oo un
> numero (ma R ampliato ?) puoi avere tranquillamente integrandi che
> divergono in un punto senza problemi ne' per integrando ne' per
> integrale. Esempio: integrale tra -1 e 1 di 1/sqrt(|x|).

1) Un conto è una funzione che *tende* ad infinito per x-->a e un conto è una funzione "che vale" +oo per x = a. Sei in grado di calcolare 1/sqrt(0)? Penso di no.
2) Quell'integrale che hai scritto lo puoi fare solo definendolo in un modo speciale (e comunque di sicuro non come integrale di Riemann).

--
Wakinian Tanka

[Giorgio Pastore]

Il 14/11/17 09:59, Wakinian Tanka ha scritto:
....

> 2) Quell'integrale che hai scritto lo puoi fare solo definendolo in un modo speciale (e comunque di sicuro non come integrale di Riemann).

Avevo parlato di misura di Riemann-Lebesgue. Basta e avanza. Se, con la
stessa misura cerchi di integrare una funzione zero dappertutto tranne
che in un punto hai senza rimedio zero come integrale.

[Wakinian Tanka]

Sotto quali condizioni l'integrale di Lebesgue permette di escludere (nel senso che ivi l'integrale è nullo) quel sottoinsieme del dominio che ha misura (di Lebesgue) nulla? È incluso il caso in cui "f(a) = +oo"?

--
Wakinian Tanka

[JTS]

Sono passati tre giorni e nessuno ha risposto. Deduco che nessuno degli
interessati lo sa fare (potrebbero esserci anche zero interessati,
questo magari e' probabile perche' trovare la soluzione con Google e'
rapido), e do la soluzione.

Vogliamo la derivata di f(t) in un punto (t0).

Seguendo il primo indizio, piazziamo un rettangolino di altezza
1/epsilon in t0 + epsilon e uno di altezza -1/epsilon in t0. Integriamo,
ottenendo un'approssimazione alla differenza f(t0+epsilon) - f(t0), e
dividiamo per epsilon per formare il rapporto incrementale. Per ottenere
la derivata dobbiamo fare tendere epsilon a zero.

Quindi

f'(t0) = \lim_{\epsilon->0}\int{a(t/epsilon)*f(t0-t}dt}/epsilon^2

dove

a(x) =
1 per 0 <= t < 1
-1 per 1 <= t < 2
0 per 2 <= t

L'integrale puo' essere preso tra 0 e +infinito.

Una delle due divisioni per epsilon serve per far tendere l'altezza dei
rettangolini ad infinito e l'altra per fare il rapporto incrementale.

Per comporre la a(t) si possono, naturalmente, anche scegliere altre
funzioni, come quando si definisce la delta di Dirac, l'importante e'
mantenere l'area uguale ad uno e fare tendere il valore centrale ad
infinito. Questa definizione della a(t) e' data da N. Wiener ne "La
cibernetica".


Seguendo il secondo indizio, consideriamo l'integrale (esteso a tutta la
retta)

\int{f'(t)*delta(t-t0)dt}

Integriamolo per parti:

\int{f'(t)*delta(t-t0)dt} =

[f(t)*delta(t-t0)]_-\inf^\înf -\int{f(t)*delta'(t-t0)dt} =

\int{f(t)*delta'(t-t0)dt}

visto che il la primitiva f(t)*delta(t-t0) valutata in - e in + ininito
e' uguale a zero.

E per capire quale e' la definizione della derivata della delta, fatta
con i limiti degli integrali dei rettangoli, si puo' vedere il primo metodo!

[Wakinian Tanka]

Il giorno mercoledì 15 novembre 2017 20:44:26 UTC+1, JTS ha scritto:
> stessa al posto della sua derivata?
>
> Sono passati tre giorni e nessuno ha risposto. Deduco che nessuno degli
> interessati lo sa fare (potrebbero esserci anche zero interessati,
> questo magari e' probabile perche' trovare la soluzione con Google e'
> rapido), e do la soluzione.
>
> Vogliamo la derivata di f(t) in un punto (t0).

> ...

> Seguendo il secondo indizio, consideriamo l'integrale (esteso a tutta la
> retta)
> \int{f'(t)*delta(t-t0)dt}
> Integriamolo per parti:
> \int{f'(t)*delta(t-t0)dt} =
> [f(t)*delta(t-t0)]_-\inf^\înf -\int{f(t)*delta'(t-t0)dt} =
> \int{f(t)*delta'(t-t0)dt}

Hai dimenticato il segno meno nell'ultima scrittura.

