Cerchi in un Rettangolo
Francesco
Assegnato un rettangolo di dimensioni note
(siano "a < b" la base e l'altezza rispettivamente)
ed assegnato un raggio (sia esso "r" noto),
qual è il massimo numero di cerchi di raggio r
che possono essere inscritti nel rettangolo assegnato?
(chiaramente i cerchi dovranno essere tangenti)
Ecco, non so se si tratti di un problema di
matematica elementare (tipo costruzioni con riga e compasso)
oppure se la soluzione necessita di un po' di calcolo infinitesimale
(studio del massimo di una funzione).
E' ben accetto qualsiasi tipo di suggerimento.
Grazie,
Francesco
jinn
"Francesco" <francesco...@gmail.com> ha scritto nel messaggio
news:9c446f94-0dc6-4d15...@q30g2000yqd.googlegroups.com...
>E' ben accetto qualsiasi tipo di suggerimento.
ho trovato una soluzione: nessun cerchio entra nel rettangolo se r > a/2
Pedro Peraria
>Assegnato un rettangolo di dimensioni note
>(siano "a < b" la base e l'altezza rispettivamente)
>ed assegnato un raggio (sia esso "r" noto),
>che possono essere inscritti nel rettangolo assegnato?
E' un problema che si rif� all'impacchettamento di sfere.
Si potrebbe ridurre cercando di "impacchettare" cerchi in un area data.
E' facile calcolare che su un area sufficientemente grande il rapporto tra
vuoto e pieno (area N cerchi)/(area data) � sempre sqrt(3)*Pi/6.
In generale su un rettangolo di area a*b possiamo dire che l'area occupata
da N cerchi sar� a*b*sqrt(3)*Pi/6 .
Il raggio di questi cerchi dovr� necessariamente essere
N*Pi*r^2=a*b*sqrt(3)*Pi/(6) quindi r=108^(1/4)/6*sqrt(a*b/N).
Dato r ma volendo conoscere quanti ce ne stanno nell'area a*b
si ricava N=sqrt(3)*a*b/(6*r^2)
sempre tenendo presente che tutto questo � valido solo su un area
"sufficientemente grande" da eleminare lo spazio vuoto perimetrale dove
altrimenti, su aree piccole, quest'ultimo, diventerebbe tanto significativo
da rendere il calcolo inesatto o per meglio dire matematicamente
rappresentetativo ed efficace quanto l'uso di una mietitrebbia per spiegare
il teorema di Pitagora. ;-)
Bruno Campanini
news:4be3cc97$0$1132$4faf...@reader1.news.tin.it...
> E' un problema che si rif� all'impacchettamento di sfere.
> Si potrebbe ridurre cercando di "impacchettare" cerchi in un area data.
> E' facile calcolare che su un area sufficientemente grande il rapporto tra
> vuoto e pieno (area N cerchi)/(area data) � sempre sqrt(3)*Pi/6.
> In generale su un rettangolo di area a*b possiamo dire che l'area occupata
> da N cerchi sar� a*b*sqrt(3)*Pi/6 .
> Il raggio di questi cerchi dovr� necessariamente essere
> N*Pi*r^2=a*b*sqrt(3)*Pi/(6) quindi r=108^(1/4)/6*sqrt(a*b/N).
> Dato r ma volendo conoscere quanti ce ne stanno nell'area a*b
> si ricava N=sqrt(3)*a*b/(6*r^2)
a = 80
b = 17
r = 3
N = 46.622
???
In 80*17 = 1360, dei quadrati 3*3 = 9 ce ne stanno
26 file da 5 = 130
Cio� IP(80/3) * IP(17/3) = 130
IP = IntegerPart
Bruno
Pedro Peraria
> b = 17
> r = 3
> N = 46.622
> ???
>
leggere le risposte fino in fondo no eh?
Bruno Campanini
Avevo letto fino in fondo e trovato irrilevante il
rapporto ab/r.
Infatti se anche prendo a = 81239, b = 17413, r = 3
ottengo con la tua formula N = 45 373 787, mentre
ce ne stanno almeno 157 166 516=
Forse la traslazione del ragionamento da sfere entro
parallelepipedo non � cos� lineare, o mi sfugge
qualch'altra considerazione?
Bruno
Pedro Peraria
> rapporto ab/r.
> Infatti se anche prendo a = 81239, b = 17413, r = 3
> ottengo con la tua formula N = 45 373 787, mentre
> ce ne stanno almeno 157 166 516=
non capisco in base a cosa arrivi a questo risultato.
In ogni caso quello che ti ho detto io te lo motivo in base a precise
considerazioni geometriche.
1. Se facciamo delle circonferenze (piccole) tutte uguali dentro una
determinata area (grande) siamo sicuri che il miglior modo per
impacchettarle sia costruendo delle celle esagonali (una sfera con sei sfere
intorno) che si intersecano tra loro.
2. Il modulo base di questa simmetria esagonale � un triangolo equilatero di
lato 2r i cui vertici risiedono nei centri di tre circonferenze di raggio r.
3. Il rapporto vuoto / pieno di questo triangolo � il rapporto vuoto / pieno
dell'intera area consideara a meno dei vuoti perimetrali.
