Google Groups no longer supports new Usenet posts or subscriptions. Historical content remains viewable.
Dismiss
moto centrale- teorema di Liouville Arnol'd
14 views
Skip to first unread message
Achille
Jun 10, 2012, 11:04:10 AM6/10/12
to
Salve a tutti, ho un dubbio sul seguente quesito.
Nel problema del moto centrale si vuole verificare se gli integrali
primi energia E e momento angolare L, che sappiamo essere
indipendenti, soddisfano alle condizioni imposte dal teorema di
Liouville Arnol'd, quindi l'involuzione mutua rispetto alle parentesi
di Poisson {E,L}=0... di immediata dimostrazione passando in coor.
polari (R, theta) e associando i momenti coniugati (r, a):
Scrivendo (per unità di massa):
E=r^2/2+a^2/2R^2+V(R)
L=a
con V(R) potenziale centrale. Sviluppando la parentesi di Poisson, i
due termini in cui \frac{\partial L}{\partial a} si semplifica si
elidono perchè opposti in segno, gli altri due... credo che si riesca
a dimostrare che siano entrambi nulli imponendo le equazioni di
Hamilton, ottenendo \frac{\partial M}{\partial t}=0 (t è ovviamente il
tempo) potendo scrivere r=dR/dt=-\frac{\partial E}{\partial R}, sempre
per unità di massa; ma c'è forse un modo più... immediato per
verificare {E,M}=0?
Nel problema del moto centrale si vuole verificare se gli integrali
primi energia E e momento angolare L, che sappiamo essere
indipendenti, soddisfano alle condizioni imposte dal teorema di
Liouville Arnol'd, quindi l'involuzione mutua rispetto alle parentesi
di Poisson {E,L}=0... di immediata dimostrazione passando in coor.
polari (R, theta) e associando i momenti coniugati (r, a):
Scrivendo (per unità di massa):
E=r^2/2+a^2/2R^2+V(R)
L=a
con V(R) potenziale centrale. Sviluppando la parentesi di Poisson, i
due termini in cui \frac{\partial L}{\partial a} si semplifica si
elidono perchè opposti in segno, gli altri due... credo che si riesca
a dimostrare che siano entrambi nulli imponendo le equazioni di
Hamilton, ottenendo \frac{\partial M}{\partial t}=0 (t è ovviamente il
tempo) potendo scrivere r=dR/dt=-\frac{\partial E}{\partial R}, sempre
per unità di massa; ma c'è forse un modo più... immediato per
verificare {E,M}=0?
Elio Fabri
Jun 12, 2012, 2:56:53 PM6/12/12
to
Achille ha scritto:
Primo: quella che chiami energia non è che l'hamiltoniana, giusto?
Che sia un integrale primo è quindi ovvia, trattandosi di un sistema
autonomo.
Quanto a L, come lo dimostri che è integrale primo, se non dimostrando
{H,L} = 0 ?
--
Elio Fabri
> Nel problema del moto centrale si vuole verificare se gli integrali
> primi energia E e momento angolare L, che sappiamo essere
> indipendenti, soddisfano alle condizioni imposte dal teorema di
> Liouville Arnol'd, quindi l'involuzione mutua rispetto alle parentesi
> di Poisson {E,L}=3D0... di immediata dimostrazione passando in coor.
> primi energia E e momento angolare L, che sappiamo essere
> indipendenti, soddisfano alle condizioni imposte dal teorema di
> Liouville Arnol'd, quindi l'involuzione mutua rispetto alle parentesi
> polari (R, theta) e associando i momenti coniugati (r, a):
Temo di non aver afferrato il problema, che a me sembra proprio banale.
Primo: quella che chiami energia non è che l'hamiltoniana, giusto?
Che sia un integrale primo è quindi ovvia, trattandosi di un sistema
autonomo.
Quanto a L, come lo dimostri che è integrale primo, se non dimostrando
{H,L} = 0 ?
--
Elio Fabri
Achille
Jun 13, 2012, 4:10:35 AM6/13/12
to
perfettamente d'accordo, ma... supponiamo di voler fare il conticino
{H,L}=0 a mano (richiesta esplicita del docente)...
On 12 Giu, 20:56, Elio Fabri <elio.fa...@tiscali.it> wrote:
> Achille ha scritto:> Nel problema del moto centrale si vuole verificare se gli integrali
> > primi energia E e momento angolare L, che sappiamo essere
> > indipendenti, soddisfano alle condizioni imposte dal teorema di
> > Liouville Arnol'd, quindi l'involuzione mutua rispetto alle parentesi
> > di Poisson {E,L}=0... di immediata dimostrazione passando in coor.
{H,L}=0 a mano (richiesta esplicita del docente)...