> visto che il la primitiva f(t)*delta(t-t0) valutata in - e in + ininito
> e' uguale a zero.
> E per capire quale e' la definizione della derivata della delta, fatta
> con i limiti degli integrali dei rettangoli, si puo' vedere il primo metodo!

Scusa, ma il problema era quello di esprimere f'(a) utilizzando una distribuzione? Se sapevo che era questo te lo dicevo subito: se <delta,f> = f(0) allora <delta',f> = - f'(0). Fa parte del bagaglio culturale di chi ha studiato la Dirac Delta almeno a Fisica :-)

--
Wakinian Tanka

[JTS]

Am 15.11.2017 um 21:22 schrieb Wakinian Tanka:

>
> Scusa, ma il problema era quello di esprimere f'(a) utilizzando una distribuzione? Se sapevo che era questo te lo dicevo subito: se <delta,f> = f(0) allora <delta',f> = - f'(0). Fa parte del bagaglio culturale di chi ha studiato la Dirac Delta almeno a Fisica :-)
>
> --
> Wakinian Tanka
>

Se sai come esprimerla usando una distribuzione, allora sai come
esprimerla anche come *limite* di integrali. Infatti: come hai fatto a
non sapere che doveva essere questo?

[Wakinian Tanka]

Il giorno mercoledì 15 novembre 2017 21:26:55 UTC+1, JTS ha scritto:
> Am 15.11.2017 um 21:22 schrieb Wakinian Tanka:
>
>
> > Scusa, ma il problema era quello di esprimere f'(a) utilizzando una
> > distribuzione? Se sapevo che era questo te lo dicevo subito: se <delta,f>
> > = f(0) allora <delta',f> = - f'(0). Fa parte del bagaglio culturale di chi
> > ha studiato la Dirac Delta almeno a Fisica :-)
>

> Se sai come esprimerla usando una distribuzione, allora sai come
> esprimerla anche come *limite* di integrali. Infatti: come hai fatto a
> non sapere che doveva essere questo?

Non mi era chiara la domanda.
By the way, lo sapevi che, analogamente, si prova (formalmente) che:

x delta'(x) = - delta(x)?

--
Wakinian Tanka

[JTS]

Am 15.11.2017 um 21:39 schrieb Wakinian Tanka:
> Il giorno mercoledì 15 novembre 2017 21:26:55 UTC+1, JTS ha scritto:
>> Am 15.11.2017 um 21:22 schrieb Wakinian Tanka:
>>
>>
>>> Scusa, ma il problema era quello di esprimere f'(a) utilizzando una
>>> distribuzione? Se sapevo che era questo te lo dicevo subito: se <delta,f>
>>> = f(0) allora <delta',f> = - f'(0). Fa parte del bagaglio culturale di chi
>>> ha studiato la Dirac Delta almeno a Fisica :-)
>>
>> Se sai come esprimerla usando una distribuzione, allora sai come
>> esprimerla anche come *limite* di integrali. Infatti: come hai fatto a
>> non sapere che doveva essere questo?
>
> Non mi era chiara la domanda.

Perche' non ti era chiara? Come l'avresti scritta, eventualmente, per
renderla piu' chiara?

> By the way, lo sapevi che, analogamente, si prova (formalmente) che:
>
> x delta'(x) = - delta(x)?
>
> --
> Wakinian Tanka
>

Il fattore x compensa il fattore 1/epsilon e il segno, e dimezza il
valore dell'integrale, quindi intuitivamente i conti tornano.

[Wakinian Tanka]

Il giorno mercoledì 15 novembre 2017 21:57:07 UTC+1, JTS ha scritto:

> Am 15.11.2017 um 21:39 schrieb Wakinian Tanka:
>
> > Non mi era chiara la domanda.
>
> Perche' non ti era chiara? Come l'avresti scritta, eventualmente, per
> renderla piu' chiara?
>

Elio Fabri aveva scritto:

<<Per qualunque sistema lineare la relazione ingresso-uscita si può porre nella forma U(t) = int K(t,t')*E(t') dt'
dove l'integrale va da -inf a + inf. >>

Tu avevi suggerito:

> Visto che ci siamo e l'argomento mi piace, sfida all'ng (magari persone
> con cattedra e/o esperienza lasciare tempo ad altri postatori di
> pensarci su): esprimere la derivata nella forma integrale data sopra.

