Google Groups no longer supports new Usenet posts or subscriptions. Historical content remains viewable.
Dismiss
Criteri di congruenza, una questione didattica
86 views
Skip to first unread message
Tetis
Sep 19, 2012, 8:49:43 AM9/19/12
to
Nella gran parte dei libri per le scuole medie superiori, che per la
maggior parte degli studenti di facoltà scientifiche, inclusa
matematica, sono gli unici libri di geometria razionale che incontrano
lungo tutto il loro percorso di studio. Il primo criterio di congruenza
viene presentato come un postulato. Mentre sia per Euclide che per
Hilbert (che pure ha mostrato una inconsistenza nella dimostrazione
euclidea) si tratta di un teorema.
Per quale ragione si sceglie di procedere in questo modo? Conoscete
libri per le scuole superiori che evitano di seguire questa strada e lo
presentano come un teorema? Anche libri d'altri tempi, magari?
maggior parte degli studenti di facoltà scientifiche, inclusa
matematica, sono gli unici libri di geometria razionale che incontrano
lungo tutto il loro percorso di studio. Il primo criterio di congruenza
viene presentato come un postulato. Mentre sia per Euclide che per
Hilbert (che pure ha mostrato una inconsistenza nella dimostrazione
euclidea) si tratta di un teorema.
Per quale ragione si sceglie di procedere in questo modo? Conoscete
libri per le scuole superiori che evitano di seguire questa strada e lo
presentano come un teorema? Anche libri d'altri tempi, magari?
Enrico Gregorio
Sep 19, 2012, 9:40:10 AM9/19/12
to
Tetis <lje...@yahoo.it> scrive:
> Nella gran parte dei libri per le scuole medie superiori, che per la
> maggior parte degli studenti di facolt� scientifiche, inclusa
per un biennio di scuola superiore.
Per Euclide � un teorema, ma basato sul movimento rigido che �
considerato intuitivo. In realt� il criterio � quello che poi
usa effettivamente perch� il movimento rigido non � cos� facile
da giustificare.
Ciao
Enrico
> Nella gran parte dei libri per le scuole medie superiori, che per la
> matematica, sono gli unici libri di geometria razionale che incontrano
> lungo tutto il loro percorso di studio. Il primo criterio di congruenza
> viene presentato come un postulato. Mentre sia per Euclide che per
> Hilbert (che pure ha mostrato una inconsistenza nella dimostrazione
> euclidea) si tratta di un teorema.
>
> Per quale ragione si sceglie di procedere in questo modo? Conoscete
> libri per le scuole superiori che evitano di seguire questa strada e lo
> presentano come un teorema? Anche libri d'altri tempi, magari?
La presentazione assiomatica di Hilbert � un po' troppo pesante
> lungo tutto il loro percorso di studio. Il primo criterio di congruenza
> viene presentato come un postulato. Mentre sia per Euclide che per
> Hilbert (che pure ha mostrato una inconsistenza nella dimostrazione
> euclidea) si tratta di un teorema.
>
> Per quale ragione si sceglie di procedere in questo modo? Conoscete
> libri per le scuole superiori che evitano di seguire questa strada e lo
> presentano come un teorema? Anche libri d'altri tempi, magari?
per un biennio di scuola superiore.
Per Euclide � un teorema, ma basato sul movimento rigido che �
considerato intuitivo. In realt� il criterio � quello che poi
usa effettivamente perch� il movimento rigido non � cos� facile
da giustificare.
Ciao
Enrico
Maurizio Frigeni
Sep 19, 2012, 11:04:39 AM9/19/12
to
Tetis <lje...@yahoo.it> wrote:
> Per quale ragione si sceglie di procedere in questo modo? Conoscete
> libri per le scuole superiori che evitano di seguire questa strada e lo
> presentano come un teorema? Anche libri d'altri tempi, magari?
Sui vecchi libri (es. Cateni-Fortini-Bernardi, che ancora č in stampa
> Per quale ragione si sceglie di procedere in questo modo? Conoscete
> libri per le scuole superiori che evitano di seguire questa strada e lo
> presentano come un teorema? Anche libri d'altri tempi, magari?
