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Prodotti d'inerzia: dubbio nei segni
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fnas
Jun 16, 2013, 4:27:48 AM6/16/13
to
Salve,
ho fatto un semplice esercizio in cui si chiede di calcolare la terna
principale d'inerzia e i relativi momenti rispetto all'origine O di una
lamina triangolare avente come vertici (0,0) (a,0) (0,b).
Nell'effettuare il calcolo del prodotto d'inerzia I_xy io ottengo come
risultato -m*a*b/12 mentre il risultato riportato dal libro e' privo del
segno meno. Il segno meno scaturisce dalla definizione che da'
precedentemente il testo quando definire il prodotto d'inerzia e scrive
che esso e' dato, ad esempio per I_xy, da:
I_xy = - Int_S (rho*x*y) ds
Questo modo d'esprimere i prodotti d'inerzia (con il segno meno davanti
l'integrale) gli consente di scrivere la matrice d'inerzia e la forma
quadratica associata tutta *formalmente* con termini positivi.
Cioe' scrive ad esempio l'ellissoide d'inerzia come:
I_x x^2 + I_y y^2 + I_z z^2 + 2 I_xy xy + 2 I_xz xz + 2 I_yz yz = 1
Tuttavia quando calcola gli assi principali di un sistema piano trova
che la tg (2tetha) = 2*I_xy/(I_x - I_y) ma, nel determinare il valore
dei momenti principali d'inerzia I_1 e I_2 nasce un'altra contraddizione
nei segni, infatti ottiene:
posto R = sqrt [(I_x - I_y)^2 + (2I_xy)^2]
I_1= 1/2( I_x + I_y - R)
I_2= 1/2( I_x + I_y + R)
Secondo i miei calcoli I_1 dovrebbe presentare il "+ R" e
I_2 il "- R"
Mi potete dire qual e' il segno giusto?
ho fatto un semplice esercizio in cui si chiede di calcolare la terna
principale d'inerzia e i relativi momenti rispetto all'origine O di una
lamina triangolare avente come vertici (0,0) (a,0) (0,b).
Nell'effettuare il calcolo del prodotto d'inerzia I_xy io ottengo come
risultato -m*a*b/12 mentre il risultato riportato dal libro e' privo del
segno meno. Il segno meno scaturisce dalla definizione che da'
precedentemente il testo quando definire il prodotto d'inerzia e scrive
che esso e' dato, ad esempio per I_xy, da:
I_xy = - Int_S (rho*x*y) ds
Questo modo d'esprimere i prodotti d'inerzia (con il segno meno davanti
l'integrale) gli consente di scrivere la matrice d'inerzia e la forma
quadratica associata tutta *formalmente* con termini positivi.
Cioe' scrive ad esempio l'ellissoide d'inerzia come:
I_x x^2 + I_y y^2 + I_z z^2 + 2 I_xy xy + 2 I_xz xz + 2 I_yz yz = 1
Tuttavia quando calcola gli assi principali di un sistema piano trova
che la tg (2tetha) = 2*I_xy/(I_x - I_y) ma, nel determinare il valore
dei momenti principali d'inerzia I_1 e I_2 nasce un'altra contraddizione
nei segni, infatti ottiene:
posto R = sqrt [(I_x - I_y)^2 + (2I_xy)^2]
I_1= 1/2( I_x + I_y - R)
I_2= 1/2( I_x + I_y + R)
Secondo i miei calcoli I_1 dovrebbe presentare il "+ R" e
I_2 il "- R"
Mi potete dire qual e' il segno giusto?
Giorgio Bibbiani
Jun 16, 2013, 6:23:43 AM6/16/13
to
fnas ha scritto:
In linea di principio e' la stessa cosa, perche' la scelta di
chiamare un autovalore I_1 e l'altro I_2 e' convenzionale,
quindi l'una o l'altra convenzione si equivalgono, osservo
che con la convenzione indicata sopra I_1 risulterebbe
_sempre_ non maggiore di I_2, se poi questa convenzione
sia in contrasto con altre nel testo (come quella che
_definisce_ l'angolo theta), a noi non e' dato sapere, visto
che a quanto pare il testo _originale_ lo vuoi conservare
gelosamente per te, senza neanche pubblicare una
scansione sul web... ;-).