Ma la derivata di che cosa rispetto a cosa? :-) Poi quella forma integrale non mi è immediatamente apparsa come equivalente alla definizione di distribuzione (sono arrugginito, che ci volete fare) e quindi ho perso subito interesse e non ci ho nemmeno ripensato su. In ogni caso grazie di avermi fatto fare un ripasso :-)
Ciao.

--
Wakinian Tanka

[JTS]

Am 15.11.2017 um 22:13 schrieb Wakinian Tanka:
> Il giorno mercoledì 15 novembre 2017 21:57:07 UTC+1, JTS ha scritto:
>> Am 15.11.2017 um 21:39 schrieb Wakinian Tanka:
>>
>>> Non mi era chiara la domanda.
>>
>> Perche' non ti era chiara? Come l'avresti scritta, eventualmente, per
>> renderla piu' chiara?
>>
> Elio Fabri aveva scritto:
>
> <<Per qualunque sistema lineare la relazione ingresso-uscita si può porre nella forma U(t) = int K(t,t')*E(t') dt'
> dove l'integrale va da -inf a + inf. >>
>
> Tu avevi suggerito:
>
>> Visto che ci siamo e l'argomento mi piace, sfida all'ng (magari persone
>> con cattedra e/o esperienza lasciare tempo ad altri postatori di
>> pensarci su): esprimere la derivata nella forma integrale data sopra.

Uno dei punti dell'esercizio era IMHO capire che la forma doveva essere
estesa:

Per qualunque sistema lineare la relazione ingresso-uscita si può porre
nella forma U(t) = int K(t,t')*E(t') dt' dove l'integrale va da -inf a +

inf, oppure come un limite di tali operazioni.


Se K(t,t') e' non nullo in un intervallo finito allora non puo' funzionare:

int K(t,t')*E(t') dt'

dipende anche dai valori di E(t) in un insieme con un buco finito
nell'intorno dello zero, e la derivata non puo' dipendere da questi valori.

Quindi cosi', "nudo e crudo", non puo' funzionare. Il passo successivo
e' capire cosa cambiare e/o aggiungere.

> Ma la derivata di che cosa rispetto a cosa? :-)

Beh ... l'operatore derivata, ok? Che poi e' la derivata :-), o la
derivata di f(t) rispetto a t calcolata in t = 0, cosi' va meglio?

> Poi quella forma integrale non mi è immediatamente apparsa come equivalente alla definizione di distribuzione (sono arrugginito, che ci volete fare) e quindi ho perso subito interesse e non ci ho nemmeno ripensato su. In ogni caso grazie di avermi fatto fare un ripasso :-)

Ok. Di nuovo IMHO, tenere in mente la definizione di delta di Dirac come
limite di integrali e' utile; ti fa capire, per esempio, come scrivere
la risposta ad una funzione qualunque usando la risposta all'impulso. Se
non hai queste idee in mente fai piu' fatica ad orientarti nel
formalismo, che IMHO se utile deve riprodurre le idee intuitive.

Poi la formalizzazione potrebbe introdurre ulteriori proprieta' non
intuitive. Siccome ce l'ho in mente da un po' ecco un altro esempio sul
tema intuizione/formalizzazione: la definizione di funzione continua con
epsilon e delta.

Le funzioni che posso disegnare senza staccare la penna dal foglio
devono essere continue secondo la definizione epsilon-delta. Succede
pero' che altre funzioni, che non posso disegnare senza staccare la
penna dal foglio, hanno tantissimi punti in cui sono continue; esempio:

f(x) =
1/q se x = p/q (rapporto di interi ridotto ai minimi termini)
0 altrimenti

In sintesi (sempre IMHO) la formalizzazione costruisce piu' di quanto le
chiediamo, ma deve riprodurre le proprieta' intuitive che desideriamo
modellare per i casi "intuitivi."

[Giorgio Pastore]

Il 15/11/17 22:41, JTS ha scritto:
....

> Poi la formalizzazione potrebbe introdurre ulteriori proprieta' non
> intuitive. Siccome ce l'ho in mente da un po' ecco un altro esempio sul
> tema intuizione/formalizzazione: la definizione di funzione continua con
> epsilon e delta.
>
> Le funzioni che posso disegnare senza staccare la penna dal foglio
> devono essere continue secondo la definizione epsilon-delta. Succede
> pero' che altre funzioni, che non posso disegnare senza staccare la
> penna dal foglio, hanno tantissimi punti in cui sono continue; esempio:
>
> f(x) =
> 1/q se x = p/q (rapporto di interi ridotto ai minimi termini)
> 0 altrimenti
>
> In sintesi (sempre IMHO) la formalizzazione costruisce piu' di quanto le
> chiediamo, ma deve riprodurre le proprieta' intuitive che desideriamo
> modellare per i casi "intuitivi."
>

Credo che la situazione sia un po' piu' complessa.

