Prodotto di numeri interi consecutivi
Dr. Bruno Campanini
m) è sempre un numero intero, come si dimostra, per altra via, che il
prodotto di m numeri interi consecutivi è sempre divisibile per il prodotto
dei primi m numeri interi ?
Bruno
Kiuhnm
Intuitivamente (come al solito) direi che presi dei numeri naturali
consecutivi, i numeri divisibili per n compaiono ogni n numeri, quindi in
n*k numeri consecutivi abbiamo k numeri divisibili per n.
Quindi presi n numeri consecutivi qualsiasi:
a1, a2, a3, ....., an
avremo valori divisibili per 1, 2, 3, ...., n.
E' intuitivo, ma non ci vuole molto a "risistemarlo", giusto?
Kiuhnm
Dr. Bruno Campanini
news:B0ir9.10937$6n3.3...@news1.tin.it...
Certo che è intuitivo... ora che me l'hai detto!
Vediamo se qualcun altro provvede a "risistemarlo" .
Complimenti per ora.
Ciao.
Bruno
Emilio
La scelta di essere FORMALISTI è limitata al corso di Malefix (o come
diavolo si dice, Papero era così comodo da ricordare)
Ciao.
:-)))
Emilio
Kiuhnm
> Vabbč, non sono mica tutti FORMALISTI, ci sono anche gli
> INTUITIVISTI, o no? La scelta di essere FORMALISTI č limitata al
> corso di Malefix (o come diavolo si dice, Papero era cosě comodo da
> ricordare)
Io non ho visto nessun "rimprovero" nel suo messaggio........l'ho
interpretato male?
Kiuhnm
emilio
> Kiuhnm
Fa un po' tu...
Si chiedeva una dimostrazione o meglio una traccia di dimostrazione (come
si puň dimostrare...), non un'intuizione...
Mi pare che abbia risposto piů o meno cosě: meno male che me l'hai fatto
intuire sto fatto...se non non ci arrivavo.
E' anche vero che una traccia l'hai fornita...infatti ho difeso
l'approccio intuitivista. bisogna anche capire che tipo di dimostrazione
si chiedeva.
Mah, io comunque cosa si intenda esattamente per dimostrazione devo ancora
leggermelo.
Sono ancora agli inizi con la lettura di sto libro che ho preso sui
fondamenti della matematica.
Ho ancora in mente un'idea non definita del tipo: mostrare con argomenti
logici ben fondati partendo da premesse la cui veritŕ sia evidente,
intitiva.
Cioč, io ci avevo letto tra le righe una velata ironia, ma forse mi
sbagliavo.
Avevo interpretato la domanda come una richiesta di dimostrazione valida
sotto il profilo FORMALISTA, tutto qui.
Ciao.
Emilio.
N.B.: Comunque mi fa piacere di chiacchierare con persone che non hanno le
mie idee ed il mio punto di vista, sarebbe palloso il contrario.
--
questo articolo e` stato inviato via web dal servizio gratuito
http://www.newsland.it/news segnala gli abusi ad ab...@newsland.it
Emilio
Quindi in un intervallo di m numeri c'è sicuramente un multiplo di tutti i
numeri minori o uguali ad m, perchè in m numeri consecutivi c'è sicuramente
un multiplio di m, e quindi anche di uno più piccolo.
Un modo potrebbe essere dimostrare per induzione.
Se in un intervallo m c'è un multiplo di un numero k, c'è anche il multiplo
di un numero k-1.
Poi si fa il caso con k=m e per induzione verso il basso (cioè verso zero)
dovrebbe essere risolta, o no?.
Zero arresta la demo perchè non esiste nessun multiplo di zero diverso da
zero.
O questa cosa rende impossibile trovare una dimostrazione induttiva verso il
basso?
Quindi è ovvio che il prodotto di tutti i numeri consecutivi contiene almeno
uno o più multipli dei primi numeri da 1 a m.
Però la demo è intuitiva, non è formalista.
