Volume e momento di inerzia di una sfera omogenea

[PCasso]

Per il volume della sfera consideriamo:
1) raggio (costante) R
2) raggio variabile (eq. semicirconf.) y=sqrt(R^2-x^2)
3) cilindrico cavo
3.1) base 2pi*y
3.2) altezza 2x
3.3) spessore dx
3.4) volume dv = (2pi*y) * 2x * dx

Integrando per x da 0 a R otteniamo la formula corretta
V = \int_0^R dv = (4/3)pi*R^3

---

Lo stesso cilindro cavo è, oppure tende ad essere, luogo dei punti equidinstanti dall'asse x?

Ipotizzando che lo sia, tentiamo un calcolo del momento d'inerzia della sfera, considerando:
1) densità omogenea p=m/V
2) momento d'inerzia elementare del cilindro cavo
dI = dm * y^2 ->
-> dI = p*dv * y^2
-> dI = p*[(2pi*y) * 2x * dx] * y^2 -> ...
-> dI = (4pi*p) * (R^2-x^2)^(3/2) * x * dx

Ma integrando viene fuori (3/5)mR^2 anziché (2/5)mR^2.

Forse il cilindro utilizzato non e' luogo dei punti equidistanti dall'asse x? Ma in tal caso dovremmo fare lo stesso ragionamento per l'integrazione classica a cilindrici pieni [quella che da' il risultato corretto (2/5)mR^2]: se tali cilindri hanno altezza infinitesima dx allora non sono realmente inscritti nella sfera ma tendono ad esserlo.

Concludendo, abbiamo forse due approssimazioni del momento d'inerzia?

[Giorgio Bibbiani]

PCasso ha scritto:

> Concludendo, abbiamo forse due approssimazioni del momento d'inerzia?

Non avendo capito le notazioni che usi, rifaccio il calcolo ex novo.

Per calcolare il volume, data una figura geometrica a simmetria sferica,
usiamo coordinate sferiche:

(1)
x = r sin(t) cos(phi)
y = r sin(t) sin(phi)
z = r cos(t)

il dominio interno alla sfera e':

S = {0 =< r =< R, 0 =< t =< pi, 0 =< phi < 2pi},

lo jacobiano delle (1) e' r^2 sin(t), quindi il volume di S e':

V = 2pi int_{0}^{pi} sin(t) dt int_{0}^{R} r^2 dr = 4/3 pi R^3.

Per calcolare il momento d'inerzia I della sfera omogenea
di massa M rispetto a un asse passante per il centro, ad es.
rispetto all'asse z, conviene usare coordinate cilindriche:

(2)
x = r cos(t)
y = r sin(t)
z

il dominio interno alla sfera e':

S = { 0 =< t < 2pi, -R =< z =< R, 0 =< r =< sqrt(R^2 - z^2)},

lo jacobiano delle (2) e' r, dunque si ha:

I = M / V * 2pi int_{-R}^{R} int_{0}^{sqrt(R^2 - z^2)} r^2 r dr dz =
2/5 M R^2.

Ciao
--
Giorgio Bibbiani

[Maurizio Frigeni]

PCasso <tthheegg...@email.it.invalid> wrote:

> Per il volume della sfera consideriamo:
> 1) raggio (costante) R
> 2) raggio variabile (eq. semicirconf.) y=sqrt(R^2-x^2)
> 3) cilindrico cavo
> 3.1) base 2pi*y
> 3.2) altezza 2x
> 3.3) spessore dx
> 3.4) volume dv = (2pi*y) * 2x * dx

Qui c'è qualcosa che non va: se il raggio di base è y mentre
x = sqrt(R^2-y^2) è metà altezza, lo spessore del cilndro cavo sarà dy e
non dx.

> Integrando per x da 0 a R otteniamo la formula corretta
> V = \int_0^R dv = (4/3)pi*R^3

Direi che ti torna per pura fortuna. Ma nel caso del momento d'inerzia
non sei stato così fortunato... riprova con la modifica che ti ho detto
sopra e vedrai che il conto torna.

M.

--
Per rispondermi via e-mail togli l'ovvio.

[PCasso]

Un po' avanti per le mie conoscenze ma credo di aver compreso il procedimento. Comunque, che la mia ipotesi non avesse speranze c'era d'aspettarselo. Grazie

[PCasso]

On Sat, 4 Jul 2015 16:19:49 +0200
frigen...@tiscaliovvio.it (Maurizio Frigeni) wrote:

> PCasso <tthheegg...@email.it.invalid> wrote:
>
> > Per il volume della sfera consideriamo:
> > 1) raggio (costante) R
> > 2) raggio variabile (eq. semicirconf.) y=sqrt(R^2-x^2)
> > 3) cilindrico cavo
> > 3.1) base 2pi*y
> > 3.2) altezza 2x
> > 3.3) spessore dx
> > 3.4) volume dv = (2pi*y) * 2x * dx
>
> Qui c'è qualcosa che non va: se il raggio di base è y mentre
> x = sqrt(R^2-y^2) è metà altezza, lo spessore del cilndro cavo sarà dy e
> non dx.

Ecco il problema! Puo' essere che nel calcolo del volume l'errore si compensi per via della simmetria rispetto all'origine. Contrariamente, nel calcolo del momento d'inerzia i due assi cartesiani hanno un ruolo distinto che mette in luce l'errore. E mi trovo, anche se spunta un segno meno che non credo abbia importanza. Grazie