La continuità e' un ottimo esempio. La storia del non alzare la penna e'
un equivoco di abbastanza (?) noto. Corrisponde alla connessione per
archi del grafico (non alla continuità) che e' garantita per una
funzione continua solo se il dominio e' connesso per archi. La funzione
1/x e' continua in tutto il suo dominio ( R-{0} ) ma non e' continua per
archi e di fatto occore alzare la penna attorno a 0 per tracciarne il
grafico approssimato.

Qui uno si potrebbe porre il problema dl rapporto tra posizioni
intuitive e definizioni. Secondo me, in matematica il lavoro di
raffinamento concettuale necessario per passare da concetti intuitivi a
formalizzazioni robuste, a volte richiede proprio di rinunciare a
proprietà "intuitive" che risultino troppo restrittive.

Ddtto in altri termini l' "intuito" non e' dato una volta per tutte ma
va educato e nel processo evolve.

Giorgio

PS

[JTS]

Sul resto del post devo riflettere, ma qui intervengo subito. Ho scritto
che le funzioni che posso tracciare senza alzare la penna devono essere
continue, non che devo poter tracciare senza alzare la penna le funzioni
continue.

[Giorgio Pastore]

Il 14/11/17 16:16, Wakinian Tanka ha scritto:
....

> Sotto quali condizioni l'integrale di Lebesgue permette di escludere (nel senso che ivi l'integrale è nullo) quel sottoinsieme del dominio che ha misura (di Lebesgue) nulla?

Non e' che escludi un sottoinsieme. Semplicemente , dalla definizione
risulta che l' integrale di una funzione misurabile non cambia se la
funzione viene alterata su un insiee di punti del dominio che sia di
misura nulla. E questo dalla def di interal edi Lebesgue.

È incluso il caso in cui "f(a) = +oo"?

Incluso.

Giorgio

[Wakinian Tanka]

Il giorno giovedì 16 novembre 2017 00:48:17 UTC+1, Giorgio Pastore ha scritto:
> Il 14/11/17 16:16, Wakinian Tanka ha scritto:
> ....
> > Sotto quali condizioni l'integrale di Lebesgue permette di escludere (nel
> > senso che ivi l'integrale è nullo) quel sottoinsieme del dominio che ha
> > misura (di Lebesgue) nulla?
>
> Non e' che escludi un sottoinsieme.

Lo so infatti l'ho precisato tra parentesi.

> Semplicemente , dalla definizione
> risulta che l' integrale di una funzione misurabile non cambia se la
> funzione viene alterata su un insiee di punti del dominio che sia di
> misura nulla. E questo dalla def di interal edi Lebesgue.

So anche questo, io ho capito quello che vuoi dire, quello che contesto è la scrittura "f(a) = +oo", qualunque ne sia il contesto (scusa la ripetizione), scrittura che non ho mai visto prima.

>
> È incluso il caso in cui "f(a) = +oo"?
> Incluso.
>

Ne prendo atto e comunque ti ringrazio della discussione.

--
Wakinian Tanka

[JTS]

Am 16.11.2017 um 00:21 schrieb JTS:

>
>
> Sul resto del post devo riflettere, ma qui intervengo subito. Ho scritto
> che le funzioni che posso tracciare senza alzare la penna devono essere
> continue, non che devo poter tracciare senza alzare la penna le funzioni
> continue.
>
>
>

Riprendo il tuo post, quotando liberamente

> Il 15/11/17 22:41, JTS ha scritto:
> ....