AFAIK) trovi di solito una dimostrazione euclidea del primo criterio,
basata quindi sul movimento rigido. Ma se la dimostrazione volesse
essere rigorosa bisognerebbe introdurre opportuni assiomi per il
movimento rigido, cosa lunga e fastidiosa che nessuno fa. Quindi questa
č sostanzialmente una non-dimostrazione, che IMO č meglio non fare.
Nella trattazione di Hilbert si prende come assioma una proposizione che
č praticamente la stessa cosa del primo criterio, solo leggermente piů
debole:
"Se in due triangoli ABC e A'B'C' valgono le congruenze:
AB = A'B', AC = A'C', angolo(A) = angolo(A'),
allora valgono anche le congruenze:
angolo(B) = angolo(B') e angolo(C) = angolo(C')."
Prendere questo come assioma invece del primo criterio ha senso solo
nella prospettiva di avere gli assiomi piů deboli possibile, ma a
livello liceale non mi pare abbia molto senso.
Quindi volendo gestire una presentazione della geometria in modo un po'
piů snello ma al contempo abbastanza rigoroso mi pare che la strada di
prendere il primo criterio come assioma sia la migliore.
M.
--
Per rispondermi via e-mail togli l'ovvio.
Tetis
Sep 20, 2012, 4:19:23 PM9/20/12
to
Maurizio Frigeni ha pensato forte :
> Tetis <lje...@yahoo.it> wrote:
[...] considerazioni che ho apprezzato ma tralascio.
> Quindi volendo gestire una presentazione della geometria in modo un po'
> piￜ snello ma al contempo abbastanza rigoroso mi pare che la strada di
andrebbe evitato l'uso di nozioni legate al "moto" in geometria
euclidea, perￜ, ad esempio in un libro di geometria razionale per liceo
trovo presentata la nozione di angolo orientato facendo proprio uso di
queste nozioni intuitive per poi abbandonarle nella presentazione dei
postulati, ￜ una situazione un poco strana.
> Tetis <lje...@yahoo.it> wrote:
[...] considerazioni che ho apprezzato ma tralascio.
> Quindi volendo gestire una presentazione della geometria in modo un po'
> prendere il primo criterio come assioma sia la migliore.
>
> M.
Immaginavo fosse quello il motivo, volevo esserne certo. In effetti
>
> M.
andrebbe evitato l'uso di nozioni legate al "moto" in geometria
euclidea, perￜ, ad esempio in un libro di geometria razionale per liceo
trovo presentata la nozione di angolo orientato facendo proprio uso di
queste nozioni intuitive per poi abbandonarle nella presentazione dei
postulati, ￜ una situazione un poco strana.
Giorgio Pastore
Sep 20, 2012, 7:11:32 PM9/20/12
to
On 9/20/12 10:19 PM, Tetis wrote:
...
>
>
non piu' strana di diverse altre scelte che pure si trovano nei manuali
di geometria. Direi che spesso si vedono dei tentativi mal riusciti di
rigore.
Da molti punti di vista mi verrebbe da dire "ridateci Euclide!" (*)
Giorgio
(*) Con buona pace di Dieudonne' :-)
...
> trovo presentata la nozione di angolo orientato facendo proprio uso di
> queste nozioni intuitive per poi abbandonarle nella presentazione dei
> postulati, è una situazione un poco strana.
> queste nozioni intuitive per poi abbandonarle nella presentazione dei
>
>
non piu' strana di diverse altre scelte che pure si trovano nei manuali
di geometria. Direi che spesso si vedono dei tentativi mal riusciti di
rigore.
Da molti punti di vista mi verrebbe da dire "ridateci Euclide!" (*)
Giorgio
(*) Con buona pace di Dieudonne' :-)
Oceano
Sep 21, 2012, 12:44:15 AM9/21/12
to
Maurizio Frigeni <frigeni_ovvio@tiscali_ovvio.it> ha scritto:
>
>
> Sui vecchi libri (es. Cateni-Fortini-Bernardi, che ancora è in stampa
>
movimento rigido?:) Ma mica stiamo facendo fisica:) ah ah ah
Quando noi diciamo che due triangoli sono uguali NON é che si disegnano e
poi si spostano l'uno sull'altro e si controlla se sono uguali.