Comunque mi sembra piu' adatto un ng
di fisica, per trattare questo argomento.
Ciao
--
Giorgio Bibbiani
> Tuttavia quando calcola gli assi principali di un sistema piano trova
> che la tg (2tetha) = 2*I_xy/(I_x - I_y) ma, nel determinare il valore
> dei momenti principali d'inerzia I_1 e I_2 nasce un'altra
> contraddizione nei segni, infatti ottiene:
>
> posto R = sqrt [(I_x - I_y)^2 + (2I_xy)^2]
>
> I_1= 1/2( I_x + I_y - R)
> I_2= 1/2( I_x + I_y + R)
>
> Secondo i miei calcoli I_1 dovrebbe presentare il "+ R" e
> I_2 il "- R"
>
> Mi potete dire qual e' il segno giusto?
Sorry, le mie capacita' divinatorie non arrivano a tanto...;-)
> che la tg (2tetha) = 2*I_xy/(I_x - I_y) ma, nel determinare il valore
> dei momenti principali d'inerzia I_1 e I_2 nasce un'altra
> contraddizione nei segni, infatti ottiene:
>
> posto R = sqrt [(I_x - I_y)^2 + (2I_xy)^2]
>
> I_1= 1/2( I_x + I_y - R)
> I_2= 1/2( I_x + I_y + R)
>
> Secondo i miei calcoli I_1 dovrebbe presentare il "+ R" e
> I_2 il "- R"
>
> Mi potete dire qual e' il segno giusto?
In linea di principio e' la stessa cosa, perche' la scelta di
chiamare un autovalore I_1 e l'altro I_2 e' convenzionale,
quindi l'una o l'altra convenzione si equivalgono, osservo
che con la convenzione indicata sopra I_1 risulterebbe
_sempre_ non maggiore di I_2, se poi questa convenzione
sia in contrasto con altre nel testo (come quella che
_definisce_ l'angolo theta), a noi non e' dato sapere, visto
che a quanto pare il testo _originale_ lo vuoi conservare
gelosamente per te, senza neanche pubblicare una
scansione sul web... ;-).
Comunque mi sembra piu' adatto un ng
di fisica, per trattare questo argomento.
Ciao
--
Giorgio Bibbiani
fnas
Jun 16, 2013, 8:29:55 AM6/16/13
to
qui definisce i prodotti d'inerzia con il segno - davanti all'integrale
http://i.imgur.com/gVi2LC8.jpg
http://i.imgur.com/PyA2raN.jpg
mentre qui calcola l'angolo tg 2 theta e I_1 e I_2
http://i.imgur.com/f0ZAcJu.jpg
http://i.imgur.com/st5k417.jpg
Fanno un po' schifo come scansioni ma i mezzi tecnologici disponibili
sono piuttosto rudimentali. In ogni caso spero sia piu' chiaro quanto ho
scritto precedentemente.
ciao,
fnas
Giorgio Bibbiani
Jun 16, 2013, 9:57:56 AM6/16/13
to
fnas ha scritto:
l'angolo teta ricavato da (5.31) e' definito a meno di un termine
additivo pigreco/2, sostituire teta con teta + pigreco/2 nella (5.28)
equivale a scambiare tra loro i fattori che moltiplicano rispettivamente
x_1^2 e x_2^2, cioe' equivale a scambiare I_1 e I_2, il che,
come scrivevo in precedenza, e' lecito trattandosi di una
scelta convenzionale.
In sostanza, l'orientazione degli assi principali di inerzia rispetto
agli assi del sistema di riferimento iniziale _non_ e' convenzionale,
cioe' gli assi principali di inerzia sono determinati in modo
univoco, ma il nome che si da' loro (1 o 2) dipende da una scelta
convenzionale, quindi li si puo' chiamare indifferentemente 1 o 2.
Ciao
--
Giorgio Bibbiani
> Fanno un po' schifo come scansioni ma i mezzi tecnologici disponibili
> sono piuttosto rudimentali. In ogni caso spero sia piu' chiaro quanto
> ho scritto precedentemente.