>>

>> In sintesi (sempre IMHO) la formalizzazione costruisce piu' di quanto le chiediamo, ma deve riprodurre le proprieta' intuitive che desideriamo modellare per i casi "intuitivi."
>>
>
> Credo che la situazione sia un po' piu' complessa.
>
> La continuità e' un ottimo esempio. La storia del non alzare la penna e' un equivoco di abbastanza (?) noto. Corrisponde alla connessione per archi del grafico (non alla continuità) che e' garantita per una funzione continua solo se il dominio e' connesso per archi. La funzione 1/x e' continua in tutto il suo dominio ( R-{0} ) ma non e' continua per archi e di fatto occore alzare la penna attorno a 0 per tracciarne il grafico approssimato.
>

> Qui uno si potrebbe porre il problema dl rapporto tra posizioni intuitive e definizioni. Secondo me, in matematica il lavoro di raffinamento concettuale necessario per passare da concetti intuitivi a formalizzazioni robuste, a volte richiede proprio di rinunciare a proprietà "intuitive" che risultino troppo restrittive.
>
> Ddtto in altri termini l' "intuito" non e' dato una volta per tutte ma va educato e nel processo evolve.
>
> Giorgio
>
> PS

(Naturalmente) accetto la correzione sulla differenza tra connessione
per archi del grafico e continuita'. Fra l'altro e' un esempio di come
la formalizzazione aiuti a distinguere fra proprieta' che a prima vista
vengono considerate equivalenti. Sul concetto iniziale pero' insisto, lo
vorrei discutere (e magari capire meglio i suoi limiti).

La implicazione (funzione che posso tracciare senza alzare la penna) ->
(funzione continua) la ho messa apposta in questo senso perche' in
questo momento ho in mente questo come "obbligo" per la formalizzazione:
riprodurre le proprieta' intuitive almeno per una certa classe di
oggetti matematici astratti.

Il vantaggio e' che certe implicazioni intuitive delle proprieta'
intuitive devono essere vere - per essere piu' preciso, deve essere
possibile trovare una formalizzazione coerente in cui siano vere. Quindi
posso ragionare tranquillamente sulla delta di Dirac come rettangolo
stretto e alto se ho in mente il fatto che voglio rappresentare: impulsi
molto piu' rapidi della risposta del sistema. Ottengo il fatto che la
risposta del sistema dipende solo dall'integrale dell'impulso. E mi
aspetto che questa proprieta' sia vera anche dopo che ho formalizzato il
concetto di delta di Dirac.

Mi interessa vedere un esempio in cui si (come hai detto) si rinunci a
proprieta' intuitive per ottenere una formalizzazione robusta. Ho il
sospetto che si ottenga (almeno in molti casi - non mi aspetto in tutti
e anzi sarei curioso di vedere un caso in cui la proprieta' intuitiva si
perda del tutto) una formalizzazione che si applica a classi di oggetti
astratti piu' grandi di quelle che si erano considerate all'inizio - e
che per la classe piu' piccola la proprieta' intuitiva valga ancora.

[Giorgio Pastore]

Il 18/11/17 00:09, JTS ha scritto:
....

> La implicazione (funzione che posso tracciare senza alzare la penna) ->
> (funzione continua) la ho messa apposta in questo senso perche' in
> questo momento ho in mente questo come "obbligo" per la formalizzazione:
> riprodurre le proprieta' intuitive almeno per una certa classe di
> oggetti matematici astratti.

Io avevo evidenziato la differenza tra contiuita' e continuita' per
archi non per fare le pulci a quanto avevi scritto ma proprio per
evidenziale come l' intuitività di certe proprieta' e' spesso in
contraddizione con le necessita' di raffinamento e precisazione dei
concetti. Non ho prove dirette, ma ritengo ragionevole che il senso
intuitivo originale di funziona continua fodd limitatao a funzioni il
cui doinio e' un intervallo e quindi un connesso e anche un connesso per
archi. Solo dopo una ragionevole dose di generelizzazione, ci si e' esi
conto che conveniva avere due concetti separati. Uno generale di
continuita', abbastanza generale da poter definire funzioni continue
anche quelle in cui dominio sia un insieme di punti isolati, e un' altra
la connessione per archi, separandone anche l'ambito "naturale" di
applicazione.

> Il vantaggio e' che certe implicazioni intuitive delle proprieta'
> intuitive devono essere vere - per essere piu' preciso, deve essere
> possibile trovare una formalizzazione coerente in cui siano vere. Quindi
> posso ragionare tranquillamente sulla delta di Dirac come rettangolo
> stretto e alto se ho in mente il fatto che voglio rappresentare: impulsi
> molto piu' rapidi della risposta del sistema.