On 12 Giu, 20:56, Elio Fabri <elio.fa...@tiscali.it> wrote:
> Achille ha scritto:> Nel problema del moto centrale si vuole verificare se gli integrali
> > primi energia E e momento angolare L, che sappiamo essere
> > indipendenti, soddisfano alle condizioni imposte dal teorema di
> > Liouville Arnol'd, quindi l'involuzione mutua rispetto alle parentesi
Maurizio Frigeni
Jun 13, 2012, 6:13:40 AM6/13/12
to
Achille <achill...@gmail.com> wrote:
> {E,L}=0... di immediata dimostrazione passando in coor.
> polari (R, theta) e associando i momenti coniugati (r, a):
> Scrivendo (per unit� di massa):
> {E,L}=0... di immediata dimostrazione passando in coor.
> polari (R, theta) e associando i momenti coniugati (r, a):
>
> E=r^2/2+a^2/2R^2+V(R)
>
> L=a
>
> con V(R) potenziale centrale. Sviluppando la parentesi di Poisson, i
> due termini in cui \frac{\partial L}{\partial a} si semplifica si
> elidono perch� opposti in segno, gli altri due... credo che si riesca
> E=r^2/2+a^2/2R^2+V(R)
>
> L=a
>
> con V(R) potenziale centrale. Sviluppando la parentesi di Poisson, i
> due termini in cui \frac{\partial L}{\partial a} si semplifica si
> a dimostrare che siano entrambi nulli imponendo le equazioni di
> Hamilton, ottenendo \frac{\partial M}{\partial t}=0 (t � ovviamente il
> tempo) potendo scrivere r=dR/dt=-\frac{\partial E}{\partial R}
Guarda che il calcolo � banale: se le coordinate sono (R, theta), i
momenti rispettivamente coniugati (r, a), L=a e
E = r^2/2 + a^2/(2R^2) + V(R)
si ha (uso d per la derivata parziale):
{E,L} = dE/dR dL/dr - dE/dr dL/dR + dE/dtheta dL/da - dE/da dL/dtheta.
Siccome L dipende solo da a, il primo, secondo e quarto termine sono
nulli. Infine anche il terzo termine � nullo perch� E non dipende da
theta.
O forse non ho capito la domanda?
M.
--
Per rispondermi via e-mail togli l'ovvio.
Achille
Jun 13, 2012, 6:28:07 AM6/13/12
to
On 13 Giu, 12:13, frigeni_ovvio@tiscali_ovvio.it (Maurizio Frigeni)
wrote:
wrote:
> Achille <achillefi...@gmail.com> wrote:
> > {E,L}=0... di immediata dimostrazione passando in coor.
> > polari (R, theta) e associando i momenti coniugati (r, a):
> > Scrivendo (per unità di massa):
> > {E,L}=0... di immediata dimostrazione passando in coor.
> > polari (R, theta) e associando i momenti coniugati (r, a):
>
> > E=r^2/2+a^2/2R^2+V(R)
>
> > L=a
>
> > con V(R) potenziale centrale. Sviluppando la parentesi di Poisson, i
> > due termini in cui \frac{\partial L}{\partial a} si semplifica si
> > elidono perchè opposti in segno, gli altri due... credo che si riesca
> > E=r^2/2+a^2/2R^2+V(R)
>
> > L=a
>
> > con V(R) potenziale centrale. Sviluppando la parentesi di Poisson, i
> > due termini in cui \frac{\partial L}{\partial a} si semplifica si
> > a dimostrare che siano entrambi nulli imponendo le equazioni di
> > Hamilton, ottenendo \frac{\partial M}{\partial t}=0 (t è ovviamente il
> > tempo) potendo scrivere r=dR/dt=-\frac{\partial E}{\partial R}
>
> Guarda che il calcolo è banale: se le coordinate sono (R, theta), i
>
> momenti rispettivamente coniugati (r, a), L=a e
>
> E = r^2/2 + a^2/(2R^2) + V(R)
>
> si ha (uso d per la derivata parziale):
>
> {E,L} = dE/dR dL/dr - dE/dr dL/dR + dE/dtheta dL/da - dE/da dL/dtheta.
>
> Siccome L dipende solo da a, il primo, secondo e quarto termine sono
> nulli. Infine anche il terzo termine è nullo perché E non dipende da
>
> E = r^2/2 + a^2/(2R^2) + V(R)
>
> si ha (uso d per la derivata parziale):
>
> {E,L} = dE/dR dL/dr - dE/dr dL/dR + dE/dtheta dL/da - dE/da dL/dtheta.
>
> Siccome L dipende solo da a, il primo, secondo e quarto termine sono
> theta.
>
> O forse non ho capito la domanda?
>
> M.
>
> --
> Per rispondermi via e-mail togli l'ovvio.
perfetto.. ti ringrazio molto... era proprio questo il mio dubbio...
>
> O forse non ho capito la domanda?
>
> M.
>
> --
> Per rispondermi via e-mail togli l'ovvio.
0 new messages