OK, come e' scritto nel primo paragrafo dell'ultima scansione,
> sono piuttosto rudimentali. In ogni caso spero sia piu' chiaro quanto
> ho scritto precedentemente.
l'angolo teta ricavato da (5.31) e' definito a meno di un termine
additivo pigreco/2, sostituire teta con teta + pigreco/2 nella (5.28)
equivale a scambiare tra loro i fattori che moltiplicano rispettivamente
x_1^2 e x_2^2, cioe' equivale a scambiare I_1 e I_2, il che,
come scrivevo in precedenza, e' lecito trattandosi di una
scelta convenzionale.
In sostanza, l'orientazione degli assi principali di inerzia rispetto
agli assi del sistema di riferimento iniziale _non_ e' convenzionale,
cioe' gli assi principali di inerzia sono determinati in modo
univoco, ma il nome che si da' loro (1 o 2) dipende da una scelta
convenzionale, quindi li si puo' chiamare indifferentemente 1 o 2.
Ciao
--
Giorgio Bibbiani
fnas
Jun 16, 2013, 10:56:58 AM6/16/13
to
Grazie Giorgio, scusami se torno sul punto facendoti un'altra domanda ma
come vedi il testo e' "piuttosto sintetico" e io sono un lettore poco
attento ed il risultato e' un mix fatale. Comunque grazie per avermi
fatto notare questa cosa dello scambio dei nomi al variare di pigreco.
Ma, relativamente al primo dubbio sui conti, se vedi l'esempio in fondo
all'ultima scansione, nella penultima formula da' il valore di I_xy
nella lamina triangolare.
Quel valore, se non ho sbagliato i calcoli e per quanto e' scritto nella
formula dopo la (5.15) (2a scansione), dovrebbe essere un valore
negativo giusto? Perche' invece il risultato e' positivo? Anche in
questo caso e' un fatto convenzionale?
ciao e grazie,
fnas
come vedi il testo e' "piuttosto sintetico" e io sono un lettore poco
attento ed il risultato e' un mix fatale. Comunque grazie per avermi
fatto notare questa cosa dello scambio dei nomi al variare di pigreco.
Ma, relativamente al primo dubbio sui conti, se vedi l'esempio in fondo
all'ultima scansione, nella penultima formula da' il valore di I_xy
nella lamina triangolare.
Quel valore, se non ho sbagliato i calcoli e per quanto e' scritto nella
formula dopo la (5.15) (2a scansione), dovrebbe essere un valore
negativo giusto? Perche' invece il risultato e' positivo? Anche in
questo caso e' un fatto convenzionale?
ciao e grazie,
fnas
Giorgio Bibbiani
Jun 16, 2013, 11:28:00 AM6/16/13
to
fnas ha scritto:
il tuo risultato (se il triangolo e' quello che hai descritto
nel primo messaggio, per cui le coordinate x e y dei punti
del triangolo non sono negative).
> Anche in questo caso e' un fatto convenzionale?
Si', ma la convenzione, coerente con quella per il calcolo dei
momenti di inerzia, e' gia' stata stabilita come nella seconda
scansione e allora deve essere rispettata.
Ciao
--
Giorgio Bibbiani
> Ma, relativamente al primo dubbio sui conti, se vedi
> l'esempio in fondo all'ultima scansione, nella penultima formula da'
> il valore di I_xy nella lamina triangolare.
> Quel valore, se non ho sbagliato i calcoli e per quanto e' scritto
> nella formula dopo la (5.15) (2a scansione), dovrebbe essere un valore
> negativo giusto? Perche' invece il risultato e' positivo?
Penso che sia sbagliato il segno sul libro, cioe' che sia giusto
> l'esempio in fondo all'ultima scansione, nella penultima formula da'
> il valore di I_xy nella lamina triangolare.
> Quel valore, se non ho sbagliato i calcoli e per quanto e' scritto
> nella formula dopo la (5.15) (2a scansione), dovrebbe essere un valore
> negativo giusto? Perche' invece il risultato e' positivo?
il tuo risultato (se il triangolo e' quello che hai descritto
nel primo messaggio, per cui le coordinate x e y dei punti
del triangolo non sono negative).
> Anche in questo caso e' un fatto convenzionale?
momenti di inerzia, e' gia' stata stabilita come nella seconda
scansione e allora deve essere rispettata.
Ciao
--
Giorgio Bibbiani
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