Va bene se pensi ai numeri naturali come libri impilati uno sull'altro con
un imbianchino che applica una macchia di colore enne uno ogni enne.
in m libri consecutivi a partire da qualunque libro troverai almeno una
macchia appartenente all'insieme dei primi m lattine di biacca, perchè
l'intervallo tra un libro e l'altro con i colori delle prime m biacche è
sempre più piccolo dell'intervallo m. quindi i libri sono più ampi di ogni
passo dell'imbianchino che usa per applicare colore dalle prime emme lattine
di biacca.
Ciao.
Emilio
Kiuhnm
Non ne avevo voglia, ma...
Sia A una lista di numeri interi positivi:
A = a1, a2, ...., an
con ai = i, i intero positivo
Da questo segue che:
a(i) = a(i-1) + 1
k*a(i) = a(k*i)
Abbiamo:
1, ..., 1*a(i), ..., 2*a(i), ..., ...., ..., k*a(i)
Per cui nei primi k*i interi consecutivi abbiamo esattamente k multipli di
a(i).
Siano h e m interi positivi t.c. h = k + m.
nei primi k*i interi abbiamo k multipli di a(i),
nei primi h*i interi abbiamo h multipli di a(i),
negli h*i - k*i = m*i interi consecutivi
a(k*i+1), a(k*i+2), ......., a(h*i)
avremo quindi
h-k = m multipli di a(i) = i.
Visto che per ogni k esisterà sempre un h tale che h = k + m,
in m*i interi consecutivi *qualsiasi* avremo sempre m interi multipli di i.
Ponendo m = 1, possiamo dire che
in i int. consecutivi abbiamo un multiplo di i.
m numeri interi consecutivi contengono almeno un sottoinsieme di i = 1, ...,
m interi consecutivi e quindi contengono almeno un multiplo di 1, ..., m
ovvero dei primi m interi positivi.
Dalle proprietà della moltiplicazione segue che il prodotto di m interi
consecutivi è sempre multiplo cioè divisibile per il prodotto dei primi m
interi.
Kiuhnm
Emilio
Sia q il resto del numero n diviso per i.
q sarà maggiore o uguale a 1 e minore di i.
Sommando al numero n il numero i e sottraendo il resto q ottengo il numero
m_i.
Questo numero è il primo multiplo di i compreso nell'intervallo n-n+m.
Inoltre essendo n+i-il resto è sicuramente compreso nell'intervallo.
Quindi per ogni valore di i esiste nell'intervallo almeno un numero m_i che
sia multiplo del numero i.
Moltiplicando tutti i numeri compresi nel'intervallo moltiplico almeno una
volta dei multipli di tutti i numeri i, da cui la tesi da dimostrare.
Ciao.
Emilio
"
Emilio
Emilio
"Emilio" <emilio...@tin.it> ha scritto nel messaggio
news:vqEr9.2425$TD1....@news2.tin.it...
> per ogni numero i che va da 1 a m
> Sia q il resto del numero n diviso per i.
> q sarà maggiore o uguale a 1 e minore di i.
Oopps.
Scusate anche per aver postato 2 volte il messaggio.
Ciao.
Non avevo visto la demo di Malefix.
La mia è proprio così, alla garibaldina, una roba alla Sorrentino.
Ciao.
;-))
Emilio.
Emilio
.
> Non avevo visto la demo di Malefix.
Era cosě rigorosa sta demo, non certo intuitivistica...
Sempre peggio!
Ciao.
Emilio
Emilio
Ma il prodotto di m numeri interi consecutivi non sono quelli che vanno da n
ad n+m-1.
Che c'entra un numero k*i.
Cioč nel tuo esempio cerchi di dimostrare il prodotto di (n=3,m=4) 3,6,9 e
12.
Invece se n=3, m=4 non si chied e il prodotto di 3*4*5*6?
Cioč, mi sa che tu hai frainteso la domanda e dimostrato altro.
Ciao.
Emilio
Kiuhnm
E non ho voglia di scrivere 800 messaggi per spiegarti perchè il teorema è
corretto.