NON é questo il procedimento giusto.
Il procedimento giusto è quello di POSTULARE il fatto che i due triangoli
sono uguali. Cioè TUTTE le proprietà di un triangolo diventano anche
proprietà dell'altro triangolo.
E' come quando si fa il disegno di due triangoli uguali alla lavagna. Tu
disegni un triangolo e poi accanto a questo ne disegni un altro, e poi TU
DICI che sono uguali. Ma non è che si va a misurarli o a sovrapporli per
stabilire se sono uguali.
ciao
p.s. la trattazione euclidea è poco rigorosa per i nostri tempi, Euclide
da per scontate una serie di nozioni delle quali non parla. Hilbert ha
provato a porvi rimedio, ma pure Hilbert è ormai poco rigoroso. Il rigore
a umenta anno dopo anno, secolo dopo secolo, il rigore è un progresso, è
un approfondimento sempre maggiore, è entrare sempre in maggiori
dettagli. Ed ecco che da Hilbert a noi se ne è fatta strada nel
migliorare la presentazione della geometria euclidea.
--
Pace e Bene
>
>
> Sui vecchi libri (es. Cateni-Fortini-Bernardi, che ancora è in stampa
> AFAIK) trovi di solito una dimostrazione euclidea del primo criterio,
> basata quindi sul movimento rigido. Ma se la dimostrazione volesse
> essere rigorosa bisognerebbe introdurre opportuni assiomi per il
> movimento rigido, cosa lunga e fastidiosa che nessuno fa. Quindi questa
> è sostanzialmente una non-dimostrazione, che IMO è meglio non fare.
> basata quindi sul movimento rigido. Ma se la dimostrazione volesse
> essere rigorosa bisognerebbe introdurre opportuni assiomi per il
> movimento rigido, cosa lunga e fastidiosa che nessuno fa. Quindi questa
>
movimento rigido?:) Ma mica stiamo facendo fisica:) ah ah ah
Quando noi diciamo che due triangoli sono uguali NON é che si disegnano e
poi si spostano l'uno sull'altro e si controlla se sono uguali.
NON é questo il procedimento giusto.
Il procedimento giusto è quello di POSTULARE il fatto che i due triangoli
sono uguali. Cioè TUTTE le proprietà di un triangolo diventano anche
proprietà dell'altro triangolo.
E' come quando si fa il disegno di due triangoli uguali alla lavagna. Tu
disegni un triangolo e poi accanto a questo ne disegni un altro, e poi TU
DICI che sono uguali. Ma non è che si va a misurarli o a sovrapporli per
stabilire se sono uguali.
ciao
p.s. la trattazione euclidea è poco rigorosa per i nostri tempi, Euclide
da per scontate una serie di nozioni delle quali non parla. Hilbert ha
provato a porvi rimedio, ma pure Hilbert è ormai poco rigoroso. Il rigore
a umenta anno dopo anno, secolo dopo secolo, il rigore è un progresso, è
un approfondimento sempre maggiore, è entrare sempre in maggiori
dettagli. Ed ecco che da Hilbert a noi se ne è fatta strada nel
migliorare la presentazione della geometria euclidea.
--
Pace e Bene
Oceano
Sep 21, 2012, 12:58:29 AM9/21/12
to
Giorgio Pastore <pas...@units.it> ha scritto:
>
>
> Da molti punti di vista mi verrebbe da dire "ridateci Euclide!" (*)
>
> Giorgio
>
> (*) Con buona pace di Dieudonne' :-)
>
Azz!:) INvece di andare avanti tu vai indietro:) ah ah ah
Come mai vuoi ritornare ad Euclide? D'accordissimo con te sul fatto che
Hilbert e Dieudonné sono strasuperati: fanno parte di quel movimento
formalista sconfitto ormai per sempre da Goedel(formalmente) e da tutta una
psicopedagogia sperimentale(nei fatti) che ha mostrato come gente alla
Hilbert non avesse chiare le idee sulla geometria.