4. Il triangolo considerato � formato, per quanto riguarda il pieno, da 3
settori circolari ciascuno di area 1/6 rispetto all'area del cerchio di
raggio r.
5. Dato che l'area del triangolo equilatero di lato 2r � r^2*sqrt(3) allora
il rapporto pieno/vuoto di questo modulo triangolare (e in generale di tutto
il resto) � Pi*r^2/(2*r^2*sqrt(3) = Pi/(2*sqrt(3)) = sqrt(3)*Pi/6
esattamente come ti avevo detto.
Nel caso da te considerato:
sqrt(3)*Pi/6 � pressappoco 0,9 se l'area a*b fosse 81.239*17.413 =
1.414.614.707 dovremmo supporre un pieno di 1.414.614.707 * 0.9 =
1.273.153.236 e questo pieno pu� essere riempito con 1.273.153.236 / (Pi*9)
circonferenze di raggio 3 ovvero 45.028.584 (pi� o meno dato che ho
approssimato molto)
Con tutto questo per� non dico per� di aver ragione. .. se tu hai un altra
idea, alla quale puoi dare una giustificazione geometrica, che sia la
benvenuta. ;-)
Bruno Campanini
>> Avevo letto fino in fondo e trovato irrilevante il
>> rapporto ab/r.
>> Infatti se anche prendo a = 81239, b = 17413, r = 3
>> ottengo con la tua formula N = 45 373 787, mentre
>> ce ne stanno almeno 157 166 516=
>
> non capisco in base a cosa arrivi a questo risultato.
> In ogni caso quello che ti ho detto io te lo motivo in base a precise
> considerazioni geometriche.
>
> 1. Se facciamo delle circonferenze (piccole) tutte uguali dentro una
> determinata area (grande) siamo sicuri che il miglior modo per
> impacchettarle sia costruendo delle celle esagonali (una sfera con sei
> sfere intorno) che si intersecano tra loro.
>
> 2. Il modulo base di questa simmetria esagonale � un triangolo equilatero
> di lato 2r i cui vertici risiedono nei centri di tre circonferenze di
> raggio r.
>
> 3. Il rapporto vuoto / pieno di questo triangolo � il rapporto vuoto /
> pieno dell'intera area consideara a meno dei vuoti perimetrali.
>
> 4. Il triangolo considerato � formato, per quanto riguarda il pieno, da 3
> settori circolari ciascuno di area 1/6 rispetto all'area del cerchio di
> raggio r.
>
> 5. Dato che l'area del triangolo equilatero di lato 2r � r^2*sqrt(3)
> allora il rapporto pieno/vuoto di questo modulo triangolare (e in generale
> di tutto il resto) � Pi*r^2/(2*r^2*sqrt(3) = Pi/(2*sqrt(3)) = sqrt(3)*Pi/6
> esattamente come ti avevo detto.
>
> Nel caso da te considerato:
>
> sqrt(3)*Pi/6 � pressappoco 0,9 se l'area a*b fosse 81.239*17.413 =
> 1.414.614.707 dovremmo supporre un pieno di 1.414.614.707 * 0.9 =
> 1.273.153.236 e questo pieno pu� essere riempito con 1.273.153.236 /
> (Pi*9) circonferenze di raggio 3 ovvero 45.028.584 (pi� o meno dato che
> ho approssimato molto)
>
> Con tutto questo per� non dico per� di aver ragione. .. se tu hai un
> altra idea, alla quale puoi dare una giustificazione geometrica, che sia
> la benvenuta. ;-)
Ho commesso due errori:
1 - ho considerato che il poligono di area minima
circoscrivibile a un cerchio fosse un quadrato
(bastava pensare a un alveare...)
2 - che il quadrato contenente il cerchio di raggio 3
avesse un'area di 3*3 = 9!!!!!!
Ed ero sobrio...
Bruno
Pedro Peraria
son quasi le 17. Quando mancano 10 minuti da buon impiegato alla Fantozzi
stacco il mio portatile e mi fiondo a casa dove mi aspetta una generosa
merenda a base di salame di felino, pane casereccio e una bottiglia di
malvasia.
Faccio per dire che anche io sono sobrio ... ma ancora per poco!!! :)
Peter11
"Pedro Peraria" <PedroP...@peritopereira.com> ha scritto nel messaggio
news:4be42470$0$1120$4faf...@reader2.news.tin.it...
Intendi il salame prodotto a Felino o arriva a casa tua Beppe Bigazzi con un
insaccato di gatto Silvestro ? :-)
Pedro Peraria
>> Fantozzi stacco il mio portatile e mi fiondo a casa dove mi aspetta una
>> generosa merenda a base di salame di felino, pane casereccio e una
>> bottiglia di malvasia.
>> Faccio per dire che anche io sono sobrio ... ma ancora per poco!!! :)
> Intendi il salame prodotto a Felino o arriva a casa tua Beppe Bigazzi con
> un insaccato di gatto Silvestro ? :-)
Felino, Felino.. mancava la maiuscola. ;-)
Peter11
"Pedro Peraria" <PedroP...@peritopereira.com> ha scritto nel messaggio
news:4be43f27$0$814$4faf...@reader5.news.tin.it...
Ah ecco: ho tolto il gatto dall'armadio :-)