Rileggilo con più attenzione.
Kiuhnm
Emilio
Non ho capito il passaggio seguente:
a(i) = a(i-1) + 1
k*a(i) = a(k*i)
a(1)=n
a(2)=n+1
a(i)=n+i-1
k*(n+i-1)=n+k*i-1 ???
Non dovrebbe essere invece
k*(n+i-1)=n*k + k*i-k
Cioč tu tralasci il k che moltiplica n o no?
O no?
Ciao.
Emilio
Kiuhnm
> Scusami, nessuna offesa, figurati, mi interessa capire.
> Non ho capito il passaggio seguente:
> a(i) = a(i-1) + 1
> k*a(i) = a(k*i)
>
> a(1)=n
Scusami, ma se a(i) = i.
a1 = 1
a2 = 2
a3 = 3
a4 = 4
ecc...
> a(2)=n+1
>
>
> a(i)=n+i-1
>
> k*(n+i-1)=n+k*i-1 ???
> Non dovrebbe essere invece
> k*(n+i-1)=n*k + k*i-k
> Cioč tu tralasci il k che moltiplica n o no?
Da dove hai copiato questi passaggi???
Kiuhnm
Emilio
"Kiuhnm" <kiu...@softhome.net> ha scritto nel messaggio
news:n5Er9.1881$aL4....@news1.tin.it...
> Non ne avevo voglia, ma...
>
> Sia A una lista di numeri interi positivi:
> A = a1, a2, ...., an
> con ai = i, i intero positivo
>
> Da questo segue che:
> a(i) = a(i-1) + 1
> k*a(i) = a(k*i)
Cosa vuol dire da questo segue che...
Da una lista di numeri interi positivi segue la relazione tra questi numeri?
a(i)=a(i-1) +1
segue da che cossa? Hai solo definito una lista di numeri.
a(i) è lo stesso di ai?
Ma come fai derivare da un elenco di numeri che
a(i)=a(i-1) + 1
da dove segue?
Non ho neppure capito bene se a(i) è lo stesso di ai e se questi sono gli m
numeri interi adiacenti.
se vale questa definizione credo di sì.
Ma allora k*a(i)=a(k*i)vale solo per certi valori di a(1) che rendono la
funzione lineare in i, cioè solo per a(1)=1, cioè solo per i primi m numeri,
perchè se c'è un offset no è mica vero che k*a(i)=a(k*i) perchè la funzione
non è lineare, ma dovrebbe essere vero invece che
a(k*i)=k*(a(i)-a(1))+a(1)
perchè la costante iniziale, il primo numero dei numeri consecutivi non deve
muoversi, cioè la funzione non passa dall'origine
cioè un conto è a partire dalla funzione y=a*x+b calcolare k*y = a*k*x +
k*b, un conto calcolare y(k*x) che è y= a*k*x + b
LE DUE FUNZIONI sono uguali solo per k*b=b, cioè per b=0
ma b=0 significa per una retta a pendenza unitaria y(1)=1 da cui vale la
relazione solo se a(1)=1, cioè serve a dimostrare solamente che il prodotto
dei primi m numeri è uguale al prodotto dei primi m numeri, un concetto
abbastanza intuitivo del resto.
O no?
continuiamo per vedere anche un controesempio:
a(k*i)=a(g) ove g=k*i
a(g)=a(g-1) +1
a(k*i)=a(k*i-1)+1
k*a(i)= k*a(i-1)+1
Ma per estrarre dev'essere
a(k*i-1)=k*a(i-1) (FORMULA FFF)
Ma per a(1)=3 questo vale?
a(1)=3
a(2)=4
a(3)=5
a(4)=6
con k=2
a(2*1-1)=a(1)=3 ma secondo al formula data da (FFF) a(2*1-1)=2*a(1)=2*3=6
Cioè la dimostrazione pare fatta alla Sorrentino.: 3=6!
Saluti.
Emilio
Emilio
definiti i numeri ai, come scrivo in un'altra risposta, che non capivo il
segue che.