Ormai noi studiamo COME il cervello umano percepisce le forme geometriche e
come le elabora, come quindi le pone in relazione le une con le altre e come
procede nel determinare una serie di passaggi logici per effettuare deduzioni.
E' all'interno della cognitive science che si studiano questi aspetti. Si è
ben oltre la matematica perché in effetti si tratta di capire come fa il
cervello umano ad apprendere e poi a comunicare il proprio apprendimento.
Siamo arrivati cioè al punto dove all'interno della cognitive science viene
spiegato come e perché Euclide, piuttosto che Hilbert o Dieudonné(come tanti
altri) procedevano in un determinato modo piuttosto che in un altro.
http://en.wikipedia.org/wiki/Cognitive_science
Però bisogna prima studiare la cognitive science, cioè questa non è roba di
matematica. La matematica è limitata, cioè è UNA delle tante attività del
cervello umano. Per spiegare certi procedimenti bisogna uscire dal ristretto
ambito della matematica perché per giustificarli in modo rigoroso si deve
fare riferimento alla psicometria. Per es si arriva a vedere come fanno i
nostri occhi a percepire le immagini da due prospettive diverse per poi
sovrapporle ed ottenere così la visione binoculare o anche detta
stereoscopica.
In questo senso la percezione dello spazio tridimensionale diventa sia un
ambito della fisica che un ambito della psicometria. Da qui la validità della
geometria solida, ed in particolare i disegni di geometria solida.
Come vedi è avanti che incontriamo maggiore rigore e non tornando indietro al
povero Euclide che neppure sapeva giustificare la scelta dei punti
adimensionali e cose del genere. E' oggi, ai nostri tempi, che siamo capaci
di rigorizzare e cioè spiegare nei dettagli una serie di scelte che secoli fa
venivano fatte intuitivamente senza però saperle giustificare ulteriormente.
ciao
p.s. cmq non ti preoccupare, anche io quando sono in autostrada ed è brutto
tempo, esco e mi fermo all'auto grill. Ma non capisco quelli che invece
escono e tornando indietro:) Secondo me bisogna imparare ad aspettare, smette
di piovere ed uno prosegue.
Azz, uno parte da Euclide, poi arriva all'uscita Hilbert e torna indietro?:))
Prosegui oltre no:) C'è tempesta? E fermati, riposati, aspetta che smetta di
piovere e poi prosegui e vede le altre uscite:)
--
Pace e Bene
>
>
> Da molti punti di vista mi verrebbe da dire "ridateci Euclide!" (*)
>
> Giorgio
>
> (*) Con buona pace di Dieudonne' :-)
>
Come mai vuoi ritornare ad Euclide? D'accordissimo con te sul fatto che
Hilbert e Dieudonné sono strasuperati: fanno parte di quel movimento
formalista sconfitto ormai per sempre da Goedel(formalmente) e da tutta una
psicopedagogia sperimentale(nei fatti) che ha mostrato come gente alla
Hilbert non avesse chiare le idee sulla geometria.
Ormai noi studiamo COME il cervello umano percepisce le forme geometriche e
come le elabora, come quindi le pone in relazione le une con le altre e come
procede nel determinare una serie di passaggi logici per effettuare deduzioni.
E' all'interno della cognitive science che si studiano questi aspetti. Si è
ben oltre la matematica perché in effetti si tratta di capire come fa il
cervello umano ad apprendere e poi a comunicare il proprio apprendimento.
Siamo arrivati cioè al punto dove all'interno della cognitive science viene
spiegato come e perché Euclide, piuttosto che Hilbert o Dieudonné(come tanti
altri) procedevano in un determinato modo piuttosto che in un altro.
http://en.wikipedia.org/wiki/Cognitive_science
Però bisogna prima studiare la cognitive science, cioè questa non è roba di
matematica. La matematica è limitata, cioè è UNA delle tante attività del
cervello umano. Per spiegare certi procedimenti bisogna uscire dal ristretto
ambito della matematica perché per giustificarli in modo rigoroso si deve
fare riferimento alla psicometria. Per es si arriva a vedere come fanno i
nostri occhi a percepire le immagini da due prospettive diverse per poi
sovrapporle ed ottenere così la visione binoculare o anche detta
stereoscopica.