E s questo non ci sono probelmi particolari. Stai rappresentando la
delta mediante gli elementi di una successione di funzioni che
definiscono una famiglia di funzionali che in un qualche senso converge
al funzionale delta. Nulla di piu' complesso che rappresentarsi un
numero reale mediante successione di Cauchy di razionali.
E, come per i reali, sappiamo benissimo che il generio reale non e'
esprimibile come numero razionale. Cosi' pur essendo tutti gli elementi
della successione dei funzionali scrivibili come integrale della
funzione argomento moltiplicata per una funzione di una determinata
successione di fuzioni, non necessariamente il funzionale limite e'
scrivibile come integrale di alcunche'.

> Ottengo il fatto che la
> risposta del sistema dipende solo dall'integrale dell'impulso. E mi
> aspetto che questa proprieta' sia vera anche dopo che ho formalizzato il
> concetto di delta di Dirac.

Vedi sopra per l'analogia con i reali. Non puoi die che siccome ogni
reale si ottiene com limite di una successione di frazioni, allora, dopo
aver formalizzato il concetto di numero reale ogni numero reale si puo'
scrivere come frazione, magari introducendo una pseudo-frazione o
frazione generalizzata. Ma e' quello che si fa par poter parlare di
"funzione delta di Dirac".

> Mi interessa vedere un esempio in cui si (come hai detto) si rinunci a
> proprieta' intuitive per ottenere una formalizzazione robusta. Ho il
> sospetto che si ottenga (almeno in molti casi - non mi aspetto in tutti
> e anzi sarei curioso di vedere un caso in cui la proprieta' intuitiva si
> perda del tutto) una formalizzazione che si applica a classi di oggetti
> astratti piu' grandi di quelle che si erano considerate all'inizio - e
> che per la classe piu' piccola la proprieta' intuitiva valga ancora.

Con la delta la proprieta' intuitiva si cerca di farla sopravviver all'
evidenza contraria: si continua a parlare di una funzione che finisce
sotto un segno di integrale, pur sapendo che questo e' incompatibile con
il tipo di integrale scelto e con le richieste ordinare sulle funzioni.

Giorgio

[Wakinian Tanka]

Il giorno sabato 18 novembre 2017 00:09:47 UTC+1, JTS ha scritto:
>...

> Sul concetto iniziale pero' insisto, lo
> vorrei discutere (e magari capire meglio i suoi limiti).
> La implicazione (funzione che posso tracciare senza alzare la penna) ->
> (funzione continua) la ho messa apposta in questo senso perche' in
> questo momento ho in mente questo come "obbligo" per la formalizzazione:
> riprodurre le proprieta' intuitive almeno per una certa classe di
> oggetti matematici astratti.

È continua la seguente funzione?

f(x) = 1
Dominio = [1;2] U [3;4]

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Wakinian Tanka

[JTS]

Si', una costante e' una funzione continua (in qualunque dominio sia
definita). Pero' sono curioso, vorrei sapere come usi l'esempio che hai
fatto.

[Wakinian Tanka]

Il giorno sabato 18 novembre 2017 15:15:48 UTC+1, JTS ha scritto:
> Am 18.11.2017 um 15:08 schrieb Wakinian Tanka:
>
> > È continua la seguente funzione?
> > f(x) = 1
> > Dominio = [1;2] U [3;4]
>

> Si', una costante e' una funzione continua (in qualunque dominio sia
> definita). Pero' sono curioso, vorrei sapere come usi l'esempio che hai
> fatto.

Volevo prima capire il tuo concetto di continuità.
Allora ti farei questo esempio:

f(x) = Re[w(x)]

dove w(x) è la seguente funzione R->C (complessa a variabile reale) definita ad es. nell'intervallo [0;3]:

w(x) = x, per 0<=x<1
w(x) = -ix-x+3+2i, per 1<=x<2
w(x) = x, per 2<=x<=3

Se ho fatto bene i conti, dovresti essere in grado di disegnare il grafico di f(x). La domanda è se questa f(x) è ancora continua.

--
Wakinian Tanka

[JTS]

Am 18.11.2017 um 16:40 schrieb Wakinian Tanka:

>
> Se ho fatto bene i conti, dovresti essere in grado di disegnare il grafico di f(x). La domanda è se questa f(x) è ancora continua.
>

Se ho capito bene il senso dell'esempio e' che posso parametrizzare una
curva connessa con una funzione discontinua (forse c'e' un errore di
calcolo nel tuo esempio).

IMHO, se questo esempio ti sembra significativo, non hai capito bene il
senso della mia affermazione. Forse potrebbe esserti utile pensare a
questo: come modificare la mia affermazione per escludere il concetto di
"parametrizzazione discontinua di una curva connessa".