Cioč tu scrivi sia ai una lista di numeri interi, ma non era spiegato che
erano i primi numeri interi a partire da 1 a i.
Oppure non ho presente il significato del termine lista, non avevo capito
che significava i primi i numeri a partire da 1, l'avevo scambiato con il
termine insieme, non era meglio scrivere i primi i numeri interi a partire
da 1?
Quindi non capendo, non avevo proseguito, avevo cercato di interpretare i
passaggi, adesso m'č chiaro, la riguardo la demo.
Ciao.
Emilio
Emilio
tra k*min e k*max come differenza tra il numero di multipli in k*max e
quelli in k*min e trovi che sono max-min.
Prima generalizzi per calcolare la differenza e poi torni al caso ristretto
dividendo per m.
Geniale, mi torna e non mi torna, funziona ma non è così intuitivo.
Trovi prima che nel passo grande generalizzato ci sono tot di multipli, poi
ti riduci al caso da dimostrare dividendo per m ed ottieni il caso
generalizzato del numero di un solo multiplo di i in i numeri cownsecutivi.
Poi ovvio che per i più piccoli ce ne sarà qualcuno di più nell'intervallone
di numeri consecutivi.
Io più grezzamente avevo cercato per ogni intervallo il primo multiplo per
ogni i, usando il resto e sommando al primo numero il complemento del resto
in modulo i.
Dimostrato che dalle disuguaglianze per ogni i tale multiplo cadeva
nell'intervallo dei numeri consecutivi trovavo il risultato.
Ciao.
Emilio.
P.S.: Mi aveva fregato il termine lista, se tu avessi indicato semplicemente
i senza scrivere a(i), visto che è la stessa cosa, avrei capito la
dimostrazione da subito.
Così non capivo, perchè di solito a_i<>i oppure a(i)<>i, senno' si indica i
direttamente, questo per un criterio di economia dell'inchiostro.
Allora avevo capito che con a_i indicavi i numeri consecutivi e non i primi
numeri consecutivi.
;-)))
Kiuhnm
> P.S.: Mi aveva fregato il termine lista, se tu avessi indicato
> semplicemente i senza scrivere a(i), visto che è la stessa cosa,
> avrei capito la dimostrazione da subito.
> Così non capivo, perchè di solito a_i<>i oppure a(i)<>i, senno' si
> indica i direttamente, questo per un criterio di economia
> dell'inchiostro. Allora avevo capito che con a_i indicavi i numeri
> consecutivi e non i primi numeri consecutivi.
> ;-)))
OK :-)
Kiuhnm
P.S. Ho scritto a(i) perchè scrivendo ai e ai+1 non si capisce più niente...
Kiuhnm
> Ora è tutto chiaro, hai calcolato il numero di multipli di k
> nell'intervallo tra k*min e k*max come differenza tra il numero di
> multipli in k*max e quelli in k*min e trovi che sono max-min.
> Prima generalizzi per calcolare la differenza e poi torni al caso
> ristretto dividendo per m.
> Geniale, mi torna e non mi torna, funziona ma non è così intuitivo.
> Trovi prima che nel passo grande generalizzato ci sono tot di
> multipli, poi ti riduci al caso da dimostrare dividendo per m ed
> ottieni il caso generalizzato del numero di un solo multiplo di i in
> i numeri cownsecutivi. Poi ovvio che per i più piccoli ce ne sarà
> qualcuno di più nell'intervallone di numeri consecutivi.
Sì, nell'ordine:
1) nei primi k*i interi consecutivi ho k multipli di i
2) nei primi h*i interi consecutivi ho h multipli di i
3) visto che h > k, tramite la sottrazione dimostro che m*i interi
consecutivi *qualsiasi* (cioè *non* contenenti i primi s elementi) hanno m
multipli di i.
4) quindi per m=1, i interi consecutivi *qualsiasi* hanno 1 multiplo di i.
5) L'ultima parte mi sembra invece intuitiva...