In questo senso la percezione dello spazio tridimensionale diventa sia un
ambito della fisica che un ambito della psicometria. Da qui la validità della
geometria solida, ed in particolare i disegni di geometria solida.
Come vedi è avanti che incontriamo maggiore rigore e non tornando indietro al
povero Euclide che neppure sapeva giustificare la scelta dei punti
adimensionali e cose del genere. E' oggi, ai nostri tempi, che siamo capaci
di rigorizzare e cioè spiegare nei dettagli una serie di scelte che secoli fa
venivano fatte intuitivamente senza però saperle giustificare ulteriormente.
ciao
p.s. cmq non ti preoccupare, anche io quando sono in autostrada ed è brutto
tempo, esco e mi fermo all'auto grill. Ma non capisco quelli che invece
escono e tornando indietro:) Secondo me bisogna imparare ad aspettare, smette
di piovere ed uno prosegue.
Azz, uno parte da Euclide, poi arriva all'uscita Hilbert e torna indietro?:))
Prosegui oltre no:) C'è tempesta? E fermati, riposati, aspetta che smetta di
piovere e poi prosegui e vede le altre uscite:)
--
Pace e Bene
Oceano
Sep 21, 2012, 1:04:21 AM9/21/12
to
Tetis <lje...@yahoo.it> ha scritto:
>
>
> Per quale ragione si sceglie di procedere in questo modo?
>
Puoi sempre provare a procedere come socra-TIS.
--
Pace e Bene
>
>
> Per quale ragione si sceglie di procedere in questo modo?
>
--
Pace e Bene
Oceano
Sep 21, 2012, 1:10:34 AM9/21/12
to
Enrico Gregorio <Facile.d...@in.rete.it> ha scritto:
> In realtà il criterio è quello che poi
> usa effettivamente perché il movimento rigido non è così facile
> da giustificare.
>
E' vero, concordo. Quando qualcosa di rigido si muove nello spazio
tridimensionale bisogna pensarlo ad un tempo come essere mancante della
terza dimensione nel caso in cui va a giacere su di un piano.
In pratica il movimento rigido ci fa uscire dal piano per entrare in R^3.
In questo senso allora nel mentre si tratta il piano euclideo ecco che si
parla di movimento rigido che però potrà avvenire nello spazio euclideo.
Allora ecco che il movimento rigido potrà eventualmente essere tirato in
ballo in R^3 e non in R^2.
E' infatti in R^3 che sappiamo parlare di due piani paralleli e non in
R^2 per esempio.
Infatti un movimento rigido è tale se ci permette di passare da una zona
del piano ad un'altra zona facendo però un "salto" su di un altro piano
magari parallelo: traslazione in R^3.
Per ovviare a questo possiamo però POSTULARE il tutto: vedi la mia
risposta a Maurizio Frigeni.
ciao
p.s. quel radicale è proprio un maleducato!
--
Pace e Bene
> In realtà il criterio è quello che poi
> usa effettivamente perché il movimento rigido non è così facile
> da giustificare.
>
E' vero, concordo. Quando qualcosa di rigido si muove nello spazio
tridimensionale bisogna pensarlo ad un tempo come essere mancante della
terza dimensione nel caso in cui va a giacere su di un piano.
In pratica il movimento rigido ci fa uscire dal piano per entrare in R^3.
In questo senso allora nel mentre si tratta il piano euclideo ecco che si
parla di movimento rigido che però potrà avvenire nello spazio euclideo.
Allora ecco che il movimento rigido potrà eventualmente essere tirato in
ballo in R^3 e non in R^2.
E' infatti in R^3 che sappiamo parlare di due piani paralleli e non in
R^2 per esempio.
Infatti un movimento rigido è tale se ci permette di passare da una zona
del piano ad un'altra zona facendo però un "salto" su di un altro piano
magari parallelo: traslazione in R^3.
Per ovviare a questo possiamo però POSTULARE il tutto: vedi la mia
risposta a Maurizio Frigeni.
ciao
p.s. quel radicale è proprio un maleducato!
--
Pace e Bene
0 new messages