> Io più grezzamente avevo cercato per ogni intervallo il primo
> multiplo per ogni i, usando il resto e sommando al primo numero il
> complemento del resto in modulo i.
>
> Dimostrato che dalle disuguaglianze per ogni i tale multiplo cadeva
> nell'intervallo dei numeri consecutivi trovavo il risultato.
Per una volta ho cercato di dare una dimostrazione meno "intuitiva" e quindi
ho preferito procedere lentamente passo passo.
Kiuhnm
Emilio
Comunque bella la dimostrazione con la salita e discesa.
Ma io al posto di ai avrei messo semplicemente i visto che ai=i.
Quindi avrei indicato i ed i+1, visto che sono i primi n numeri interi.
Ciao.
Emilio
Emilio
La dimostrazione di Kuhnm funziona ed č anche molto elegante.
Dateci un occhio.
giudizio da esteta.
Saluti
Emilio
A. Caranti
> Ponendo m = 1, possiamo dire che
> in i int. consecutivi abbiamo un multiplo di i.
>
> m numeri interi consecutivi contengono almeno un sottoinsieme di i = 1, ...,
> m interi consecutivi e quindi contengono almeno un multiplo di 1, ..., m
> ovvero dei primi m interi positivi.
> Dalle proprietà della moltiplicazione segue che il prodotto di m interi
> consecutivi è sempre multiplo cioè divisibile per il prodotto dei primi m
> interi.
Questa parte secondo me non e' valida, e non mi sembra facilissimo
rappezzarla.
Il problema e' che, dati 1 < i < j <= m, e dati m interi consecutivi k,
k+1, ..., k+m-1, potrebbe ben essere uno stesso k+h a essere divisibile
sia per i che per j. Allora tutto quello che puoi dire e' che k+h e'
multiplo del minimo comun multiplo fra i e j, che non e' il prodotto di
i e j, se i e j non sono coprimi.
La dimostrazione combinatoria resta comunque la migliore. Volendo dare
una dimostrazione diretta, basata sulla divisibilita' (ce n'era una, se
non sbaglio, sul vecchio libro di Algebra Astratta di Lucio Lombardo
Radice, e quella che sto per dare non dovrebbe differire troppo da
essa.), credo che convenga mostrare che per ogni primo p <= b (cambio un
po' le notazioni), e detta p^u la massima potenza di p che divide b!,
allora p^u divide anche
(a + 1) * (a + 2) ... * (a + b)
per qualsiasi intero a.
E' ben noto che
u = [b/p] + [b/p^2] + [b/p^3] + ...
ove [x] denota la parte intera di x, e dove da un certo punto in poi gli
addendi sono zero. Infatti, se
p, 2p, ..., kp
sono tutti i multipli di p fra 1 e b, ognuno dei quali contribuisce per
lo meno un fattore p, allora kp <= b < (k+1)p, da cui k = [b/p]. Poi ci
sono i multipli di p^2, ognuno dei quali contribuisce per lo meno un
ulteriore fattore p. Questi sono
p^2, 2 p^2, ..., h p^2,
e qui si vede che h = [b/p^2]. E cosi' via.
Un ragionamento simile si puo' applicare a
(a + 1) * ... * (a + b)
Sia a + m il primo fattore divisibile per p. (Ovviamente m <= p.) Allora
sono divisibili per p gli (s + 1) fattori
a + m, a + m + p, ... a + m + sp,
ove a + m + sp <= a + b < a + m + (s+1)p. Dunque
s = [(b-m)/p] >= [b/p] - 1,
dato che m <= p, per cui ho trovato s + 1 >= [b/p] fattori p che
dividono (a + 1) * ... * (a + b). Ripeto il ragionamento per p^2, p^3,
ecc, e finisco per vedere che p^u divide anche questo prodotto.
SE&O,
Andreas
A. Caranti
Ripeto qui la dimostrazione che ho dato in altra parte abbastanza
annidata del thread, e che quindi potrebbe non essere molto visibile.